7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
1
PERSAMAAN RANGKAIAN
Pada bab ini akan dibahas sebagai berikut :
1. Definisi Cabang, Jerat dan Simpul
2.
Persamaan Hukum Kirchhoff
3. Persamaan Jerat/ Loop
4. Jawab Persamaan Jerat
5. Persamaan Simpul/Node
6. Jawab Persamaan Simpul
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
2
Cabang, Jerat dan Simpul
Rangkaian listrik adalah rangkaian elemen-elemen yang dapat mewakili sifat kelistrikan bagian-bagian suatu sistem. Elemen-elemen tersebut saling dihubungkan oleh penghantar arus (konduktor) yang tidak memiliki sifat kecuali sebagai penghantar arus listrik.
Titik hubung antara dua atau lebih elemen disebut titik simpul atau node. Bila titik simpul itu merupakan titik hubung antara tiga atau lebih elemen maka simpul itu merupakan titik percabangan dan simpul tersebut disebut simpul silang.
Cabang suatu rangkaian adalah bagian rangkaian yang arusnya selalu sama. Cabang itu mengandung satu atau lebih elemen. Jadi arus yang melalui setiap elemen yang terdapat pada satu cabang harus sama. Arus yang mengalir pada satu cabang disebut arus cabang.
Arus listrik dalam rangkaian hanya bisa mengalir bila terdapat jalan melingkar (kembali ke titik asal) melalui elemen dan penghantar. Setiap jalan atau lintasan melingkar ini disebutjerat/loop.
Gambar 1 adalah contoh sebuah rangkaian beberapa elemen aktif dan pasif. Pada gambar 1 terlihat Simpul : a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, l, m, dan n
Simpul silang : b, d, h, dan j
cabang : Z6, Z7, ea, Z3, Z10, Z8 dst Jerat : abljhka, bicmdjlb, ghjdefg
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
3
Gambar 1. Illustrasi cabang, simpul dan jerat
Z3 Z8 Z5 Z6 Z7 Z1 Z2 Z4 Z9 Z10 a b c d e g f h i j k l m ea eb ec ed ef I1 I2 I3
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
4
Persamaan Hukum Kirchhoff
Persamaan rangkaian diturunkan dari salah satu Hukum Kirchhoff, yaitu :
a. Jumlah jatuh potensial pada suatu jalan melingkar (jerat) sama dengan nol. Secara singkat dengan menggunakan simbol matematik dapat dituliskan :
( ∑ beda potensial ) jerat/loop = 0 ……….(1)
b. Jumlah arus yang mengalir masuk ke satu simpul/node sama dengan nol. Secara singkat dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut
( ∑ arus ) simpul/node = 0 ………..……….(2)
NOTE :
• Dalam menggunakan persamaan (1), hendaknya diperhatikan bahwa polaritas beda potensial antara dua titik atau simpul adalah positif bila bergerak dari simpul yang lebih tinggi potensialnya ke simpul yang lebih rendah potensialnya dan negatif bila sebaliknya.
• Dalam menggunakan persamaan (2), kita sepakati bahwa arus I yang mengalir menuju ke simpul berpolaritas positif, sedangkan arus I yang keluar dari suatu simpul berpolaritas negatif.
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
5
Persamaan Jerat/Loop
Marilah kita perhatikan gambar 1, dimana diperoleh :
(Z1+Z2+Z6+Z7) I1 + (-Z2) I2 + (-Z6) I3 = ea – eb (-Z2) I1 + (Z2+Z3+Z4+Z8) I2 + (-Z8) I3 = eb – ec – ed ...(3) (-Z6) I1 + (-Z8) I2 + (Z5+Z6+Z8+Z9+Z10) I3 = -ef
…….………..(4)
[ Z ] [ I ] = [ E ] ……….(5) Definisikan :
• Biarkanlah didefinisikan impedansi diri jerat j. Zjj adalah jumlah semua impedansi yang ada pada
jerat j.
• Impedansi bersama atau impedansi gandeng Zjk adalah jumlah impedansi yang terdapat baik pada
jerat j maupun jerat k, yaitu jumlah impedansi yang secara bersama dimiliki atau menggandengkan jerat j dan jerat k. Sehingga Zjk = Zkj.
E3 E2 E1 I3 I2 I1 Z33 Z32 Z31 Z23 Z22 Z21 Z13 Z12 Z11
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
6
• E1 = Ea – Eb adalah jumlah sumber tegangan yang ada pada jerat 1. Sumber tegangan
dikatakan posistif bila berpolaritas searah dengan I1, dan negatif bila berlawanan arah
denga arah I1.
• Pada persamaan (5) [Z] adalah matriks bujur sangkar, [I] adalah matriks kolom atau vektor
arus-arus jerat, dan [E] adalah vektor sumber tegangan.
• Elemen-elemen diagonal utama dari matriks [Z] adalah impedansi dari masing-masing jerat
dan tanda di depannya selalu posistif.
• Elemen-elemen lainnya yang terdapat disisi kanan atas atau disisi kiri bawah
elemen-elemen diagonal adalah impedansi bersama atau gandeng pasangan-pasangan jerat yang
terpilih.Tanda di depannya positif atau negatif, tergantung pada polaritas arus-arus jerat
yang melaluinya.
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
7
Jawab Persamaan Jerat/Loop
Jawab persamaan jerat adalah memperoleh arus-arus jerat [ I ]. Arus-arus jerat ini didapat
dengan jalan persamaan (5) diperkalikan dengan [ Z ]
-1sebagai berikut :
[ Z ]
-1[ Z ] [ I ] = [ Z ]
-1[ E ]
[ U ] [ I ] = [ Z ]
-1[ E ]
[ I ] = [ Z ]
-1[ E ]
[ I ] = [ Y ] [ E ] ...(6)
Persamaan (6) adalah jawab dari persamaan (5).
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
8
Langkah-langkah penyelesaian untuk memperoleh arus-arus jerat
• Gambarkan rangkaian dengan menyatakan semua elemen aktif (sumber
energi) sebagai sumber tegangan.
• Gambarkan arus-arus jeratnya. Ambillah searah dengan arah jarum jam
• Tuliskanlah matriks impedansi [ Z ]
• Carilah matriks [ Y ] dengan jalan meng-invers matriks [ Z ]
• Tentukanlah vektor sumber tegangan [ V ]
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
9
Persamaan Simpul / Node
Persamaan simpul diturunkan dari persamaan (2). Dalam hal ini semua elemen aktif atau
sumber energi dinyatakan sebagai sumber arus bebas. Biasanya sumber energi itu lebih sering dinyatakan sebagai sumber tegangan bebas yang seri dengan impedansinya.
Terdapat teori yang mengatakan bahwa terhadap ujung-ujng AB suatu sumber tegangan bebas e seri dengan sebuah impedansi Zd dapat diagnti dengan suatu sumber arus bebas I paralel
dengan impedansi Zd tersebut asal saja I = E / Zd.
Banyaknya persamaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persoalan persamaan simpul sama dengan banyaknya simpul dikurang satu. Dikurang satu karena harus dipilih satu simpul sebagai simpul acuan. Sehingga semua tegangan simpul lainnya dapat diacukan ke simpul acuan tersebut.
Marilah kita perhatikan gambar 3. Setelah semua tegangan yang seri dengan suatu impedansi diganti dengan sumber arus setaranya yang paralel dengan impedansi atau admitansinya, seperti yang tampak pada gambar 4.
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
10
Gambar 3. Contoh rangkaian untuk penyelesaian persamaan simpul
Z1 Z4 Z2 Z3 Z5 Z6 E1 E2 E3 E4 A B C D o
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
11
Gambar 4. Penyederhanaan gambar 3
C A O B I1 I2 I3 I4 Z1 Y1 Z2 Y5 Y6 Z4 Y4 Z5 Z6 Y2 Z3 Y3 IZ1 IZ2 IZ5 IZ6 IZ4 IZ3
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
12
Dari gambar 4 dapat dituliskan persamaan berikut : Simpul A I1 – IZ1 + I2 - IZ2 + I3 - IZ3 = 0 I1 – Y1 VAC + I2 - Y2 VA + I3 – Y3 VAB = 0 I1 – Y1 (VA - VC) + I2 - Y2 VA + I3 – Y3 (VA - VB) = 0 (Y1 + Y2 + Y3) VA – Y3 VB - Y1 VC = I1 + I2 +I3 Simpul B -I3 + IZ3 - IZ6 + I4 - IZ4 = 0 -I3 + Y3 (VA - VB) - Y6 VB + I4 – Y4 (VB - VC) = 0 -Y3 VA + (Y3 + Y4 + Y6) VB – Y4 VC = - I3 + I4 Simpul C -I1 + IZ1 - IZ5 - I4 + IZ4 = 0 -I1 + Y1 (VA - VC) - Y5 VC - I4 – Y4 (VB - VC) = 0 -Y1 VA – Y4 VB + (Y1 + Y4 + Y5) VC = - I1 - I4
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin 13 (Y1 + Y2 + Y3) VA + (– Y3) VB + ( - Y1) VC = I1 + I2 +I3 (-Y3) VA + (Y3 + Y4 + Y6) VB + (– Y4) VC = - I3 + I4 ( -Y1) VA + (– Y4) VB + (Y1 + Y4 + Y5) VC = - I1 - I4
Secara umum persamaan matriks dapat dituliskan sebagai :
………..(7)
Penulisan lengkap tersebut dapat disederhanakan menjadi :
[ Y ] [ V ] = [ I ] ………(8) C B A C B A 33 32 31 23 22 21 13 12 11 I I I V V V Y Y Y Y Y Y Y Y Y
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
14
Definisi dari persamaan (7)
• Y11 = Y1 + Y2 + Y3; adalah jumlah admitansi yang dihubungkan langsung ke simpul A=1.
demikian pula Y22 = Y3 + Y4 + Y6; dan Y33 = Y1 + Y4 + Y5; masing-masingnya adalah
jumlah admitansi yang dihubungkan langsung ke simpul B=2 dan simpul C=3.
• Y11, Y22 ,Y33 adalah admitansi diri. Admitansi diri merupakan elemen-elemen diagonal
utama dan tanda di depannya selalu positif (+).
• Y12 = Y21, Y23 = Y32, Y13 = Y31 adalah jumlah admitansi yang menghubungkan atau
menggandengkan simpul 1 dengan simpul 2, simpul 2 dengan simpul 3 serta simpul 1 dengan simpul 3. Admitansi ini disebut admitansi bersama atau admitansi gandeng, dan tanda di depannya adalah negatif (-).
• IA = I1 + I2 + I3; adalah jumlah sumber arus yang berhubungan langsung ke simpul A=1,
dihitung positif bila menuju ke simpul A dan negatif bila keluar dari simpul A. Demikian pula untuk IB dan IC .
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
15
Jawab Persamaan Simpul / Node
Jawab persamaan simpul adalah memperoleh tegangan pada masing-masing simpul
selain simpul acuan. Jawab persamaan simpul dapat diperoleh dengan jalan yang sama
seperti pada jawab persaman jerat :
[ Y ] -1 [ Y ] [ V ] = [ Y ]
-1[ I ]
[ U ] [ V ] = [ Y ]
-1[ I ]
[ V ] = [ Y ]
-1[ I ]
[ V ] = [ Z ] [ I ] ...(9)
Persamaan (9) adalah jawab dari persamaan (8).
7/28/2012 persamaan rangkaian by zaenab muslimin
16