MATEMATIKA TERAPAN II

Matematika Terapan II

MATEMATIKA TERAPAN II

Hak Cipta

© Estrellita V.Y. Waney, ST.,M.EngMgt

© Noldie E. Kondoj, ST.,MT

Hak Penerbit Pada POLIMDO PRESS

Penerbit POLIMDO PRESS, Politeknik Negeri Manado Jl. Raya Politeknik, Kelurahan Buha, Kecamatan Mapanget Manado - Sulawesi Utara, PO BOX 1256

Pusat Pengembangan Pembelajaran dan Penjaminan Mutu Basement Kantor Pusat Kampus Politeknik Negeri Manado Pusat penjaminanmutu.polimdo@gmail.com

www.polimdo.ac.id

Setting & Layout : Joseph N. Tangon Cover Design : Joseph N. Tangon

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang. Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalm bentuk dan cara apapun, termasuk fotokopi, tanpa izin tertulis dari penerbit. Pengutipan harap menyebutkan sumber.

Dicetak Oleh POLIMDO PRESS Cetakan Buku Pertama, November 2019

ISBN : 978-623-7580-11-9 vi ; 100 hlm ; 15,5 x 23 cm

i

KATA PENGANTAR

Pada era globalisasi sekarang ini, institusi pendidikan tinggi maupun universitas memasuki dunia yang penuh dengan kompetisi untuk semakin meningkatkan mutu dan kualitas baik kurikulum, staf pengajar maupun sistem pendidikannya. Bahkan berbagai institusi pendidikan menjalin kerjasama baik intensif maupun ekstensif dengan berbagai universitas maupun lembaga pendidikan tinggi yang lain dari luar negeri yang pada akhirnya ikut menebarkan sayap globalisasi itu sendiri dalam dunia pendidikan kita di Indonesia. Dampak secara langsung yang terlihat jelas adalah terpacunya penyediaan sarana dan prasarana yang dibutuhkan untuk mencapai target kualitas yang dibutuhkan untuk mengembangkan sumber daya manusianya.

Salah satu sarana untuk pemenuhan mutu dan kualitas di institusi Politeknik Negeri Manado adalah penyediaan materi-materi kuliah yang optimal. Padahal, buku referensi yang diperlukan untuk mendukung sistem pendidikan tinggi masih banyak menggunakan atau mengacu pada buku-buku teks berbahasa asing yang ditulis oleh pakar-pakar asing. Hal ini tentunya dapat menjadi hambatan dalam proses pembelajaran. Untuk alasan itulah Buku Ajar Matematika Terapan II ini dibuat.

Secara umum buku ini membahas tentang Matriks, Diferensial dan Integral serta penerapannya dalam memecahkan masalah-masalah teknik sipil.

Buku ajar ini dapat dipakai sebagai bahan literatur untuk mata kuliah Matematika Terapan II dan sebagai pedoman bagi staf pengajar mata kuliah lain, dimana mata kuliah Matematika Terapan II ini merupakan mata kuliah pendukungnya.

Seperti semua pekerjaan lainnya baik besar maupun kecil, penerbitan buku ini tak akan terlaksana tanpa sumbangan pemikiran, bantuan dan kerjasama berbagai pihak. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

• Pimpinan Politeknik Negeri Manado, Pimpinan Jurusan Teknik Sipil, atas kebijakan dan fasilitas penunjang yang diberikan kepada penulis.

ii

• Tim Pengajar Mata Kuliah Matematika Terapan I dan II, yang sudah memberikan masukan bagi tim penulis, dalam rangka memperkaya materi penulisan buku ajar ini.

Dan tentunya untuk keluarga, suami dan anak-anak tercinta, terima kasih atas waktu yang diberikan selama penulisan buku ajar ini. Semoga pembaca dapat menikmati buku ini dan perbaikan serta usulan yang konstruktif untuk penerbitan-penerbitan berikutnya sangatlah diharapkan. Terima kasih. Manado, Mei 2019 Salam, Tim Penyusun

Kata Pengantar

iii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ...…... i

Daftar Isi ...……. iii

Daftar Tabel ……….…...……...…….… v Bab 1. Pendahuluan …..……….…... 1 Bab 2. Matriks ... 5 2.1. Macam-macam matriks ... 6 2.1.1 Definisi ...………... 6 2.1.2 Matriks Baris ...…………. 7 2.1.3 Matriks Kolom ………... 7

2.1.4 Matriks Berelemen Tunggal ……….…....….…. 7

2.1.5 Notasi Dua Indeks ……….. 8

2.1.6 Notasi Matriks ………. 8

2.2. Operasi Matriks………..………... 9

2.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks …………... 9

2.2.2 Perkalian Matriks ...………. 9

2.2.2.1 Perkalian dengan Skalar ………...………….. 9

2.2.2.2 Perkalian Dua Buah Matriks ……….…... 10

2.2.3 Transpose Matriks ….……….…..…… 12

2.2.4 Matriks-Matriks Khusus ………..……….….. 13

2.3. Determinan Matriks Bujursangkar ……….. 14

2.3.1 Determinan Matriks Bujursangkar …….……... 14

2.3.2 Determinan Matriks Transpose ……….……… 16

2.3.3 Metode Sarrus ………..………... 16

2.3.4 Sifat-Sifat Determinan 17 2.4. Kofaktor ………..….. 18

2.5. Adjoin Matriks Bujursangkar ………..………….... 20

2.6. Invers Matriks Bujursangkar ……….……….…. 22

2.7. Pemecahan Sistem Persamaan Linear …..……….. 23

2.7.1 Metode Invers Matriks ……… 23

2.7.2 Metode Eliminasi Gauss ………. 26

2.7.3 Aturan Cramer ……… 30

2.8. Ringkasan ……….….….…….. 34

Bab 3. Diferensial ………..……….…. 39

3.1. Daftar Diferensial Baku ………... 40

3.2. Diferensial Fungsi dari Suatu Fungsi Linear dalam x ….. 40

Daftar Isi

iv

3.3. Perkalian Dua Fungsi ……….………….…..……..… 43

3.4. Pembagian Dua Fungsi ……….….……….… 45

3.5. Diferensiasi Logaritmik ….…….……….… 46

3.6. Diferensial Fungsi Implisit ……….…. 50

3.7. Diferensial Parsial ……… 52

3.7.1 Pertambahan Kecil, Kesalahan dan Toleransi ……. 52

3.7.2 Fungsi Implisit ……….…… 56 3.7.3 Penggantian Variabel ……….……….… 60 3.8. Penerapan Diferensiasi …………..………..… 61 3.8.1 Kecepatan Perubahan………..………….... 64 3.8.2 Garis Singgung ………...…………. 64 3.8.3 Garis Normal ………... 65 3.9. Ringkasan ………..………...…… 66 Bab 4. Integral ………..………...…... 71

4.1. Daftar Integral Baku .………..……. 72

4.2. Fungsi dari Suatu Fungsi Linier dalam x ……….. 73

4.3. Integral dalam Bentuk-Bentuk Khusus ……….…. 75

4.3.1 Integral dalam Bentuk ………... ₇₆

4.3.2 Integral dalam Bentuk …………. ₇₈

4.4. Integrasi Suatu Perkalian - Integrasi Perbagian (Parsial)... 80

4.5. Integrasi Fungsi-Fungsi Trigonometri ……… 84

4.5.1 Pangkat Sin x dan Pangkat Cos x ………..……. 84

4.5.2 Perkalian Sinus dan Cosinus ……… 85

4.6. Penerapan Integral Tentu ..…...………. 86

4.6.1 Luas Daerah yang Dibatasi Sebuah Kurva ……. 86

4.6.2 Luas Daerah Diantara Dua Kurva ……….. 89

4.7. Ringkasan ……….………..……….. 91

Daftar Pustaka ……….……… 95

Glosarium Indeks

Daftar Tabel

v

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Daftar Diferensial Baku Tabel 2. Daftar Integral Baku

Daftar Tabel

Pendahuluan

1

Bab 1. PENDAHULUAN

Latar Belakang:

Matematika Terapan merupakan cabang Matematika yang terkait dengan teknik matematika yang digunakan dalam aplikasi ilmu matematika untuk bidang-bidang lain. Matematika Terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak untuk memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis dan lainnya. Mata kuliah ini mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mangarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

Dalam mempelajari ilmu-ilmu yang terkait di bidang Teknik Sipil, mahasiswa perlu memiliki dasar-dasar pengetahuan matematika yang baik. Untuk menopang proses belajar mengajar mata kuliah Matematika Terapan perlu adanya penuntun bagi dosen dan juga mahasiswa dalam bentuk buku ajar.

Tujuan Penulisan Buku Ajar:

✓ Menyediakan bahan ajar/materi bagi dosen pengajar dan mahasiswa semester II pada Program Studi D3 Teknik Sipil.

✓ Menyediakan bahan ajar/materi yang memberikan tambahan

pengetahuan tentang dasar-dasar perhitungan dalam matematika serta aplikasinya di bidang teknik sipil.

✓ Menyediakan bahan ajar / materi pembelajaran yang menarik bagi para mahasiswa.

Pendahuluan

2

✓ Menyediakan bahan ajar yang terstruktur untuk mencapai tujuan pembelajaran mata kuliah.

✓ Menyediakan referensi untuk mata kuliah teknik sipil lainnya yang membutuhkan pengetahuan dasar matematika.

Manfaat Buku Ajar:

✓ Membantu mahasiswa dalam memahami Matriks, Diferensial

dan Integral.

✓ Membantu mahasiswa dalam mengaplikasikan pengetahuan

tentang Matriks, Diferensial dan Integral pada perhitungan-perhitungan yang dibutuhkan dalam menyelesaikan persoalan-persoalan pada perencanaan konstruksi di bidang Teknik Sipil.

✓ Memberikan pengetahuan bagi mahasiswa tentang konsep-konsep dasar matematika untuk menunjang penguasaan materi teknik sipil sehingga mereka mampu melakukan penalaran secara logis sebagai bekal dalam membuktikan konsep-konsep matematika secara deduktif.

✓ Membantu mahasiswa dalam melaksanakan kurikulum

karena disusun berdasarkan kurikulum yang berlaku.

✓ Menjadi pegangan bagi dosen pengajar dalam menentukan metode pengajaran.

Ruang Lingkup:

Buku ajar ini membahas tentang konsep-konsep dasar matematika yang akan digunakan dalam ilmu teknik sipil yang meliputi: matriks, diferensial dan integral.

Pendahuluan

3

Petunjuk Penggunaan:

Baca terlebih dahulu materi pada Bab I tentang Pendahuluan yang menjelaskan tentang latar belakang, tujuan, ruang lingkup dan manfaat buku ajar ini. Selanjutnya, untuk mempelajari tiap topik-topik yang ada, baca isi materi dengan teliti sampai mengerti, kemudian kerjakan soal latihan yang ada. Jika soal latihan sudah dapat dikerjakan dengan baik, lanjutkan dengan mengerjakan tugas-tugas yang tersedia supaya semakin mengerti dan memahami topik-topik yang ada. Jadi, setelah menyelesaikan satu topik-topik, diwajibkan mengerjakan soal-soal latihan yang tersedia.