1
2 KONSEP DASAR SUDUT
Sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi (putaran) dari sisi awal (inital side) ke sisi akhir (terminal side). Setiap arah putaran dalam sudut memiliki makna. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan arah jarum jam. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.
Sudut baku (standar) adalah sudut sisi awal suatu garis berhimpit dengan sumbu 𝑋 dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius.
Sudut pembatas kuadran adalah sudut sisi akhir berada pada salah satu sumbu koordinat kartesius, yaitu 0°, 90°, 180°, 270°, dan 360°.
Sudut biasanya disimbolkan dengan huruf Yunani, seperti 𝛼 (alpha), 𝛽 (betha), 𝛾 (gamma), dan 𝜃 (tetha). Selain huruf tersebut, digunakan juga huruf kapital seperti 𝐴, 𝐵, 𝐶 dan 𝐷.
3 Coba Lihat!
Gambarkanlah sudut-sudut standar dibawah ini dan tentukan posisi setiap sudut pada koordinat kartesius!
a. 70° b. −30° c. 130° d. 500°
Kita Jawab:
a. Sisi awal terletak pada sumbu 𝑋, dan sisi akhir
terletak pada kuadran I
b. Sisi awal terletak pada sumbu 𝑋, dan sisi akhir
terletak pada kuadran IV
c. Sisi awal terletak pada sumbu 𝑋, dan sisi akhir
terletak pada kuadran III
d. Sisi awal terletak pada sumbu 𝑋, dan sisi akhir
terletak pada kuadran III
4 UKURAN SUDUT
Ukuran sudut merupakan besaran yang digunakan dalam pengukuran sudut. Pada umumnya ada dua ukran sudut yaitu derajat dan radian, yang masing-masing disimbolkan dengan "°" dan "𝑟𝑎𝑑".
Derajat
Kamu pasti tau bangun datar lingkaran kan?
Pendeknya satu putaran penuh itu sama dengan 360°, atau bisa Kita tuliskan sebagai berikut:
Radian
Radian diartikan sebagai besar ukuran sudut pusat 𝜃 (dibaca: teta) yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.
𝜃 =𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵
𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 =𝑟
𝑟= 1 𝑟𝑎𝑑 atau dapat Kita dituliskan
𝜃 =𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝑢𝑠𝑢𝑟
𝑟 𝑟𝑎𝑑
1 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 = 360° yang berarti bahwa 1° = 1
360 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
5 Hubungan Derajat dengan Radian
Ingat!!!
Rumus keliling lingkaran adalah 𝐾 = 2𝜋𝑟
Jika 1 putaran penuh, maka 𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 = 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛, sehingga 𝜃 = 360°
𝜃 =𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝑢𝑠𝑢𝑟
𝑟 𝑟𝑎𝑑
360° =𝐾 𝑟 𝑟𝑎𝑑 360° =2𝜋𝑟
𝑟 𝑟𝑎𝑑 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 360°
2 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑
Note:
1 𝑟𝑎𝑑 ≈ 57,3°
Oke, dari uraian diatas Kita akan membuat formula yang sangat penting. Formula ini akan Kita pakai untuk menyelesaikan soal-soal terkait ukuran sudut. Jadi pahami dulu uraian diatas setelah itu perhatikan penjelasan dibawah ini.
Misalkan derajat Kita simbolkan dengan D, radian dengan R, dan banyak putaran dengan P.
Ingat!!!
1 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 = 360°
2 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 → 2 × 360° = 720°
3 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 → 3 × 360° = 1080°
4 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 → 4 × 360° = 1440°
… 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 → ⋯ × 360° = ⋯ 𝑃 × 360° = 𝐷
Jadi dapat Kita simpulkan bahwa rumus hubungan derajat dengan putaran adalah seperti dibawah ini.
Rumus itulah yang akan sering Kita gunakan untuk kedepannya, jadi tolong ingat baik- baik yaa! Siap? siap kan? siap doong, siap yaa!!
𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
atau dapat diartikan juga
1° = 𝜋
180 𝑟𝑎𝑑 1 𝑟𝑎𝑑 =180°
𝜋
𝐷 = 𝑃 × 360°
6 Oke, Kita lanjutkan mencari rumusnya.
Ingat!!!
1° = 𝜋
180 𝑟𝑎𝑑 2° → 2 × 𝜋
180= 2𝜋
180 𝑟𝑎𝑑 3° → 3 × 𝜋
180= 3𝜋
180 𝑟𝑎𝑑
𝐷 × 𝜋
180= 𝑅
Jadi dapat Kita simpulkan bahwa:
atau
Nah, sekarang persiapan tempur sudah selesai. Kita akan mencoba untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan ukuran sudut.
Coba Lihat!
1. Tentukanlah besaran radian dan banyak putaran jika diketahui besar sudutnya 45° !
2. Tentukanlah besarnya derajat dan banyak putaran jika diketahui besar radiannya
2
3𝜋 𝑟𝑎𝑑 !
3. Tentukanlah besarnya derajat dan radian jika diketahui banyak putaranya 2
3
putaran!
Kita Jawab:
1. Diketahui 𝐷 = 45°
𝑅𝐷
=
𝜋180°
𝑅 = 𝜋
180° × 𝐷
𝑅 = 𝜋
180° × 45°
𝑅 =1
4𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝐷 = 𝑃 × 360°
𝐷
360° = 𝑃
𝑃 = 𝐷
360°
𝑃 = 45°
360°
𝑃 = 1
8 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
Jadi 45° =1
4𝜋 𝑟𝑎𝑑 =1
8 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑅
𝐷 = 𝜋
180°
𝑅
𝑃 × 360°= 𝜋
180°
7 2. Diketahui 𝑅 =2
3𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑅𝐷
=
𝜋180°
𝑅 × 180°
𝜋 = 𝐷
2
3 𝜋 × 180°
𝜋 = 𝐷
2
3× 180° = 𝐷 120° = 𝐷
𝑅
𝑃 × 360°= 𝜋
180°
𝑃 =𝑅 × 180°
𝜋 × 360°
𝑃 = 2
3 𝜋 × 180°
𝜋 × 360°
𝑃 =1
3𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 Jadi 2
3𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 120° = 1
3 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
3. Diketahui 𝑃 =2
3 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
𝐷 = 𝑃 × 360°
𝐷 =2
3 × 360°
𝐷 = 240°
𝑅𝑃×360°
=
𝜋180°
𝑅 =𝜋 × 𝑃 × 360°
180°
𝑅 =𝜋 ×2
3 × 360°
180°
𝑅 =4
3𝜋 𝑟𝑎𝑑
Gimana, paham?
Paham kan? Paham doong, paham yaa!
Cobain Yuk!
1. Tentukanlah besaran radian dan banyak putaran jika diketahui besar sudutnya 135° !
2. Tentukanlah besarnya derajat dan banyak putaran jika diketahui besar radiannya
3
5𝜋 𝑟𝑎𝑑 !
8 3. Tentukanlah besarnya derajat dan radian jika diketahui banyak putaranya 1
3
putaran!
4. Berapa derajat sudut yang dibentuk oleh jarum jam pada pukul 13:00?
5. Tentukan besaran derajat, radian, dan putaran jika diketahui sudut yang terbentuk oleh jarum jam pukul 04:00 !
Cobain Jawab:
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
9 Satuan Sudut Lainnya
Selain derajat dan radian, ada juga satuan sudut lainnya yaitu menit (′) dan detik (′′).
Perlu diketahui bahwa menit dan detik disini BERBEDA dengan waktu.
Singkatnya 1 derajat sama dengan 60 menit dan 1 menit sama dengan 60 detik, atau bisa Kita tuliskan sebgai berikut:
Coba Lihat!
1. Ubahlah bentuk derajat berikut kedalam satuan menit dan detik!
a. 30,4°
b. 32, 33°
Kita Jawab:
a. 30,4° = 30° + 0,4°
= 30° + (0,4° × 60′)
= 30° + 24′
= 30°24′
b. 32,33° = 32° + 0,33°
= 32° + (0,33° × 60′)
= 32° + 19,8′
= 32° + 19′+ 0,8′
= 32° + 19′+ (0,8′× 60′′)
= 32° + 19′+ 48′′
= 32°19′48′′
1° = 60′↔ 1′= 1 60°
1′ = 60′′ ↔ 1′′ = 1 60′
1° = 60′ = 3600′′ ↔ 1′′ = 1 3600°
10 2. Ubahlah bentuk berikut kedalam bentuk derajat!
a. 25°30′
b. 43°12′32′′
Kita Jawab:
a. 25°30′ = 25° + 30′
= 25° + (30 × 1 60°)
= 25° + 0,5°
= 25,5°
b. 43°12′32′′ = 43°+12′+32′′
= 43° + (12 × 1
60°) + (32 × 1 3600°)
= 43° + 0,2° + 0,5333 … °
= 43,7333 … °
= 43,73°
Cobain Yuk!
1. Diketahui 48,43° , ubahlah kedalam bentuk menit dan detik!
2. Diketahui 64°28′40′′ , ubahlah kedalam bentuk derajat!
3. Hitunglah operasi berikut:
a. 35°15′+ 72°54′
b. 34°25′+ 65°5′49′′
c. 32°48′− 12°32′
d. 47°32′− 25°16′28′′
e. 34°23′− 30°40′21′′
Cobain Jawab:
...
...
...
...
11
