Oleh : Bambang Supraptono, M.Si.
Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - 211
BAB 01
1. Limit Fungsi
Definisi: Pengertian presisi tentang limit Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x L berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan (betapun kecilnya), terdapat 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga f x( ) L asalkan bahwa 0 x c yaitu:
0 x c f x ( ) L
Contoh soal 1:
Buktikan bahwa 4
lim (3 7) 5
x
x
Penyelesaian:
Analisis Pendahuluan: akan ditentukan sedemikian rupa sehingga
0 x 4 (3x 7) 5
Ruas kanan
(3x 7) 5 3x 12
3(x 4)
3 x 4
4
x 3 Dengan demikian yang dipilih adalah
3 Bukti Formal: Misal diberikan 0, pilih
3. Maka, dari 0 x 4 diperoleh:
(3x 7) 5 3x 12 3(x 4) 3x 4 3
Contoh soal 2:
Buktikan bahwa 2 5
11 5
lim 9
5
x
x x
x
Penyelesaian
Bukti Formal: akan ditentukan sedemikian rupa sehingga
2 11 5
0 5 9
5
x x
x x
Ruas kanan: untuk x 5 (ini diperlukan agar penyebutnya tidak nol)
2 11 5
5 9
x x
x
(2 1)( 5) 5 9
x x
x
(2x 1) 9 2x 10 2(x 5) 2 (x 5) ( 5)
x 2 Dengan demikian yang dipilih adalah
2
Bukti Formal: Misal diberikan 0, pilih
2. Maka, dari 0 x 5 diperoleh:
2 11 5 (2 1)( 5)
9 9 (2 1) 9 2 10 2( 5) 2 5 2
5 5
x x x x
x x x x
x x
Soal untuk dibuktikan sendiri:
Dengan menggunakan definisi pengertian presisi limit, buktikan bahwa:
A.
2 5
lim 25 10
25
x
x B.
2 0
lim 2 1
x
x x
x
2. Teorema Limit
Perhatikan Teorema A!
Teorema B
Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka
lim ( ) ( )
x cf x f c Asalkan f c terdefinisi, jika f fungsi rasional nila penyebut pada c tidak nol. ( )
Teorema C:
Jika ( )f x g x untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mangandung bilangan c, terkecuali mungkin pada ( ) bilangan c itu sendiri, dan jika lim ( )
x cg x ada, maka lim ( )
x cf x ada dan lim ( )
x cf x =lim ( )
x cg x
Tips:
Untuk menyelesaikan soal-soal tentang limit fungsi rasional, ikuti diagram alir berikut
Ingat bentuk bentuk berikut:
2 2
( )( )
x a x a x a
3 3 2 2
( )( )
x a x a x ax a
Contoh Soal 3:
Selesaikan :
a. 2
2
lim (2 4 2)
x x x
Solusi:
gunakan terorema B
2 2
2
lim (2 4 2) 2( 2) 4( 2) 2 18
x x x
Subtitusi
Apakah
Gunakan teorema B
selesai
ya
tidak
Gunakan teorema C Lakukan:
Faktorisasi atau kalikan dengan bentuk sekawan, bagilah faktor yang sama
b.
2 0
lim 1
x
x x Solusi:
gunakan terorema B
2 2
0
1 (0) 1 1
lim 0 0
x
x x
Ingat! Kita tidak pernah membaginya dengan nol, tetapi kita membaginya dengan bilangan yang sangat dekat dengan nol.
c.
2 1 2
lim 1 1
x
x x Solusi:
gunakan terorema B
2 1 2
1 1 1 0
lim 0
1 1 2
1
x
x x d.
2 1
lim 2
1
x
x x
x
Solusi:
Karena 0
( 1) 0
f , gunakan teoreme C 2
1 1 1
2 ( 1)( 2)
lim lim lim ( 2)
1 1
x x x
x x x x
x x x
Gunakan teorema B pada bentuk terakhir 1
lim ( 2) ( 1) 2 3
x x
e.
2 3 2
2 7 3
lim
9
x
x x
x
Solusi:
Gunakan teorema C 2
3 2 3 3
2 7 3 (2 1)( 3) (2 1) 2(3) 1 5
lim lim lim
( 3)( 3) ( 3) (3) 3 6
9
x x x
x x x x x
x x x
x
f.
2 5 2
9 ( 1) lim
25
x
x x
x Solusi:
Kalikan dengan bentuk sekawannya 2
5 2
9 ( 1) lim
25
x
x x
x
=
2 2
2 2
5
9 ( 1) 9 ( 1)
lim
25 9 ( 1)
x
x x x x
x x x
=
2 2
5 2
9 ( 2 1)
lim
( 5)( 5) 9 ( 1)
x
x x x
x x x x
=
5 2
2 10
lim
( 5)( 5) 9 ( 1)
x
x
x x x x
=
5 2
2( 5) lim
( 5)( 5) 9 ( 1)
x
x
x x x x
=
5 2
lim 2
( 5) 9 ( 1)
x x x x
= 2 2 1
10(4 4) 40 (5 5) 25 9 (5 1)
Soal – soal untuk dikerjakan sendiri Tentukanlah nilai limit berikut:
1.
2 2
7 10
lim 2
x
x x
x
2.
2 2
2 2
2 6 4
lim
x
x x
x
3.
3 3
3 3
lim 2 6
x
x x 4.
2 2
lim 2
2
x
x x
5.
2 3 2
5 ( 1) lim
9
x
x x
x
3. Limit Tak Berhingga
Cara menyelesaikan limit tak hingga (biasanya dalam bentuk rasional) adalah dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi
Contoh soal 4:
Selesaikan limit berikut:
a.
2 2
2 3 7
lim 1
x
x x
x
Solusi: pangkat tertinggi adalah 2, jadi bagilah pembilang dan penyebut dngan x2
2 2
2 3 7
lim 1
x
x x
x
=
2
2 2 2
2
2 2
2 3 7
2(1) 3(0) (0) 2
lim 2
(0) 1 1
1
x
x x
x x x
x
x x
b.
2 3
2
1 2
lim
3 11 4
x
x x x
x x
Solusi: pangkat tertinggi adalah 3, jadi bagilah pembilang dan penyebut dngan x3
2 3
2 3 3 3 3 3
2 2
3 3 3
1 2
1 2 0 0 0 1 1
lim lim
0 0 0
3 11 4 3 11 4
x x
x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x
c. 2
2 1
lim 4
x
x x
Solusi
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1 0 0 0
lim lim 0
1 0 1
4 4
x x
x
x x x
x x
x x
d. lim 2 3 1 ( 4)
x x x x
Solusi: munculkan bentuk dengan mengalikan bentuk sekawannya
lim 2 3 1 ( 4)
x x x x =
2 2
2
3 1 ( 4)
lim 3 1 ( 4)
3 1 ( 4)
x
x x x
x x x
x x x
=
2 2
2
3 1 ( 8 16)
lim
3 1 ( 4)
x
x x x x
x x x
=
2 2
2
3 1 ( 8 4)
lim
3 1 ( 4)
x
x x x x
x x x
=
2
2 2 2
5 15
5 0 5
lim 3 1 4 1 0 0 (1 0) 2
( )
x
x
x x
x x x
x x
x x x
Soal untuk dikerjakan sendiri:
Tentukan nilai limit berikut:
1.
3 2
3
2 3 2 3
lim
1 9
x
x x x
x x
2. lim 4 2 8 1 (2 3)
x x x x
4. Limit Fungsi Trigonometri
Perhatikan Teorema A
Teorema B: Limit Fungsi Trigonometri Khusus 1.
0
lim sin 1
x
x
x 2. 0
1 cos
lim 0
x
x
x
Secara umum:
0
limsin
x
ax a
bx b 0
lim tan
x
ax a
bx b lim0
sin
x
ax a
bx b lim0
tan
x
ax a
bx b
Contoh Soal 5:
a.
0
lim cos 1
x
x x Solusi:
0
cos 0 0
lim 0
1 0 1 1
x
x x b.
0
sin 3 lim tan 5
x
x x Solusi:
0 0 0 0 0
sin 3 sin 3 3 5 sin 3 5 3 3 3
lim lim lim lim lim 1 1
tan 5 tan 5 3 5 3 tan 5 5 5 5
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
c.
2 0 3
3 tan lim
sin 2
x
x x
x
Solusi: perhatikan pangkat masing-masing fungsinya!
3 3
2 2 2 2 2
3 3 2 3 2 3 3
0 0 0 0 0
2 2
3 tan 3 tan tan 3 3 3
lim lim lim lim lim 1 1
8 8
sin 2 sin 2 2 sin 2 2
x x x x x
x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
d. 0 2
1 cos 2 lim
3
t
t t Solusi:
Ingat rumus cos 2t 1 2sin2t 1 cos 2t 2sin2t
2 2
2 2 2
0 0 0
1 cos 2 2sin 2 sin 2 2
lim lim lim 1
3 3 3
3 3
t t t
t t t
t t t
Soal untuk dikerjakan sendiri:
Tentukan nilai limit berikut:
0 2
3 sin 4 lim
tan 3
x
x x
x
0 2
1 cos 4 lim
sin 3
x
x x
BAB 02
1. TURUNAN FUNGSI
Defisi Turunan
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f ' (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f c h f c
f c h
Asalkan limit ini ada dan bukan atau Notasi Leibniz
0
( ) ( )
'( ) lim
h
dy f c h f c
dx f x h
Contoh 1:
Jika f x( ) 3x2 2x , tentukan f x'( )!
PENYELESAIAN '( )
f x = 0
( ) ( )
lim
h
f c h f c
h
=
2 2
0
3( ) 2( ) 3 2
lim
h
x h x h x x
h
=
2 2
0
3( 2 ) 2( ) 3 2
lim
h
x xh h x h x x
h
=
2 2 2
0
3 6 3 2 2 ) 3 2
lim
h
x xh h x h x x
h
=
2 0
6 2 3
lim
h
xh h h
h
= 0
lim 6 2 3
h x h
= 6x 2 Soal untuk dicoba sendiri:
Dengan menggunakan definisi turunan, tentukanlah turunan fungsi berikut:
1. f x( ) 2x2 4x 1 2. f x( ) 3 2x2
2. ATURAN MENCARI TURUNAN FUNGSI
Tiga notasi untuk turunandari fungsi f , yaitu '( ) atau dy atau Dx ( )
f x f x
dx Resume dari Teorema A s.d. H
A. Jika f x( ) k , maka f x'( ) 0 B. Jika f x( ) x, maka f x'( ) 1
C. Jika f x( ) axn, maka f x'( ) naxn 1 D. Jika f x( ) kg x( ), maka f x'( ) k g x. '( )
E. Jika f x( ) ( )u x v x maka ( ), f x'( ) u x'( ) v x'( ) F. Jika f x( ) ( )u x v x maka ( ), f x'( ) u x'( ) v x '( ) G. Jika f x( ) u x v x( ) ( ), maka f x'( ) u x v x'( ) ( ) u x v x( ) '( ) H. Jika f x( ) ( )
( ), u x
v x maka 2
'( ) ( ) ( ) '( ) '( )
( ) u x v x u x v x f x
v x
Contoh Soal 2:
Tentukan turunan setiap fungsi berikut:
a. f x( ) 3x7 Solusi
Teorema C sangat sering digunakan!
( ) n,
f x ax → f x'( ) naxn 1
7 1 6
'( ) 7 3 21
f x x x
b. f x( ) 4x2 3x 12 Solusi:
'( ) 8 3 0 '( ) 8 3
f x x
f x x
Begini ceritanya ……
( ) 4 2 3 12
f x x x → f x'( ) 2 4x2 1 3 1 0 c. f x( ) x
Solusi: sederhanakan menjadi pangkat rasional 1
( ) 2
f x x x
1 1 1
2 2
1 2
1 1 1 1 1
'( ) 2 2 2 2
f x x x
x x
d. f x( ) 33x2
Solusi: Sederhanakan menjadi pangkat rasional
1 1 2
3 2 2 3 3 3
( ) 3 3 3
f x x x x
1 2 1 1 1 1 2 1
3 2 3 3 3 3 3
'( ) 3 3 2 3
f x 3x x x …. Ingat 1
dan
n m m n
n n
a a a
a a
Bila dijadikan pangkat positif, maka diperoleh
2 1 1 3
3 3 2 3
1 1 1
'( ) 9
3 3
f x x
x x
e. f x( ) (3x 1)x3
Solusi: gunakan teorema G ( )
f x u x v x( ) ( ), →f x'( ) u x v x'( ) ( ) u x v x( ) '( )
3 2 3 3 2 3 2
'( ) 3 (3 1)(3 ) 3 9 3 12 3
f x x x x x x x x x
f.
2 2
( ) (3 1) f x x
x
Solusi: gunakan teorema I ( )
f x ( ) ( ), u x
v x → 2
'( ) ( ) ( ) '( ) '( )
( ) u x v x u x v x f x
v x
2 2 2 2
2 2 2
4 (3 1) 2 3 12 4 6 6 4
'( )
(3 1) (3 1) (3 1)
x x x x x x x x
f x
x x x
Soal untuk dicoba sendiri:
Tentukan turunan setiap fungsi berikut:
1. f x( ) 5x4
2. 5
( ) 4 f x
x
3. 3 2 11
( ) 12 6 3
f x x x x
x
4. f x( ) 3x2 2x 3 x3 5.
15 2
( ) (1 3 ) f x x
x C B A
Turunan x = 1
Turunan konstanta = 0
3. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Teorema A
(sin ) cos dan (cos ) sin
x x
D x x D x x
Teorema B (tan ) sec2
Dx x x Dx(cot )x csc2x Dx(sec )x sec tanx x Dx(csc )x csc cotx x Dalil rantai
( ( ( ))) '( ( )) '( ) atau
x
dy dy du D f g x f g x g x
dx du dx
Contoh Soal 3:
Tentukan turunan fungsi berikut:
1. f x( ) (4x 2)12
Solusi: misal f x( ) u12 , maka u (4x 2) sehingga
11 11
'( )
12 4
48(4 2) dy dy du f x dx du dx
u x 2. f x( ) sin 4x
Solusi:
Misal f x( ) sin ,u maka u 4x sehingga '( )
cos 4 4 cos dy dy du f x dx du dx
u x
3. f x( ) sin3x Solusi:
Bila dipandang sebagai komposisi fungsi, maka f x( ) u u3; sinx sehingga
2 2
3 cos 3sin cos dy dy du
u x x x
dx du dx
Dengan rumus sin 2x 2sin cosx x , dapat disederhanakan menjadi
2 3 3
'( ) 3sin cos sin (2 sin cos ) sin sin 2
2 2
f x x x x x x x x
4. f x( ) 4 cos (32 x 1) Solusi:
( ) 4 2; cos ; 3 1
f x u u v v x
8 ( sin ) 3 24 cos(3 1) sin(3 1) 12(2sin(3 1) cos(3 1) 12sin(2(3 1))
12sin(6 2) dy dy du dv
u v x x
dx du dv dx
x x
x x
Soal untuk diselesaikan sendiri:
Tentukan turunan masing-masing fungsi berikut:
1. f x( ) (3 2 )x10 2. f x( ) 2x 124 3. f x( ) 6sin 54 x 4. f( ) 3cos (2 )4 x3
4. TURUNAN TINGKAT TINGGI
Turunan kedua dari fungsi f dinotasikan dengan
2 2
''( ) atau d y2 atau x
f x D y
dx
Contoh Soal 4:
Tentukan turunan pertama dan kedua fungsi f x( ) x3 sin (2 )3 x2 PENYELESAIAN
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
'( ) 3 3sin (2 ) cos(2 ) 2(2 ) 2 3 24 sin 4 cos 4
3 12 sin 4 sin 8
''( ) 6 12(8 sin 4 sin 8 sin 4 16 sin 8 ) 6 288 sin 4 sin 8
f x x x x x
x x x
x x x
f x x x x x x x x
x x x x
5. APLIKASI TURUNAN
a. Persamaan garis singgung suatu kurva
Perhatikan gambar di samping gradien garis PQ adalah
( ) ( )
PQ
f x h f x
m h
Jika titik Q digeser sepanjang kurva sedekat mungkin dengan titik P maka diperoleh garis singgung. Dengan demikian, gradien garis singgungnya adalah
0
( ) ( )
lim '( )
g h
f x h f x
m f x
h
Contoh soal:
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 1 3 2
3 2
y x x x yang mempunyai kemiringan 1.
Solusi:
2 2
1 2
1 2 83
'( ) ' 1
' 1 2 2 1
2 3 0
( 3)( 1) 0
3; 1
12;
m f x y
y x x
x x
x x
x x
y y
Soal untuk diselesaikan:
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y x2 2x 1 di titik (2, 1) 2. Tentukan y 2x x2 yang mempunyai kemiringan garis 1 .
b. Maksimum dan Minimum
Teorema
A. Jika f kontinu pada interval tertutup a b, , maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana B. Titik kritis: misal f didefinisan pada interval I yang memuat titik c. Jika f c( ) adalah nilai ekstrim, maka c
haruslah berupa suatu titik kritis, dengan kata lain c adalah salah satu dari:
(i) Titik ujung dari I
(ii) Titik stasioner dari f ; yakni titik di mana f c'( ) 0 (iii) Titik singular dari f ; yakni di mana f c'( )tidak ada
C. Misalkan f kontinu pada interval I dan terdeferensial pada setiap titik dalam I (i) Jika f x'( ) 0 untuk semua titik dalam I , maka f naik pada I
x
h P
Q
X Y
g
nilai y diperoleh dengan mensubtitusikan nilai x pada persamaan kurvay.
Sehingga diperoleh titik singgung (3, 12) dan Di titik (3, 12) persamaan garis singgungnya adalah:
Tentukan persamaan garis yang lainnya.
Tanda di sekitar titik kritis
+ + + - - - + + + 1
D. Misalkan f terdeferensialkan dua kali pada setiap titik dalam I
(i) Jika f ''( )x 0 untuk semua titik dalam I, maka f cekung ke atas pada I (ii) Jika f ''( )x 0 untuk semua titik dalam I, maka f cekung ke bawah pada I E. Uji turunan pertama untuk maksimum dan minimum
Misal kontinu pada interval terbuka ( , )a b yang memuat sebuah titik c.
(i) Jika f x'( ) 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f x'( ) 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f c( ) adalah nilai maksimum lokal f .
(ii) Jika f x'( ) 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f x'( ) 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f c( ) adalah nilai minimum lokal f .
(iii) Jika f x'( ) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f c( ) bukan nilai ekstrim lokal f . F. Uji turunan kedua untuk maksimum dan minimum
(i) Jika f''( )x 0 , maka f c( ) adalah nilai minimum lokal f . (ii) Jika f''( )x 0 , maka f c( ) adalah nilai maksimum lokal f . Contoh soal:
Diketahui fungsi y 4x3 3x2 6x 12 . Tentukanlah:
a. Titik kritisf
b. Interval di mana f naik dan di mana f turun c. Nilai maksimum dan nilai minimum f d. Titik maksimum dan minimum f PENYELESAIAN
'( ) 0 f x
2 2
1 12 2
12 6 6 0
2 1 0
(2 1)( 1) 0 dan 1
x x
x x
x x
x x
55 1
2 4
( )
f ; f(1) 7 a. Titik kritis ( f c'( ) 0 )
Yaitu titik 1 55 2 4
( , ) dan (1, 7) b. Perhatikan perubahan tada pada f x '( )
( )
f x akan naik jikaf x > 0, yaitu pada interval '( ) 1
( , 2) atau pada (1, ) . Dengan notasi lain, f x naik pada interval ( ) 1
x 2 atau pada x 1 ( )
f x akan turun jikaf x < 0, yaitu pada interval '( ) 1 ( 2,1) c. Nilai maksimumnya adalah 1 55
2 4
( )
f , dan nilai minimumnya adalah f(1) 7 (coba menggunakan uji turunan ke dua)
d. Titik maksimumnya 1 55 2 4
( , ) dan titik minimumnya (1, 7)
Tanda di sekitar titik kritis
+ + + - - - + + + 2 9 Contoh Soal lagi:
Kotak segi empat tanpa tutup akan dibuat dari selembar kartun dengan panjang 26 cm dan lebar 9 cm dengan cara memotong keempat sudut kartun dengan bentuk persegi yang identik. Tentukan volume kotak maksimum yang dapat dibuat, hitunglah volume maksimal tersebut.
PENYELESAIAN
Misalkan ukuran sisi persegi yang harus dipotong pada keempat sudutnya adalah x. Maka volume kotak tersebut adalah
2
2 3
(24 2 )(9 2 )( ) (216 48 18 4 )( )
216 66 4
V x x x
x x x x
x x x
Perhatikan bahwa ukuran potongan tidak akan melebihi 4,5 cm.
Titik kritis
2 2
1 2
'( ) 0
216 132 12 0
12( 11 18) 0 ( 2)( 9) 0
2; 9
f x
x x
x x
x x
x x
Hanya ada sebuah titik kritis yang memenuhi yaitu pada x = 2, dan f(2) 216(2) 66(2)2 4(2)3 200
Nilai ekstrim a) Uji tanda f x'( )
Disekitar x = 2 tanda berubah dari (+) menjadi (–) atau dengan kata lain, di sekitar x = 2 funggsi f berubah dari naik menjadi turun. Ini berarti bahwa f melalui titik maksimum.
b) Uji turunan kedua '( ) 216 132 12 2
''( ) 132 24 ''(2) 132 24(2)
84 0
f x x x
f x x
f
Jadi f(2) maksimum
Dengan demikian, agar volume kotak yang terbentuk maksimum, maka ukuran kotak terbut harus:
Panjang = 24 – 2x = 24 – 2(2) = 20 cm Lebar = 9 – 2x = 9 – 2(2) = 5 cm Tinggi = x = 2 cm
Volume terbesarnya = 20 x 5 x 2 = 200 cm 3
