Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya

1. Andaikan X X₁, ₂,..., X_n adalah contoh acak dari populasi dengan fungsi

kepekatan ( ; )f x



, dan



parameter yang tidak diketahui nilainya.

Andaikan T adalah penduga titik bagi



.

2. Andaikan Y  g T( ; )



memiliki sebaran penarikan contoh (sampling

distribution) yang tidak bergantung

pada



. Y dinamakan besaran atau kuantitas pivotal.

3. Maka untuk besaran 1



tertentu, 0  



1, ada y₁ dan y₂ sedemikian rupa sehingga P y( ₁  Y y₂) 1 

4. Selanjutnya pernyataan peluang di atas diubah menjadi pernyataan peluang

yang setara P L T



₁( )  



L T₂( )



 1



.

5. Bila T diganti dengan nilainya

berdasarkan data contoh, maka akan diperoleh pernyataan peluang



1( ) 2( )



1

P l t  



l t  



dengan

tingkat kepercayaan sebesar 1



. Jadi, selang kepercayaan 100(1



)% bagi



ialah



l t l t₁( ), ( )₂



.

Teladan 1.

Andaikan contoh acak X X₁, ₂,..., X_n diambil dari sebaran seragam (0, ).U



Buat selang kepercayaan 90% bagi  dan tafsirkan.

Jawab

Telah kita peroleh bahwa max _i

U  X

Adalah PKM bagi



. Statistik U mempunyai fungsi kepekatan peluang

1 ( ) , 0 n U _n nu f u u





   

Karena ini bergantung pada parameter



,

maka U bukan unsur pivot. Selanjutnya, kita lakukan transformasi Y U



 (untuk

menghilangkan



). Dengan menggunakan metode Jacobian, maka diperoleh fkp bagi Y, yaitu

1

( ) n , 0 1

Y

f y  ny   y

Yang tidak bergantung pada



. Jadi, Y U





dapat dijadikan unsur pivot. Sekarang kita cari a dan b sedemikian rupa sehingga





0.90 0.90 P a Y b U P a b



    _{ }  _    

Fungsi sebaran kumulatif bagi Y ialah ( ) n

Y

F y  y , 0  y 1. Kita ambil a dan b sehingga

( ) 0.05 Y

F a  dan F b_Y ( )  0.95 Maka

0.05 n a  dan bn  0.95 Sehingga 0.05 n a  dan b  n 0.95 Dengan demikian, 0.05 0.95 0.90 n U n P   _{ }  _     , atau 1 1 0.90 0.95 0.05 n n P U



 _{ }  _     , atau 0.90 0.95 0.05 n n U U P_  



_   

Jadi, selang kepercayaan 90% bagi



ialah , 0.95 0.05 n n U U      

Hasil ini dapat ditasirkan sebagai berikut: Bila penarikan contoh di atas dilakukan berulang-ulang, misalnya 1000 kali, dan untuk setiap contoh yang terambil dibuat selang kepercayaan menurut rumus di atas, maka kira-kira 90% (atau 900) selang

kepercayaan akan mencakup nilai



yang sebenarnya.

Selang Kepercayaan Contoh Besar: Kasus Satu Contoh

Bila ukuran contoh cukup besar, maka menurut Teorema Limit Pusat statistik

tertentu memiliki sebaran penarikan contoh yang menghampiri normal. Artinya, bila



adalah parameter yang tidak diketahui

(misalnya , p,  ₁  ₂, p₁  p₂), maka ˆ ˆ Z 

 



 

Menghampiri sebaran normal baku. Bila

 

 , n  30 dianggap cukup besar. Bila  adalah parameter binom p, maka n

dipandang cukup besar bila np dan (1n  p) keduanya lebih besar dari 5.

Prosedur untuk Menghitung Selang Kepercayaan Contoh Besar bagi



1. Carilah penduga (misalnya PKM) bagi



, andaikan itu ˆ.

2. Tentukan galat bakunya, yaitu _ˆ 3. Lakukan transformasi ˆ ˆ Z 

 



  . Maka

Z menghampiri sebaran normal baku.

4. Dari tabel normal baku, carilah z_{ 2}

dan z_{ 2}.

5. Selang kepercayaan (1



)100% hampiran bagi



ialah





ˆ  z 2

 

ˆ, ˆ  z 2



ˆ



6. Kesimpulan: Kita yakin (1



)100% bahwa parameter sebenarnya



,

tercakup di dalam selang





ˆ  z 2

 

ˆ, ˆ  z 2



ˆ



.

Andaikan

 

 , ˆ  X , dan contoh yang diambil cukup besar (n  30), maka selang kepercayaan (1



)100% bagi  ialah

2 , 2 X z X z n n  





 _{ }     

Bila  tidak diketahui,



ˆ S. Sehingga selang hampirannya ialah

2 , 2 S S X z X z n n    _{ }      Teladan

Dari dua kelas besar metode statistik diambil contoh acak masing-masing 50 nilai UTS

dan hasilnya sebagai berikut:

1. Kelas 1: x₁  77.01, s₁ 10.32 2. Kelas 2: x₂  72.22, s₂ 11.02

Hitunglah selang kepercayaan 95% bagi rataan nilai UTS sebenarnya untuk kedua kelas itu.

Karena n  50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk



 0.05, dari tabel normal diperoleh

2 0.025 1.96

z_  z  . Jadi, selang kepercayaan yang diminta ialah:

1. Kelas 1: 1 1 2 10.32 77.01 1.96 50 s x z n       _{ }  

Yang menghasilkan selang

kepercayaan 95% (74.149, 79.871). 2. Kelas 2: 1 1 2 11.02 72.22 1.96 50 s x z n       _{ }  

Yang menghasilkan selang

kepercayaan 95% (69.165, 75.275). Teladan.

Limabelas mobil dipilih secara acak dan

diamati kecepatan mereka di jalan raya yang kecepatannya dibatasi 70 mil per jam.

Ternyata rata-rata kecepatan mereka 73.3 mil per jam. Andaikan berdasarkan

pengalaman dapat diasumsikan bahwa kecepatan menyebar normal dengan simpangan baku



 3.2. Buat selang kepercayaan 90% bagi rataan kecepatan sebenarnya  mobil-mobil yang melaju di jalan raya itu.

Jawab

Karena diketahui populasinya normal dengan simpangan baku



 3.2, maka ukuran contoh tidak perlu besar. Karena

73.3

x  ,



 3.2, n 15, dan



 0.10, maka z_{ 2}  z_0.05 1.645. Sehingga selang kepercayaan 90% bagi  ialah

2 2 3.2 3.2 73.3 1.645 73.3 1.645 15 15 x z x z n n    _           Atau

71.681 



74.919

Jadi, kita percaya 90% bahwa kecepatan rata-rata kendaraan yang melalui jalan raya itu antara 71.681 dan 74.919 mil per jam. Selang Kepercayaan untuk Proporsi

Perhatikan sebaran binom dengan parameter

p. Andaikan X adalah banyaknya

keberhasilan dalam n tindakan. Telah diperoleh PKM bagi p ialah ˆp X

n

 . Bila n cukup besar, dapat diperlihatkan bahwa

2 2 ˆ(1 ˆ) ˆ(1 ˆ) ˆ p p ˆ p p 1 P p z p p z n n     _{ }           

Sehingga selang kepercayaan (1)100%

bagi parameter p ialah

2 2 ˆ(1 ˆ ˆ(1 ˆ ˆ p p , ˆ p p p z p z n n    _{ }       

Pertanyaan yang relevan ialah “Bagaimana kita tahu bahwa ukuran contoh sudah

mencukupi untuk menggunakan hampiran normal?” Ada yang menyarankan agar np

dan n(1 p) harus lebih besar dari 10. Ada

lagi yang menyarankan pˆ 2 pˆ(1 pˆ) n

 

tercakup di dalam selang (0, 1). Yang lain lagi menyarankan agar np(1 p) 10 dan ada

pula yang menyarankan np dan n(1 p)

keduanya lebih besar dari 5. Teladan.

Sebuah perusahaan elektronik memberikan jaminan 3 tahun bagi produk barunya. Dari contoh acak 60 produk yang terjual, ternyata 20 membutuhkan layanan perbaikan selama masa garansi. Dugalah proporsi sebenarnya barang elektronik itu yang membutuhkan layanan perbaikan selama masa garansi dengan tingkat kepercayaan 95%.

Jawab

Margin of Error dan Ukuran Contoh Di dalam hasil survei sering dilaporkan tentang besarnya margin of error. Besaran ini tidak lain adalah setengah lebar selang kepercayaan maksimum pada tingkat

kepercayaan 95% dinyatakan dalam persentase.

Andaikan b adalah lebar selang kepercayaan 95% bagi parameter p. Andaikan pˆ x

n 

adalah nilai dugaan bagi p dan x adalah banyaknya keberhasilan. Maka

1 1 1.96 1.96 1 1 3.92 3.92 4 x x x x x n n x n n b n n n n x x n n n n  _{ }   _{ }     _{ }   _{ }                           _        Karena 1 ˆ(1 ˆ) 1 4 x x p p n n  _  _{  }    

Jadi, margin of error bagi proporsi dugaan dinyatakan dalam persentase ialah 100 %d

dengan 1 3.92 max ₄ 1.96 2 2 ₂ b _n d n   

Tentu saja bila tingkat kepercayaannya

(1) diganti, bilangan 1.96 juga harus

diganti dengan z_{ 2}.

Jelas terlihat dari rumus di atas bahwa semakin besar ukuran contoh n, semakin

kecil margin of errornya. Akan tetapi, n yang besar berimplikasi biaya survei

menjadi semakin mahal. Pertanyaannya sekarang ialah berapa ukuran contoh harus diambil untuk mencapai margin of error tertentu.

Selang kepercayaan (1)100% bagi p untuk

contoh besar ialah

2 2 ˆ(1 ˆ ˆ(1 ˆ ˆ p p , ˆ p p p z p z n n    _{ }        Maka 2 2 ˆ(1 ˆ) ˆ p p z ˆ(1 ˆ) p p z p p n _n       

Itu menunjukkan bahwa, dengan peluang

1, nilai dugaan ˆp berada dalam jarak

2 ˆ(1 ˆ)

z_ p  p n dari p. Karena ˆ(1 ˆ) 1 4 p  p  ,

maka pertidaksamaan terakhir di atas dapat ditulis menjadi 2 1 2 ˆ 4 2 z z p p n n     

Kalau kita ingin menduga p pada tingkat kepercayaan 1 sehingga nilai dugaannya

berada dalam jarak d dari nilai parameter sebenarnya, dengan kata lain ˆp p d  , maka ukuran contohnya harus memenuhi syarat 2 2 z d n  _ atau 2 2 2 4 z n d  

Kalau kita memiliki nilai dugaan awal ˆp

berdasarkan survei pendahuluan, misalnya, maka kita dapat menggunakan rumus

2 2 2 ˆ(1 ˆ) z p p n d   

Dalam hal rumus-rumus di atas tidak

menghasilkan bilangan bulat, maka lakukan pembulatan ke bilangan bulat berikutnya. Perhitungan serupa untuk ukuran contoh untuk pendugaan rataan populasi  pada

tingkat kepercayaan (1) dengan margin of

2 2 2 2 z n E   

Walaupun di dalam praktek ragam populasi

2

 pada umumnya tidak diketahui, namun mungkin saja itu dapat diduga dari

penelitian serupa yang mungkin pernah dilakukan sebelumnya atau dari penelitian awal (pendahuluan).

Teladan

Sebuah lembaga penelitian akan melakukan survei untuk menduga besarnya dukungan terhadap kebijakan presiden dalam masalah ekonomi dengan margin of error 3% pada tingkat kepercayaan 95%.

(a) Berapa responden yang harus diwawancarai kalau tidak ada informasi awal yang dapat dimanfaatkan?

(b) Kalau ada informasi awal bahwa yang mendukung kebijakan presiden adalah

70%, berapa responden yang harus disurvei?

Jawab (a)

Dalam masalah ini   0.05, z_{ 2} 1.96, dan

0.03

d  . Karena tidak ada informasi awal

apa-apa, maka digunakan rumus:

2 ₂ 2 2 2 (1.96) 1067.1 1068 4 4(0.03) z n d      Jawab (b)

Karena ada informasi awal pˆ 0.7 , maka

2 2 2 2 2 ˆ(1 ˆ) (1.96) (0.7)(0.3) 896.37 897 (0.03) z p p n d      

Terlihat bahwa adanya informasi dapat memperkecil ukuran contoh yang berarti memperkecil biaya.

Selang Kepercayaan Contoh Kecil bagi Rataan Populasi 

Andaikan X X₁, ₂,..., X_n adalah suatu contoh

acak dari sebuah populasi normal. Telah diketahui bahwa X T S n   

mempunyai sebaran-t dengan n 1 derajat

bebas yang tidak bergantung kepada  2

. Jadi, T dapat digunakan sebagai unsur pivot. Jadi, untuk n kecil (n  30) dan  2

tidak diketahui, selang kepercayaan

(1)100% bagi rataan populasi  ialah

2;n 1 , 2;n 1 S S X t X t n n      _{ }     

Perlu ditekankan di sini bahwa asumsi populasi normal tidak boleh diabaikan. Teladan

Berikut ini diberikan suatu data acak dari sebuah populasi normal:

Buat selang kepercayaan 95% bagi rataan populasi .

Jawab

Perhitungan dengan kalkulator, misalnya, menghasilkan rataan contoh x 5.883 dan

simpangan baku contoh s 1.959. Untuk 5

derajat bebas dan   0.05, dari tabel-t

diperoleh t_0.025  2.571. Jadi, selang

kepercayaan 95% bagi  ialah

2; 1 , 2; 1 1.959 1.959 5.883 2.571 , 5.883 2.571 6 6 (3.827, 7.939) n n S S X t X t n n      _{ }       _{   }  _  _{ }  _{ }       

Selang Kepercayaan bagi Ragam Populasi

Andaikan X X₁, ₂,..., X_n masing-masing menyebar normal dengan rataan  dan

ragam



2. Andaikan  dan



2 keduanya tidak diketahui. Kita tahu bahwa





2 2 1 2 2 ( 1) n i i X X n S





   



Mempunyai sebaran 2 dengan (n 1)

derajat bebas, tidak bergantung pada nilai

2



_{. Maka besaran itu dapat digunakan}

sebagai pivot. Selanjutnya kita cari L2 dan

2

U

 _{sedemikian rupa sehingga}

2 2 2 2 ( 1) 1 L U n S P









          

Pernyataan peluang di atas dapat dituliskan dalam bentuk 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 U L n S n S P









 _{ }         

Jadi, selang kepercayaan (1



)100% bagi

2

2 2 2 2 ( 1) ( 1) , U L n S n S





 _{ }     

Bila diambil



_U2 



_2 ₂ dan _L2  ₁2_{ 2} , maka selang kepercayaan bagi



2 menjadi

2 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) , n S n S  





_  _{ }        Teladan.

Suatu contoh acak berukuran 21 diambil dari populasi normal dengan simpangan baku 9. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi



2. Teladan

Berikut adalah data kolesterol dari 10 pasien yang diambil secara acak di sebuah rumah sakit besar:

360 352 294 160 146 142 318 200 142 116

Selang Kepercayaan Dua Parameter Populasi

Andaikan X₁₁,..., X_1n1 adalah suatu contoh acak dari sebaran normal dengan rataan ₁ dan ragam ₁2. Andaikan X₂₁,..., X_2n2 adalah suatu contoh acak dari sebaran normal

dengan rataan ₂ dan ragam ₂2. Andaikan kedua contoh bebas (independent), sehingga

1

X _dan X_{2 juga bebas. Dengan demikian}

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , X X N n n





 

   _   _  

Ada dua kemungkinan

1. Bila ₁ dan ₂ diketahui, maka selang kepercayaan (1



)100% contoh besar bagi  ₁  ₂ diberikan oleh rumus





12 22 1 2 2 1 2 X X z n n 





  

2. Bila ₁ dan ₂ tidak diketahui, maka keduanya diganti oleh simpangan baku contohS₁ dan S₂ bila n_i  30,i 1, 2.

Sehingga selang kepercayaan bagi

1 2   _ialah





12 22 1 2 2 1 2 S S X X z n n    

Selang Kepercayaan Contoh Kecil bagi Selisih Dua Rataan Populasi

Bila ukuran contohnya kecil, pembuatan selang kepercayaan bagi selisih dua rataan populasi bisa menjadi sangat sulit. Akan tetapi, bila diasumsikan kedua populasi mempunyai ragam yang sama, walaupun tidak diketahui nilainya, katakanlah

2 2 2

1 2

     _{, maka kita dapat menduga} ragam itu dengan cara menggabungkan kedua ragam dugaan. Andaikan









1 ₂ 2 ₂ 1 1 2 2 2 _{1 1} 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ( 1) ( 1) 2 n n i i i i p X X X X S n n n S n S n n              





Bila kedua contoh itu bebas, maka



1 2





1 2



1 2 1 1 p X X T S n n

 

    

Mempunyai sebaran-t dengan n₁  n₂  2 derajat bebas. Maka selang kepercayaan bagi  ₁  ₂ ialah



1 2



2; _{1 2} 2 1 2 1 1 n n p X X t S n n       Soal

Berikut adalah dua contoh bebas yang diambil dari dua populasi normal dengan ragam yang sama

Contoh 1: 1.2 3.1 1.7 2.8 3.0 Contoh 2: 4.2 2.7 3.6 3.9

(a) Dugalah ragam gabungannya

(b) Tentukan selang kepercayaan 90% bagi

1 2