xii
orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat pada beras, sehingga digali potensi lokal yang berbasis non beras. Ada lima macam proporsi penambahan bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50% untuk masing-masing kandungan proksimat. Telah dilakukan penghitungan secara statistik dalam menentukan dan membandingkan nilai gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung dan bekatul untuk mengoptimalkan kandungan proksimat. Namun, kelemahan perhitungan secara statistik ini adalah tidak dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal yang terbentuk dari para pengoptimalnya. Oleh karena itu, dilakukan penelitian untuk mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).
Pada penelitian yang pertama dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat dan protein. Fungsi tujuan yang digunakan adalah fungsi eksponensial, dan pencarian-pencarian parameter-parameter fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil. Penelitan ini dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik” yang diselenggarakan oleh jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY tanggal 9 November 2013.
Penelitian kedua merupakan pengembangan dari penelitian yang pertama. Pada penelitian yang pertama dilakukan pengoptimalan dengan menggunakan AG pada masing-masing fungsi tujuan, sedangkan pada penelitian kedua dilakukan pengoptimalan dengan AG untuk semua fungsi tujuan.
Rumusan Masalah
Sebagai rumusan masalah dalam penelitian ini adalah
1. Bagaimana menentukan proporsi penambahan bekatul dimana kadar kabohidrat dan kadar protein optimal dengan menggunakan AG untuk setiap fungsi tujuan?
xiii
2. Mendapatkan proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi penderita kolesterol dengan menggunakan AG dengan seluruh fungsi tujuan yang dioptimalkan secara simultan.
Batasan Masalah
Data yang digunakan adalah data sekunder dari hasil penelitian pembuatan mocorin yang dilakukan Silvia (2012).
Penelitian ini dituangkan dalam dua makalah sebagai berikut :
1.
Penggunaan Algoritma Genetik dalam Mengoptimalkan Kandungan Karbohidrat dan Protein pada Mocorin. Dipublikasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik” yang diselenggarakan oleh jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY tanggal 9 November 2013.xiv
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Ruth Kristianingsih 1, Hanna Arini Parhusip 2, Tundjung Mahatma 3
1
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2,3
Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No. 52-60, Salatiga
1
ruthkristianingsihh@yahoo.co.id, 2hannaariniparhusip@yahoo.co.id, 3
t.mahatma@staff.uksw.edu
Abstrak
Makalah ini merupakan hasil penelitian tentang pengoptimalan kandungan karbohidrat dan protein pada mocorin. Data yang digunakan adalah kandungan kadar karbohidrat terhadap massa dan absorbansi, serta kandungan kadar protein terhadap absorbansi. Selanjutnya dibuat pemodelan data dan dicari masing-masing parameter dengan metode kuadrat terkecil. Masing-masing parameter diuji dengan mengamati nilai eigen matriks Hessian residual. Setelah parameter fungsi tujuan optimal, fungsi tujuan dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG). Diperoleh kadar karbohidrat maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 12,5% dan kadar protein maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 50%.
Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik, Metode Kuadrat Terkecil, matriks Hessian
A. PENDAHULUAN
Mocorin merupakan hasil fermentasi dari jagung dengan penambahan bekatul. Latar belakang dari pembuatan mocorin ini adalah upaya pemenuhan kebutuhan makanan pokok khususnya untuk orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat pada beras, sehingga digali potensi lokal yang berbasis non beras yaitu jagung. Salah satu varietas unggul jagung yang dipilih sebagai benih adalah Bisi 2 (Silvia, 2012). Hasil penelitian Silvia dianalisa secara statistik dalam menentukan dan membandingkan nilai gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung kuning varietas Bisi 2 untuk mengoptimalkan kandungan proksimat (kadar karbohidrat, protein, air, abu, lemak, dan serat). Ada lima macam proporsi penambahan bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50%. Namun, kelemahan perhitungan secara statistik ini adalah tidak dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal yang terbentuk dari para pengoptimalnya. Oleh karena itu, akan dilakukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”PPeenngguuaattaannPPeerraannMMaatteemmaattiikkaa ddaannPPeennddiiddiikkaann
M
MaatteemmaattiikkaauunnttuukkIInnddoonneessiiaayyaannggLLeebbiihhBBaaiikk"" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
(Gunawan, 2003) dan optimasi penjadwalan kegiatan belajar mengajar (Nugraha, 2008); di bidang fisika diaplikasikan untuk mengatasi permasalahan pada acelerator fisika (Hofler, dkk., 2013). Oleh karena itu, AG digunakan pada penelitian ini karena algoritma ini termasuk teknik pencarian yang telah terbukti robust (tangguh), adaptif, dan efisien (Goldberg, 1989).
B. MODEL DAN ALGORITMA YANG DIGUNAKAN
Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat dan protein.
Karbohidrat
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah fungsi eksponensial:
(1)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan karbohidrat sebagai fungsi massa dan absorbansi dimana pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu kritis
R
yang diperoleh harus memenuhi kondisi 0 Persamaan (3) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu diselesaikan secara numerik. Algoritma yang digunakan adalah metode Newton (Peressini, 1988). Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kritis untuk R, sebutlah ( ). Untuk menyelidiki sifat ( ) peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik.
Protein
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk protein adalah fungsi eksponensial :
(5)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan protein sebagai fungsi karbohidrat dimana a dan b pada persamaan (5) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu meminimalkan :
∑ (6)
dimana adalah persamaan (5) .
Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis
R
yang diperoleh harus memenuhi kondisi 0Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan merupakan peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik.
Prosedur Umum Algoritma Genetik
Algoritma genetik adalah teknik pencarian dan optimasi yang meniru proses evolusi dan perubahan genetika pada struktur kromosom makhluk hidup (Goldberg, 1989). Algoritma genetik (AG) mulai bekerja pada sekumpulan solusi yang dinamakan solusi awal. Populasi awal ini dibangkitkan secara acak. Setiap individu yang ada dalam populasi awal dinamakan kromosom. Kromosom yang biasanya berbentuk bilangan biner (kode 0 dan 1), dikembangbiakkan oleh operator-operator genetik melalui beberapa generasi (iterasi). Dalam setiap generasi, masing-masing kromosom dievaluasi untuk mengukur nilai kebugaran atau nilai fitness.
Untuk mencetak generasi berikutnya, dipilih beberapa kromosom-kromosom hasil evaluasi untuk disilangkan atau dimutasikan. Kromosom-kromosom yang terpilih disebut kromosom induk (parents), sedangkan kromosom-kromosom baru yang terbentuk disebut kromosom anak (offsprings). Proses penyilangan dan mutasi dilakukan oleh operator-operator genetik, yaitu operator penyilangan (crossover) dan operator mutasi (mutation). Setelah melewati beberapa generasi, nilai fitness kromosom akan membaik menuju suatu nilai optimum. Nilai optimum inilah yang diharapkan menjadi solusi masalah yang hendak diselesaikan. AG dapat menemukan solusi optimum walaupun fungsi tujuannya sangat ekstrim dan mempunyai beberapa titik optimum lokal (Yang, 2005).
Komponen-komponen Algoritma Genetik
Berikut ini adalah komponen-komponen dari algoritma genetic.
Representasi Kromosom
Untuk dapat mengaplikasikan AG, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkodekan (encoding) calon solusi ke dalam suatu bentuk representasi kromosom. Representasi kromosom yang pertama kali diperkenalkan oleh Holland adalah representasi bilangan biner (Goldberg, 1989). Sebuah kromosom terdiri dari beberapa elemen yang disimbolkan dengan angka nol (0) dan satu (1). Jika setiap calon solusi atau variabel desain dikodekan dalam kromosom sebanyak q, maka vektor desainnya direpresentasikan dalam kromosom dengan panjang nq (Rao, 2009). Setiap untaian elemen memiliki arti khusus yang menunjukkan nilai fitness kromosom yang bersangkutan. Himpunan solusi-solusi ini disebut populasi.
Seleksi dan Reproduksi
Seleksi adalah pemilihan beberapa kromosom untuk dijadikan sebagai kromosom induk lagi bagi generasi berikutnya. Kromosom terpilih kemudian akan digandakan (direproduksi) lalu hasilnya ditempatkan di mating pool, yaitu tempat berkumpulnya kromosom-kromosom induk yang akan mengalami penyilangan maupun mutasi. Proses seleksi ini juga meniru proses seleksi alam dalam cara kerjanya, yaitu kromosom dengan nilai fitness lebih baik akan memiliki peluang bertahan hidup (survival of fittest) yang lebih baik pada generasi berikutnya, dan sebaliknya.
Penyilangan (Crossover)
Operator ini adalah operator utama atau primer dalam algoritma genetik. Operator ini bekerja pada sepasang kromosom induk untuk menghasilkan dua kromosom anak dengan cara menukarkan beberapa elemen (gen) yang dimiliki masing-masing kromsom induk. Probabilitas crossover
digunakan dalam memilih kromosom induk yang akan disilangkan. Dengan demikian hanya 100% kromosom dalam mating pool yang akan digunakan dalam operasi penyilangan, sementara itu 100% kromosom akan tetap bertahan (tidak berubah) dalam generasi baru.
Mutasi (Mutation)
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”PPeenngguuaattaannPPeerraannMMaatteemmaattiikkaa ddaannPPeennddiiddiikkaann
M
MaatteemmaattiikkaauunnttuukkIInnddoonneessiiaayyaannggLLeebbiihhBBaaiikk"" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
bilangan tersebut lebih kecil dari maka bilangan biner diubah dan sebaliknya. Dalam mencari solusi optimum, mutasi sangat diperlukan yaitu untuk : (1) mengembalikan gen-gen yang hilang pada generasi-generasi sebelummnya, dan (2) memunculkan gen-gen yang belum pernah muncul pada generasi-generasi sebelumnya.
Fungsi Fitness (Fungsi tujuan)
Fungsi fitness adalah fungsi yang mengukur tingkat kebugaran suatu kromosom dalam suatu populasi. Semakin besar nilai fitness, semakin bugar pula kromosom dalam suatu pupulasi sehingga semakin besar kemungkinan kromosom tersebut untuk tetap bertahan pada generasi berikutnya. Suatu fungsi fitness dapat sama atau hasil modifikasi terhadap fungsi tujuan masalah yang akan diselesaikan.
Secara ringkas, proses komputasi menyangkut memaksimalkan fungsi fitness )
1) Dipilih panjang kromosom yang tepat l = nq untuk menyatakan variabel desain sebanyak
n dari vektor desain X. Asumsikan nilai-nilai parameter : ukuran populasi m, probabilitas crossover pc, probabilitas mutasi pm, nilai-nilai yang diijinkan untuk
standar deviasi dari nilai-nilai fitness populasi
max4) Operasi crossover menggunakan probabilitas crossover pc
5) Operasi mutasi menggunakan probabilitas mutasipm
6) Nilai-nilai fitness Fi,i1,2...,mdari m string dari populasi yang baru dievaluasi.
Dicari standard deviasi dari nilai-nilai fitness yang sebanyak m. 7) Test konvergensi dari algoritma atau proses. Jika
max
j
j s
s , kriteria konvergen terpenuhi dan oleh karena itu proses dapat berhenti. Sebaliknya menuju langkah 8. 8) Test untuk bilangan generasi (iterasi). Jika iim ax , komputasi telah dibentuk untuk
banyaknya generasi maksimum yang diijinkan dan oleh karena itu proses dapat dihentikan. Sebaliknya , membuat banyaknya generasi adalah i = i + 1 dan menuju langkah 3.
C. METODE PENELITIAN
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka masing-masing kadar karbohidrat dan protein dioptimasi dengan tahapan sebagai berikut :
Karbohidrat
Diasumsikan bahwa kadar karbohidrat dipengaruhi oleh massa sampel dan absorbansi. Menurut persamaan (1), dicari berdasarkan data.
Sesuai persamaan (2) untuk mencari parameter maka perlu meminimalkan :
∑ (9)
Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan Matlab dengan menggunakan fungsi lsqnonlin.m.
Pada penelitian ini, dilakukan pengolahan data dengan mencari rata-rata dari masing-masing data (kasus 1) dan dibandingkan jika penelitian dilakukan dengan mengolah semua data tanpa mencari rata-rata (kasus 2). Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 1 berikut :
Tabel 1. Hasil Pencarian paremeter dengan menggunakan lsqnonlin.m
Penelitian Kasus 1 Kasus 2
Dari tabel 1, dapat diketahui hasil untuk masing-masing kasus, sebagai berikut :
Kasus 1
Tabel 1 menunjukkan bahwa walaupun error untuk penelitian pada kasus 1 cukup kecil yaitu sebesar 3,3238 % yang berarti nilai kadar karbohidrat pada data tidak jauh berbeda dengan nilai kadar karbohidrat pendekatan. Namun berdasarkan dari nilai eigen matriks hessian R pada , menunjukkan bahwa matriks Hessian tidak semi positive definite, sehingga nilai parameternya tidak optimal. Oleh karena itu, kita tidak dapat menggunakan rata-rata data untuk mewakili penelitian dari semua data.
Kasus 2
Sedangkan error pada kasus 2 menunjukkan bahwa error cukup kecil yaitu 16,2568% dan nilai eigen matriks Hessian pada menunjukkan bahwa matriks Hessian residual positive definite, sehingga nilai paremeter optimal. Untuk tahap selanjutnya, dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat untuk kasus 2 dengan menggunakan AG.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”PPeenngguuaattaannPPeerraannMMaatteemmaattiikkaa ddaannPPeennddiiddiikkaann
M
MaatteemmaattiikkaauunnttuukkIInnddoonneessiiaayyaannggLLeebbiihhBBaaiikk"" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Penelitian dilakukan dengan menghilangkan data dengan penambahan bekatul 0%. Maka diperoleh nilai parameter =0,7799, =-0,2377, =1,2033 dengan error 13,4892% dan nilai eigen matriks Hessiannya adalah dimana menunjukkan bahwa matrik Hessian positive definite, sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai parameter optimal. Dengan fungsi tujuan dicari nilai kadar karbohidrat yang optimal dengan AG. Diperoleh hasil kadar karbohidrat maksimum yaitu pada sekitar 51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482. Dicari nilai eigen matriks Hessian fungsi tujuan w yaitu
yang menunjukkan bahwa nilai x dan y optimal. Dapat
disimpulkan karbohidrat maksimum diperoleh pada proporsi penambahan bekatul sebanyak 12,5% yang sesuai dengan hasil statistik.
Protein
Protein tergantung pada nilai absorbansi. Namun, pada penelitian ini, protein dinyatakan sebagai fungsi karbohidrat, karena keduanya tergantung pada nilai absorbansi. Data protein diinterpolasi dan diketahui hubungan antara karbohidrat dan protein, seperti ditunjukkan pada gambar 1. Proses ini menggunakan interp() pada Matlab. Dengan interpolasi fungsi tidak perlu didefinisikan secara eksplisit. Interpolasi ini bermanfaat untuk menyatakan data protein sebagai fungsi karbohidrat.
Gb.1 Hasil interpolasi karbohidrat dengan protein Selanjutnya hubungan keduanya dianggap memenuhi fungsi eksponensial :
dengan P(x) merupakan fungsi protein dan x karbohidrat, sehingga P(x) tergantung oleh karbohidrat. Gambar 2 menunjukkan grafik perbandingan data interpolasi dengan pendekatannya.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”PPeenngguuaattaannPPeerraannMMaatteemmaattiikkaa ddaannPPeennddiiddiikkaann
M
MaatteemmaattiikkaauunnttuukkIInnddoonneessiiaayyaannggLLeebbiihhBBaaiikk"" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Gb. 2 Perbandingan hasil interpolasi dengan pemodelan
Diperoleh error sebesar 33,2679% dengan nilai parameter a = 22,2143, b = 11,8467, dan c = 0,3946. Untuk menguji optimalitas parameter, dicari matriks Hessian R untuk P(x) dan nilai eigen matriks Hessian, didapatkan hasil nilai eigen [0 0 2]’ yang merupakan semi positive definite sehingga parameter optimal.
Dengan menggunakan parameter tersebut, nilai optimal kadar protein dicari dengan menggunakan AG, dan diperoleh hasil nilai optimal pada nilai sekitar 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 19,9167 %. Dicari diperoleh 0,3946 yang berarti nilai bukan pemaksimal dari p. Hal inilah yang menyebabkan error cukup besar, sehingga protein yang diperoleh belum optimal. Namun diketahui bahwa nilai proporsi penambahan bekatul agar protein optimal adalah 50% yang sudah sesuai dengan hasil statistik.
E. PENUTUP
Pada makalah ini ditunjukkan optimasi karbohidrat dan protein pada mocorin dengan menggunakan AG. Tujuan untuk mendapatkan kadar karbohidrat optimal dicapai pada penambahan bekatul 12,5%. Nilai dari kadar karbohidrat optimal yaitu sebesar 51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482. Sedangkan kadar protein optimal pada penambahan bekatul 50%. Nilai dari kadar protein optimal yaitu 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 1,9167 %.
F. DAFTAR PUSTAKA
Dawid, Herbert and Kopel, Michael. 1998. On economic applications of genetic algorithm : a model of cobweb-type. J Evol Econ 8 : 297-315.
Goldberg, D.E., 1989. Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine Learning. Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Gunawan, H. 2003. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Masalah Penjadwalan Flow-Shop. Skripsi. FTP. Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Hofler, Alicia. Terzic, Balsa. Kramer, Matthew. Zvezdin, Anton. Morozov, Vasiliy. Roblin, Yves. Lin, Fanglei and Jarvis, Colin. 2013. Innovative applications of genetic algorithms to problems in accelerator physics. Phys. Rev. ST Accel. Beams 16.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”PPeenngguuaattaannPPeerraannMMaatteemmaattiikkaa ddaannPPeennddiiddiikkaann
M
MaatteemmaattiikkaauunnttuukkIInnddoonneessiiaayyaannggLLeebbiihhBBaaiikk"" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Nugraha, I. 2008. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Penjadwalan Kegiatan Belajar Mengajar. Jurnal. ITB: Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Program Studi Teknik Informatika. Bandung.
Parhusip, H.A dan Martono, Y.2012. Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science. ISSN:2252-7761,Vol1, pp91-101, GMU.
Peressini, A.L,et.all, 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer Verlag, New York, Inc.
Rao, S. S. 2009. Engineering Optimization, John Wiley & Sons, Inc, Canada.
Silvia,L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas Bisi 2 – Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Katare, S., A. Bhan, J. M. Caruthers, W. N. Delgass and V. Venkatasubramanian. 2004. A hybrid genetic algorithm for efficient parameter estimation of large kinetic models. Computers and chemical engineering, Vol. 28, pp. 2569–2581.
Dikonsumsi oleh Penderita Kolesterol dengan Menggunakan Algoritma
Genetik
Multiobjective Function
Ruth Kristianingsih
1), Hanna Arini Parhusip
2), Tundjung Mahatma
3) 1)Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2), 3)Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW
Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
Makalah ini mengkaji penelitian tentang pencarian proporsi penambahan bekatul pada mocorin yang baik dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Kriteria makanan yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol adalah makanan dengan protein dan lemak yang rendah, namun memiliki kandungan serat yang tinggi. Selanjutnya dibuat pemodelan data dan dicari parameter untuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG) multiobjective function. Diperoleh proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol adalah 25%.
Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik Mutiobjective Function, SVD
PENDAHULUAN
Pada penelitian Kristianingsih dkk (2013), telah dibahas tentang penggunaan
algoritma genetik (AG) dalam pengoptimalan kadar karbohidrat dan protein pada
mocorin. Parameter fungsi tujuan karbohidrat dicari dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil dan menghasilkan
error
yang cukup kecil, yaitu 13,4892%. Selanjutnya
nilai kadar karbohidrat dioptimalkan dengan menggunakan AG dan dihasilkan kadar
karbohidrat maksimum yaitu pada sekitar
51,4269% dengan pemaksimum massa
0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482 yaitu pada proporsi penambahan bekatul
sebanyak 12,5%. Namun pada penelitian pencarian nilai parameter fungsi tujuan kadar
protein, dihasilkan nilai
error
masih besar yaitu sebesar 33,2679% yang dimungkinkan
karena pemilihan model data yang kurang tepat. Pada pengoptimalan dengan
menggunakan AG dihasilkan nilai protein optimal 38,0104% dengan pemaksimum
karbohidrat sebesar 19,9167 % dan diketahui pada proporsi penambahan bekatul agar
protein optimal adalah 50%. Hasil ini diperoleh dimana fungsi tujuan dioptimalkan secara
terpisah.
Selanjutnya dalam makalah ini, dicari fungsi tujuan untuk protein sehingga didapat
nilai
error
yang cukup kecil. Sekaligus juga dicari proporsi mocorin yang baik untuk
2
makanan yang memiliki kandungan serat yang tinggi, namun rendah protein dan lemak
(Kompas, 2012). Serat, protein, dan lemak akan dibuat dalam fungsi karbohidrat dan
massa. Penelitian menggunakan AG dengan
multiobjective function
untuk mencari
proporsi penambahan bekatul mocorin yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita
kolesterol.
DASAR TEORI
Algoritma Genetik dengan
Multiobjective Function
Cukup sering, dalam tugas-tugas rekayasa, ada beberapa kriteria yang harus
dipenuhi. Seringkali masing-masing dari kriteria tersebut bertentangan dan tidak dapat
mencapai nilai optimum pada saat yang sama, sehingga pada saat meningkatnya nilai satu
kriteria dapat memperburuk nilai kriteria yang lain. Hal ini menyebabkan timbulnya
pertanyaan bagaimana menggunakan kriteria untuk menemukan solusi optimal dan
bagaimana mencari ruang parameter.
Oleh karena itu dibuat metode pemilihan yang dihitung kelompok metode Pareto.
(Popov, 2005). Hal ini sejalan dengan prinsip dimana tidak ada satu pun solusi yang
mampu memberikan hasil yang lebih optimal dari salah satu fungsi tujuan yang ada tanpa
mengorbankan fungsi tujuan lainnya (Mahmudy, dkk, 2011).
Diasumsikan ada
k
fungsi tujuan yang akan diminimumkan :
̅
̅
̅
̅
,
̅
(1)
Dimana
k
≥ 2 dan
C =
̅ ̅ ̅
̅
dan
̅
merupakan fungsi kendala,
̅
merupakan vektor dari variabel keputusan,
merupakan
batas bawah dan
merupakan batas atas. Jika sebuah fungsi kendala mempunyai bentuk
̅
≥ c
maka dapat diubah menjadi
–
̅
+
c≤
0
. Konsep skalar dari nilai optimum
tidak biasa diterapkan secara langsung pada kasus
multiobjective.
Konsep penggantinya
adalah
optimum pareto
. Vektor
̅
dikatakan
optimum pareto
jika semua vektor
̅
yang lain mempunyai nilai yang lebih tinggi setidaknya untuk satu fungsi objektif.
Optimasi dengan
mutiobjective function
mendapatkan perhatian yang signifikan dari para
peneliti. Telah dilakukan penelitian dalam menyelesaikan optimasi dengan
mutiobjective
function
menggunakan
Particle Swarm Optimization
(PSO) dengan hasil ditemukan
beberapa solusi
pareto-optimal
secara efisien. (Xiaohui, dkk, 2002) Selain itu ada
3
2004) Simulated Anneling (SA) juga cukup berhasil dalam menyelesaikan berbagai
masalah optimasi dengan
mutiobjective function.
(Bandypadhyay, dkk, 2008)
Salah satu pengembangan dari algoritma genetik adalah untuk mencapai suatu
Multiple Objective Optimization
dimana tujuan yang ingin dicapai lebih dari satu.
Pengembangan algoritma genetik ini disebut algoritma genetik
pareto
yang diawali
dengan suatu populasi dengan jumlah
member
yang banyak. Algortima genetik
pareto
disini bekerja dengan dua
objective function
atau lebih. Algoritma genetik
pareto
membutuhkan ukuran populasi yang besar untuk dapat bekerja dengan baik dalam
usahanya untuk membentuk suatu grafik
pareto
. (Umi P., dkk, 2011)
Pareto optimal set
adalah sebuah kumpulan solusi non dominan yang
berhubungan satu sama lain ketika berpindah ke solusi
pareto
yang lain. Kumpulan solusi
optimal
pareto
seringkali mengacu kepada solusi tunggal karena dapat diaplikasikan
berdasarkan pada masalah yang terdapat dalam kehidupan nyata.
Pareto optimal set
mempunyai ukuran yang bervariasi, namun ukuran
pareto set
bertambah seiring dengan
bertambahnya fungsi tujuan.
Model Fungsi Tujuan untuk Protein, Lemak, dan Serat
Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi tujuan
untuk protein, lemak, dan serat.
Protein dan Lemak
Pada penelitian ini, digunakan fungsi tujuan kuadratik untuk fungsi tujuan protein
dan lemak dengan parameter-parameternya dicari menggunakan
Singular Value
Decomposition
(SVD). Parameter-parameter fungsi tujuan yang akan dicari adalah
(2)
Persamaan (2) dalam bentuk matriks dapat ditulis:
⃑
⃑
(3)
dimana
A
=
[
]
(4)
4 i
y
= data ke-
i
variabel 2
⃑
Si= data ke-
i
variabel 3
i
= 1,2,...,
n
;
n
= banyaknya data
= parameter fungsi tujuan
j
= 1,2,...,4
(5)
Menurut Watkins (1991) pada persamaan (5) jika matriks
A
ϵ
R
nxmmempunyai
rank
r
, maka terdapat matriks dengan kolom-kolom dari nilai eigen
U
ϵ
R
nxn, Σ
adalah matriks diagonal dari akar nilai eigen
Σ
ϵ
R
nxm,
dan
V
adalah matriks dengan
kolom-kolom dari vektor eigen
V
ϵ
R
mxm.
Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh:
⃑
⃑
atau
⃑
⃑
(6)
Misal
⃗
⃑
dan
⃗
⃑
, maka
⃗ ⃗
sehingga
⃗
⃗
Persamaan (3) diselesaikan dengan:
⃑
⃗
(7)
Untuk mengetahui apakah parameter sudah optimal atau belum, dapat dicari
error
:
Error
=
E
=
‖ ̅ ̅ ‖‖ ̅ ‖
. 100%
Serat
Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah
fungsi eksponensial:
(8)
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan Serat sebagai fungsi karbohidrat dan massa
dimana
pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil,
yaitu meminimalkan :
∑
(9)
METODE PENELITIAN
Penelitian ini didasarkan pada data sekunder yang diperoleh penelitian Silvia L. (2012).
1.
Data kandungan proksimat kadar protein, kadar lemak, dan kadar serat
dioptimalkan dengan menggunakan AG
multiobjective function
, dengan parameter
fungsi tujuan ditentukan menggunakan SVD.
2.
Penyusunan dan penyelesaian model
a)
Pencarian masing-masing fungsi tujuan untuk kadar protein, kadar lemak, dan
5
3.
Analisis hasil dan pembahasan
4.
Pembuatan kesimpulan.
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka dicari fungsi tujuan untuk
masing-masing kadar protein, lemak, dan serat sebagai berikut :
Fungsi Tujuan Protein
Dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa nilai error untuk menentukan
parameter fungsi tujuan sangat besar yaitu 33,2679%, sehingga dapat diasumsikan model
tidak terlalu cocok untuk data protein. Pada penelitian ini, akan dimodelkan kembali
fungsi tujuan untuk kadar protein dengan menggunakan persamaan kuadratik.
Diasumsikan nilai protein dipengaruhi oleh kadar karbohidrat dan massa. Menurut
persamaan (2) nilai
dicari.
Untuk
mencari parameter
perlu diselesaikan persamaan :
(10)
dengan
k
adalah karbohidrat dan
m
adalah massa. Didapatkan hasil
. Sedangkan nilai
error
-nya adalah 17.5005% yang
cukup kecil jika dibandingkan dengan penelitian sebelumnya. Gambar 1 berikut
menunjukkan nilai data asli dengan pendekatannya.
6
Maka fungsi tujuan untuk lemak dengan menggunakan SVD adalah
(11)
Dengan nilai error 6.6190% yang diasumsikan bahwa model sudah sesuai dengan
data lemak. Gambar 2 berikut menunjukkan nilai data asli dengan pendekatannya.
Gambar 2. Grafik kadar lemak data asli dan hasil pendekatan fungsi SVD
Fungsi Tujuan Serat
Diasumsikan bahwa kadar serat dipengaruhi oleh karbohidrat dan massa.
Selanjutnya, menurut persamaan (8), nilai parameter
dicari agar fungsi tujuan dapat
dioptimasi.
Sesuai persamaan(9) untuk mencari parameter
maka perlu meminimalkan:
∑
(12)
Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan fungsi Matlab
lsqnonlin.m
. Dihasilkan parameter fungsi tujuan
a=
1.4254, b=2.0401,
dan
c= -0.3639
dengan error sebesar 21.2090%.
Setelah fungsi tujuan dari masing-masing kadar dicari, ketiga fungsi tujuan dicari
dengan menggunakan AG
mutiobjective function
.
Pengoptimalan kadar serat, protein, dan lemak dengan menggunakan AG
multiobjective function
Telah diketahui bahwa makanan yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita
kolesterol adalah makanan dengan kandungan serat yang tinggi namun rendah akan
7
dan protein berturut-turut adalah sebagai berikut :
Min
Min
Max
dengan 0
.
Kemudian, fungsi-fungsi tujuan tersebut diolah dengan menggunakan AG
multiobjective
.
Dipilih hasil yang optimal yaitu proporsi penambahan bekatul pada mocorin yang
benar-benar baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol pada penambahan
bekatul sebanyak 25%, yaitu dengan kadar karbohidrat
k
= 44,32321% dan massa
m
=
0.136 gram. Dengan kombinasi karbohidrat dan massa pada proporsi penambahan bekatul
sebesar 25% didapatkan kadar protein sebanyak
P
= 23.127875%, lemak sebanyak
L
=
7.5249%, dan serat sebanyak
S
= 3.83743%.
Penutup
Dalam makalah ini telah ditunjukkan bagaimana menggunakan Algoritma Genetik
multiobjective function
untuk mencari proporsi penambahan bekatul pada mocorin,
sehingga baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Dengan memaksimumkan
kadar serat, dan meminimumkan kadar protein serta kadar lemak, diperoleh hasil yaitu
mocorin dengan penambahan bekatul sebanyak 25%.
Daftar Pustaka
Bandypadhyay S,S. Saha, U. Maulik, and K. Deb. 2008. A Simulated Annealing-Based
Multiobjective Optimization Algorithm: AMOSA
.Evolutionary Computation,
IEEE
Transactions on
12(3): 269-283.
Doerner, K. Gutjahr, W. Hartl R, Strauss C, and Stummer C. 2004. Pareto Ant Colony
Optimization:
A
Metaheuristic
Approach
to
Multiobjective
Portfolio
Selection
.Annals of Operations Research
. 131(1): 79-99.
Kristianingsih, R. Parhusip, H.A. & Mahatma, T. 2013. Penggunaan Algoritma Genetik
dalam Mengoptimalkan Kandungan Karbohidrat dan Protein pada Mocorin.
8
Yogyakarta.
Mahmudy, W.F. Rahman, M.A. 2011. Optimasi Fungsi Multi-Obyaktif Berkendala
Menggunakan Algoritma Genetik Adaptif Dengan Pengkodean Real. Jurnal
Ilmiah ”Kursor” Vol 6 No. 1 Januari 2011. ISSN 0216
-0544.
Mikail, Bramirus. 2012. 4 Makanan Sumber Kolesterol Baik. Kompas, 18 Mei 2012.
Umi P, Fitria. Santoso, T.B. Kristalina, P. 2011. Simulasi
Coverage
pada
Wireless Sensor
Network
dengan Menggunakan Algoritma Genetik Pareto. Surabaya : Institut
Teknologo Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.
Popov, Andrey. 2005. Genetics Algorithm for Optimization.Germany : Hamburg.
Silvia L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas
Bisi 2
–
Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi, Fakultas
Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Xiaohui, H. and Eberhart R. 2002. Multiobjective Optimization Using Dynamic
Neighborhood Particle Swarm Optimization. In Proceedings of
the 2002
Congress
on Evolutionary Computation,
pp. 1677-1681.
Watkins, D.S. (1991).
Fundamentals of Matrix Computations
, John Wiley & Sons, New
A. Kesimpulan
Berdasarkan kedua makalah tersebut dapat disimpulkan :
1. Error yang diperoleh menggunakan Singular Value Decomposition (SVD) untuk menentukan parameter-parameter fungsi tujuan lebih kecil dibandingkan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.
2. Algoritma Genetik dapat menyelesaikan berbagai permasalahan optimisasi baik dengan satu fungsi tujuan maupun banyak fungsi tujuan.
3. Pada penelitian ini, diperoleh hasil kadar karbohidrat maksimum terdapat pada proporsi penambahan bekatul sebesar 12,5%, kadar protein maksimum terdapat pada proporsi penambahan bekatul sebesar 50%, dan proporsi penambahan bekatul pada mocorin yang baik untuk dikonsumsi pada penderita kolesterol adalah sebesar 25% dengan memaksimumkan serat, dan meminimumkan protein dan lemak.
B. Saran
Berdasarkan kedua makalah yang telah dikaji, saran yang dapat diberikan adalah : 1. Untuk pengkajian lebih lanjut dapat dilakukan dengan mengganti fungsi tujuan
sehingga dapat diperoleh model yang lebih cocok dengan data.