Catatan Kuliah 11
Memahami dan Menganalisa Optimasi dengan Kendala Persamaan
1. Maksimum Kepuasan dan Permintaan Konsumen
Misalkan seorang konsumen dihadapkan pada 2 pilihan barang untuk dikonsumsi, yaitu barang x dan barang y . Selain itu harga masing-masing barang tersebut adalah
x
P dan P . y
Apabila anggaran yang dimiliki oleh konsumen hanya sebesar B , maka secara formal persoalan optimisasi di atas dapat dinyatakan sebagai :
( )
: , OF Max U =U x y ;(
U Ux, y >0)
. : x y s t xP +yP = B Fungsi Lagrange : Z =U x y( )
, +λ⎡⎣B−(
xPx+yPy)
⎤⎦ FONC : 0 0 x x x Z = →U −λP = (1) 0 0 y y y Z = →U −λP = (2) 0 x y 0 Zλ = → −B xP −yP = (3)Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh : x y x y U U
P = P = (4) λ
Persamaan (4) menunjukkan bahwa untuk memperoleh kepuasan yang maksimum, seorang konsumen harus mengalokasikan anggarannya sedemikian rupa sehingga rasio dari marginal utility terhadap harga untuk setiap komoditi adalah sama.
Bentuk persamaan (4) dapat dinyatakan dengan : y x xy x y U U MRS P P = = (5)
Bentuk di atas untuk sisi kiri menggambarkan marginal rate of substitution dari barang x dan y
(
MRSxy)
, sedangkan sisi kanan menggambarkan rasio harga darikedua barang. Sehingga agar kepuasan konsumen optimal, maka haruslah x xy y U MRS U
= sama dengan rasio harga dari kedua barang.
Sementara itu jika kepuasan seseorang dianggap konstan dengan tingkat U, maka
dapat dinyatakan bentuk sbb : U =U x y
( )
, (6)Bentuk ini menggambarkan tempat kedudukan titik–titik kombinasi dari x dan y pada tingkat U yang tetap sebesar U.
Secara grafis dapat dinyatakan sebagai : y Indifferent curve x y U dy slope dx U ⎛ ⎞ = = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y E Budget line * x y P dy slope dx P ⎛ ⎞ = = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 x* x
Secara matematis, dengan total differensial diperoleh : 0 x y dU =U dx U dy+ = atau x y U dy dx = −U (7)
Dengan demikian, negative slope dari indifferent curve setara dengan MRS . xy Untuk masalah optimisasi di atas, SOSC nya adalah :
2 0 x y x xx xy y yx yy P P H H P U U P U U = =
Jika diasumsikan bahwa H positif maka,
2 2
2P P Ux y xy−U Pxx y −U Pyy x >0 (8)
x y U dy dx = −U Maka bentuk 2 2 x y U d y d dy d dx dx dx dx U ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟= − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12 x y y x y dU dU U U U dx dx ⎡ ⎤ = − ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ (9) Ingat bahwa x xx yx dU dy U U dx = + dx dan y xy yy dU dy U U dx = + dx (10)
Substitusi persamaan (10) ke persamaan (9) :
2 2 2 1 y xx yx x xy yy y d y dy dy U U U U U U dx U dx dx ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ = − ⎢ ⎜ + ⎟− ⎜ + ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (11)
Ingat juga bahwa :
x x x x y y y y U U P P dy dy dan dx = −U U = P ⇒ dx= −P (12) y x x x x y y y U P U P U U = P ⇒ = P (13)
Substitusi persamaan (12) dan (13) ke persamaan (11) :
2 2 2 1 x y x x y xx yx xy yy y y y y U P P P d y U U U U U dx U P P P ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ = − ⎢ ⎜⎜ − ⎟⎟− ⎜⎜ − ⎟⎟⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 1 x y x xy yy y x y xx y yx y y y y U P U U U P P U U U U U P P P ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ = − ⎢⎜⎜ − ⎟ ⎜⎟ ⎜− − ⎟⎟⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦
(
2) (
2)
2 2 1 y y xx yx y x x xy y yy x y y U P U U P P P U P U P U P ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ − − − ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 x y yx y xx x yy y y y y H P P U P U P U U P U P − − = = (14)Jika SOSC terpenuhi maka
2 2 0 d y dx > , dimana H > ; 0 Uy > ; 0 2 0 y P >
Karena
2
2 0
d y
dx > maka kurva indifferent adalah strictly convex. Catatan : H > dipenuhi oleh 0 Uxx,Uyy < dan 0 Uyx > 0
2. Analisa Komparatif Statik
Misalkan fungsi kepuasan konsumen didefinisikan sbb :
( )
: ,
OF Max U =U x y
. : x y s t xP +yP = B
a) Perlihatkan bahwa x* , y , dan * λ merupakan fungsi dari * P , x P , dan B y b) Tentukan x* B ∂ ∂ , * y B ∂ ∂ , * x x P ∂ ∂ , * x y P ∂ ∂ Jawab : Fungsi Lagrange : Z =U x y
( )
, +λ⎡⎣B−(
xPx+yPy)
⎤⎦ FONC : 0 0 0 0 0 0 x y x x x y y y Z B xP yP Z U P Z U P λ λ λ ⎫ = → − − = ⎪ = → − = ⎬ ⎪ = → − = ⎭ (1)Solusi bagi (1) adalah sekumpulan fungsi dimana variabel endogen merupakan fungsi dari variabel eksogen yaitu :
(
)
(
)
(
)
* * , , * * , , * * , , x y x y x y B P P x x B P P y y B P P λ =λ ⎫ ⎪⎪ = ⎬ ⎪ = ⎪⎭ (2)Apabila (2) disubstitusi ke (1) maka :
(
)
(
)
* * 0 *, * * 0 *, * * 0 x y x x y y B x P y P U x y P U x y P λ λ ⎫ − − = ⎪ − = ⎬ ⎪ − = ⎭ (3)Ingat kembali bahwa (3) adalah sekumpulan fungsi implisit dengan aturan total differensial, maka dari (3) dapat dinyatakan bentuk :
* * * * 0 * * * * 0 * * * * 0 x x y y xx xy x x yx yy y y dB x dP P dx y dP P dy U dx U dy dP P d U dx U dy dP P d λ λ λ λ ⎫ − − − − = ⎪ + − − = ⎬ ⎪ + − − = ⎭ (4)
Jika ingin dianalisis pengaruh satu variabel eksogen
( )
B , misalkan dPx =dPy = 0 maka (4) menjadi : * * * * * 0 * * * 0 x y x xx xy y yx yy P dx P dy dB P d U dx U dy P d U dx U dy λ λ ⎫ − − = − ⎪ − + + = ⎬ ⎪ − + + = ⎭ (5)Jika (5) diubah ke dalam bentuk matriks maka :
0 * * 0 * 0 x y x xx xy y yx yy P P B P U U x P U U y λ ⎛ − − ⎞⎛∂ ⎞ ⎛−∂ ⎞ ⎜− ⎟⎜∂ ⎟ ⎜= ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟⎝∂ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (6)
Kedua ruas dibagi dengan
( )
∂B :* 0 1 * 0 0 * x y x xx xy y yx yy B P P x P U U B P U U y B λ ⎛∂ ⎞ ∂ ⎛ − − ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⎜− ⎟⎜∂ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ∂ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− ⎟⎜∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ (7)
Dari (7) dengan metode aturan Cramer diperoleh :
0 1 0 0 * 1 0 y x xy y yy x xy y yy x y x xx xy y yx yy P P U P U P U x P U B P P J P U U P U U − − − − − ∂ = = − ∂ − − − − (8) 0 1 0 0 * 1 0 x x xx y yx x xx y yx x y x xx xy y yx yy P P U P U P U y P U B P P J P U U P U U − − − − − ∂ = = − − ∂ − − − − (9)
Jika ingin dianalisis pengaruh perubahan
( )
Px , misalkan dPy =dB= maka (4) 0 menjadi : * * * * * * * * * * 0 x y x x xx xy x y yx yy P dx P dy x dP P d U dx U dy dP P d U dx U dy λ λ λ ⎫ − − = ⎪ − + + = ⎬ ⎪ − + + = ⎭ (10)Jika (10) diubah ke dalam bentuk matriks maka :
0 * * * * * 0 x y x x xx xy x y yx yy P P x P P U U x P P U U y λ λ ⎛ − − ⎞⎛∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎜− ⎟⎜∂ ⎟ ⎜= ∂ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟⎝∂ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (11)
Kedua ruas dibagi dengan
( )
∂Px :* 0 * * * 0 * x x y x xx xy x y yx yy x P P P x x P U U P P U U y P λ λ ⎛∂ ⎞ ⎜ ∂ ⎟ ⎛ − − ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜− ⎟⎜∂ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ⎜ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ (12) 0 * * 1 * 0 y x xy x y yy x P x P U P J P U λ − ∂ = − ∂ − * x xy * 0 y y yy y yy P U P x P U P U J J λ − − = − + − − ≡ + (13) T1 T2 * x x P ∂
∂ menunjukkan bagaimana perubahan dalam P mempengaruhi nilai optimal x x*. Ada 2 komponen dalam efek ini. Pertama, T , yang berdasarkan (8) dapat dinyatakan 1 sebagai ⎡⎣− ∂
(
x* ∂B x)
*⎤⎦ . Dalam hal ini T mengukur efek perubahan dalam B 1 (budget atau income) terhadap nilai optimal x*, dimana x* itu sendiri adalah weighting factor. Karena x* diturunkan terhadap perubahan harga maka T 1diinterpretasikan sebagai income effect of a price change. Saat P meningkat, x penurunan real income konsumen akan berpengaruh terhadap x* , sama halnya dengan penurunan B , karenanya ⎡⎣− ∂
(
x* ∂B)
⎤⎦ .Secara umum, nyatakan consumer’s effective income loss dengan differensial * x dB= −x dP , maka * x dB x dP = − dan 1 * * * x x x dB T x B B dP ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (14)
dimana T mengukur efek perubahan dalam 1 P terhadap x x* melalui B . Hal ini disebut dengan income effect.
Jika konsumen diberikan kompensasi untuk menutupi kerugian effective income dengan pembayaran tunai yang secara numeric sama dengan dB, maka karena
neutralisasi income effect, komponen ke dua dari comparative static * x x P ∂
∂ , yaitu T 2
akan mengukur substitution effect dari perubahan dalamP . x
Saat menganalisa efek perubahan dalam P , asumsikan x dPy =dB= . Maka 0 persamaan pertama dalam (4) , dapat ditulis dengan :
* * *
x y x
P dx P dy x dP
− − =
Untuk mengkompensasi konsumen, artinya *x dPx= 0
Karenanya, vektor konstan dalam (12) harus diubah dari
* * 0 x λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ke 0 * 0 λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , dan
kompensasi income menjadi :
2 0 0 0 * 1 * * 0 y y x xy y yy x kompensasi y yy P P x P U T P U P J J P U λ λ − − ⎛∂ ⎞ = − = = ⎜∂ ⎟ − ⎝ ⎠ −
Sehingga (13) dapat dinyatakan dalam bentuk :
1 2 * * * * x x kompensasi income effect substitution effect x x x T T x P B P ⎛∂ ⎞= + = −⎛∂ ⎞ +⎛∂ ⎞ ⎜∂ ⎟ ⎜⎝ ∂ ⎟⎠ ⎜∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 * * 1 * 0 x x xx x y yx P x y P U P J P U λ − ∂ = − ∂ − * x xx * 0 x y yx y yx P U P x P U P U J J λ − − = − − − 3 4 T T ≡ +
