Momentum Sudut (Bagian 2)

Momentum Sudut

(Bagian 2)

Pengenalan Konsep

Rotasi dalam Mekanika Kuantum:

1. Sistem Koordinat Bola

2. Harmonia Sferis (Spherical Harmonics)

3. Momentum Sudut Orbital

2 2

ˆ

_

_

_

_

_

_

2m

V

2m

=

H

2 2





2 2 2 2 2 2 2 z y x          

dimensi

-tiga

dalam

er

Schröding

Persamaan

Tinjau partikel yang bergerak di permukaan bola

dengan radius r. _{Hamiltonian diberikan oleh:}

karena energi potensial uniform di permukaan bola dan dapat diambil sama dengan nol.

Laplacian: Harus dipecahkan:

_2m

ψ

E

ψ

2









2

:

)

(

)

,

(

r,

sebagai

ganti

x,

y,

z

gunakan

Kita





2 r

r

L

r

r

r

r

2 2 2 2 2 , 2 2 2

1

2

ˆ



























                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 cot sin sin 1 sin 1 ˆ            d d d d d d = d d d d d d L 2 2  

bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

)

,

(r,

E

)

,

(r,

V(r)

)

,

ψ

(r,

2m

2



























2 Harus dipecahkan: dengan:

) , , ( ) , , ( ) , , ( ˆ ) , , ( 2 ) , , ( 2 2 2 2 2 2 2               r Eψ r ψ V r r ψ L r r ψ r r r ψ m _           

bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

Separasi variabel: ψ(r,θ,ϕ)= R(r)Y(θ,ϕ), maka:

Bagi kedua ruas persamaan dengan RY, menghasilkan:

) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ˆ ) , ( ( 2 ) , ( ( 2 2 2 2 2 2 2               Y r ER Y r VR r Y r R L r r)Y R r r Y r) R m _           Y ER VRY r Y L R r R r Y r R Y m _          2 2₂ 2 ˆ₂2 ₂ 2 _ 









E V r Y L Y r R r R r R R m _          2 1 2₂ 1 2 1 ˆ₂2 ₂ 2 _ 









bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

Kalikan dengan -2mr2_/ħ2_{, maka dapat dipisahkan menjadi:}

yaitu bagian radial dan bagian sudut sepenuhnya terpisah.

Selanjutnya, kita asumsikan bagian sudut azimut dan zenit juga dapat dipisahkan, yaitu Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ), dan kita ambil:

0 ˆ 1 ) ( 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2                    Y L Y E V mr r R r R r R R









                     d d d d d d L 2 sin sin 1 sin 1 ˆ 2 2 2 2  ) 1 ( ˆ 1 dan ) 1 ( ) ( 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2                     L Y l l Y l l E V mr r R r R r R R



_{ }







bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

Memberikan: dan:

Menghasilkan separasi variabel lebih lanjut, yaitu:       2 2 2 sin ) 1 ( sin sin l l Y d Y d d d d Y d _{  }                    2 2 2 sin ) 1 ( sin sin _                     l l d d d d d d       2 2 2 sin ) 1 ( sin sin 1 1 _{  }                  d l l d d d d d       2 2 2 sin ) 1 ( sin sin 1 1 _{ }                   d l l d d d d d

bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

Memberikan:

Persamaan azimut telah dipecahkan, sedangkan persamaan theta merupakan persamaan diferensial Legendre terasosiasi:

2 2 2 2 2 sin ) 1 ( sin sin 1 1 l l l l m d d d d dan m d d                           



( 1)sin



0 sin sin _{ } 2 _ 2 _{ }       l m l l d d d d _    

ψ

solusi

bentuk

Bagaimana

(



,



)

?

)

,

(

)

,

(

ˆ

2

_ψ





₌

_2ma

_E

_ψ





L

2

.

ˆ

ˆ

)

,

(

2

L

untuk

eigen

fungsi

merupakan

juga

H

untuk

ψ

untuk

eigen

fungsi

Jadi





bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

)

,

(

2

)

,

(

ˆ

2 2



















_

_

E

ψ

ma

ψ

L

Persamaan:

) , ( 2 ) , ( sin 1 cot ₂ 2 2 2 2 2                    ψ ma Eψ d d d d d d 2 

)

,

(

)

,

(

ˆ

2

_ψ

_

_

₌

_2ma

_E

_ψ

_

_

L

2

bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

Persamaan diferensial:

Sebenarnya merupakan persamaan untuk θ dan φ yang pada dasarnya dapat dilakukan separasi variabel, dan ruas kiri dapat disertakan dalam komponen radial r.

Bagian φ telah dipecahkan, dan bagian θ merupakan

persamaan diferensial Legendre, yang memiliki solusi

analitik. Solusi untuk bagian θ dan φ dinamakan sebagai

harmonia sferis (Y_l,m), dituliskan:

m l, m l, z m l, m l, | m | l m l,

Y

m

Y

L

Y

l

l

Y

L

im

P

m

l

m

l

π

+

l

)=

(

Y

)=

(

ψ





2













)

1

(

]

exp[

)

(cos

!|)!

|

(

!|)!

|

(

4

1

2

,

,

2













dengan P_l|m| _{adalah polinom Legendre}

bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

) , ( ) , ( ˆ 1 1 0 1 1      _{lm lm} z z m L m adalah L untuk mungkin yang eigen nilai dan ,l ,...,l-, , ,...,-- l, ,...,--l+ : nilai 1 + 2l mengambil dapat m nilai , l nilai suatu Untuk    ] exp[ cos ! )! 4 1 2 imφ θ) ( P |m!|) (l |m!| (l π l+ ((φ(φ,θ ψ(φ,θ)=Y_{l,m l}|m|   

)

,

(

)

1

(

)

,

(

ˆ

)

1

(

2 2













_{lm lm} 2 2

l

l

L

l

l

adalah

L

untuk

mungkin

yang

eigen

nilai

dan

..

0,1,2,3,4.

=

l

:

bernilai

dapat

l











If



(



,



) = Y

_lm

(



,



)

E

ma

2

=

l

l

EY

ma

Y

l

l

Y

L

:

Jadi

Y

=

ψ

E

ψ

2ma

=

ψ

L

2 lm 2 lm lm lm 2

)

1

(

atau

)

,

(

2

)

,

(

)

1

(

)

,

(

ˆ

)

,

(

)

,

(

);

,

(

)

,

(

ˆ

2 2 2 2









































bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

Bagaimana dengan E? 2 ma = I ; I l l = ma l l = E 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 _{ }   Sehingga:

Dalam mekanika kuantum, sebuah operator  yang merepresentasikan suatu konstanta gerak akan

komut dengan hamiltonian, yaitu:

[Ĥ,Â] = 0

yang berarti bahwa kita dapat menemukan fungsi-fungsi eigen yang berlaku untuk kedua operator  dan Ĥ.

m z 2

Y

bersama

eigen

fungsi

memiliki

bola

permukaan

pada

bergerak

yang

partikel

untuk

L

dan

L

,

H

l

ˆ

ˆ

ˆ

)

,

(

Y

)

l(l

=

)

,

(

Y

L

ˆ

2 _lm





_

2



1

_lm





)

,

(

Y

m

=

)

,

(

Y

L

ˆ

_{z lm}





_

_lm





)

,

(

2

1

)

,

(

2









_lm lm

Y

I

)

l(l

HY







bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

lm z 2 Y (common) bersama eigen fungsi memiliki bola sebuah pada bergerak yang partikel untuk L dan L , Hˆ ˆ ˆ 0 ] ˆ ˆ ˆ ˆ 2 _ z 2

z dan L memiliki common eigenfunctions karena [L ,L

L 2 2 ˆ 2 1 ˆ _L ma = H Tetapi 0 ] ˆ ˆ [ ] ˆ ˆ [H,L_z = H,L2  : bahwa n ditunjukka dapat Dan

ions

eigenfunct

common

memiliki

L

dan

L

,

H

sehingga

ˆ

ˆ

_z

ˆ

2

saat

setiap

2I

(L

=

(L

(L

:

hasil

memberikan

akan

L

L

pengukuran

oleh

diuraikan

yang

keadaan

suatu

Untuk

2 z 2 2 z obs 2 obs obs 2 obs m l

)

I

2

)

1

l

(

l

)

E

(

m

)

);

1

l

(

l

)

,

),

,

(

Y





















bola

koordinat

dalam

er

Schröding

Persamaan

l,m l l,m z l,m l,m |m| l l,m

Y

m

Y

L

;

)Y

l(l

Y

L

im

P

|m!|)

(l

|m!|

(l

π

l+

)=

(

Y

ψ

(

φ

,

θ

)

















=

1

]

exp[

)

(cos

!

)!

4

1

2

,

2 2









0 ; 0 ) ( 4 1 0 2 _{ }  obs z obs o,o ) (L L Y 0 = m ada hanya l= Untuk ; 

bola

pada

uniform

adalah

Y

Nilai

_oo

0



l

m



0

er

Schröding

Persamaan

Solusi

sifat

-Sifat

1



l

m





1

,

0

,

1

2 ,-2 , 2 , obs obs z lm 2 i Y 2 i Y 2 Y ) (L ) (L Y l m       1 ] exp[ sin 8 3 1 1 1 ] exp[ sin 8 3 1 1 0 cos 4 3 0 1 1 1 1 1 0 1 2             

er

Schröding

Persamaan

Solusi

sifat

-Sifat

l,m l l,m z l,m l,m |m| l l,m

Y

m

Y

L

;

)Y

l(l

Y

L

im

P

|m!|)

(l

|m!|

(l

π

l+

)=

(

Y

ψ

(

φ

,

θ

)

















=

1

]

exp[

)

(cos

!

)!

4

1

2

,

2 2









i sin 4 3 cos 4 3 0 4 1 0 Y m l _lm ] exp[ 1 1 1 0 ) , (           _ l,m l l,m z l,m l,m |m| l l,m Y m Y L ; )Y l(l Y L im P |m!|) (l |m!| (l π l+ )= ( Y ψ(φ,θ)         = 1 ] exp[ ) (cos ! )! 4 1 2 , 2 2









i sin 32 15 i sin cos 8 15 1 (3cos 16 5 0 Y m l 2 2 lm ] 2 exp[ 2 2 ] [ 2 ) 1 2 ) , (                  l,m l l,m z l,m l,m |m| l l,m Y m Y L ; )Y l(l Y L im P |m!|) (l |m!| (l π l+ )= ( Y ψ(φ,θ)         = 1 ] exp[ ) (cos ! )! 4 1 2 , 2 2









i sin 64 35 i sin 32 105 i (5cos 64 21 1 (5cos 16 7 0 Y m l 3 2 2 3 lm ] 2 exp[ 3 3 ] 2 exp[ cos 2 3 ] [ sin ) 1 3 ) cos 3 3 ) , (                           l,m l l,m z l,m l,m |m| l l,m Y m Y L ; )Y l(l Y L im P |m!|) (l |m!| (l π l+ )= ( Y ψ(φ,θ)         = 1 ] exp[ ) (cos ! )! 4 1 2 , 2 2    

L L z L z |L| = L L L z = L z =

-



= 0 2       , , L yaitu tersebut, kasus ketiga untuk berlainan yang orientasi mengalami L Tetapi |L|= adalah tersebut kasus ketiga untuk L dari |L| Panjang L dengan keadaan tiga Terdapat z 0 2 2 2 2        _{z obs} obs z L ) (L memberikan ,m= l= untuk : contoh sama yang nilai memberikan selalu L dan L pengukuran keadaan, setiap Untuk ) ( ; 2 1 1 2 2 2

er

Schröding

Persamaan

Solusi

sifat

-Sifat

  dan (L ) m L ; , , m=-didapat l=

L L z L z |L| = L L L z = L z =

-



= 0 2   dan (L ) m L ; , , m=-didapat l=

Untuk 1 1 0 1 ( 2 )_obs  2 2 _{z obs} 

     , , - an menghasilk dapat L atau L pengukuran tetapi Akan = ) -(L ) (L ) L (L Maka ? L atau L dengan Bagaimana y x obs z obs obs y x y x 0 2 2 2 2 2 2 2 2 _{   }

er

Schröding

Persamaan

Solusi

sifat

-Sifat

? pengukuran setiap bagi L dan L untuk mungkin yang nilai berapa dan pengukuran banyak dari rata -rata nilai tasikan merepresen yang <L dan <L ekspektasi nilai dengan Bagaimana y x y x   L L z L z |L| = L L L z = L z =

-



= 0 2

er

Schröding

Persamaan

Solusi

sifat

-Sifat

  dan (L ) m L ; , , m=-didapat l=

Untuk 1 1 0 1 ( 2 )_obs  2 2 _{z obs} 

    _{z obs} obs z L ) (L memberikan ,m= l= untuk : contoh sama yang nilai memberikan selalu L dan L pengukuran keadaan, setiap Untuk ) ( ; 2 1 1 2 2 2

i θ π Y iφ θ θ π Y ) θ ( π Y ) (L ) (L Y m l , , , obs obs z lm 2 2 2 2 2 1 2 2 0 2 2 6 2 ] 2 exp[ sin 32 15 2 2 6 1 ] exp[ cos sin 8 15 1 2 6 0 1 cos 3 8 15 0 2                    

2



l

Untuk

m





2

,



1

,

0

,

1

,

2

l,m l l,m z l,m l,m |m| l l,m Y m Y L ; )Y l(l Y L im P |m!|) (l |m!| (l π l+ )= ( Y ψ(φ,θ)         = 1 ] exp[ ) (cos ! )! 4 1 2 , 2 2    



|L| = _6_ L L z L z= 0 L L L z =2 L z =

-

L z =



2



L z = -2 2 ₆ 2 1 0 1 2 2 didapat m=- ,- , , ,  L  _ l= Untuk         2 0 2 6 6 2 2 , , , , L beda -berbeda si berorienta L Tetapi |L|= adalah kasus tiga di L dari |L| Panjang L dengan keadaan 5 Terdapat z          _z z 2 L ; <L memberikan ,m= l= : misal sama yang nilai memberikan selalu L dan L pengukuran keadaan setiap Untuk 2 2 ₆ 1 2 l,m l l,m z l,m l,m |m| l l,m Y m Y L ; )Y l(l Y L im P |m!|) (l |m!| (l π l+ )= ( Y ψ(φ,θ)         = 1 ] exp[ ) (cos ! )! 4 1 2 , 2 2    

er

Schröding

Persamaan

Solusi

sifat

-Sifat

(a) Representasi momentum sudut dengan komponen dalam sumbu-z. Tetapi, karena sudut azimut mengelilingi sumbu-z tak menentu, gambaran (b) lebih tepat, dengan setiap vektor terletak pada sudut azimut sebarang pada kerucut.

)

1

(

ˆ

_Y

₍

_,

₎

₌

_l

_l

_

L

2 _lm





_

2

m

=

)

,

(

Y

L

ˆ

_{z lm}





_

)

,

(

)

1

(

)

,

(

₂ 2









_lm lm

Y

ma

l

l

HY







sama

yang

energi

berlainan yang orientasi

Elektron

Spin

berkas dua menjadi homogen tak magnet medan dalam membelah Ag) atom -(atom elektron berkas bahwa 1921 tahun pada menemukan Gerlach dan Stern elektron dari (spin) intrinsik sudut momentum keberadaan sebagai tersebut fenomena si interpreta memberikan Uhlenbeck dan Goudschmit

spin elektron (s = 1/2) hanya dapat memiliki

dua orientasi terhadap sumbu tertentu.

Elektron  (atas) adalah elektron dengan m_s

= +1/2;

Elektron  (bawah) adalah elektron dengan

m_s = - 1/₂.   S   S : adalah spin sudut momentum Panjang 2 1   s l 2 1    m_s m

2

3

|

|

_

_

+

1)





2

1

(

2

1

=

1)

+

s(s

=

S

Elektron

Spin