1.1 Latar Belakang Masalah
Elektromagnetika merupakan cabang fisika yang menjadi tonggak munculnya teori-teori fisika modern dan banyak diterapkan dalam perkembangan teknologi saat ini, seperti teknologi elektronik, baik digital maupun analog, semisal dalam teleko- munikasi. Sebagai bagian dari ilmu fisika, berbagai permasalahan yang ada dalam teori elektromagnetika ikut memunculkan gagasan pengembangan suatu model ma- tematik. Maxwell pada tahun 1865 (dalam Jackson, 1999) mengemukakan empat persamaan yang dikenal dengan persamaan Maxwell. Persamaan ini merupakan inti atau rangkuman dari gejala-gejala yang berkaitan dengan medan elektromagnetik.
Teori elektromagnetika dapat pula dikaji melalui suatu rapat Lagrangian ba- ik secara klasik maupun relativistik. Adanya rapat Lagrangian ini memungkinkan persamaan elektromagnetika dipelajari menggunakan prinsip variasi. Prinsip varia- si sangat efektif digunakan untuk menyelesaikan masalah fisis, karena tidak harus bergelut langsung dengan persamaan fisika yang dikaji. Prinsip variasi pada dasar- nya mencakup berbagai macam metode, baik metode langsung maupun metode tidak langsung. Oleh karena itu, banyak peneliti melakukan studi elektromagnetika melalui prinsip variasi.
Bateman pada tahun 1933 dan 1934 mengkaji prinsip variasi pada elektromag- netika dengan mendefinisikan suatu rapat Lagrangian untuk membangun fungsional.
Begitu pula Wagner pada tahun 1963 mengkaji hamburan potensial elektromagnetik, juga melalui prinsip variasi. Akan tetapi, studi yang dilakukan memandang bahwa ruang dan waktu terpisah (tidak kovarian). Kenyataannya, kajian elektromagnetika telah berkembang dengan adanya keterpaduan antara ruang dan waktu. Waite pada tahun 1961 telah melakukan kajian masalah sumber elektromagnetika dalam ruang- waktu kovarian (berdimensi 4). Pada tahun 2010, Rashid melakukan studi mengenai bentuk rapat Lagrangian yang lengkap yang mencakup persamaan Maxwell homogen maupun tak homogen secara kovarian pada ruang-waktu.
Teori elektromagnetika dalam bentuk kovariannya telah dibahas dalam ber- bagai literatur, seperti pada Griffith (1999), Jackson (1999), dan lain-lain. Sejalan dengan itu, teori matematik geometri telah berkembang cukup pesat dalam mengkaji
1
fenomena fisika. Kajian fenomena fisis dalam sistem koordinat sebarang mendorong pemahaman fenomena tersebut dalam bentuk yang lebih umum. Selain itu, upaya untuk menyatukan teori-teori fisika menjadi motivasi untuk merumuskan semua fe- nomena fisika menjadi bentuk yang lebih umum. Khusus untuk elektromagnetika, jembatan untuk mengkaji elektromagnetika dalam bentuk yang lebih umum dapat dimulai dengan perumusan persamaan elektromagnetika dalam wakilan forma dife- rensial.
Studi elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial telah dilakukan oleh para peneliti. Salah satunya Deschamps (1981) yang menitikberatkan kajiannya ten- tang hubungan turunan luar pada persamaan elektromagnetika di ruang 4 dimensi (ruang-waktu). Diagram hubungan persamaan elektromagnetika dibuat sedemikian rupa sehingga turunan luar yang dituliskan berhasil dengan baik memenuhi persama- an elektromagnetika. Warnick dkk. (1997) kemudian mengkaji elektromagnetika da- lam wakilan forma diferensial dengan menitikberatkan pada keuntungan-keuntungan visual yang diperoleh dari wakilan forma diferensial. Orde forma bagi besaran- besaran elektromagnetika disajikan dalam bentuk visual dengan harapan elektromag- netika menjadi semakin mudah dipahami. Studi lebih lanjut dilakukan oleh Nicolet dkk. (1994) dan Stern dkk. (2008) yang mempelajari persamaan elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial serta memberikan suatu bentuk rapat Lagrangian un- tuk persamaan elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial. Penelitian mereka dititikberatkan pada diskritisasi geometri pada persamaan Maxwell dan komputasi elektromagnetika melalui rapat Lagrangian dalam wakilan forma diferensial.
Studi persamaan elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial yang ber- kembang sangat pesat ini memungkinkan elektromagnetika dipelajari dalam ruang bebas koordinat serta berbagai keuntungan lainnya. Perspektif lain terhadap persa- maan elektromagnetika ini tentu perlu diikuti dengan pengkajian keberadaan jawaban persamaan elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial. Hal ini perlu dilaku- kan karena forma diferensial merupakan tampang lintang suatu untingan yang tidak selalu bersifat trivial (sederhana) sebagai cerminan topologi ruang konfigurasi. Hal ini tentunya menjadi pendorong kuat bagi penulis untuk menentukan keberadaan ja- waban persamaan elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial melalui prinsip variasi. Adapun prinsip variasi yang digunakan adalah metode langsung dalam wa- kilan forma diferensial.
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan yang telah diselesaikan dalam penelitian ini adalah tentang ke- beradaan peminim bagi fungsional persamaan elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial.
1.3 Batasan Masalah
Pada penelitian ini perlu dikemukakan batasan-batasan permasalahan agar pokok-pokok bahasan lebih terfokus. Pengkajian permasalahan persamaan elektro- magnetika dengan metode langsung kalkulus variasi diarahkan untuk menentukan ke- beradaan jawaban persamaan elektromagnetika melalui rapat Lagrangian pada ruang- waktu, dalam wakilan forma diferensial, yang secara khusus dibangun pada wilayah terbuka dan terbatas dalam R4.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian ini adalah me- nyelidiki dan menentukan keberadaan peminim bagi fungsional persamaan elektro- magnetika dalam wakilan forma diferensial.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini dapat digunakan sebagai batu loncatan untuk meninjau elektro- magnetika pada sebarang keragaman sebagai bentuk yang lebih umum. Bentuk yang lebih umum tentunya akan menambah peluang menyatukan teori-teori fisika yang ada, atau setidaknya memudahkan melihat hubungan teori-teori fisika yang ada, se- hingga alam semesta dapat dikenali semakin baik. Selain itu, mempelajari suatu teori fisika dari berbagai sudut pandang, seperti dalam wakilan forma diferensial, dapat memberikan pemahaman yang utuh terhadap fenomena fisika.
1.6 Keaslian Tesis
Berdasarkan pelacakan literatur yang ada, ternyata permasalahan yang dikaji dalam tesis ini belum pernah diteliti.
1.7 Tinjauan Pustaka
Penggunaan kalkulus variasi pada dasarnya telah banyak memuaskan para il- muwan fisika dalam menyelesaikan permasalahan terkait dengan fenomena fisis. Ber- bagai metode dalam kalkulus variasi dikembangkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan baik secara khusus maupun umum.
Studi tentang prinsip variasi diawali ketika Euler mengerjakan masalah La- grange. Meskipun bukan yang pertama dalam penggunaan metode variasi, Euler dan Lagrange mampu menemukan prosedur sistematis dalam penyelesaian permasalahan fisis yang kemudian dikenal sebagai persamaan Euler-Lagrange. Selanjutnya, prin- sip variasi mengalami perkembangan yang sangat pesat. Prinsip variasi telah banyak diterapkan dalam berbagai studi dan berhasil dengan baik memecahkan berbagai ma- salah fisis, seperti yang disajikan dalam Cassel (2013) serta Sadiku (2001).
Metode langsung, sebagai bagian dari kalkulus variasi, dalam kaitan ini pada dasarnya memiliki spirit pencarian jawaban masalah fisis sebagai "mempelajari kebe- radaan dan perilaku ikan cukup dengan mempelajari perilaku permukaan air telaga".
Terdapat dua hal utama pada metode langsung. Pertama, metode langsung mera- malkan keberadaan dan sifat jawaban dari fenomena fisis. Kedua, metode langsung mengkonstruksi jawaban bagi masalah fisis. Oleh karena itu, penyelesaian masa- lah variasi pada metode langsung ini dimulai dari menentukan keberadaan jawaban atas masalah fisis seperti persamaan elektromagnetika, tanpa harus langsung meng- konstruksi jawabannya. Penentuan ini tentunya sangat membantu dalam penyelesaian jawaban persamaan elektromagnetika.
Penyelesaian metode langsung dapat dilakukan dengan menggunakan metode Ritz dan metode beda hingga (Gelfand & Fomin, 1963). Pada metode Ritz, pencarian jawaban masalah fisis dilakukan dengan membuat barisan jawaban untuk suatu fungsi uji yang dipilih, yaitu fungsi yang mendekati jawaban eksak. Barisan ini disebut dengan barisan peminim. Fukushima (1984) kemudian menggunakan metode Ritz untuk menyelesaikan masalah elektrodinamika. Studi ini dilakukan untuk menjawab kesulitan penggunaan metode komputasi beda hingga pada medan elektromagnetik akibat adanya invariansi tera. Medan elektromagnetik dibentang dalam basis fungsi skalar dan dibuat dalam bentuk barisan sebagai barisan peminim.
Pada perkembangan selanjutnya, penyelesaian metode langsung diusulkan de- ngan menggunakan metode Legendre wavelets oleh Razzaghi dan Yousefi (2001). Fo- kus utamanya adalah penyelesaian masalah Brachistochrone. Fungsi uji dipilih dalam
bentuk Legendre wavelets dan kemudian barisan tersebut diselesaikan dengan kom- putasi. Hasil yang didapat memiliki keakuratan yang baik, dengan nilai mendekati hasil eksak.
Pada tahun 2004, Hsiao mengusulkan penyelesaian masalah variasi dengan menggunakan metode Haar wavelets. Studi yang dilakukan mirip dengan yang dila- kukan Razzaghi dan Yousefi, hanya saja barisan peminim untuk fungsi uji dibentang dalam Haar wavelets. Akan tetapi, Hsiao tidak menyelesaikan masalah fisis secara khusus, tetapi hanya memberikan metode umum yang dapat digunakan untuk men- dapatkan barisan peminim bagi suatu fungsional.
Usulan menggunakan metode lain juga dilakukan oleh Babolian dkk. (2007) yang mengusulkan penggunaan fungsi ortogonal triangular sebagai barisan peminim.
Selain itu, Dixit dkk. (2010) mengusulkan penggunaan metode Bernstein sebagai ba- gian dari metode langsung untuk menyelesaikan masalah variasi. Metode Bernstein merupakan metode yang sangat efisien dibandingkan metode lain yang telah dise- butkan. Untuk orde yang cukup kecil, metode Bernstein mampu memberikan akurasi yang sama dengan metode lain untuk orde yang besar.
Metode langsung yang telah dikembangkan selama ini masih terbatas pada fungsi. Kenyataannya, banyak fenomena fisis telah dibuat dalam bentuk umum, se- perti teori elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial. Oleh karena itu, sifat- sifat elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial ini dapat dipelajari melalui metode langsung kalkulus variasi dalam wakilan forma diferensial. Hal ini dimung- kinkan oleh gebrakan baru yang diusulkan oleh Wang dkk. (2013) yang mengem- bangkan metode langsung dalam wakilan forma diferensial. Hal ini merupakan kon- sep baru yang penerapannya pada persamaan elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial belum pernah dilakukan sebelumnya. Studi ini tentunya sangat membantu untuk menyelesaikan masalah variasi, terutama jika masalah variasi itu dikaji dalam wakilan forma diferensial. Dengan demikian, masalah variasi dalam wakilan forma diferensial memungkinkan untuk diselesaikan.
1.8 Metode Penelitian
Penelitian yang telah dilakukan merupakan suatu telaah teoretis-matematis.
Sebagai penelitian yang bersifat telaah teoretis-matematis, dilakukan tinjauan ter- hadap literatur mengenai prosedur-prosedur yang telah dikembangkan sebelumnya serta perhitungan-perhitungan matematis. Terkait dengan bidang matematika, peneli-
tian ini banyak menerapkan teori analisis fungsional dan geometri, terutama kalkulus variasi dan forma diferensial dalam menganalisis sistem fisis (elektromagnetika) khu- susnya pada penerapan metode langsung kalkulus variasi.
Penelitian teoretis-matematis pada dasarnya tidak memiliki langkah-langkah yang baku, namun pada penelitian ini penyelesaian masalah variasi dengan meto- de langsung kalkulus variasi dilakukan dengan beberapa tahapan. Tahapan-tahapan tersebut meliputi pengujian terpenuhinya hipotesis-hipotesis yang berkaitan dengan rapat Lagrangian persamaan elektromagnetika. Suatu fungsional dibangun dan diten- tukan keberadaan peminimnya melalui metode langsung kalkulus variasi.
1.9 Sistematika Penulisan
Penulisan penelitian ini dibagi menjadi lima bab. Kelima bab serta isinya secara garis besar adalah sebagai berikut.
1. Bab I pendahuluan, yang terdiri dari latar belakang yang menjelaskan alasan pemilihan tema penelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan pene- litian, manfaat penelitian, pernyataan keaslian tesis, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penelitian.
2. Bab II elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial, yang terdiri dari enam subbab yang terdiri dari keragaman, konsep forma, medan vektor dan medan tensor, untingan serat, forma diferensial serta elektromagnetika dalam wakilan forma diferensial.
3. Bab III metode langsung kalkulus variasi dalam wakilan forma diferensial, yang terdiri dari lima subbab yaitu prinsip dasar metode langsung kalkulus va- riasi, ruang Lpdan ruang Sobolev, prinsip variasi dalam wakilan forma diferen- sial, konvergensi dan analisis cembung, gagasan setengah kontinu bawah lemah dalam wakilan forma diferensial dan keberadaan peminim.
4. Bab IV penerapan metode langsung kakulus variasi pada elektromagnetika da- lam wakilan forma diferensial, yang terdiri dari empat subbab yaitu syarat per- tumbuhan fungsional persamaan elektromagnetika, kecembungan rapat Lagra- ngian persamaan elektromagnetika, sifat setengah kontinu bawah lemah, dan keberadaan peminim fungsional persamaan elektromagnetika.
5. Bab V penutup, yang terdiri dari dua subbab yaitu simpulan dan saran.
