PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan N = {0,1,2, . . .}. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah suatu fungsi x :N → R dengan aturan k 7→ x(k) untuk setiap k ∈ N, dalam hal ini dapat ditulis x(k) = xk. Pada tulisan ini, barisan bilangan real di-tulis dengan notasi x = (xk). Karena tulisan ini membahas tentang barisan bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan saja. Pada barisan x = (xk), bilangan real xk disebut suku ke-k dari barisan x = (xk). Suatu barisan yang ditulis dengan notasi e[n] = e[kn]
∞
k=0 untuk
n ∈ N, didefinisikan sebagai barisan dengan entrinya bernilai 1 hanya pada suku ke-n dan yang lain bernilai 0, yaitu
e[kn] =
(
1 ; untuk k =n 0 ; untuk k 6=n.
Dengan kata lain, e[n] = (0,· · · ,0,1,0,· · ·) dengan entri 1 berada pada posisi ke-n.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω; yaitu ω = {x = (xk) : xk ∈R, ∀k ∈N}. Sebarang ruang linier bagian dariω disebutruang barisan. Ruang-ruang barisan berikut yang ditulis dengan notasic,c0, danℓ∞
masing-masing disebut ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan ruang barisan terbatas, yaitu
c=
x= (xk)∈ω : (∃ l ∈R)xk →l
,
c0 =
x= (xk)∈ω :xk→0
, dan ℓ∞=
x= (xk)∈ω : sup k∈N
|xk|<∞
.
ditulis dengan notasi ℓp; yaitu
Ruang-ruang barisan yang dinotasikan tersebut di atas merupakan salah satu bentuk ruang barisan klasik.
Ruang barisan X dikatakan ruang Banach jika X merupakan ruang bernorma dan untuk setiap barisan Cauchy di dalamnya dapat diperoleh nilai kekonvergenannya. Ruang barisanX disebutruang BK (Banach Kantorovich) jikaXmerupakan ruang Banach dan fungsi koordinatpk :X →Rdengan atu-ran x 7→ pk(x) = xk kontinu pada X untuk semua x = (xk) ∈ X dan setiap k ∈N.
Ruang barisanc,c0, danℓ∞yang diberikan di atas masing-masing
meru-pakan ruang BK terhadap norma supremum k · k∞; yaitu
kxk∞ = sup
k∈N |xk|.
Adapun ruang barisan ℓp dengan 1≤p < ∞ merupakan ruang BK terhadap norma k · kp; yaitu
untuk setiap x= (xk)∈ℓp (Kamthan dan Gupta, 1981).
Sifat-sifat topologi selain dari ruang-ruang barisan di atas terhadap nor-ma yang diberikan telah dibicarakan para peneliti antara lain Maddox (1967), Kamthan dan Gupta (1981). Adapun salah satu applikasi dari ruang barisan adalah transformasi matriks. Transformasi matriks merupakan fungsi pada suatu ruang barisan ke ruang barisan yang sama atau berbeda dengan meman-faatkan matriks tak hingga A = (ank) dengan ank ∈R untuk setiap n, k ∈ N. Dengan kata lain, apabila diberikan ruang barisan X, Y, dan matriks tak hingga A = (ank), fungsi T : X → Y dengan aturan x 7→ T(x) = Ax disebut transformasi matriks. Dalam hal ini barisan Ax= (An(x))∞
n=0 ∈Y, dengan
Selan-jutnya, koleksi semua transformasi matriks yang memetakan X ke Y ditulis dengan notasi (X, Y). Oleh karena itu, A ∈(X, Y) jika dan hanya jika An(x) konvergen untuk setiap n ∈ N dan untuk setiap x ∈ X, dan Ax ∈ Y untuk setiap x∈X.
Penelitian tentang transformasi matriks pada ruang-ruang barisan klasik telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984). Oleh karena itu, para peneliti mengalihkan perhatian mereka ke ruang barisan lain dengan membentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan meman-faatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A yang diberikan. Ruang barisan seperti ini disebutdomain matriks dan ditulis dengan notasiXA; yaitu
XA=
x= (xk)∈ω :Ax∈X
.
Penelitian membentuk ruang barisan baru yang berbentuk domain ma-triks pada suatu ruang barisan dan mama-triks tertentu telah diselidiki oleh para peneliti (Maddox 1967, 1970; Malkowsky dan Savas 2004; Aydin dan Basar 2004, 2005; Altay dan Basar 2005; Malkowsky dan Rako˘cevi´c 2007; Mursaleen dan Noman 2010). Selanjutnya, M. Mursaleen dan A.K. Noman (2010) mem-perkenalkan matriks Λ dan membentuk domain matriks pada ruang-ruang barisanc,c0, dan ℓ∞ dengan matriks Λ tersebut. Berhasil diperlihatkan
sifat-sifat topologi terhadap norma yang diberikan, beberapa relasi inklusi, dual-α, -β, dan -γ, serta transformasi matriks antara ruang-ruang barisan berbentuk domain matriks tersebut.
Pada sisi lain, Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang barisan yang didefinisikan dengan menggunakan fungsi Orlicz. Fungsi Orlicz adalah suatu fungsi M : [0,∞) → [0,∞) yang bersifat kontinu, naik, dan konveks, dengan M(0) = 0, M(x) > 0 untuk x > 0, dan M(x) → ∞ untuk x → ∞. Ruang barisan ini ditulis dengan notasi ℓM, yaitu ruang barisan x= (xk) dengan aturan
Berhasil diperlihatkan bahwa ruang ℓM merupakan ruang Banach dan disebut ruang barisan Orlicz.
bagian suatu struktur atau ruang yang lebih umum daripada ruang barisan bilangan real. Hal ini antara lain dapat dilihat dalam teori transisi Markov kontinu dan teori Ergodic (Aliprantis dan Border, 2006).
Sejauh yang penulis ketahui berdasarkan referensi jurnal maupun infor-masi para pakar, belum ditemukan adanya penelitian tentang domain matriks dari matriks Λ pada ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Or-licz. Generalisasi fungsi Orlicz adalah suatu fungsi M : [0,∞)→ [0,∞) yang bersifat kontinu, naik, dan konveks, dengan M(0) = 0, dan M(x)> 0 untuk x > 0. Oleh karena itu, berdasarkan ide dan hasil penelitian di atas, tim-bul pemikiran penulis untuk meneliti domain matriks dengan memanfaatkan matriks Λ pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz.
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis memilih judul skrip-si, ”Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ”.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan referensi-referensi jurnal yang ada, informasi yang didapat dari internet maupun dari buku-buku yang terkait, serta informasi dari para pakar, belum adanya pembahasan mengenai ruang barisan yang berbentuk domain matriks dari suatu matriks tak hingga A = (ank) pada ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Oleh karena itu, penelitian ini di-fokuskan pada ruang lingkup tersebut. Adapun masalah yang akan dibahas dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimanakah ruang barisan yang dapat dibentuk dengan memanfaatkan generalisasi fungsi Orlicz terhadap ruang barisan klasik c,c0, dan ℓ∞.
2. Dengan menggunakan matriks tak hingga Λ yang diperkenalkan oleh M. Mursaleen dan A. K. Noman, apakah dapat dibentuk domain matriks dari matriks Λ terhadap ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz.
4. Bagaimana relasi inklusi yang terjadi pada ruang barisan yang berbentuk domain matriks tersebut.
5. Apakah yang menjadi syarat perlu dan cukup agar matriks tak hingga A = (ank) berada di dalam kelas transformasi matriks (X, Y), untukX dan Y merupakan ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz.
1.3. Batasan Masalah
Penulis akan meneliti domain matriks dari matriks Λ pada ruang barisan kon-vergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Selan-jutnya, sifat-sifat topologi yang akan diteliti pada ruang barisan yang akan diperkenalkan terkait dengan ruang Banach, ruangBK, dan ruangAK. Lebih lanjut, karakteristik dari kelas transformasi matriks yang akan diteliti, dibatasi pada beberapa ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh gen-eralisasi fungsi Orlicz.
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan permasalahan yang telah dirumuskan di atas, tujuan penelitian ini adalah menyusun teori baru tentang ruang barisan dan transformasi matriks, khususnya tentang sifat-sifat topologi dan relasi inklusi dari ruang barisan yang diperkenalkan, serta karakteristik koleksi transformasi matriks yang dibangun oleh ruang barisan yang diperkenalkan.
1.5. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari hasil penelitian ini, diharapkan dapat:
1. Memperkaya pengetahuan tentang ruang barisan, khususnya ruang barisan yang berbentuk domain matriks dari suatu matriks tak hinggaA= (ank) terhadap ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Olicz. 2. Membuka peluang munculnya teori baru tentang ruang barisan,
3. Membuka area baru penelitian di bidang analisis matematika dan ilmu-ilmu terkait, seperti statistika dan biologi.
