Teknik Pencocokan Sidik Jari Dengan Menggunakan Metode Alignment-Based Match.

(1)

ABSTRAK

Dalam suatu sistem biasanya diperlukan suatu otentikasi berupa

Personal

Identification Number (PIN)

atau password. Sehingga ada kemungkinan password

dan

ini hilang atau diketahui orang lain. Oleh karena itu diperlukan suatu

teknik otentikasi lain.

Oleh karena itu dikembangkan solusi untuk mengidentifikasi seseorang.

Identifikasi tersebut meliputi identifikasi secara fisik seperti struktur permukaan

tubuh dan suara.

Biometric

adalah salah satu ilmu pengetahuan yang mengukur

dan mengolah perbedaan dari bentuk tubuh manusia. Contohnya identifikasi dari

perbedaan sidik jari, bola mata atau iris, dan suara. Salah satu metode pengenalan

yang cukup akurat adalah identifikasi sidik jari.

Dalam Tugas Akhir ini akan direalisasikan identifikasi dan pencocokan

pola citra sidik jari dengan metode Alignment-based Match. Metode ini

mencocokkan pola antar tiap citra sidik jari melalui perbedaan percabangan dan

titik akhir dari

minutia

citra sidik jari tersebut sehingga dapat menghasilkan

beberapa titik atau tanda yang akan menjadi perbandingan dalam pencocokan

sidik jari tersebut.

Berdasarkan hasil pengujian terhadap seratus dua puluh citra sidik jari

didapat beragam persentase kecocokan. Dari tiga citra sidik jari yang

dibandingkan ke seratus dua puluh citra sidik jari lainnya, perangkat lunak

menghasilkan nilai kecocokan rata-rata sebesar dua puluh persen. Perangkat lunak

hanya dapat mencocokkan dengan nilai kecocokan rata-rata sebesar tiga puluh

persen terhadap sidik jari yang sama dengan rotasi sampai 10 °. Perangkat lunak

tidak dapat menghasilkan nilai persen kecocokan yang maksimal karena input

sidik jari masih offline, kualitas input citra sidik jari tidak sempurna, serta

(2)

ABSTRACT

Usually, a system needs an authentication like Personal Identification

Number (PIN) or password. So will be possible this PIN and password lost or

known by others. To overcome this problem, it is needed another authentication

technique.

Therefore, it is important to develop a solution to identify someone. This

identification include physically identification, like the structure surface of one’s

body and his/her voice. Biometric is one of the science which measure and

processes differences of human being body form. For example identifying the

differences of fingerprint, iris or eyeball, and voice. One of the recognition

method which accurate enough is fingerprint identification.

In this Final Project that will be realized is to identify and recognize the

fingerprint image pattern by using Alignment-Based Match method. This method

checks the pattern between every fingerprint image through differences of branch

and determination of fingerprint image minutia so that can yield some signs or

dots which becomes the comparison in recognition of fingerprint.

(3)

DAFTAR ISI

ABSTRAK ... i

ABSTRACT ... ii

KATA PENGANTAR ... iii

DAFTAR ISI ...v

DAFTAR GAMBAR ...viii

DAFTAR TABEL ...x

Bab I Pendahuluan

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Identifikasi Masalah ... 1

1.3. Tujuan ………... 2

1.4. Batasan Masalah ………..……….. 2

1.5. Sistematika Penulisan ……… 2

Bab II Landasan Teori

2.1. Pendahuluan ………4

2.2. Sidik Jari ……….5

2.3. Operasi Morfologi ……….. 8

2.3.1. Pencarian Batas atau Kontur ………11

2.3.2.

Dilasi

………12

2.3.3.

Erosi

……….13

2.3.4. Penutupan (closing) ……….13

2.3.5. Pembukaan (opening) ………..14

2.3.6. Pengisian (filling) ………15

2.3.7.

Pelabelan

Obyek

………..16

2.3.8.

Pengerangkaan

(Skeletonization)

………17

2.4. Transformasi Fourier ………..20

2.4.1. Fungsi kontinu 1 variabel f(x) ……….20

(4)

2.4.3. Fungsi diskrit 1 variabel f(x) …... 21

2.4.4. Fungsi diskrit 2 variabel f(x,y) ……… 22

2.5. Metode Alignment-based Match …... 22

Bab III Cara Kerja dan Perancangan Perangkat Lunak

3.1. Proses Pencocokan Sidik Jari ………. 23

3.2. Tahap Preprocessing ……….. 25

3.2.1 Enhancement Citra Sidik jari ………25

3.2.1.1 Histogram Equalization ……….25

3.2.1.2 Enhancement Sidik Jari dengan

Transformasi Fourier ………...……. 26

3.2.2 Binerisasi Citra Sidik jari ………….……… 27

3.2.3 Segmentasi Citra Sidik Jari ……….. 27

3.2.3.1. Block Direction Estimation ………..………28

3.2.3.2. Ekstraksi ROI dengan Operasi Morfologi …29

3.3. Ekstraksi Minutia ………30

3.3.1. Penipisan Ridge Sidik Jari …….………...……..…… 30

3.3.2. Penandaan Minutia ………..31

3.4. Tahap Postprocessing ……….32

3.4.1.

Penghilangan

Minutia

Palsu

………32

3.4.2. Menyatukan Titik Akhir dan Percabangan …………. 34

3.5. Minutia Match ……… 36

3.5.1. Alignment Stage ………..36

3.5.2. Match Stage ……….38

Bab IV Analisa dan Hasil Simulasi

4.1. Hasil Simulasi Pengidentifikasian Sidik Jari ………. 41

4.2. Hasil Simulasi Pencocokan Sidik Jari ………47

Bab V Kesimpulan dan Saran

5.1. Kesimpulan ……… 56

(5)

DAFTAR PUSTAKA

(6)

DAFTAR GAMBAR

Gambar II.1. Beberapa contoh papillary ridge ... 6

Gambar II.2. Moore Neighborhood ... 9

Gambar II.3. Contoh titik terisolasi, titik akhir, dan titik batas ... 11

Gambar II.4. Hasil pencarian batas citra...12

Gambar II.5. Hasil operasi dilasi... 13

Gambar II.6. Hasil operasi erosi ... 13

Gambar II.7. Hasil operasi penutupan (closing) ... 14

Gambar II.8. Hasil operasi pembukaan (opening) ... 15

Gambar II.9. Hasil operasi pengisian terhubung-4 ... 15

Gambar II.10. Hasil operasi pelabelan terhubung-4 ……….17

Gambar II.11. Contoh titik yang tidak memenuhi kriteria 1 algoritma

Hilditch ………..18

Gambar II.12. Contoh titik yang tidak memenuhi kriteria 2 algoritma

Hilditch ………..18

Gambar II.13. Contoh titik pada kriteria 3 algoritma Hilditch ………. 19

Gambar II.14. Contoh titik pada kriteria 4 algoritma Hilditch ………. 19

Gambar II.15 Hasil operasi pengerangkaan ……… 20

Gambar II.16 Contoh pola yang akan hilang dikikis oleh algoritma

Hilditch ………. 20

Gambar II.17 Fungsi diskrit 1 variabel ………21

Gambar III.1 Sistem pencocokan sidik jari secara sederhana ……….23

Gambar III.2. Ekstraksi minutia ……….. 24

Gambar III.3. Minutia matcher ……… 25

Gambar III.4. Grafik proses histogram equalization .……….. 26

Gambar III.5. Proses Ekstraksi ROI dengan operasi Morfologi ………….. 30

Gambar III.6. Penentuan tanda minutia ………31

Gambar III.7. Struktur minutia yang salah ……….. 33

Gambar III.8 Sebuah percabangan menjadi tiga titik akhir ………….….. 35

(7)

Gambar III.10. Ilustrasi efek operasi translasi dan rotasi ...38

Gambar III.11. Ilustrasi arah penentuan ridge pada minutia ………..39

Gambar III.12. Pasangan minutia yang cocok ... 40

Gambar IV.1. Citra sidik jari awal Agil_1.bmp ……….………. 42

Gambar IV.2. Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan histogram

equalization ………42

Gambar IV.3. Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan enhancement

oleh FFT ………... 43

Gambar IV.4. Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan binerisasi ….. 43

Gambar IV.5. Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan perkiraan

aliran orientasi ……….. 44

Gambar IV.6. Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan Region of

Interest ……….. 44

Gambar IV.7. Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan penipisan

minutia ……….. 45

Gambar IV.8. Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan penghilangan

patahan H ……….. 45

Gambar IV.9. Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan penghilangan

Spike ……….46

Gambar IV.10.Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan ekstraksi

minutia ………..……… 46

Gambar IV.11.Citra sidik jari Agil_1.bmp setelah dilakukan ekstraksi

minutia pada sidik jari asli ……… 47

Gambar IV.12.Hasil persen kecocokan antara citra Agil_1.bmp dengan

Agil_1.bmp ………48

(8)

DAFTAR TABEL

Tabel I.I.

Tabel beberapa ukuran karakteristik anatomi sidik jari ... 7

Tabel IV.1

Tabel persen kecocokan antar dua sidik jari yang

berbeda... 49

Tabel IV.2.

Tabel persen kecocokan antar dua sidik jari yang sama

(9)

% start_gui_single_mode.m

% Skrip file untuk menghasilkan GUI

clear

FigWin = figure('Position',[50 -50 650 500],...

'Name','Sistem Pengenalan dan Pencocokan Sidik Jari - 9922176',...

'NumberTitle','off',...

'Color',[ 0.827450980392157 0.815686274509804 0.776470588235294 ]);

AxesHandle1 = axes('Position',[0.2 0.15 0.35 0.7],... 'Box','on');

AxesHandle2 = axes('Position',[0.6 0.15 0.35 0.7],... 'Box','on');

BackColor = get(gcf,'Color');

%[ 0.827450980392157 0.815686274509804 0.776470588235294 ]

%[ 0.741176470588235 0.725490196078431 0.658823529411765 ]

FrameBox = uicontrol(FigWin,... 'Units','normalized', ... 'Style','frame',...

'BackgroundColor',[ 0.741176470588235 0.725490196078431 0.658823529411765 ],...

'ForegroundColor',[ 0.741176470588235 0.725490196078431 0.658823529411765 ],...

'Position',[0 0 0.15 1]);

%buat text diam

Text2 = uicontrol(FigWin,... 'Style','text',...

'Units','normalized', ... 'Position',[0 0.95 1 0.05],... 'FontSize',15,...

'HorizontalAlignment','right', ...

'String','Pengenalan Sidik Jari - 9922176');

Text2 = uicontrol(FigWin,... 'Style','text',...

'Units','normalized', ... 'Position',[0 0 1 0.05],... 'FontSize',15,...

'HorizontalAlignment','right', ...

'String','Pencocokan Sidik Jari - 9922176');

w=16;

textLoad='Input Sidik Jari'; h=uicontrol(FigWin,...

(10)

'String','Pilih Sidik Jari',... 'Callback',... ['image1=loadimage;'... 'subplot(AxesHandle1);'... 'imagesc(image1);'... 'title(textLoad);'... 'colormap(gray);']);

text_filterArea='Perkiraan Aliran Orientasi'; h=uicontrol(FigWin,... 'Style','pushbutton',... 'Position',[0,240,80,20],... 'String','Arah Orientasi',... 'Callback',... ['subplot(AxesHandle2);[o1Bound,o1Area]=direction(image1,16);title (text_filterArea);']);

text_ROI='Region Of Interest(ROI)'; h=uicontrol(FigWin,... 'Style','pushbutton',... 'Position',[0,220,80,20],... 'String','Area ROI',... 'Callback',... ['subplot(AxesHandle2);[o2,o1Bound,o1Area]=drawROI(image1,o1Bound, o1Area);title(text_ROI);']);

text_eq='Enhancement oleh Histogram Equalization'; h=uicontrol(FigWin,... 'Style','pushbutton',... 'Position',[0,300,80,20],... 'String','His-Equalization',... 'Callback',... ['subplot(AxesHandle2);image1=histeq(uint8(image1));imagesc(image1 );title(text_eq);']);

text21='Adaptive Binarization setelah FFT'; h=uicontrol(FigWin,...

'Style','pushbutton',... 'Position',[0,260,80,20],... 'String','Ubah ke Biner',... 'Callback',...

[%'W=inputdlg(text);W=str2num(char(W));'... 'subplot(AxesHandle1);'...

'image1=adaptiveThres(double(image1),32);title(text21);']);

(11)

'subplot(AxesHandle1);image1=fftenhance(image1,W);imagesc(image1); title(text_fft);']); text31='Penipisan Minutia'; h=uicontrol(FigWin,... 'Style','pushbutton',... 'Position',[0,200,80,20],... 'String','Penipisan',... 'Callback',... ['subplot(AxesHandle2);o1=im2double(bwmorph(o2,''thin'',Inf));imag esc(o1,[0,1]);title(text31);']);

text41='Menghilangkan Patahan H'; h=uicontrol(FigWin,...

'Style','pushbutton',... 'Position',[0,180,80,20],...

'String','Hilangkan Patahan H',... 'Callback',... ['subplot(AxesHandle2);o1=im2double(bwmorph(o1,''clean''));o1=im2d ouble(bwmorph(o1,''hbreak''));imagesc(o1,[0,1]);title(text41);']); textn1='Menghilangkan Spike'; h=uicontrol(FigWin,... 'Style','pushbutton',... 'Position',[0,160,80,20],... 'String','Hilangkan Spike',... 'Callback',... ['subplot(AxesHandle2);o1=im2double(bwmorph(o1,''spur''));imagesc( o1,[0,1]);title(textn1);']);

%% melokasikan minutia dan menampilkan semua minutia tersebut text51='Minutia'; h=uicontrol(FigWin,... 'Style','pushbutton',... 'Position',[0,140,80,20],... 'String','Ekstraksi',... 'Callback',... ['[end_list1,branch_list1,ridgeMap1,edgeWidth]=mark_minutia(o1,o1B ound,o1Area,w);'... 'subplot(AxesHandle2);show_minutia(o1,end_list1,branch_list1);titl e(text51);']);

(12)

['[pathMap1,real_end1,real_branch1]=remove_spurious_Minutia(o1,end _list1,branch_list1,o1Area,ridgeMap1,edgeWidth);'...

'subplot(AxesHandle1);show_minutia(o1,real_end1,real_branch1);titl e(text61);']);

%simpan template file, termasuk informasi posisi minutia,arah,dan ridge

textSaveName='Nama File'; h=uicontrol(FigWin,... 'Style','pushbutton',... 'Position',[0,100,80,20],... 'String','Simpan',...

'Callback',...

['W=inputdlg(textSaveName);W=char(W);'...

'save(W,''real_end1'',''pathMap1'',''-ASCII'');']);

%Meminta pengeluaran template file dan lakukan pencocokan h=uicontrol('Style','pushbutton',...

'String','Pencocokan',... 'Position',[0,80,80,20],... 'Callback',...

['finger1=fingerTemplateRead;'... 'finger2=fingerTemplateRead;'...

(13)

% load_image.m

function image1=loadimage

% skrip untuk membuka file citra sidik jari

[imagefile1 , pathname]=

uigetfile('*.bmp;*.BMP;*.tif;*.TIF;*.jpg','Open An Fingerprint image');

if imagefile1 ~= 0 cd(pathname);

image1=readimage(char(imagefile1)); image1=255-double(image1);

(14)

% read_image.m

function b = readimage(w);

% baca citra w

% gunakan citra yang lengkap untuk proses selanjutnya

(15)

% fftenhance.m

function [final]=fftenhance(image,f)

I = 255-double(image);

[w,h] = size(I); %out = I;

w1=floor(w/32)*32; h1=floor(h/32)*32;

inner = zeros(w1,h1);

for i=1:32:w1 for j=1:32:h1 a=i+31; b=j+31;

F=fft2( I(i:a,j:b) ); factor=abs(F).^f;

block = abs(ifft2(F.*factor)); larv=max(block(:)); if larv==0 larv=1; end; block= block./larv; inner(i:a,j:b) = block; end; end; %out(1:w1,1:h1)=inner*255; final=inner*255;

(16)

% adaptiveThres.m

function [o] = adaptiveThres(a,W,noShow);

%Adaptive thresholding dilakukan untuk segmentasi citra sidik jari

[w,h] = size(a); o = zeros(w,h);

%bagi citra sidik jari menjadi blok-blok dengan ukuran W %melangkah ke w dengan panjang W

for i=1:W:w for j=1:W:h mean_thres = 0;

%warna putih adalah ridge -> besar

if i+W-1 <= w & j+W-1 <= h

mean_thres = mean2(a(i:i+W-1,j:j+W-1)); %nilai threshold dipilih

mean_thres = 0.8*mean_thres; %sebelum binerisasi

%ridge berwarna hitam, nilai intensitas kecil -> 1 (ridge putih)

%latar dan valley berwarna putih , nilai intensitas besar -> 0 (hitam)

o(i:i+W-1,j:j+W-1) = a(i:i+W-1,j:j+W-1) < mean_thres; end;

end; end;

(17)

%direction.m

function [p,z] = direction(image,blocksize,noShow) % Menghitung arah orientasi lokal pada tiap blok % dengan ukuran (blocksize x blocksize)

%

direction(grayScaleFingerprintImage,blocksize,graphicalShowDisable Flag)

% hasil p batas ROI % hasil z area ROI

%image=adaptiveThres(image,16,0);

[w,h] = size(image); direct = zeros(w,h);

gradient_times_value = zeros(w,h); gradient_sq_minus_value = zeros(w,h); gradient_for_bg_under = zeros(w,h);

W = blocksize; theta = 0; sum_value = 1; bg_certainty = 0;

blockIndex = zeros(ceil(w/W),ceil(h/W)); %directionIndex = zeros(ceil(w/W),ceil(h/W));

times_value = 0; minus_value = 0;

center = [];

%Catat bahwa sistem koordinat citra adalah

%koordinat-x ke arah bawah dan koordinat-y ke arah kanan

filter_gradient = fspecial('sobel'); %untuk mendapatkan gradient x

I_horizontal = filter2(filter_gradient,image);

%untuk mendapatkan gradient y

filter_gradient = transpose(filter_gradient); I_vertical = filter2(filter_gradient,image);

gradient_times_value=I_horizontal.*I_vertical;

gradient_sq_minus_value=(I_vertical-I_horizontal).*(I_vertical+I_horizontal);

gradient_for_bg_under = (I_horizontal.*I_horizontal) + (I_vertical.*I_vertical);

for i=1:W:w for j=1:W:h

if j+W-1 < h & i+W-1 < w

(18)

minus_value = sum(sum(gradient_sq_minus_value(i:i+W-1, j:j+W-1)));

sum_value = sum(sum(gradient_for_bg_under(i:i+W-1, j:j+W-1)));

bg_certainty = 0; theta = 0;

if sum_value ~= 0 & times_value ~=0

%if sum_value ~= 0 & minus_value ~= 0 & times_value ~= 0

bg_certainty = (times_value*times_value + minus_value*minus_value)/(W*W*sum_value);

if bg_certainty > 0.05

blockIndex(ceil(i/W),ceil(j/W)) = 1;

%tan_value = atan2(minus_value,2*times_value); tan_value = atan2(2*times_value,minus_value);

theta = (tan_value)/2 ; theta = theta+pi/2;

%now the theta is within [0,pi]

%directionIndex(ceil(i/W),ceil(j/W)) = theta; %center = [center;[round(i + 1)/2),round(j + (W-1)/2),theta,bg_certainty]];

center = [center;[round(i + 1)/2),round(j + (W-1)/2),theta]];

end; end;

end;

times_value = 0; minus_value = 0; sum_value = 0;

end; end;

if nargin == 2

imagesc(direct);

hold on;

[u,v] = pol2cart(center(:,3),8);

quiver(center(:,2),center(:,1),u,v,0,'g'); hold off;

end;

x = bwlabel(blockIndex,4); %map = [0 0 0;jet(3)]; %figure

%imshow(x+1,map,'notruesize')

(19)

%imshow(y,map,'notruesize');

%z adalah daerah dari region of interest (ROI) %dengan the index format

z = bwmorph(y,'open'); %figure

%imshow(z,map,'notruesize');

%p adalah batas dari ROI

p = bwperim(z); %figure,

%imshow(p,map,'notruesize');

(20)

% drawROI.m

function [roiImg,roiBound,roiArea] = drawROI(in,inBound,inArea,noShow) %

drawROI(grayLevelFingerprintImage,ROIboundMap,ROIareaMap,flagToDis ableGUI)

% membangun segi empat ROI untuk masukan citra sidik jari dan menghasilkan

% segmentasi cita sidik jari

% Dengan asumsi hanya satu daerah ROI untuk tiap citra sidik jari

[iw,ih]=size(in);

tmplate = zeros(iw,ih); [w,h] = size(inArea); tmp=zeros(iw,ih);

%ceil(iw/16) should = w %ceil(ih/16) should = h

left = 1; right = h; upper = 1; bottom = w;

le2ri = sum(inBound); roiColumn = find(le2ri>0); left = min(roiColumn); right = max(roiColumn);

tr_bound = inBound';

up2dw=sum(tr_bound); roiRow = find(up2dw>0); upper = min(roiRow); bottom = max(roiRow);

%potong area citra ROI

%show background,bound,innerArea with different gray intensity:0,100,200

for i = upper:1:bottom for j = left:1:right if inBound(i,j) == 1

tmplate(16*i-15:16*i,16*j-15:16*j) = 200; tmp(16*i-15:16*i,16*j-15:16*j) = 1;

elseif inArea(i,j) == 1 & inBound(i,j) ~=1 tmplate(16*i-15:16*i,16*j-15:16*j) = 100; tmp(16*i-15:16*i,16*j-15:16*j) = 1;

(21)

in=in.*tmp;

roiImg = in(16*upper-15:16*bottom,16*left-15:16*right);

roiBound = inBound(upper:bottom,left:right); roiArea = inArea(upper:bottom,left:right);

%area dalam

roiArea = im2double(roiArea) - im2double(roiBound);

if nargin == 3 colormap(gray); imagesc(tmplate); end;

(22)

% mark_minutia.m

function [end_list,branch_list,ridgeOrderMap,edgeWidth] = mark_minutia(in, inBound,inArea,block);

[w,h] = size(in);

[ridgeOrderMap,totalRidgeNum] = bwlabel(in);

imageBound = inBound; imageArea = inArea; blkSize = block;

%innerArea = im2double(inArea)-im2double(inBound);

edgeWidth = interRidgeWidth(in,inArea,blkSize);

end_list = []; branch_list = [];

for n=1:totalRidgeNum

[m,n] = find(ridgeOrderMap==n); b = [m,n];

ridgeW = size(b,1);

for x = 1:ridgeW i = b(x,1); j = b(x,2);

%if imageArea(ceil(i/blkSize),ceil(j/blkSize)) == 1 & imageBound(ceil(i/blkSize),ceil(j/blkSize)) ~= 1

if inArea(ceil(i/blkSize),ceil(j/blkSize)) == 1 neiborNum = 0;

neiborNum = sum(sum(in(i-1:i+1,j-1:j+1))); neiborNum = neiborNum -1;

if neiborNum == 1

end_list =[end_list; [i,j]];

elseif neiborNum == 3

%jika dua tetangga diantara tiga berhubung secara langsung %mungkin ada tiga percabangan yang dihitung didekat 2 sel tersebut tmp=in(i-1:i+1,j-1:j+1); tmp(2,2)=0; [abr,bbr]=find(tmp==1); t=[abr,bbr]; if isempty(branch_list)

branch_list = [branch_list;[i,j]]; else

(23)

cbr=find(branch_list(:,1)==(abr(p)-2+i) & branch_list(:,2)==(bbr(p)-2+j) );

if ~isempty(cbr) p=4;

break; end; end;

if p==3

branch_list = [branch_list;[i,j]]; end;

end;

(24)

% interRidgeWidth.m

function edgeDistance = interRidgeWidth(image,inROI,blocksize)

(25)

% remobe_spurious_minutia.m

function [pathMap, final_end,final_branch]

=remove_spurious_Minutia(in,end_list,branch_list,inArea,ridgeOrder Map,edgeWidth)

[w,h] = size(in);

final_end = []; final_branch =[]; direct = []; pathMap = [];

end_list(:,3) = 0; branch_list(:,3) = 1;

minutiaeList = [end_list;branch_list]; finalList = minutiaeList;

[numberOfMinutia,dummy] = size(minutiaeList); suspectMinList = [];

for i= 1:numberOfMinutia-1 for j = i+1:numberOfMinutia

d =( (minutiaeList(i,1) - minutiaeList(j,1))^2 + (minutiaeList(i,2)-minutiaeList(j,2))^2)^0.5;

if d < edgeWidth

suspectMinList =[suspectMinList;[i,j]]; end;

end; end;

[totalSuspectMin,dummy] = size(suspectMinList); %totalSuspectMin

for k = 1:totalSuspectMin

typesum = minutiaeList(suspectMinList(k,1),3) + minutiaeList(suspectMinList(k,2),3);

if typesum == 1

% cabang - akir pasangan if

ridgeOrderMap(minutiaeList(suspectMinList(k,1),1),minutiaeList(sus pectMinList(k,1),2) ) ==

ridgeOrderMap(minutiaeList(suspectMinList(k,2),1),minutiaeList(sus pectMinList(k,2),2) )

finalList(suspectMinList(k,1),1:2) = [-1,-1]; finalList(suspectMinList(k,2),1:2) = [-1,-1]; end;

elseif typesum == 2

% cabang - cabang pasangan if

(26)

ridgeOrderMap(minutiaeList(suspectMinList(k,2),1),minutiaeList(sus pectMinList(k,2),2) )

elseif typesum == 0

% akhir - akhir pasangan

a = minutiaeList(suspectMinList(k,1),1:3); b = minutiaeList(suspectMinList(k,2),1:3);

if ridgeOrderMap(a(1),a(2)) ~= ridgeOrderMap(b(1),b(2))

[thetaA,pathA,dd,mm] = getLocalTheta(in,a,edgeWidth); [thetaB,pathB,dd,mm] = getLocalTheta(in,b,edgeWidth);

%garis yang tersambung antara dua titik

thetaC = atan2( (pathA(1,1)-pathB(1,1)), (pathA(1,2) - pathB(1,2)) );

angleAB = abs(thetaA-thetaB); angleAC = abs(thetaA-thetaC);

if ( (or(angleAB < pi/3, abs(angleAB -pi)<pi/3 )) & (or(angleAC < pi/3, abs(angleAC - pi) < pi/3)) )

%hilangkan ridge yang pendek kemudian elseif ridgeOrderMap(a(1),a(2)) == ridgeOrderMap(b(1),b(2))

finalList(suspectMinList(k,1),1:2) = [-1,-1]; finalList(suspectMinList(k,2),1:2) = [-1,-1];

end; end; end;

for k =1:numberOfMinutia

if finalList(k,1:2) ~= [-1,-1] if finalList(k,3) == 0 [thetak,pathk,dd,mm] =

getLocalTheta(in,finalList(k,:),edgeWidth); if size(pathk,1) >= edgeWidth

final_end=[final_end;[finalList(k,1:2),thetak]]; [id,dummy] = size(final_end);

pathk(:,3) = id;

pathMap = [pathMap;pathk]; end;

else

(27)

[thetak,path1,path2,path3] = getLocalTheta(in,finalList(k,:),edgeWidth);

if size(path1,1)>=edgeWidth & size(path2,1)>=edgeWidth & size(path3,1)>=edgeWidth

final_end=[final_end;[path1(1,1:2),thetak(1)]]; [id,dummy] = size(final_end);

path1(:,3) = id;

pathMap = [pathMap;path1];

final_end=[final_end;[path2(1,1:2),thetak(2)]]; path2(:,3) = id+1;

final_end=[final_end;[path3(1,1:2),thetak(3)]]; path3(:,3) = id+2;

end; end; end; end;

%final_end %pathMap

%edgeWidth

(28)

% getLocalTheta.m

function [theta,paths1,paths2,paths3] = getLocalTheta(in,start_point,edgeWidth) paths1 =[]; paths2 =[]; paths3 =[];

a = start_point; pathA = [];

pathA = a(1,1:2);

theta = [];

if a(3) == 0

for p=1:edgeWidth

[cur,dummy] = size(pathA); i = pathA(cur,1);

j = pathA(cur,2);

window=in(i-1:i+1,j-1:j+1);

window(2,2) = 0;

if cur > 1

window( 2 - pathA(cur,1) + pathA(cur-1,1) , 2- pathA(cur,2) + pathA(cur-1,2) ) = 0;

end; [q,r]=find(window); b=[q,r]; [neighbors,dummy]=size(b); if neighbors == 1

pathA(cur+1,1) = b(1,1)-2 + pathA(cur,1); pathA(cur+1,2) = b(1,2)-2 + pathA(cur,2); else

break; end; end;

[path_length, dddd] = size(pathA); paths1 = pathA;

mean_x = 0; mean_y = 0;

mean_value = sum(pathA);

(29)

theta = atan2( (mean_x - pathA(1,1)),(mean_y - pathA(1,2)) );

elseif a(3) == 1

pathA = [];

total_mx = 0; total_my = 0; i = a(1); j = a(2);

pathA(1,:) = [i,j];

window=in(i-1:i+1,j-1:j+1); window(2,2) = 0;

[q,r]=find(window); b=[q,r];

[neighbors,dummy]=size(b);

if neighbors == 3 for s = 1:3

pathA(2,1) = b(s,1)-2 + pathA(1,1); pathA(2,2) = b(s,2)-2 + pathA(1,2);

for p = 1:edgeWidth

[cur,dummy] = size(pathA); i = pathA(cur,1);

j = pathA(cur,2);

window=in(i-1:i+1,j-1:j+1); window(2,2) = 0;

if cur > 1

window( 2 - pathA(cur,1) + pathA(cur-1,1) , 2- pathA(cur,2) + pathA(cur-1,2) ) = 0;

end; [q,r]=find(window); c=[q,r]; [neighbors,dummy]=size(c); if neighbors == 1

pathA(cur+1,1) = c(1,1)-2 + pathA(cur,1); pathA(cur+1,2) = c(1,2)-2 + pathA(cur,2); else

break; end; end;

[path_length, dddd] = size(pathA);

(30)

mean_value = sum(pathA);

mean_x = mean_value(1) / path_length; mean_y = mean_value(2) / path_length;

theta = [theta;atan2( (mean_x - pathA(1,1)),(mean_y - pathA(1,2)) )];

if s == 1

paths1 = pathA(2:path_length,:); elseif s == 2

paths2 = pathA(2:path_length,:); elseif s == 3

paths3 = pathA(2:path_length,:); end;

pathA(2:path_length,:) = [];

%total_mx = total_mx + mean_x - pathA(1,1); %total_my = total_my + mean_y - pathA(1,2);

end; end;

%com_theta = atan2(total_mx,total_my);

%tmp =abs(theta_b - com_theta); %theta = min(tmp);

%pathA = path_b(find(tmp==theta));

(31)

% show_minutia.m

function show_minutia(image,end_list,branch_list);

%tampilkan citra dari semua titik yang ada di list

%[x,y] = size(end_list); %imag = zeros(200,200); %imag = image;

%x

%for i=1:x

% xx = end_list(i,1); % yy = end_list(i,2); %

% imag(xx-2:xx+2,yy-2:yy+2) = 1; % imag(xx,yy) = 0;

%end;

%[x,y] = size(branch_list); %for i = 1:x

% xx = branch_list(i,1); % yy = branch_list(i,2);

% imag(xx-2:xx+2,yy-2:yy+2) = 1; % imag(xx-1:xx+1,yy-1:yy+1) = 0; %imag(xx,yy) = 0;

%end; %figure; colormap(gray);imagesc(image); hold on; if ~isempty(end_list) plot(end_list(:,2),end_list(:,1),'*r'); if size(end_list,2) == 3

hold on

[u,v] = pol2cart(end_list(:,3),10);

(32)

%fingerTemplateRead.m

function template=fingerTemplateRead

%skrip untuk membuka file template sidik jari

[templatefile , pathname]= uigetfile('*.dat','Open An Fingerprint template file');

if templatefile ~= 0 cd(pathname);

(33)

% match_end.m

function

[percent_match]=match_end(template1,template2,edgeWidth,noShow) % MATCH_END Fingerprint Minutia Matcher Based on Ridge Alignment % match_end(template1,template2) menyetujui dua template file % dan menghasilkan kesamaan maksimum dari dua sidik jari % file template disimpan dalam matrix Nx3 dengan format : % ---

% minutia_1_position_x minutia_2_position_y minutia_1_orientation

% ... ... ... % minutia_n_position_x minutia_n_position_y

minutia_n_orientation

% ridge_1_point_1_posx ridge_1_point_1_posy ridge_ID(1) % ... ... ... % ridge_1_point_m_posx ridge_1_point_m_posy ridge_ID(1) % ridge_2_point_1_posx ridge_2_point_1_posy ridge_ID(2) % ... ... ... % ridge_n_point_1_posx ridge_n_point_1_posy ridge_ID(n) % ... ... ... % ridge_n_point_m_posx ridge_n_point_m_posy ridge_ID(n) %

% n menyatakan jumlah total minutia

% m diautur ke nilai dari rata-rata inter ridge width

% ---

% match_end(template1,template2,noShow) juga menyetujui tanda 'noShow' untuk meniadakan

% pesan yang menampilkan persentase kecocokan. Nilai tsb dapat diatur ke 0

% Fungsi ini digunakan untuk beberapa proses.

% Uraikan file tempalte ke dalam minutia dan ridge matrix secara terpisah

if or(edgeWidth == 0,isempty(edgeWidth)) edgeWidth=10;

end;

if or(isempty(template1), isempty(template2)) percent_match = -1;

else

length1 = size(template1,1); minu1 = template1(length1,3); real_end1 = template1(1:minu1,:);

ridgeMap1= template1(minu1+1:length1,:);

length2 = size(template2,1); minu2 = template2(length2,3); real_end2 = template2(1:minu2,:);

ridgeMap2= template2(minu2+1:length2,:);

(34)

max_percent=zeros(1,3);

for k1 = 1:minuNum1 %minuNum2

%hitung kesamaan antara ridgeMap1(k1) and ridgeMap(k2) %pilih dua minutia yang sekarang sebagai yang asli dan atur minutia yang lain

%berdasarkan minutia asli.

newXY1 = MinuOriginTransRidge(real_end1,k1,ridgeMap1); for k2 = 1:minuNum2

newXY2 = MinuOriginTransRidge(real_end2,k2,ridgeMap2);

%pilih panjang minumun ridge

compareL = min(size(newXY1,2),size(newXY2,2)); %bandingkan kesamaan dari dua ridge

eachPairP = newXY1(1,1:compareL).*newXY2(1,1:compareL); pairPSquare = eachPairP.*eachPairP;

temp = sum(pairPSquare);

ridgeSimCoef = 0;

if temp > 0

ridgeSimCoef = sum(eachPairP)/( temp^.5 ); end;

if ridgeSimCoef > 0.8

%pindahkan semua minutia dalam dua sidik jari berdasarkan %referensi dari pasangan minutia

fullXY1=MinuOrigin_TransAll(real_end1,k1); fullXY2=MinuOrigin_TransAll(real_end2,k2);

minuN1 = size(fullXY1,2); minuN2 = size(fullXY2,2); xyrange=edgeWidth;

num_match = 0;

%jika dua minutia dalam sebuah kotak dengan lebar 20 dan tinggi 30,

%mempunyai variasi arah yang kecil pi/3

%maka nyatakan mereka sebagai pasangan yang cocok

for i=1:minuN1 for j=1:minuN2

if (abs(fullXY1(1,i)-fullXY2(1,j))<xyrange & abs(fullXY1(2,i)-fullXY2(2,j))<xyrange)

angle = abs(fullXY1(3,i) - fullXY2(3,j) ); if or (angle < pi/3, abs(angle-pi)<pi/6) num_match=num_match+1;

(35)

end; end;

end;

% dapatkan nilai kecocokan terbesar current_match_percent=num_match;

if current_match_percent > max_percent(1,1); max_percent(1,1) = current_match_percent; max_percent(1,2) = k1;

max_percent(1,3) = k2; end;

num_match = 0;

end; end; end;

percent_match = max_percent(1,1)*100/minuNum1; end;

%jika fungsi dipanggil dalam GUI mode, keluarkan kotak pesan %untuk hasil akhir

if nargin == 3

text=strcat('Persen Kecocokan adalah ',num2str(percent_match,3),' %');

(36)

% MinuOriginTarnsRidge.m

function [newXY] = MinuOriginTransRidge(real_end,k,ridgeMap) % MinuOrigin(real_end,k,ridgeMap)

% atur k-th minutia sebagai yang asli dan sejajarkan arahnya ke 0 (sepanjang x)

% dan kemudian sesuaikan semua titik ridge yang lain yang tersambung ke minutia ke

% sistem koordinat yang baru %

% Catat bahwa koordinat sistem dan sudut berbeda : % --->y

% |\ % | \ % | \ % | \ % |thet\a % x

% nilai posisi ke arah bawah, ke kanan posirif.

% nilai sudut adalah berlawanan arah jarum jam dari bawah ke atas di koordinat x sebelah kanan, dalam [0,pi]

% dan searah jarum jam dari bawah ke atas di koordinat x sebelah kiri,dalam [0,-pi]

%buat persamaan transform matrix % cos(theta) -sin(theta)

% sin(theta) cos(thea)

% untuk merotasikan sudut theta

theta = real_end(k,3); if theta <0

theta1=2*pi+theta; end; theta1=pi/2-theta; rotate_mat=[cos(theta1),-sin(theta1);sin(theta1),cos(theta1)];

%lokasikan semua titik ridge yang terhubung ke minutia %dan transspose seperti format :

%x1 x2 x3... %y1 y2 y3...

pathPointForK = find(ridgeMap(:,3)== k); toBeTransformedPointSet =

ridgeMap(min(pathPointForK):max(pathPointForK),1:2)';

%ubah posisi minutia (x,y) ke (0,0)

%ubah semua titik ridge yang lain menurut basis tonyTrickLength = size(toBeTransformedPointSet,2); pathStart = real_end(k,1:2)';

translatedPointSet = toBeTransformedPointSet - pathStart(:,ones(1,tonyTrickLength));

%rotasikan kumpulan titik

(37)

% MinuOrigin_TransAll.m

function [newXY] = MinuOrigin_TransAll(real_end,k) % MinuOrigin_all(real_end,k)

% atur k-th minutia sebagai yang asli dan sejajarkan arahnya ke 0 (sepanjang x)

% dan kemudian sesuaikan semua titik minutia yang lain pada sidik jari ke

% asli yang baru %

% Lihat juga MinuOrigin

% Perbedaan antara MinuOrigin and MinuOrigin_all adalah bahwa orientasi

% dari setiap minutia juga diatur dengan minutia asli

theta = real_end(k,3);

if theta <0

theta1=2*pi+theta; end; theta1=pi/2-theta; rotate_mat=[cos(theta1),-sin(theta1),0;sin(theta1),cos(theta1),0;0,0,1];

toBeTransformedPointSet = real_end';

tonyTrickLength = size(toBeTransformedPointSet,2);

pathStart = real_end(k,:)';

translatedPointSet = toBeTransformedPointSet - pathStart(:,ones(1,tonyTrickLength));

newXY = rotate_mat*translatedPointSet;

%pastikan arah ada di dalam domain [-pi,pi]

for i=1:tonyTrickLength

if or(newXY(3,i)>pi,newXY(3,i)<-pi)

newXY(3,i) = 2*pi - sign(newXY(3,i))*newXY(3,i); end;

(38)

Aat.bmp

Adit.bmp

Agil_1.bmp

Agil_2.bmp

Agil_3.bmp

Andi.bmp

(39)

Baby_1.bmp

Benny.bmp

Berly.bmp

Cong.bmp

Deden_1.bmp

Dila_1.bmp

(40)

Fajar.bmp

Gafar.bmp

Gundara.bmp

Gun.bmp

Gusmou.bmp

Hamid.bmp

(41)

Husen.bmp

Ica.bmp Ika.bmp

Indah_1.bmp

Ivan_1.bmp

Ivan_2.bmp

(42)

Lusi.bmp

Niko.bmp

Novi_1.bmp

Nur_1.bmp

Oni.bmp

Ratih.bmp

(43)

Sidik_1 (2).bmp

Sidik_1 (3).bmp Sidik_1

(4).bmp

Sidik_1 (5).bmp

(7).bmp

(44)

Sidik_2 (3).bmp

(5).bmp

Sidik_2 (6).bmp

Sidik_2 (7).bmp

Sidik_3.bmp

(45)

Sidik_3 (4).bmp

(6).bmp

Sidik_3 (7).bmp

Sidik_4.bmp

Sidik_4 (1).bmp

(46)

Sidik_4 (5).bmp

(7).bmp

Sidik_5.bmp

Sidik_5 (1).bmp

Sidik_5 (2).bmp

(47)

Sidik_5 (6).bmp

Sidik_5 (7).bmp

Sidik_6.bmp

Sidik_6 (1).bmp

(3).bmp

(48)

Sidik_6 (7).bmp

Sidik_7.bmp

Sidik_7 (1).bmp

Sidik_7 (2).bmp

(4).bmp

(49)

Sidik_8.bmp

Sidik_8 (1).bmp

Sidik_8 (2).bmp

Sidik_8 (3).bmp

(5).bmp

(50)

Sidik_9 (1).bmp

(3).bmp

Sidik_9 (4).bmp

(6).bmp

(51)

Sidik_10 (2).bmp

Sidik_10 (3).bmp

Sidik_10 (4).bmp

Sidik_10 (5).bmp

Sidik_10 (6).bmp

Sidik_10 (7).bmp

(52)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.

Latar Belakang

Kemajuan otomatisasi dan sistem teknologi, seperti internet dan telepon

selular, semakin lama semakin berkembang. Dalam suatu otentikasi, pengguna

harus mengeluarkan identifikasi pribadi seperti password dan Personal

Identification Number (PIN). Misalnya saja, setiap hari komputer pasti menerima

akses password dari ATM, telepon selular dan dari akses internet. Kenyataannya

bahwa password tidak dapat ditebak, karena memiliki kemungkinan yang banyak

sekali. Dan untuk keamanan pemilik password juga, password biasanya tidak

boleh dicatat, harus diubah setidaknya 3 bulan sekali, dan tidak pernah diberikan

kepada orang lain. Karena keterbatasan manusia juga yang memiliki batasan

ingatan, mungkin saja seseorang lupa akan passwordnya sendiri, sehingga

password dapat dikatakan machine friendly tapi tidak selalu user friendly.

Oleh karena itu dikembangkan solusi untuk mengidentifikasi seseorang.

Identifikasi tersebut meliputi identifikasi secara fisik, seperti struktur permukaan

tubuh dan suara. Biometric adalah salah satu ilmu pengetahuan yang mengukur

dan mengolah perbedaan dari bentuk tubuh manusia. Misalnya identifikasi dari

perbedaan sidik jari, bola mata atau iris, dan suara. Salah satu metode pengenalan

sidik jari adalah metode Alignment-based Match. Metode ini menganalisa dan

membandingkan percabangan dan titik akhir per minutia dengan database yang

ada untuk menemukan pola yang cocok.

1.2.

Identifikasi Masalah

Dari latar belakang tersebut maka masalah dalam Tugas Akhir ini dapat

dirumuskan sebagai berikut :

1.

Bagaimana cara kerja metode Alignment-based Match ?

2.

Bagaimana cara pengenalan dan pencocokan sidik jari dengan

(53)

2

3.

Bagaimana cara merancang perangkat lunak untuk pencocokan sidik

jari menggunakan metode Alignment-based Match?

1.3. Tujuan

Tujuan Tugas Akhir ini adalah merancang perangkat lunak untuk

pengenalan dan pencocokan sidik jari dengan menggunakan metode

Alignment-based Match.

1.4.

Batasan Masalah

Adapun pembatasan masalah didalam Tugas Akhir ini yaitu :

1.

Masukan berupa sidik jari hasil scanning yang dibandingkan dengan

sidik jari yang ada di database di dalam Personal Computer (PC).

2.

Sistem pencocokan pola sidik jari menggunakan Metode

Alignment-based Match.

3.

Citra sidik jari dalam format BMP (Bit Map Picture)

4.

Pengambilan sidik jari dilakukan secara offline dengan menggunakan

scanner. Resolusi scanner yang dipakai adalah 500dpi dan resolusi 8

bit grayscale.

5.

Implementasi dilakukan dengan bahasa Matlab versi 7.

1.5.

Sistematika Penulisan

Penulisan laporan teridiri dari lima bab, dengan susunan sebagai berikut :

•

Bab I Pendahuluan

Bab ini membahas tentang latar belakang, identifikasi masalah,

tujuan, pembatasan masalah dan sistematika penulisan.

•

Bab II Teori Penunjang

Bab ini membahas tentang dasar teori yang berkaitan dengan Tugas

Akhir ini, seperti sidik jari, operasi Morfologi, transformasi fourier,

(54)

3

•

Bab III Perancangan dan Realisasi Perangkat Lunak

Bab ini membahas tentang plant dan perangkat lunak yang dibuat,

beserta perancangan dan realisasinya.

•

Bab IV Pengujian dan Analisa Perangkat Lunak

Bab ini membahas tentang hasil pengamatan dan analisa terhadap

hasil yang diperoleh dari pengujian perangkat lunak yang telah

direalisasikan.

•

Bab V Kesimpulan dan Saran

Bab ini membahas tentang kesimpulan hasil pengamatan dan

(55)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1.

Kesimpulan

Berikut ini adalah beberapa kesimpulan yang diperoleh berdasarkan data

pengamatan dari percobaan yang telah dilakukan.

1.

Pencocokan sidik jari dengan menggunakan metode Alignment-based

Match mencocokkan berdasarkan percabangan dan titik akhir.

2.

Pencocokan dilakukan dengan menganalisa ridge yang mempunyai

kedekatan dalam ambang batas dan mempunyai arah yang sama.

3.

Pada percobaan ini, perangkat lunak dapat mencocokkan pola dua sidik

jari yang sama (dari file citra yang sama) tanpa rotasi dengan nilai

kecocokan sebesar 100 %.

4.

Perangkat lunak dapat mencocokkan dua sidik jari yang sama dan telah

dirotasi sampai 10 º dengan nilai kecocokan rata-rata sebesar 30%.

5.

Perangkat lunak dapat mencocokkan antar sidik jari yang berbeda dengan

nilai kecocokan rata-rata sebesar 20%.

6.

Perangkat lunak bekerja kurang sempurna pada pencocokan dua sidik jari

yang sama dan telah dirotasi karena masih menghasilkan persentase

kecocokan yang kecil.

7.

Persentase kecocokan yang kecil antara dua sidik jari yang sama dan telah

dirotasi dapat saja disebabkan karena input sidik jari yang masih offline,

kualitas input citra sidik jari yang tidak sempurna, serta perbedaan tekanan

pada saat pengambilan citra input sidik jari.

5.2.

Saran

Berikut ini adalah beberapa saran yang dapat digunakan untuk

meningkatkan kualitas dan kuantitas dari perangkat lunak pengenalan dan

pencocokan sidik jari.

1.

Untuk lebih dapat menghasilkan pencocokan yang maksimal diperlukan

(56)

57

2.

Perangkat lunak ini bisa saja dikembangkan dengan menggunakan metode

lain pada tiap langkahnya, sehingga dapat menghasilkan pencocokan yang

lebih maksimal.

3.

Perangkat lunak ini dapat diimplementasikan pada

smart card

sehingga

(57)

DAFTAR PUSTAKA

[1]

Balza Achmad, Ir, M.Sc.E, Mata Kuliah Pengolahan Citra,

Handout Bab. 9 : Operasi Morfologi.

http://balzach.staff.ugm.ac.id/PengolahanCitra/Morfologi.pdf

[2]

Darmawan Aan, Ir., MT., Diktat Kuliah Pengolahan Citra Digital,

Universitas Kristen Marantha Bandung, 2004.

[3]

Thomas Yeo, Tay Wee Peng, Tai Ying Yu, Student Project Image

Systems Engineering Program, Stanford University.

[4]

Jain L.C., Halici U., Hayasih I., Lee S.B. and Tsutsui S., Intelligent

biometric techniques in fingerprint and face recognition, the CRC Press, 1999.

[5] Hong Lin "Automatic Personal Identification Using Fingerprints",

Ph.D. Thesis, 1998.

[6] Ratha N, Chen S, and Jain A.K., "Adaptive Flow Orientation

Based Feature Extraction in Fingerprint Images", Pattern Recognition, Vol. 28,

pp. 1657-1672, November 1995.

[7] Maio D., and Maltoni D., Direct gray-scale minutiae detection in

fingerprints. IEEE Trans. Pattern Anal. And Machine Intell., 19(1):27-40, 1997.

[8]

http://www.wikipedia.com

[9]

http://budiinsan.co.id

[10]

http://www.comp.hkbu.edu.hk

[11] Hanselman Duane, and Littlefield Bruce, Mastering MATLAB 5,

1998

[12]

Hanselman Duane, and Littlefield Bruce, MATLAB Bahasa

Komputasi Teknis, 2000