MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PERTEMUAN #6

(1)

MATEMATIKA

SISTEM

INFORMASI 1

PERTEMUAN #6

(2)

PROPOSISI

Logika

● Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).

● Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).

Proposisi

● Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

(3)

DEFINISI PROPOSISI

Sebuah proposisi (proposition) atau statement ialah sebuah kalimat

deklaratif (pernyataan) yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S).

NILAI KEBENARAN suatu pernyataan didasarkan pada fakta ilmiah atau kesepakatan umum.

Suatu proposisi adalah sebuah variabel logika p, q, r, ... atau sebuah ungkapan yang dibangun dari variabel-variabel ini dan hubungan dengan logika (⋀, ⋁, ~).

(4)

PROPOSISI

“Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah proposisi

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

YA YA

(5)

PROPOSISI

“250 < 11”

YA YA

(6)

PROPOSISI

“Y > 5”

YA TIDAK

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan.

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat

(7)

PROPOSISI

“Sekarang tahun 2018 dan 77 < 7”

YA YA

(8)

PROPOSISI

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi

TIDAK

Ini adalah sebuah permintaan.

(9)

PROPOSISI

“X < y jika dan hanya jika y > x”

YA YA

BENAR

(10)

LATIHAN

1. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia 2. Ponorogo terletak di propinsi Jawa Tengah

3. 1 + 2 = 3 4. 2 + 2 = 5

5. Jam berapakah sekarang? 6. Silakan masuk ke ruangan! 7. X + 2 = 3

No. 1 dan 3 Proposisi bernilai benar (T) No. 2 dan 4 Proposisi bernilai salah (F)

No. 5 dan 6 Bukan Proposisi karena pertanyaan dan permintaan

No. 7, bila x = 1 maka Proposisi benar, tapi bila x = 2 maka proposisi salah.

(11)

PENGHUBUNG

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 penghubung, yaitu: 1. Negasi (Negation)

2. Konjungsi (Conjunction) 3. Disjungsi (Disjunction) 4. Implikasi (Implication) 5. Ekuivalensi (Equivalence)

(12)

NEGASI (INGKARAN)

Deﬁnisi:

Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, Benar/Salah, maka negasinya ditulis sebagai ~p, memiliki nilai kebenaran lawannya,

Salah/Benar.

Tabel 1: Tabel untuk proposisi dan negasinya

p ~p

True False

(13)

NEGASI (INGKARAN)

Notasi untuk proposisi: p, q, r, s, …

Misalkan p suatu proposisi. Proposisi yang menyatakan “bukan p” disebut NEGASI atau INGKARAN dari pernyataan p, dan disimbolkan oleh ~p

Contoh:

PROPOSISI INGKARAN

Hari ini adalah hari Rabu Hari ini adalah bukan hari Rabu

2 adalah bilangan genap 2 adalah bilangan ganjil

3 lebih dari 2 3 kurang dari atau sama dengan 2

(14)

KONJUNGSI

Deﬁnisi:

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi “p dan q” ditulis p ⋀ q adalah proposisi yang bernilai benar jika kedua p dan q benar; dan bernilai salah

untuk kasus lainnya. Proposisi p ⋀ q disebut KONJUNGSI dari p dan q.

Tabel 2: Tabel Konjungsi

p q p ⋀ q

TRUE TRUE TRUE

TRUE FALSE FALSE

FALSE TRUE FALSE

(15)

KONJUNGSI

Contoh:

1. Misalkan

p: Hari ini Jumat q: Hari ini hujan Maka p ⋀ q: ?

Maka p ⋀ q: Hari ini Jumat dan hujan Bagaimana nilai kebenarannya?

Sangat tentatif tergantung pada keadaan di saat pernyataan ini

(16)

KONJUNGSI

Contoh:

2. Misalkan

p: Ada 7 hari dalam seminggu q: 2 + 2 = 4

Maka p ⋀ q: ?

Maka p ⋀ q: Ada 7 hari dalam seminggu dan 2 + 2 = 4 Bagaimana nilai kebenarannya?

(17)

KONJUNGSI

Contoh:

3. Misalkan

p: Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan.

q: Satu dekade sama dengan 10 tahun. Maka p ⋀ q: ?

Maka p ⋀ q: Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan dan satu dekade sama dengan 10 tahun. Bagaimana nilai kebenarannya?

(18)

DISJUNGSI

Deﬁnisi:

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi “p atau q” ditulis p ⋁ q adalah proposisi yang bernilai salah jika kedua p dan q salah; dan bernilai benar untuk kasus lainnya.

Tabel 3: Tabel Disjungsi

p q p ⋁ q

TRUE TRUE TRUE

TRUE FALSE TRUE

FALSE TRUE TRUE

(19)

DISJUNGSI

1. Diperhatikan proposisi berikut:

“Mahasiswa yang sudah mengambil kuliah kalkulus atau kuliah algoritma pemrograman boleh mengambil kuliah metode numerik.”

Bentuk disjungsi p ⋁ q, di mana:

p: Mhs yang sudah kuliah kalkulus boleh ambil numerik q: Mhs yang sudah ambil algoritma boleh ambil numerik

Beberapa kemungkinan mahasiswa yang boleh ambil numerik: 1. Mhs yang sudah mengambil kuliah kalkulus saja

2. Mhs yang sudah mengambil kuliah algoritma saja 3. Mhs yang sudah mengambil keduanya

(20)

LATIHAN

Misalkan p adalah “Dia tinggi” dan q adalah “Dia tampan”.

Tuliskan setiap pernyataan berikut dalam bentuk simbolik dengan

menggunakan p dan q. Asumsikan bahwa “Dia rendah” berarti “Dia tidak tinggi”.

1. Dia tinggi dan tampan

2. Dia tinggi tetapi tidak tampan

3. Tidak benar (salah) bahwa dia rendah atau tampan 4. Dia tidak tinggi dan juga tidak tampan

5. Dia tinggi, atau dia pendek dan tampan

(21)

IMPLIKASI

Deﬁnisi:

Misakan p dan q adalah proposisi. Proposisi “jika p maka q” ditulis p ➡ q

adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar tetapi q salah; dan bernilai

benar untuk kasus lainnya.

Tabel 4: Tabel Implikasi

Diperhatikan tabel implikasi! Apapun nilai kebenaran q, asalkan p bernilai salah, maka implikasinya bernilai benar.

p q p ➡ q

TRUE TRUE TRUE

TRUE FALSE FALSE

FALSE TRUE TRUE

(22)

IMPLIKASI

Penyebutan lain untuk p ➡ q: 1. p berimplikasi q

2. p berakibat q 3. q hanya jika p

4. p adalah syarat cukup q 5. q adalah syarat perlu p

(23)

IMPLIKASI

Misalkan

p: soal ujian yang diberikan oleh guru q: jawaban yang diberikan oleh siswa

Nilai kebenaran dari p ➡ q diilustrasikan sebagai penilaian guru: 1. Bila soal ujian benar, jawaban juga benar, maka nilainya lulus. 2. Bila soal ujian benar, jawaban salah, maka nilainya harus gagal. 3. Bila soal ujian salah, dijawab benar, maka nilainya lulus.

(24)

BI-IMPLIKASI

Deﬁnisi:

Misakan p dan q adalah proposisi. Proposisi “p jika hanya jika q” ditulis p ↔ q adalah proposisi yang bernilai benar jika p dan q keduanya benar atau

keduanya bernilai salah.

Tabel 5: Tabel Bi-Implikasi

p q p ↔ q

T T T

T F F

F T F

(25)

BI-IMPLIKASI

Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi: 1. 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4

2. Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi

3. Jika Anda orang kaya maka Anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya

4. Bandung terletak di Jawa Barat jika dan hanya jika Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia.

(26)

BI-IMPLIKASI

Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”: 1. Jika udara di luar panas maka Anda membeli es krim, dan jika Anda

membeli es krim maka udara di luar panas.

2. Syarat cukup dan perlu agar Anda memenangkan pertandingan adalah Anda melakukan banyak latihan.

Jawaban

1. Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas.

2. Anda memenangkan pertandingan jika dan hanya jika Anda melakukan banyak latihan.

(27)

LATIHAN

Misalkan p adalah statement “Udara dingin” dan q adalah “Hujan turun”. Berikanlah bunyi kalimat yang menjelaskan setiap pernyataan majemuk berikut. 1. ~p 2. p ⋀ q 3. p ⋁ q 4. q ↔ p 5. p ➡ ~q

Dalam setiap kasus, terjemahkanlah ⋀, ⋁, ~, ➡, dan ↔ untuk berturut-turut “dan”, “atau”, “tidak benar bahwa”

atau “tidak”, “jika … maka …” dan “jika dan hanya jika”.

(28)

LATIHAN

Misalkan p adalah statement “Udara dingin” dan q adalah “Hujan turun”. Berikanlah bunyi kalimat yang menjelaskan setiap pernyataan majemuk berikut. 6. q ⋁ ~p 7. ~p ⋁ ~q 8. p ↔ ~q 9. ~~q 10. (p ⋀ ~q) ➡ p

Dalam setiap kasus, terjemahkanlah ⋀, ⋁, ~, ➡, dan ↔ untuk berturut-turut “dan”, “atau”, “tidak benar bahwa”

atau “tidak”, “jika … maka …” dan “jika dan hanya jika”.

(29)

LATIHAN

Tentukan tabel kebenaran proposisi: 1. ~p ⋀ q

2. ~(p ➡ ~q)

3. (p ⋀ q) ➡ (p ⋁ q) 4. ~(p ⋀ q) ⋁ ~(q ↔ p)

(30)

LATIHAN

Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap penyataan majemuk yang berikut: 1. Jika 3 + 2 = 7, maka 4 + 4 = 8

2. Paris berada di Inggris atau London berada di Perancis 3. Tidak benar bahwa 2 + 2 = 5 jika dan hanya jika 4 + 4 = 10 4. Tidak benar bahwa 1 + 1 = 3 atau 2 + 1 = 3

5. Tidak benar bahwa jika Paris berada di Inggris maka London berada di Perancis

(31)

KONVERS, INVERS, dan KONTRAPOSISI

Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi baru dari suatu pernyataan implikasi.

Contoh:

1. Diperhatikan implikasi p ➡ q: ● Konvers: q ➡p

● Invers: ~p ➡ ~q

(32)

KONVERS, INVERS, dan KONTRAPOSISI

2. Diperhatikan implikasi (p ⋀ q) ➡ r: ● Konvers: r ➡ (p ⋀ q) ● Invers: (~p ⋁ ~q) ➡ ~r ● Kontraposisi: ~r ➡ (~p ⋁ ~q) 3. Diperhatikan implikasi ~p ➡(q ⋀ ~r): ● Konvers: (q ⋀ ~r) ➡ ~p ● Invers: p ➡ (~q ⋁ r) ● Kontraposisi: (~q ⋁ r) ➡p

(33)

KONVERS, INVERS, dan KONTRAPOSISI

4. Diperhatikan implikasi (q ⋁ ~r) ➡ (p ⋀ r): ● Konvers: (p ⋀ r) ➡ (q ⋁ ~r)

● Invers: (~q ⋀ r) ➡ (~p ⋁ ~r)

(34)

TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI

Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus. Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus. Contoh:

p ⋁ ~p: tautologi p ⋀ ~p: kontradiksi

Besok akan turun hujan atau tidak turun hujan: tautologi 2 adalah bilangan genap dan bilangan ganjil: kontradiksi

(35)

CONTOH TAUTOLOGI

Buktikan bahwa proposisi p ⋁ ~(p ⋀ q) adalah sebuah tautologi. Buatlah tabel kebenarannya.

Jawab:

Karena nilai kebenaran dari p ⋁ ~(p ⋀ q) adalah B (benar) untuk semua nilai p dan q maka proposisi adalah sebuah tautologi.

p q (p ⋀ q) ~(p ⋀ q) p ⋁ ~(p ⋀ q) B B B S S B S S B S B S B B S B B S B B

(36)

CONTOH KONTRADIKSI

Buktikan bahwa proposisi (p ⋀ q) ⋀ ~ (p ⋁ q) adalah sebuah kontradiksi. Jawab:

Tabel Kebenaran

Karena nilai kebenaran dari (p ⋀ q) ⋀ ~ (p ⋁ q) adalah S (salah) untuk semua nilai p dan q maka proposisi adalah sebuah kontradiksi

p q (p ⋀ q) (p ⋁ q) ~(p ⋁ q) (p ⋀ q) ⋀ ~(p ⋁ q) B B B S S B S S B B S S S B S S S B S S S S B S

(37)

EKUIVALEN LOGIS

Deﬁnisi:

Dua proposisi m dan n dikatakan ekuivalen logis jika kedua proposisi tersebut mempunyai tabel kebenaran yang identik.

Notasi m ⇔ n atau m ≡n untuk menyatakan bahwa m dan n ekuivalen logis Contoh:

1. Implikasi p ➡q ekuivalen logis dengan kotraposisinya (~q ➡ ~p) 2. ~(p ⋁ q) ⇔ ~p ⋀ ~q

(38)

EKUIVALEN LOGIS

Dalam penerapannya, kebenaran proposisi yang berupa implikasi kadangkala dibuktikan melalui kontraposisinya.

p q ~p ~q p ➡ q ~q ➡ ~p T T T F F T F F F F T T F T F F T F T T T T T T

(39)

BEBERAPA BENTUK EKUIVALEN LOGIS

Misalkan T proposisi yang selalu bernilai benar dan F proposisi yang selalu bernilai salah.

1. Hukum Identitas: p ⋀ T ⇔ p dan p ⋁ F ⇔ p 2. Hukum Dominasi: p ⋁ T ⇔ T dan p ⋀ F ⇔ F 3. Hukum Idempoten: p ⋁ p ⇔ p dan p ⋀ p ⇔ p 4. Hukum Negasi Ganda: ~(~p) ⇔ p

5. Hukum Komutatif: p ⋁ q ⇔ q ⋁ p dan p ⋀ q ⇔ q ⋀ p 6. Hukum Asosiatif: (p ⋁ q) ⋁ r ⇔ p ⋁ (q ⋁ r) (p ⋀ q) ⋀ r ⇔ p ⋀ (q ⋀ r) 7. Hukum Distributif: p ⋁ (q ⋀ r) ⇔ (p ⋁ q) ⋀ (p ⋁ r) p ⋀ (q ⋁ r) ⇔ (p ⋀ q) ⋁ (p ⋀ r) 8. Hukum De Morgan: ~(p ⋀ q) ⇔ ~p ⋁ ~q ~(p ⋁ q) ⇔ ~p ⋀ ~q

(40)