Program Linear - IPA

(1)

Program Linear - IPA

Tahun 2005

1. Tanah seluas 10.000 m² akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m² dan tipe B diperlukan 75 m². Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ...

A . Rp 550.000.000,00 D . Rp 800.000.000,00 B . Rp 600.000.000,00 E . Rp 900.000.000,00 C . Rp 700.000.000,00

Jawab:

misal:

x = rumah tipe A y = rumah tipe B

100x + 75y ≤ 10.000 ⇒ dibagi 25 4x + 3y ≤ 400 …..(1) x + y ≤ 125 …..(2)

Keuntungan maksimum : 6000.000 x + 4000.000 y =…?

Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan sketsa grafik:

Grafik 1 : 4x + 3y ≤₄₀₀

titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 4

400 = 100

Titik potongnya (100 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 3

400= 133,3

Titik potongnya (0 , 133,3)

Grafik 2 : x + y ≤ 125

titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 125 Titik potongnya (125 , 0)

(2)

Titik potongnya (0 , 125)

Gambar grafiknya:

125 133,3

100 125 titik potong :

eliminasi x

4x + 3y = 400 x 1 ⇒ 4x + 3y = 400 x + y = 125 x 4 ⇒ 4x + 4y = 500 - -y = -100 y = 100 x + y = 125

x = 125 - y

= 125 – 100 = 25 didapat titik potong (25, 100) Titik pojok 6000.000 x + 4000.000 y

(100,0) 600.000.000 (0,125) 500.000.000

(25, 100) 150.000.000+ 400.000.000 = 550.000.000 Keuntungan maksimum adalah Rp.600.000.000

Jawabannya adalah B

Tahun 2006

2. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak.

Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp.

6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…..

A. Rp.150.000,00 C. Rp.192.000,00 E. Rp.216.000,00 B. Rp.180.000,00 D. Rp.204.000,00

(3)

Jawab:

Misal : x = mangga ; y = pisang Model matematikanya:

x ≥ 0 ; y ≥ 0

8000x + 6000y ≤ 1200.000 dibagi 2000

⇔ 4x + 3y ≤ 600 ….(1) x + y ≤ 180 ….(2)

Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200 Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000 Laba maksimum = 1200x + 1000y

200 180

(60,120)

150 180 Titik potong:

Dari pers (1) dan (2) eliminasi x

4x + 3y = 600 x1 ⇒ 4x + 3y = 600 x + y = 180 x4 ⇒ 4x + 4y = 720 - - y = - 120 y = 120 x + y = 180

x = 180 – 120 = 60 titik potong = (60,120)

Titik pojok 1200x + 1000y (0, 0) 0

(150, 0) 180.000 (60, 120) 192.000 (0, 180) 180.000 Laba maksimum adalah 192.000 Jawabannya adalah C

(4)

Tahun 2007

3. Luas daerah parkir 1.760 m². Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m². Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp.

1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah

….

A. Rp. 176.000,00. C. Rp. 260.000,00 E. Rp. 300.000,00 B. Rp. 340.000,00 D. Rp. 200.000,00.

Jawab:

misal x = mobil kecil dan y = mobil besar, maka dapat dibuat persamaan sbb:

4 x + 20 y ≤ 1760 ⇒ x + 5 y ≤ 440 …(1) x + y ≤ 200 …(2)

dari pers (1) dan (2) eliminasi x

x + 5 y = 440 x + y = 200 - 4 y = 240 y =

4

240= 60 x + y = 200 x + 60 = 200 x = 200 – 60 = 140 maka hasil maksimum

1000 x + 2000 y = 1000. 140 + 2000. 60 = 140000 + 120000 = Rp. 260.000,- Jawabannya adalah C

(5)

4. Perhatikan gambar !

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah ….

A. ( 2,5 ) C. ( 2,2/5 ) E. ( 2/5,2 ) B. ( 2,5/2 ) D. ( 5/2,2 )

Jawab:

Cari persamaan garisnya terlebih dahulu:

persamaan garis: ax + by = ab

garis yang melalui titik M(x,y) memotong sumbu x di titik (4,0) dan memotong sumbu y di

titik (0,5). a = 5 : b = 4 5x + 4y = 20

4y = 20 – 5x y =

4 20 -

4

5x = 5 - 4 5 x

Luas daerah yang diarsir L = x .y = x . (5 - 4

5 x) = 5x - 4 5 x²

Luas akan maksimum jika turunan L (L^')=0 L = 5x -

4 5 x²

L^'= 5 - 2

5 x = 0

5 = 2

5 x x = 2

(6)

Masukkan nilai x : y = 5 -

4

5 x = 5 - 4

5. 2 = 5 - 2 5 =

2 5

jadi koordinat titik M agar mencapai nilai maksimum adalah ( 2,5/2 ) Jawabannya adalah B

Tahun 2008

5. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y adalah ….

A. 88 C. 102 E. 196 B.94 D. 106

Jawab:

Rumus persamaan garis : ax + by = ab

Persamaan garis 1 : titik (0,20) dan titik (12,0)

a b

20 x + 12 y = 240 ⇒ 5x + 3y = 60

Persamaan garis 2 : melalui titik (0,15) dan titik (18,0)

a b 15x + 18 y = 270 ⇒ 5x + 6y = 90

Mencari titik potong persamaan garis 1 dan 2:

titik potong garis 1 dan 2 5x + 3y – 60 = 5x + 6y – 90 5x – 5x -60 + 90 = 6y - 3y

(7)

30 = 3y y = 10 mencari x:

5x + 3y = 60 5x + 3 . 10 = 60 5x = 60 – 30 5x = 30 x = 6

mencari nilai maksimum yaitu ditentukan dari titik-titik pojok arsiran dan titik potong:

x y f(x,y) = 7x + 6y

0 0 0

12 0 84

6 10 102

0 15 90

terlihat bahwa nilai terbesar/maksimum adalah 102 Jawabannya adalah C

6. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ….

A. Rp. 600.000,00 C. Rp. 700.000,00 E. Rp. 800.000,00 B. Rp. 650.000,00 D. Rp. 750.000,00

Jawab:

Bahan yg tersedia : gula = 4 Kg = 4000 gr tepung = 9 Kg = 9000 gr

Untuk kue A dibutuhkan bahan : 20 gr gula + 60 gr tepung Untuk kue B dibutuhkan bahan: 20 gr gula + 40 gr tepung pendapatan maksimum : 4000 x + 3000 y = … ?

(8)

Model matematika:

20x + 20 y ≤ 4000 ⇔ x + y ≤ 200 pemakaian gula 60 x + 40y ≤ 9000 ⇔ 3x + 2y ≤ 450 pemakaian tepung x ≥ 0 ; y ≥ 0

titik potong x + y ≤ 200 dengan 3x + 2y ≤ 450 : eliminasi x

x + y = 200 x 3 ⇒ 3x + 3 y = 600 3x + 2y = 450 x 1 ⇒ 3x + 2 y = 450 - y = 150 x + y = 200

x + 150 = 200

x = 200 – 150 = 50 titik potongnya (50, 150)

Titik-titik pojoknya adalah (0, 0), (150, 0), (0, 200) dan titik potong (50, 150) Buat tabel:

x y 4000 x + 3000 y

0 0 0

150 0 600000

0 200 600000

50 150 650000

didapat pendapatan maksimumnya dalah Rp.650.000 Jawabannya adalah B

(9)

Tahun 2009

7. Menjelang hari raya Idul Adha Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut- turut Rp. 9.000.000,00 dan Rp.

8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp. 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut- turut Rp. 10.300.000,00 dan Rp.

9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor.

Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli adalah ….

A. 11 sapi dan 4 kerbau D. 0 sapi dan 15 kerbau B. 4 sapi dan 11 kerbau E. 7 sapi dan 8 kerbau C. 13 sapi dan 2 kerbau

Jawab:

Buat model matematikanya : Misal sapi = x dan kerbau = y

9000.000 x + 8000.000 y ≤ 124000.000 9x + 8y ≤ 124 ….(1) x + y ≤ 15 …(2)

x≥0;y≥0

Keuntungan harga jual sapi = 10.300.000 – 9000.000 = 1300.000 Keuntungan harga jual kerbau = 9.200.000 – 8000.0000 = 1200.000 Keuntungan maksimum: 1300.000 x + 1200.000 y =…?

Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan sketsa grafik:

Grafik 1 : 9x + 8y ^≤ 124

titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 9

124 = 13,77

Titik potongnya (13,77 , 0)

124= 15,5

(10)

Titik potongnya (0 , 15,5)

Grafik 2 : x + y ^≤ 15

titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 15 Titik potongnya (15 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15 Titik potongnya (0 , 15)

Titik potong (1) dan (2):

substitusi pers 1 dan 2 : eliminasi x

9x + 8y = 124 x 1 ^⇒ 9x + 8y = 124 x + y = 15 x 9 ^⇒ 9x + 9y = 135 - - y = - 11 y = 11 x + y = 15 x = 15 – 11 = 4 titik potongnya (4, 11)

sketsa grafik:

15,5 15

(4 , 11) titik potong

13,77 15

(11)

Titik pojok 1300.000 x + 1200.000 y (0 , 0 ) 0

(0 , 15 ) 18.000.000 (13,77 , 0 ) 17.901.000

(4 , 11) 5.200.000 + 13.200.000 = 18.400.000

Keuntungan maksimum adalah Rp. 18.400.000 pada titik (4 , 11) sehingga keuntungan maksimum didapat denagan menjual 4 ekor sapid an 11 ekor kerbau

Jawabannya adalah B

Tahun 2010

8. Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut – turut adalah 12 jam perhari dan 15 jam perhari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp.

40.000,00 perunit dan model II Rp 10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ….

A. Rp. 120.000,00 C. Rp. 240.000,00 E. Rp. 600.000,00 B. Rp. 220.000,00 D. Rp. 300.000,00

Jawab:

Misal produk model I = x produk model II = y

A B produk model I x 2 1 produk model II y 1 5 waktu kerja 12 15

ditanya keuntungan maksimum : 40.000 x + 10.000 y = …?

Dibuat model matematikanya:

(12)

x ≥0 ; y ≥0 ; 2x + y ^≤ 12 ; x + 5y ^≤ 15

buat grafiknya:

2x+ y = 12

titik potong dengan sb x jika y=0 2x = 12 x = 6; didapat titik (6,0)

titik potong dengan sb y jika x=0 y = 12 didapat titik (0,12) Tarik garis dari titik (6,0) ke titik (0,12)

x + 5y = 15

titik potong dengan sb x jika y=0 x = 15; didapat titik (15,0)

titik potong dengan sb y jika x=0 5y = 15 y =3 ; didapat titik (0, 3) Tarik garis dari titik (15,0) ke titik (0,3)

titik potong 2 garis tersebut adalah:

substitusikan 2 persamaan tsb:

eliminasi x

2x+ y = 12 x1 ^⇒ 2x+ y = 12 x + 5y = 15 x2 ^⇒ 2x +10y = 30 - - 9y = -18 y = 2 2x + y = 12

2x + 2 = 12 2x = 12-2 x =

2 10 = 5

(13)

titik potongnya adalah (5,2)

dibuat tabel dengan titik-titik pojok:

titik pojok 40.000 x + 10.000 y (0, 0) 0

(0, 3) 30.000

(5, 2) 200.000 + 20.000 = 220.000 (6, 0) 240.000

Terlihat bahwa nilai maksimumnya adalah 240.000 di titik (6, 0) Jawabannya adalah C