RUANG L SEBAGAI RUANG NORM YANG LENGKAP BESERTA SIFAT-SIFAT UTAMANYA.

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK

i

KATA PENGANTAR

ii

UCAPAN TERIMA KASIH

iii

DAFTAR ISI

v

DAFTAR SIMBOL

viii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

1

1.2 Rumusan dan Batasan Masalah

3

1.3 Tujuan Penulisan

3

1.4 Sistematika Penulisan

4

BAB II DASAR TEORI

2.1 Himpunan dan Fungsi

6

2.2 Beberapa Konsep dalam

ℝ

8

2.3 Supremum dan Infimum

10

2.4 Barisan dan fungsi dalam

ℝ

12

2.5 Ruang-ruang Himpunan

16

2.7 Barisan pada Perluasan Bilangan Real

[−∞, ∞]

30

2.8 Ukuran Lebesgue

31

2.9 Fungsi Terukur Lebesgue

37

BAB III INTEGRAL LEBESGUE

3.1 Integral Lebesgue dari Fungsi Khusus yang Terukur dan Sifat-sifatnya

51

3.2 Integral Lebesgue dari Fungsi Tak Negatif yang Terukur dan

Sifat-sifatnya

57

3.3 Integral Lebesgue dari Fungsi Umum yang Terukur dan Sifat-sifatnya

62

BAB IV RUANG

4.1 Definisi ruang

dan sifat-sifat dasar yang berlaku didalamnya

78

4.2 Ketaksamaan Holder dan Ketaksamaan Minkowski

83

4.3 Ruang Banach

95

4.4 Kekonvergenan dalam Rata-rata

105

4.5 Sifat-sifat Ruang Banach

109

4.6 Fungsional Linear Terbatas pada Ruang

112

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

122

DAFTAR PUSTAKA

125

BAB I

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah

Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann.

Sebagaimana telah diketahui, pengkonstruksian integral Riemann dilakukan

dengan cara pemartisian domain suatu fungsi yang berbentuk interval menjadi

subinterval-subinterval, yang kemudian ditentukan limit jumlah Riemann atas dan

jumlah Riemann bawah dari fungsi tersebut. Berbeda dengan integral Riemann,

integral Lebesgue dari suatu fungsi terukur didefinisikan berdasarkan pendekatan

fungsi sederhana. Pengkonstruksiannya dilakukan dengan cara pemartisian range

dari fungsi terukur Lebesgue yang bernilai tak negatif ke dalam berhingga buah

subinterval, kemudian ditetapkan sebuah nilai dari setiap subinterval tersebut

untuk merepresentasikan nilai-nilai dari barisan fungsi sederhana yang mendekati

fungsi terukur tersebut. Cara seperti itu menunjukkan bahwa setiap fungsi terukur

tak negatif dapat didekati oleh suatu fungsi sederhana.

(selanjutnya disebut

∞

)

, norm pada

∞

didefinisikan sebagai supremum essensial

dari fungsi di dalamnya.

Sifat-sifat yang akan dikaji pada ruang

dimotivasi oleh pembahasan

sifat-sifat yang berlaku pada ruang yang merupakan kumpulan barisan skalar

dengan norm yang didefinisikan berdasarkan jumlahan dan supremum dari

barisan-barisan didalamnya. Kajian yang menarik dari ruang

adalah bahwa

ruang tersebut merupakan ruang Banach, yaitu ruang Norm yang memenuhi sifat

kelengkapan. Dalam pembuktian bahwa ruang adalah ruang Norm, diperlukan

ketaksamaan Holder dan Minkowski. Namun, ketaksamaan-ketaksamaan tersebut

hanya berlaku untuk

1 ≤

≤ ∞

, sedangkan untuk

0 <

< 1

, kedua

ketaksamaan tersebut tidak berlaku. Kemudian khusus untuk

= 2

, merupakan

ruang Hilbert yaitu ruang Banach dengan Norm yang diinduksi dari hasil kali

dalamnya.

Pada karya tulis ini pertama-tama akan dikaji mengenai pengkonstruksian

integral Lebesgue beserta beberapa sifatnya. Selanjutnya akan ditunjukkan apakah

merupakan ruang Banach dan ruang Hilbert dengan kondisi-kondisi yang

serupa pada . Selain itu akan dikaji pula mengenai kekonvergenan barisan dan

beberapa sifat pada ruang Banach

. Terakhir, akan dikaji fungsional linear

terbatas pada

, khususnya kajian tentang Teorema Representasi Riesz.

1.2 Rumusan dan Batasan masalah

didefinisikan integral Lebesgue dari fungsi-fungsi khusus yang terukur Lebesgue

yang akan digunakan untuk mengkonstruksi integral Lebesgue untuk fungsi

umum yang terukur. Selanjutnya integral Lebesgue beserta sifat-sifatnya akan

digunakan dalam pembahasan ruang

beserta sifat-sifat yang berlaku di

dalamnya.

Rumusan masalah yang akan dikaji dalam karya tulis ini adalah :

a.

Bagaimana pengkonstruksian integral Lebesgue dan sifat-sifat apa saja

yang berlaku pada integral Lebesgue?

b.

Bagaimana pendefinisian dari ruang

dan sifat-sifat dasar apa saja yang

berlaku pada ruang tersebut?

c.

Kondisi apa yang harus dipenuhi agar

menjadi sebuah ruang Banach

dan ruang Hilbert?

d.

Bagaimana kekonvergenan pada ruang Banach

dan sifat-sifat apa saja

yang berlaku pada ruang tersebut?

e.

Bagaimana fungsional linear terbatas di dalam ruang

?

Adapun pada karya tulis ini, materi yang disajikan terbatas pada

pembahasan kelas-kelas ruang

, sifat-sifat ruang Banach

, dan fungsional

terbatas pada ruang

.

1.3 Tujuan penulisan

Tujuan penulisan karya tulis ini adalah untuk :

b.

Mendeskripsikan kelas-kelas pada ruang

dan sifat-sifat dasar yang

berlaku pada ruang tersebut.

c.

Mengetahui kondisi yang harus dipenuhi agar

menjadi sebuah ruang

Banach dan ruang Hilbert.

d.

Mempelajari konsep kekonvergenan pada ruang Banach

dan

mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada ruang tersebut.

e.

Mempelajari fungsional linear terbatas pada ruang

.

1.4 Sistematka Penulisan

Sistematika penulisan karya ilmiah ini antara lain :

1.

BAB I (Pendahuluan), pada bab ini dibahas mengenai latar belakang

masalah, rumusan dan batasan masalah, tujuan masalah, dan sistematika

penulisan.

2.

BAB II (Dasar Teori), pada bab ini dibahas dasar-dasar teori yang

mendukung pembahasan ruang

, di antaranya adalah teori himpunan,

fungsi, ruang Vektor, ruang Metrik, ruang Banach, ruang Hilbert,

kekonvergenan dari barisan bilangan real dan barisan fungsi bernilai real,

ukuran Lebesgue, dan fungsi terukur Lebesgue beserta beberapa sifatnya.

3.

BAB III (Integral Lebesgue untuk Fungsi-fungsi Terukur Lebesgue), pada

terukur, fungsi terukur tak negatif, dan fungsi terukur yang lebih umum

beserta beberapa sifat dasarnya.

4.

BAB IV (Ruang

), pada bab ini akan dibahas mengenai pendefinisian

dari ruang

beserta beberapa sifatnya, ketaksamaan Holder, ketaksamaan

Minkowski beserta kebalikannya . Di sini juga dijelaskan kondisi apa saja

yang harus terpenuhi agar ruang

menjadi sebuah ruang Banach dan

ruang Hilbert. Kemudian akan dibahas juga sifat-sifat dari

, diantaranya

kekonvergenan dalam rata-rata dan fungsional linear terbatas pada

.

5.

BAB V (Penutup), bab ini memberikan kesimpulan dari keseluruhan isi

BAB III

INTEGRAL LEBESGUE

Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang

dibangun oleh

fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral

Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu fungsi telah dibahas pada bab II.

Selanjutnya, pada bab ini akan dikaji teori dari integral Lebesgue yang meliputi

definisi dan sifat-sifatnya. Pada subbab 3.1 akan dibahas terlebih dahulu integral

Lebesgue dari fungsi-fungsi khusus, yaitu fungsi karakteristik dan fungsi

sederhana, kemudian pada subbab 3.2 akan dibahas teori integral Lebesgue dari

fungsi tak negatif.

Terdapat fakta bahwa sebarang fungsi terukur tak negatif dapat didekati

oleh suatu fungsi sederhana. Hal ini mengakibatkan Integral Lebesgue untuk

fungsi terukur yang lebih umum juga dapat dikonstruksi melalui pendekatan

integral Lebesgue untuk fungsi sederhana.

Definissi 3.1.1 (Fungsi Karakteristik)

Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur dan

⊆

. Fungsi karakteristik

untuk himpunan A yaitu

: → {0,1}

yang didefinisikan dengan,

= 1

₀

∈

∉

Fungsi Dirichlet adalah salah satu contoh dari fungsi karakteristik untuk

bilangan rasional

ℚ

. Fungsi ini merupakan salah satu fungsi yang terintegralkan

Lebesgue sebagaimana pada pembahasan selanjutnya.

Teorema 3.1.2

Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur. Fungsi karakteristik

dari

himpunan

⊆

, adalah terukur jika dan hanya jika adalah himpunan terukur.

Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik dari himpunan yang terukur

didefinisikan sebagai ukuran Lebesgue dari irisan domain fungsi tersebut dengan

himpunan , sebagaimana dinyatakan dalam definisi berikut ini.

Definisi 3.1.3

Misalkan

: → {0,1}

adalah fungsi karakteristik yang terukur dan A adalah

subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik

didefinisikan sebagai

Definisi 3.1.4 (Fungsi Sederhana)

Misalkan adalah sebuah himpunan terukur,

dengan

= 1,2,3, … , $

adalah

subset-subset dari E yang saling lepas dengan

⋃$₌₁

=

dan misalkan

&

adalah bilangan real berbeda yang berhingga banyaknya. Sebuah fungsi

sederhana

': → −∞, ∞

didefinisikan sebagai

' ≔ + &

, -.

/

,01

.

Jika nilai

&

dibatasi menjadi

0 ≤ &

_,

< ∞

maka fungsi sederhana yang

telah didefinisikan sebelumnya disebut fungsi sederhana tak negatif. Berdasarkan

Definisi 3.1.4, setiap fungsi sederhana adalah sebuah kombinasi linear berhingga

dari fungsi karakteristik. Perhatikan bahwa sebarang fungsi yang didefinisikan

pada himpunan terukur, misalkan , yang hanya mempunyai berhingga banyak

nilai yang berbeda

&

₁

,&

₂

, … , &

₅

dapat selalu dituliskan sebagai fungsi sederhana

6

= ∑ &

:801 8 -9

di mana

= { ∈ : 6

= & }

dan

⋃5=1

=

.

Contoh 3.1.5

Misalkan diberikan interval tertutup dan terbatas

[ , <] ⊂ ℝ

. Untuk

=

1,2,3, … , 5

, misalkan

@ = [

₋₁

,

sedemikian sehingga

⋃5₌₁

@

= [ , <]

dan

misalkan juga

A

adalah suatu bilangan real tak negatif. Jika

_@

adalah fungsi

karakteristik untuk masing-masing interval

@

maka hasil jumlah

'

= + A

B :

adalah sebuah fungsi tangga yang juga merupakan fungsi sederhana karena

masing-masing subinterval

@

adalah terukur. Selanjutnya ambil dua buah interval

[0,1] dan (1,2], jika

'

= 2

ℚ∩[E,1]

+ 3

ℚ∩ 1,G]

Maka

'

adalah sebuah fungsi sederhana sebab interval [0,1] dan (1,2] terukur dan

'

hanya memiliki berhingga buah nilai yang berbeda, namun

'

bukan merupakan

fungsi tangga.

Teorema 3.1.6

Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada himpunan

terukur E, dalam bentuk

' ≔ ∑

/_,01

&

_{, -.}

. Fungsi sederhana s adalah terukur jika

dan hanya jika masing-masing himpunan

dengan

= 1,2,3, … , $

adalah

himpunan terukur.

Teorema berikut ini menjelaskan bahwa untuk sebarang fungsi terukur,

dapat ditemukan suatu barisan fungsi sederhana yang konvergen ke fungsi terukur

tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa sebarang fungsi terukur dapat didekati oleh

fungsi sederhana.

Teorema 3.1.7

Misalkan

6: → [0, ∞]

adalah sebuah fungsi terukur. Terdapat barisan fungsi

sederhana

'

_:

yang terukur pada sedemikian sehingga

a)

0 ≤ '

₁

≤ '

_G

≤ ⋯ ≤ 6.

Bukti

Misalkan diberikan sebuah fungsi terukur

6: → [0, ∞]

, akan ditunjukkan bahwa

terdapat barisan dari fungsi-fungsi sederhana yang memenuhi kondisi di atas.

Untuk

5 ∈ ℕ

dan

1 ≤ ≤ 52

:

, partisikan

[0, ∞]

ke dalam subinterval-subinterval

yang tidak saling tumpang tindih

@

_5,

oleh

@

5,

=

J

− 1

2

5

, 2

5K

Kemudian definisikan juga

5,

= 6

−1LM−1₂5

,

₂5NN

dan

O

5

= 6

−1P[5, ∞ Q.

Definisikan fungsi sederhana

'

₅

pada dengan

'

5

=

+

2

− 1

5 525

=1 5,

+ 5

_O5

Sehingga

'

₅

adalah fungsi sederhana yang terukur untuk setiap

5 ∈ ℕ

, karena

_5,

dan

O

₅

masing-masing adalah himpunan terukur. Sekarang ambil sebarang

5, $ ∈ ℕ

dengan

5 ≤ $

, perhatikan bahwa,

'

5

=

+

− 1

2

5 525

=1 5,

+ 5

_O5

≤

+

2

− 1

_$

$2$

=1 $,

+ $

_O$

= '

$

dengan demikian

'

_:

monoton naik. Selanjutnya akan dibuktikan bagian b). Jika

6

< ∞

(dengan kata lain f terbatas), yaitu misalkan

6

≤ R

di mana

R

adalah konstanta real positif. Karena

6

≤ R

, terdapat bilangan asli terkecil

5

₀

di mana

R < 5

_E

sedemikian sehingga untuk setiap

∈

berlaku

∈ S

:T,8

:TGUT

Maka untuk setiap

∈

dan

5 ∈ ℕ

di mana

5 ≥ 5

_E

, terdapat

∈ ℕ

sedemikian

sehingga

− 1

2

5

≤ 6

< 2

5

⟺ 0 ≤ 6

− − 1

2

5

< 1

2

5

.

Misalkan diberikan sebarang

X > 0

, terdapat

5

₁

∈ ℕ

sedemikian sehingga

|6

− '

5 |

<

₂15

< X

untuk setiap

5 ≥ 5

₁

≥ 5

_E

dan untuk setiap

∈

. Jika

6

= ∞

, maka definisikan

'

₅

= 5

, sehingga

lim

_5→∞P'₅ Q

= ∞.

Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi sederhana

yang terukur, kemudian akan dibahas juga sifat-sifatnya

.

Definisi 3.1.8

Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang terukur pada E dengan bentuk

' = + &

8 -9

:

801

,

Dimana

&

₁

, &

₂

, … , &

₅

adalah nilai yang berbeda dari s dan

⋃5₌₁

=

, dan

misalkan A adalah subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi

sederhana s atas himpunan A didefinisikan sebagai

'

=

+5

&

∩ .

=1

Penetapan

0. ∞ = 0

digunakan di sini, sebab mungkin terjadi

& = 0

untuk

suatu

i

sedangkan

₈

∩

= ∞

.

Misalkan u dan v adalah dua buah fungsi sederhana yang terukur dan terdefinisi

pada E. Jika

⊆

dimana A terukur, maka

a)

^

_ + `

=

^

_

+

^

` .

b)

^

A_

= A

^

_ .

c)

_ ≤ ` . a.

$

^ _

_-

≤ ^ `

_-

.

d)

_ = ` . a.

$

^ _

_-

= ^ `

_-

.

e)

_ ≥ 0 . a.

5 ^ _

_-

= 0, $

_ = 0 . a.

.

f)

b^

_

b

≤

^ |_|

.

Teorema 3.1.10

Misalkan u adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada E dan

, c ⊆

dengan A dan B adalah himpunan terukur.

a)

Jika

∩ c = ∅

maka

^_∪c

_

=

^

_

+

^_c

_

.

b)

Jika

⊆ c

dan

_ ≥ 0

maka

^

_

≤

^_c

_

.

3.2 Integral Lebesgue untuk Fungsi Tak Negatif yang Terukur Lebesgue dan

Sifat-sifatnya

Definisi 3.2.1

Misalkan adalah sebuah himpunan terukur dan misalkan diberikan sebarang

fungsi

6: → [0, ∞]

. Bagian positif

6

₊

dari fungsi

6

didefinisikan sebagai,

6

₊

= 6 ,

0, 6

6

≥ 0

< 0

Dan bagian negatif

6

₋

dari fungsi

6

didefinisikan sebagai,

6

₋

= −6 ,

0, 6

6

≥ 0.

< 0

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bagian positif dan bagian negatif

dari sebuah fungsi terukur adalah terukur, Sebagaimana teorema berikut ini.

Teorema 3.2.2

Misalkan adalah sebuah himpunan terukur. Jika

6: → [0, ∞]

adalah sebuah

fungsi terukur, maka

6

₊

dan

6

₋

adalah fungsi teurukur.

Bukti

Misalkan

6

adalah sebarang fungsi terukur yang didefinisikan pada

, akan

ditunjukkan bahwa

6

₊

dan

6

₋

adalah fungsi terukur. Berdasarkan definisi dari

6

₊

dan

6

₋

, bagian positif dan bagian negatif dari fungsi

6

dapat dituliskan secara

berturut-turut sebagai,

6

₊

= max{6 , 0}

Dan

Karena fungsi

6

terukur, maka berdasarkan Teorema 2.9.12 fungsi

6

₊

dan

6

₋

adalah terukur.

Dapat dilihat bahwa baik

6

₊

maupun

6

₋

bernilai tak negatif dan dapat

dituliskan,

6 = 6

i

− 6

j

|6|

= 6

₊

− 6

₋

.

Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi terukur tak

negatif dan beberapa sifat dari integral tersebut.

Definisi 3.2.3

Misalkan E adalah himpunan terukur dan

6 ∶ → [0, ∞]

adalah sebuah fungsi

terukur yang bernilai tak negatif. Integral Lebesgue untuk f didefinisikan oleh

6

≔ sup

o

' : ' 6_5p' qar_ _r 'a arℎ 5 5 0 ≤ ' ≤ 6t

.

Ketika f diintegralkan atas sebuah himpunan terukur

⊆

, diperoleh

6

≔ sup

o

' : ' 6_5p' qar_ _r 'a arℎ 5 5 0 ≤ ' ≤ 6t

.

Berikut ini akan dibahas mengenai sifat kemonotonan dan kelinearan dari

integral Lebesgue untuk fungsi bernilai tak negatif yang terukur Lebesgue.

Teorema 3.2.4

a)

Jika

6 ≤ p . a

pada A maka

^

6

≤

^

p

.

b)

Untuk

> 0, 6 + p

dan

&6

adalah fungsi terukur non negative maka

6 + p

= 6

+ p

Dan

&6

= & 6 .

Bukti.

Pertama akan dibuktikan bagian a). Misalkan diberikan dua buah fungsi

terukur sederhana

6, p: → [0, ∞]

dengan

6 ≤ p . a.

. Misalkan

_

dan

`

adalah

sebarang fungsi terukur sederhana pada yang memenuhi sifat

0 ≤ _ ≤ 6

dn

0 ≤ ` ≤ p

secara berturut-turut. Karena

_ ≤ `

akibatnya diperoleh

_ ≤ p

pada

, sehingga

_

≤ sup

o

` : 0 ≤ ` ≤ pt

= p .

Jika diambil supremum atas seluruh fungsi sederhana

_

maka akan diperoleh,

6

= sup

o

_ : 0 ≤ _ ≤ 6t

≤ p .

sup

o

` : 0 ≤ ` ≤ A6t

= sup

o

&_ : 0 ≤ &_ ≤ &6t

= & sup o _

-: 0 ≤ _ ≤ 6t.

Dengan demikian,

&6

= & 6 .

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa,

6 + p

= 6

+ p ,

Yaitu menunjukkan kedua peryataan berikut berlaku:

i)

^

6 + p

≥

^

6

+

^

p

ii)

^

6 + p

≤

^

6

+

^

p .

Pertama akan diperlihatkan pernyataan i) berlaku. Misalkan

_

dan

`

adalah dua

buah fungsi sederhana terukur dengan

0 ≤ _ ≤ 6

dan

0 ≤ ` ≤ p

pada . Karena

0 ≤ _ ≤ 6

dan

0 ≤ ` ≤ p

akibatnya diperoleh

_ + ` ≤ 6 + p

, dengan

menggunakan definisi integral Lebesgue untuk fungsi

6 + p

atas

dan

berdasarkan sifat kelinearan integral untuk fungsi sederhana, diperoleh

6 + p

= sup

o

_ + `

: 0 ≤ _ + ` ≤ 6 + pt

≥

_ + `

= _

-+ `

-.

6 + p

≥ 6

+ p .

Untuk ketaksamaan sebaliknya, misalkan

u

adalah sebuah fungsi terukur

sederhana pada , misalkan

_ = min{u, 6}

dan

` = u − _

, di mana

_

dan

`

adalah fungsi terukur sederhana dan lebih lanjut diperoleh

0 ≤ _ ≤ 6

dan

0 ≤ ` ≤ p

pada . Dengan demikian,

u

= _

+

〱

≤ 6

+ p .

Dengan mengambil supremum atas seluruh

u

diperoleh

6 + p

≤ 6

+ p .

Karena pernyataan i) dan ii) berlaku, maka dapat disimpulkan bahwa

6 + p

= 6

+ p .

3.3 Integral Lebesgue untuk Fungsi Umum yang Terukur Lebesgue dan

Sifat-sifatnya

Sebelumnya telah didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi-fungsi

khusus, dimulai dari fungsi karakteristik sampai dengan fungsi tak negatif yang

terukur. Selanjutnya, akan didefinisikan integral Lebesgue untuk sebarang fungsi

yang terukur dan akan dikaji juga sifat-sifatnya.

Definisi 3.3.1

Misalkan

6: → [0, ∞]

adalah fungsi terukur. Integral Lebesgue untuk fungsi f

6

= 6

₊

− 6

₋

.

Fungsi f dikatakan terintegralkan Lebesgue jika masing-masing

^

6

₊

dan

^

6

₋

bernilai hingga.

Koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue akan dinotasikan

dengan

1

. Selanjutnya, akan dibahas beberapa sifat-sifat dasar dari integral

Lebesgue untuk sebarang fungsi terukur yang umum.

Teorema 3.3.2

Misalkan

6: → [0, ∞]

adalah sebuah fungsi terukur dan A adalah subset

terukur dari E. Fungsi f terintegralkan Lebesgue atas A jika dan hanya jika

|6|

terintegralkan atas A.

Bukti

Misalkan f adalah sebuah fungsi terukur dan

⊆

himpunan terukur. Pertama

asumsikan bahwa

6 ∈

1

, akan diperlihatkan bahwa

|6|

∈

1

. Karena

6 ∈

1

,

diperoleh

6

< ∞,

dengan demikian haruslah

6

₊

< ∞ dan 6

₋

< ∞.

|6|

=

P6₊

+ 6

₋Q

= 6

₊

+ 6

₋

< ∞.

Jadi dapat disimpulkan bahwa

|6|

∈

1

.

Selanjutnya asumsikan bahwa

|6|

∈

1

, akan ditunjukkan bahwa

6 ∈

1

.

Karena

|6|

∈

1

, akibatnya

|6|

= 6

₊

+ 6

₋

< ∞

dengan demkian,

6

₊

< ∞ dan 6

₋

< ∞.

Sehingga diperoleh,

6

= 6

₊

− 6

₋

< ∞.

Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa

6 ∈

1

.

∎

Teorema 3.3.3

Misalkan

6

adalah sebuah fungsi terukur dan A adalah himpunan terukur dengan

⊆

. Jika terdapat sebuah fungsi

p ∈

1

sedemikian sehingga

|6|

≤ p

, maka

6 ∈

1

.

Bukti

6

₋

≤ p

. Karena ketiga fungsi

6

₊

, 6

₋

, dan p

terukur dan tak negatif, berdasarkan

Teorema 3.2.4 diperoleh,

6

₊

≤ p dan 6

₋

≤ p .

Karena

p ∈

1

maka,

6

₊

< ∞ dan 6

₋

< ∞

Dengan demikian,

6

₊

= 6

₊

− 6

₋

< ∞.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa

6 ∈

1

.

Berikut ini akan disajikan beberapa Teorema mengenai sifat-sifat dasar

Integral Lebesgue. Teorema ini adalah perumuman dari beberapa sifat-sifat dasar

Integral Lebesgue yang telah disajikan pada subbab sebelumnya.

Teorema 3.3.4

Jika

6, p ∈

1

dengan

6, p: → [0, ∞]

maka:

a)

Fungsi

A6 ∈

1

di mana c adalah sebarang konstanta, dan

A6

= A 6 .

b)

Fungsi

6 + p ∈

1

, dan

6 + p

= 6

+ p .

6

≤ p .

d)

Jika

₁

dan

₂

adalah himpunan terukur yang saling lepas di E, maka

6 + p

1∪ 2

= 6

1

+ p

2

.

e)

Jika

≤ 6 ≤ <

di mana dan

<

adalah sebarang konstanta, maka

.

≤ 6

x

≤ <.

Bukti

Misalkan diberikan sebarang

6, p ∈

1

dan sebarang konstanta

A

, akan

diperlihatkan bahwa pernyataan a), b), c) dan d) berlaku.

Pertama akan dibuktikan bagian a), asumsikan bahwa

A ≥ 0

, akibatnya

A6

₊

=

A6

₊

dan

A6

₋

= A6

₋

. Sehingga, berdasarkan Definisi 3.3.1 diperoleh

A6

= A6

₊

− A6

₋

= A 6

i x

− A 6

j x

= A y 6

i x

− 6

j x

z

= A 6

x

.

A6

= −A6

₋

− −A6

₊

= −A 6

j x

+ A 6

i x

= A 6

x

.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa

A6

= A 6 .

Berikutnya akan dibuktikan bagian b). Diketahui bahwa

6, p ∈

1

,

akibatnya berdasarkan Teorema 3.3.2

|6|,|p|

∈

1

. Karena

|6|

dan

|p|

adalah

fungsi terukur yang bernilai tak negatif, maka berdasarkan Teorema 3.2.4

|6|

+

|p|

terintegralkan atas dan berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh

|6 + p|

≤

|6|

+

|p|

< ∞.

Dengan demikian

|6 + p|

∈

1

, dan

6 + p ∈

1

. Lebih jauh, diperoleh

6 + p

=

P6₊

− 6

₋

+ p

₊

− p

₋Q

= P6

i

+ p

i

− 6

j

+ p

j

Q

x

=

6

i

+ p

i x

+

6

j

+ p

j x

= y 6

i x

− 6

j x

z + y p

i x

Selanjutnya akan dibuktikan bagian c). Diketahui bahwa

6 ≤ p . a.

. Hal

ini mengakibatkan

p − 6 ≥ 0

. Oleh karena itu, diperoeh

p − 6

≥ 0

Dengan menggunakan hasil dari pernyataan b) didapatkan,

p

= p − 6

+ 6

≥ 6 .

Dengan demikian terbukti bahwa

^

6

≤

^

p

.

Untuk membuktikan bagian d) perhatikan bahwa,

6

1∪ 2

= 6

_{1∪ 2}

= 6

x{

+ 6

x|

= 6

x{

+ 6

x|

.

Terakhir, bagian e) jelas berlaku, karena

^

1

=

.

∎

Teorema 3.3.5

Jika

6 ∈

1

dengan

6: → [0, ∞]

, maka

b^

6

b

≤

^ |6|

.

Bukti

Misalkan diberikan sebarang fungsi

6 ∈

1

, karena

6 = 6

_i

− 6

_j

dan

|6|

= 6

₊

+

6

₋

, dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh

= } 6

i x

− 6

j x

}

≤ } 6

i x

} + } 6

j x

}

≤ 6

i x

+ 6

j x

= |6|

x

.

Jadi terbukti bahwa

b^

6

b

=

^ |6|

.

∎

Berikut ini akan disajikan Teorema-teorema yang menjadi konsep penting

dari pembahasan ruang

~

, terutama pada pembahasan barisan fungsi di

~

dan

fungsional linear terbatas.

Teorema 3.3.6 (Teorema Konvergensi Terbatas)

Misalkan

•6₅€

adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur yang terdefinisi

pada himpunan terukur E dengan

< ∞

dan misalkan

|6 |

≤ •

untuk

setiap x dan n dan untuk suatu bilangan real M. Jika

6

= lim

_:→‚

6

_:

untuk

setiap

∈

, maka

Teorema kekonvergenan monoton menjamin bahwa barisan fungsi pada

1

yang bernilai tak negatif dan konvergen akan memiliki limit fungsi di

1

jika

barisan fungsi tersebut monoton naik.

Teorema 3.3.7 (Teorema Kekonvergenan Monoton)

Misalkan

6

_:

adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur pada . Jika

0 ≤ 6

1

≤ 6

G

≤ ⋯ ≤ 6

:

dan

lim

5→∞

6

₅

= 6

, untuk setiap

∈

,

maka

6

terukur dan,

lim

5→∞y

6

5 z

=

L5→∞

lim

6

5N

.

Bukti

Misalkan

6

_:

adalah barisan fungsi terukur tak negatif pada , monoton

naik, dan konvergen titik demi titik ke fungsi

6

pada . Teorema 2.9.12 menjamin

keterukuran

dari

lim

_5→∞

6

₅

.

Selanjutnya,

akan

ditunjukkan

bahwa

lim

5→∞^

6

5

=

^ Plim5→∞

6

5Q

.

Karena

6

₅

≤ 6

₅₊₁

untuk setiap

5 ∈ ℕ

, maka berdasarkan Teorema 3.3.4

diperoleh

^

6

₅

≤

^

6

₅₊₁

untuk setiap

5 ∈ ℕ

. Selanjutnya, karena barisan

6

_:

konvergen ke fungsi

6

maka

6

₅

≤ 6

untuk setiap

5 ∈ ℕ

, berdasarkan Teorema

3.3.4 maka

^

6

₅

≤

^

6

untuk setiap

5 ∈ ℕ

. Perhatikan bahwa, barisan

P^

6

₅Q

monoton naik dan terbatas oleh

^

6

, oleh karena itu akan terdapat

∈ [0, ∞

sedemikian sehingga

lim

Sekarang akan diperlihatkan bahwa

= ^ lim

_{x :→‚}

6

_:

= ^ 6

_x

, yaitu

dengan menunjukkan bahwa,

i)

≤ ^ 6

_{x :}

dan

ii)

≥ ^ 6

_{x :}

.

Karena

= sup{^ 6

_:

: 5 ∈ ℕ}

dan

^

6

₅

≤

^

6

,

∀5 ∈ ℕ

akibatnya diperoleh,

≤ 6

x

.

Dengan demikian ketaksamaan (i) terbukti.

Untuk membuktikan ketaksamaan (ii), misalkan

'

adalah sebarang fungsi

sederhana sedemikian sehingga

0 ≤ ' ≤ 6

, dan misalkan

A

adalah sebarang

konstanta dengan

0 < A < 1

dan definisikan

5

=

„

: 0 ≤ A'

≤ 6

5 …, di mana 5 = 1,2,3, …

Karena

6

₅

terukur untuk setiap

5 ∈ ℕ

akibatnya himpunan

₅

terukur untuk setiap

5 ∈ ℕ

dan karena

6

_:

monoton naik maka diperoleh,

₁

⊂

₂

⊂

₃

⊂ ⋯

.

Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa

= ⋃

‚_{:01 :}

. Karena

₅

∈

untuk setiap

5 ∈ ℕ

, maka diperoleh

⋃∞_{5=1 5}

⊂

. Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa

⊂ ⋃

‚:01 :

. Ambil sebarang

∈

, jika

6

= 0

maka

6

5

= 0

untuk setiap

5 ∈ ℕ

dan

'

= 0

, dengan demikian

∈

_:

untuk setiap

5 ∈ ℕ

. Selanjutnya

jika

6

> 0

, maka

6

> '

> A'

dan

6

₅

> A'

untuk setiap

5 ∈ ℕ

yang cukup besar. Hal ini juga menunjukkan bahwa,

∈

_:

untuk suatu

5 ∈ ℕ

dan akibatnya diperoleh

⊂ ⋃

‚_{:01 :}

. Jadi

= ⋃

‚_{:01 :}

.

6

₅

≥ 6

₅ 5

≥ A'

5

untuk

5 = 1,2,3, …

Dengan demikian, diperoleh

lim

5→∞y

6

5 z

≥ lim

5→∞†

6

5

5

‡

≥ lim

_5→∞†A ' 5

‡

atau dengan kata lain

≥ A '

xU

Karena ketaksamaan ini berlaku untuk setiap

A ∈ 0,1

, maka diperoleh

≥ '

x

Untuk setiap fungsi sederhana terukur

'

dengan

0 ≤ ' ≤ 6

, sehingga dengan

mengambil supremum atas seluruh

'

diperoleh,

≥ 6

x

.

Dengan demikian ketaksamaan (i) dan (ii) berlaku, sehingga dapat disimpulkan

bahwa

lim

5→∞y

6

5

Ĺz

= =

L5→∞

lim

6

5N

.

Teorema 3.3.8. (fatou’s lemma)

Bukti.

Definisikan,

p = inf„6 , 6

₊₁

, 6

₊₂

, …

…

dengan = 1,2,3, … .

Perhatikan bahwa

p ≥ 0

,

p ≤ 6

, dan

p

adalah barisan monoton naik.

Berdasarkan Teorema 2.9.12,

p

_,

adalah fungsi terukur untuk

= 1,2,3, …

dan

lim

→∞

p = lim

→∞

inf 6

. Sehingga dengan menggunakan Teorema 3.3.7.

diperoleh

^

lim

_→∞

inf 6

=

^ Llim

→∞

p

N

= lim

_,→‚

p

,

= lim

_,→‚

inf p

,

≤ lim

_,→‚

inf 6

,

karena p

,

≤ 6

,

. ∎

Selanjutnya akan disajikan Teorema mengenai kondisi yang diperlukan

agar sebarang barisan di

1

yang konvergen mempunyai limit di

1

.

Teorema 3.3.9 (Teorema Konvergensi Terdominasi)

Misalkan

6

₅

: → [−∞, ∞]

adalah fungsi terukur untuk setiap

5 ∈ ℕ

dan

asumsikan bahwa fungsi

p ≥ 0

di mana

p ∈

1

. Jika

lim

5→∞

6

5

_5q_ 'aq ∈

dan

maka

lim

5→∞

6

5

∈

1

dan

L_5→∞

lim

6

₅N

= lim

_5→∞

6

₅

.

Bukti

Diberikan sebarang barisan fungsi terukur

6

₅

pada

di mana barisan

6

₅

konvergen titik demi titik pada

dan asumsikan juga bahwa terdapat fungsi

p ≥ 0

di mana

p ∈

1

sedemikian sehingga

b6₅ b

≤ p

untuk setiap

∈

.

Akan diperlihatkan bahwa pernyataan pada teorema di atas berlaku.

Misalkan

6

= lim

_:→‚

6

_:

untuk

setiap

∈

,

akibatnya

berdasarkan Teorema 2.9.12

6

adalah sebuah fungsi terukur. Karena

b6₅b

≤ p

untuk setiap

5 ∈ ℕ

dan

p ∈

1

maka berdasarkan Teorema 3.3.3

6

₅

∈

1

untuk

setiap

5 ∈ ℕ

, demikian juga karena

6 = lim

_:→‚

6

_:

haruslah

|6|

≤ p

, akibatnya

6 ∈

1

.

Selanjutnya, perhatikan bahwa karena

b6₅b

≤ p

dan

|6|

≤ p

akibatnya

fungsi

p + 6

_:

, p + 6, p − 6

_:

, dan p − 6

adalah fungsi terukur yang bernilai non

negative.

Dengan mengaplikasikan Lemma Fatou pada fungsi

p + 6

_:

dan

p + 6

diperoleh,

L_5→∞

lim

infPp + 6

₅QN

= p + 6

≤ lim

_5→∞

inf

Pp + 6₅Q

.

p

+ 6

≤ p

+ lim

_5→∞

inf 6

₅

.

Karena

p ∈

1

maka

^

p

bernilai hingga, dengan demikian kedua ruas pada

ketaksamaan di atas dapat dikurangi oleh

^

p

, diperoleh

6

≤ lim

_5→∞

inf 6

₅

.

Dengan cara yang serupa, aplikasikan juga Lemma Fatou pada fungsi terukur tak

negatif

p −

噮

_:

dan p − 6

, diperoleh

−6

≤ lim

_5→∞

inf −6

₅

= lim

_5→∞

inf

y− 6₅ z

dengan kata lain,

− 6

Ž

≤ − lim

_:→‚

sup 6

: Ž

.

Akhirnya diperoleh,

lim

5→∞

sup 6

5

≤ 6

≤ lim

5→∞

inf 6

5

.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa

lim

_5→∞

inf

^

6

₅

ada dan sama

dengan

^ Plim_5→∞

6

₅Q

.

Definisi 3.3.10

Misalkan fungsi f terintegralkan lebesgue pada

[ , <]

dan pada setiap interval

[

,

]

⊂ [ ,<]

. Didefinisikan fungsi F dengan

O

= 6 q q + A

•

•

Untuk suatu konstanta c. Selanjutnya F dikatakan integral tak tentu dari f.

Teorema 3.3.11

Jika fungsi F kontinu mutlak pada interval

[ , <]

, maka berlaku

O

= 6 q q + A

•

•

dengan

6 = O′

dan konstanta c. Dengan kata lain

O′

terintegralkan pada interval

[ , <]

dan

O′ q q = O

− O .

sebuah fungsi terintegralkan Riemann maka fungsi tersebut juga terintegralkan

Lebesgue.

Teorema 3.3.12

Jika

6 ∈ ℜ[ , <]

maka

6 ∈

1

[ , <]

dan

6

[ ,<]

= ℜ 6

<

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari permasalahan yang telah dibahas

adalah sebagai berikut:

1.

Pengkonstruksian integral Lebesgue dari suatu fungsi terukur dimulai

dengan cara pemartisian range dari fungsi terukur yang bernilai tak negatif

ke dalam berhingga buah subinterval, kemudian ditetapkan sebuah nilai

dari setiap subinterval tersebut untuk mewakili nilai-nilai dari barisan

fungsi sederhana yang mendekati fungsi terukur tersebut. Selanjutnya

integral Lebesgue dari fungsi terukur tak negatif dapat didekati oleh

integral Lebesgue dari fungsi sederhana tersebut. Kemudian, Integral

Lebesgue dari sebarang fungsi terukur didefinisikan dengan menggunakan

bagian positif dan bagian negatif dari fungsi tersebut. Sifat-sifat dasar

yang berlaku pada integral Lebesgue diantaranya adalah kelinearan dan

kemonotonan.

2.

Kelas-kelas dari

terdiri dari

= :

| |

< ∞ ,

0 < < ∞

dan

Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Holder dan ketaksamaan

Minkowski diperoleh bahwa untuk

1 ≤ ≤ ∞

, Ruang

merupakan

ruang Norm dengan norm yang didefinisikan oleh

‖ ‖

=

| | 1

,

1 ≤ < ∞ dan ∈

dan

‖ ‖_∞

=

sup|

|

,

untuk ∈

∞

.

Akan tetapi untuk

0 < < 1

, ketaksamaan Holder dan Minkowski tidak

terpenuhi, sehingga

‖ ‖

tidak mendefinisikan norm pada

.Kemudian

diperoleh pula bahwa untuk

1 ≤ ≤ ∞

di atas,

merupakan ruang

Lengkap setelah menunjukkan kekonvergenan setiap barisan Cauchy di

.

3.

Ruang

adalah ruang Banach jika

1 ≤ ≤ ∞

, Selanjutnya, ruang

adalah ruang Hilbert jika

= 2

.

4.

Sebuah barisan

_*

dari fungsi-fungsi di

dengan

1 ≤ ≤ ∞

, dikatakan

konvergen ke

∈

+

dalam norm pada

jika untuk setiap

, > 0

, terdapat

sebuah bilangan bulat positif

.

_,

sedemikian sehingga

/ ₀

−

/

< ,

.

Selanjutnya, sifat-sifat lain yang berlaku pada

diantaranya adalah

a)

Jika

∈

+

maka

‖ ‖_∞

= lim

_→∞‖ ‖

.

b)

Untuk

0 < 6 < ≤ ∞

, maka

⊂

dan terdapat konstanta

8 > 0

sedemikian sehingga berlaku

‖ ‖₆

≤ 8‖ ‖

, ∀ ∈ .

5.

Jika

>

_?

=

@ A

?

A

adalah

sebuah

fungsional

linear

dengan

1 ≤ , 6 ≤ ∞

dan

? ∈

;

, maka

>

_?

adalah fungsional Linear terbatas

pada

dan berlaku

/>_?/

=

‖?‖₆

.

Selanjutnya, Jika F adalah sebuah

fungsional linear terbatas pada

dengan

1 ≤ < ∞

, maka terdapat

sebuah fungsi

? ∈

;

sedemikian sehingga

>

= @ A ? A

_B

dan

‖>‖

=

‖?‖6

.

5.2. Saran

DAFTAR PUSTAKA

Ash, R.B. (1972). Measure, Integration, and Functional Analysis. New York :

Academic Press

Alan, J.W. (1973). Lebesgue Integration and Measure. Cambridge: At The

University Press.

Anton, H. (1994). Elementary Linear Algebra. Canada: John Willey and Sons.

Bartle .R.G. dan Sherbert, D.R. (2000). Introduction to Real Analysis (Third Ed.).

New York: John Wiley & Sons.

Bauer, H. (2001). Measure and Integration Theory. New York : Walter de

Gruyter

Jain, P.K. dan Gupta, V.P. (1986). Lebesgue Measure and Integration. New Delhi:

Wiley Eastern Limited.

Jones, F. (1993) Lebesgue Integration on Euclidean Space. Boston: Jones and

Barlett Publishers.

Naraina.______. Integration Theory and Functional Analysis. [online]. Tersedia :

www.mdudde.net/books/MA/MA.../Integ_Th_&Functional_Anal-final.pdf [16 Juni 2011]

Purnamasari, G. (2009). Integral Lebesgue dan Sifat-sifatnya. Tugas Akhir Pada

UPI Bandung.