BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI
GRAF PRIMITIF
TESIS
Oleh
SILVIA HARLENI 127021010/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2014
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI
GRAF PRIMITIF
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
SILVIA HARLENI 127021010/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2014
Judul Tesis : BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
Nama Mahasiswa : Silvia Harleni Nomor Pokok : 127021010
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Dr. Mardiningsih, M.Si)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 5 Juni 2014
Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Mardiningsih, M.Si
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
PERNYATAAN
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 5 Juni 2014 Penulis,
Silvia Harleni
ABSTRAK
Scrambling indexdari graf primitifG,k(G), adalah bilangan bulat positif terkecilk, sehingga untuk setiap pasangan titiku,v terdapat titikwsedemikian sehingga ter-dapat jalanu ←→k wdan v ←→k w. Untuk graf primitifGdengan n titik dancycle ganjil terkecilCssepanjang sdiketahui bahwak(G)≤(s−1)/2+(n−s). Andaikan
d{v, Cs} merupakan jarak dari titikv ke cycle Cs, maka maxv∈Vd{v, Cs} ≤ n−s. Tulisan ini memperlihatkan bahwa k(G) ≤ (s−1)/2 + maxv∈Vd{v, Cs}. Tulisan ini juga membahas family dari graf primitif yang scrambling indexnya merupakan (s−1)/2 + maxv∈Vd{v, Cs}.
Kata kunci: Batas atas, Graf primitif,Scrambling index
ABSTRACT
The scrambling index of a primitive graph G, k(G), is the least positive integer
k such that for each pair of distinct vertices u and v there is a vertex w with the property that there are u ←→k w and v ←→k w walk. For a primitive graph
G with n vertices and smallest odd cycle of length s it is known that k(G) ≤
(s−1)/2 + (n−s). Letd{v, Cs} be the distance of the vertex v to the cycle Cs, so maxv∈Vd{v, Cs} ≤n−s. This paper show thatk(G)≤(s−1)/2+ maxv∈Vd{v, Cs}. This paper also discuss family of primitive graphs whose scrambling index are (s−1)/2 + maxv∈Vd{v, Cs}.
Keyword: Upper bound, Primitive graph, Scrambling index
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah memberikan berkah serta kesempatan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”Batas Atas Untuk Scrambling Index Dari Graf Primitif”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa dari awal hingga selesainya penulisan tesis ini, penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Scselaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak mem-berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku pem-banding yang banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajarpada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Siselaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 ganjil yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada ibunda tercinta Hj. Halimah Hanum, S.Pd dan ayahanda Drs. H. Pahmi Efendi, M.Pdserta saudari penulis yang penulis sayangi Sofia Harlena Nasution, S.Pd, Dewi Harni Nasution, dan Aninda Aminah Nasution yang telah memberikan dorongan dan doa dalam menyelesaikan tesis ini. Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada sahabat-sahabat serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih banyak kekurangan, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, 5 Juni 2014 Penulis,
Silvia Harleni
RIWAYAT HIDUP
Silvia Harleni dilahirkan di Aek Mual pada tanggal 26 Agustus 1989 dari pasangan Bapak Drs. H. Pahmi Efendi, M.Pd & Ibu Hj. Halimah Hanum, S.Pd. Tamat dari pendidikan Sekolah Dasar Negeri 142594 Sipolu-polu, Mandailing Natal pada tahun 2002. Sekolah Menengah Pertama Negeri 2 Panyabungan, Mandailing Natal pada tahun 2005. Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Panyabungan, Mandailing Natal tahun 2008. Tahun 2008 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara (USU) fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan lulus tahun 2012. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
DAFTAR ISI
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4
BAB 3 SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF 7
3.1 Graf 7
3.2 Jalan 8
3.3 Primitifitas dan Eksponen 9
3.4 Scrambling Index 10
BAB 4 BATAS ATAS SCRAMBLING INDEX 19
4.1 Batas Atas Scrambling Index dari Graf Primitif 19
4.2 Family Graf Primitif Memenuhi Batas Atas 23
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 26
5.1 Kesimpulan 26
5.2 Saran 27
DAFTAR PUSTAKA 28
DAFTAR GAMBAR
4.2 Contoh graf Lollipop dengan s = 3 22
4.3 Contoh graf Lollipop dengan s = 1 22
4.4 ContohSpecial path pada graf primitif 23
4.5 Contoh graf primitif yang memilikispecial path 24
4.6 Contoh graf primitif yang memilikicycletunggal 24
4.7 Gm
n,s.s≡1(mod2), 1 ≤s≤n−1,1≤m ≤n−s 25
