T-Matrix dengan Spin Total 1 2

T-Matrix dengan Spin Total

1

₂

Kini kita perhitungkan juga spin sistem, dan sebagai contoh, kita lihat hamburan dengan spin total s = 1₂.

1

Spin

1₂

Ambillah sebagai keadaan eigen spin 1₂ yaitu ˆzλ, dengan ˆz menyatakan sumbu kuantisasi1 dan λ = ±1₂. Keadaan ˆzλ memenuhi persamaan nilai eigen (dengan spin bernilai 1₂):

s2ˆzλ = 3 4  ˆzλ dan sz  ˆzλ = λ ˆzλ . (3)

Sebagai keadaan eigen operator besaran fisika, ˆzλ bersifat ortogonal dan komplit, dengan or-togonalitas dan relasi kekomplitan (completeness relation) sebagai berikut:

ˆzλ0 ˆzλ = δλ0_λ dan 1 2 X λ=−1₂  ˆzλˆzλ= 1 . (4)

2

Keadaan basis (basis states)

Untuk menghitung hamburan dengan spin total s = 1₂ kita gunakan keadaan basis pλ, yang diperoleh sebagai perkalian (perkalian tensor) keadaan bebas dengan momentum relatif p, yaitu 

p, dan keadaan eigen spin total  ˆzλ:



pλ ≡  p ⊗

ˆzλ ≡pˆzλ . (5)

Ortogonalitas dan relasi kekomplitan pλ diperoleh sebagai berikut:

p0

λ0pλ = ˆzλ0p0pˆzλ

= δ(p0− p)δλ0_λ (6)

1_{Ingat kembali kuliah Mekanika Kuantum tentang momentum angular. Sebagai momentum angular, spin s}

dapat diuraikan dalam tiga komponennya, yaitu sx, sy, dan sz. Ketiga komponen ini komut dengan s:

[s2, sx] = [s2, sy] = [s2, sz] = 0 , (1)

namun antar ketiganya tidak komut:

[sj, sk] = ijklsl , (jkl= simbol Levi-Civita) . (2)

1 2 X λ=−1₂ Z dppλpλ  = 1 2 X λ=−1₂  ˆzλˆzλ  Z dppp  = 1 . (7)

Dalam basispλ elemen T-matrix dinyatakan sebagai berikut (serupa juga untuk elemen matriks potensial):

Tλ0_λ(p0, p) ≡p0λ0Tpλ . (8)

3

Elemen matriks potential

Elemen matriks potensial dalam basis pλ, yaitu Vλ0_λ(p0, p), diberikan sebagai berikut:

Vλ0_λ(p0, p) ≡ p0λ0Vpλ = ˆzλ0 p0 Vp ˆzλ = ˆzλ0V (p0, p)ˆzλ , (9)

dengan V (p0, p) adalah potensial dalam ruang (representasi) momentum. Untuk kasus spin total s = 1 2 struktur umum V (p 0_{, p) adalah:} V (p0, p) = f0(p0, p, ˆp0 · ˆp) + f1(p0, p, ˆp0· ˆp) s · ˆp0
s · ˆp
, (10)

dengan fi(p0, p, ˆp0· ˆp) suatu fungsi yang tidak bergantung pada spin. Elemen matriks potensial

V (p0, p) di Eq. (10) bersifat invarian rotasional (rotational invariant ) dan memenuhi kekekalan paritas (parity conservation). Selain itu, V (p0, p) bersifat invarian terhadap pembalikan waktu (time-reversal invariant ), asalkan fi(p0, p, ˆp0· ˆp) , (i = 0, 1) bergantung pada p0 dan p secara

simetrik:2

fi(p0, p, ˆp0· ˆp) = gi(p0, p, ˆp0 · ˆp) + gi(p, p0, ˆp0 · ˆp) , (i = 0, 1) . (13)

2_{Pembalikan waktu membuat perubahan pada momentum dan spin sebagai berikut: p → −p}0_{, p}0_{→ −p, dan}

s → −s. Jelas bahwa fi(p0, p, ˆp0· ˆp) di Eq. (13) bersifat time-reversal invariant. Adapun s · ˆp0

s · ˆp
juga bersifat time-reversal invariant seperti ditunjukkan berikut ini, yaitu dengan menggunakan persamaan identitas:

s · ˆp0
s · ˆp
=1 4pˆ 0_{· ˆp +} 1 2is · ˆp 0_{× ˆp
, (11)} sehingga diperoleh: (−s) · (−ˆp)
(−s) · (−ˆp0)
= 1 4(−ˆp) · (−ˆp 0_{) +}1 2i(−s) ·(−ˆp) × (−ˆp 0₎ = 1 4pˆ 0_{· ˆp +} 1 2is · (ˆp 0_{× ˆp)} = s · ˆp0
s · ˆp
. (12)

Elemen matriks potensial Vλ0_λ(p0, p) di Eq. (9) dapat dituliskan sebagai berikut:

Vλ0_λ(p0, p) = f₀(p0, p, ˆp0· ˆp) δ_λ0_λ + f₁(p0, p, ˆp0· ˆp) W_λ0_λ(ˆp0, ˆp) , (14)

dengan komponen spin Wλ0_λ(ˆp0, ˆp) diperoleh sebagai berikut:

Wλ0_λ(ˆp0, ˆp) ≡ ˆzλ0   s · ˆp0
s · ˆp
ˆzλ = 1 4 h δλ0_λ n

cos θ0cos θ + e−2iλ(φ0−φ)sin θ0sin θo +δλ0_,−λ2λe2iλφ

0n

sin θ0cos θ − e−2iλ(φ0−φ)cos θ0sin θoi. (15)

Dengan demikian, diproleh:

Vλ0_λ(p0, p) = δ_λ0_λ h f0(p0, p, ˆp0 · ˆp) + 1 4f1(p 0

, p, ˆp0· ˆp)ncos θ0cos θ + e−2iλ(φ0−φ)sin θ0sin θoi +δλ0_,−λf₁(p0, p, ˆp0· ˆp)

λ 2e

2iλφ0n_{sin θ}0

cos θ − e−2iλ(φ0−φ)cos θ0sin θo . (16)

Berikutnya, kita lihat elemen matriks potensial untuk kasus khusus ˆp = ˆz. Dari Eq. (16) diperoleh: Vλ0_λ(p0, pˆz) = δ_λ0_λ h f0(p0, p, cos θ0) + 1 4f1(p 0_{, p, cos θ}0_{) cos θ}0i +δλ0_,−λf₁(p0, p, cos θ0) λ 2e 2iλφ0_{sin θ}0 . (17)

Dengan adanya delta Kronecker δλ0_,−λ di suku kedua, dapat dinyatakan:

Vλ0_λ(p0, pˆz) = δ_λ0_λ h f0(p0, p, cos θ0) + 1 4f1(p 0 , p, cos θ0) cos θ0i +δλ0_,−λf₁(p0, p, cos θ0) λ 2e i(λ+λ)φ0_{sin θ}0 = δλ0_λ h f0(p0, p, cos θ0) + 1 4f1(p 0 , p, cos θ0) cos θ0i +δλ0_,−λf₁(p0, p, cos θ0) λ 2e i(−λ0+λ)φ0_{sin θ}0 = δλ0_λ h f0(p0, p, cos θ0) + 1 4f1(p 0 , p, cos θ0) cos θ0 i +δλ0_,−λf₁(p0, p, cos θ0) λ 2e −i(λ0_−λ)φ0 sin θ0. (18)

Kemudian, delta Kronecker delta δλ0_λ di suku pertama membolehkan faktor e−i(λ 0_−λ)φ0

juga dita-mbahkan di suku pertama, sehingga faktor e−i(λ0−λ)φ0 dapat dipisahkan dari semua suku:

Vλ0_λ(p0, pˆz) = δ_λ0_λe−i(λ 0_−λ)φ0h f0(p0, p, cos θ0) + 1 4f1(p 0 , p, cos θ0) cos θ0i +δλ0_,−λf₁(p0, p, cos θ0) λ 2e −i(λ0_−λ)φ0 sin θ0 = e−i(λ0−λ)φ0nδλ0_λ h f0(p0, p, cos θ0) + 1 4f1(p 0 , p, cos θ0) cos θ0i

+δλ0_,−λf₁(p0, p, cos θ0)

λ 2 sin θ

0o

. (19)

Dengan kata lain, kebergantungan Vλ0_λ(p0, pˆz) pada sudut azimuth φ0 dapat dipisahkan dari

kebergantungannya pada variabel lain:

Vλ0_λ(p0, pˆz) = e−i(λ 0_−λ)φ0 Vλ0_λ(p0, p, θ0) , (20) dengan Vλ0_λ(p0, p, θ0) = δ_λ0_λ  f0(p0, p, cos θ0) + 1 4f1(p 0 , p, cos θ0) cos θ0  +δλ0_,−λ λ 2f1(p 0 , p, cos θ0) sin θ0. (21)

Dengan λ = ±1₂, Vλ0_λ(p0, p, θ0) di Eq. (21) menunjukkan relasi simetri berikut:

Vλ0_λ(p0, p, θ0) = (−)λ 0_−λ

V−λ0_,−λ(p0, p, θ0) . (22)

Jika relasi di Eq. (22) dimasukkan ke Eq. (20), diperoleh relasi simetri untuk Vλ0_λ(p0, pˆz) sebagai

berikut:

Vλ0_λ(p0, pˆz) = (−)λ 0_−λ

e−2i(λ0−λ)φ0V−λ0_,−λ(p0, pˆz) . (23)

4

Elemen T-matrix

Sebelum ini, tanpa memperhitungkan spin telah diperoleh persamaan integral untuk elemen T-matrix sebagai berikut:

T (p0, p) = V (p0, p) + lim →0 Z dp00 1 Ep+ i − Ep00 V (p0, p00)T (p00, p) . (24)

Dengan cara serupa, diperoleh persamaan integral untuk elemen T-matrix Tλ0_λ(p0, p) sebagai

berikut: Tλ0_λ(p0, p) = V_λ0_λ(p0, p) + lim →0 1 2 X λ00₌₋1 2 Z dp00Vλ0_λ00(p0, p00) 1 Ep + i − Ep00 Tλ00_λ(p00, p) . (25)

Sebagaimana biasa, arah momentum awal dipilih sebagai arah z, ˆp = ˆz, sehingga Eq. (25) menjadi: Tλ0_λ(p0, pˆz) = V_λ0_λ(p0, pˆz) + lim →0 1 2 X λ00₌₋1 2 Z dp00 Vλ0λ00(p 0_{, p}00₎ Ep+ i − Ep00 Tλ00_λ(p00, pˆz) . (26)

Sama seperti Vλ0_λ(p0, p), elemen T-matrix T_λ0_λ(p0, p) juga bersifat invarian rotasi. Untuk

ˆ

p = ˆz, kebergantungan elemen T-matrix pada sudut azimuth φ0 muncul sebagai faktor fase e−i(λ0−λ)φ0, serupa dengan Vλ0_λ(p0, pˆz) di Eq. (20):

Tλ0_λ(p0, pˆz) = e−i(λ 0_−λ)φ0

Tλ0_λ(p0, p, θ0) . (27)

Setelah Tλ0_λ(p0, pˆz) di Eq. (27) dimasukkan ke Eq. (26), diperoleh persamaan untuk T_λ0_λ(p0, p, θ0)

sebagai berikut: Tλ0_λ(p0, p, θ0) = V_λ0_λ(p0, p, θ0) + lim →0 1 2 X λ00₌₋1 2 Z dp00 Vλ0λ00(p 0_{, p}00₎ Ep+ i − Ep00 ei(λ0φ0−λ00φ00)e−iλ(φ0−φ00)Tλ00_λ(p00, p, θ00) . (28)

Di Eq. (28) integral dengan variabel φ00 adalah:

2π Z 0 dφ00Vλ0_λ00(p0, p00)ei(λ 0_φ0_−λ00_φ00₎ e−iλ(φ0−φ00). (29)

Persamaan (16) menunjukkan bahwa kebergantungan Vλ0_λ00(p0, p00) pada sudut azimuth φ0 dan

φ00 dapat dinyatakan sebagai fungsi V1 dan V2 berikut:

Vλ0_λ00(p0, p00) = δ_λ0_λ00V₁  cos(φ0− φ00), e−2iλ00(φ0−φ00) +δλ0_,−λ00λ00e2iλ 00_φ0 V2  cos(φ0− φ00), e−2iλ00(φ0−φ00). (30)

Dengan demikian, integrand di Eq. (29) dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi sudut-sudut azimuth g(φ0 − φ00_{), yang periodik dalam variabel φ}00_{, dengan periode 2π, seperti ditunjukkan}

berikut ini: 2π Z 0 dφ00Vλ0_λ00(p0, p00)ei(λ 0_φ0_−λ00_φ00₎ e−iλ(φ0−φ00) = 2π Z 0 dφ00nδλ0_λ00V₁  cos(φ0− φ00), e−2iλ00(φ0−φ00) +δλ0_,−λ00λ00e2iλ 00_φ0 V2 

cos(φ0 − φ00), e−2iλ00(φ0−φ00)oei(λ0φ0−λ00φ00)e−iλ(φ0−φ00)

= 2π Z 0 dφ00 n δλ0_λ00V₁  cos(φ0− φ00), e−2iλ00(φ0−φ00)  ei(λ00−λ)(φ0−φ00) +δλ0_,−λ00λ00V₂ 

cos(φ0− φ00), e−2iλ00(φ0−φ00)ei(λ00−λ)(φ0−φ00)o

= 2π Z 0 dφ00nδλ0_λ00V₁  cos(φ0− φ00), e−2iλ00(φ0−φ00)

+δλ0_,−λ00λ00V₂



cos(φ0− φ00), e−2iλ00(φ0−φ00)oei(λ00−λ)(φ0−φ00)

=

2π

Z

0

dφ00g(φ0− φ00) . (31)

Integral tertutup (closed integral ) di Eq. (31), yang berarti integral di Eq. (29), tidak bergantung pada φ0, karena integrasi dapat dimulai dari titik manapun di sepanjang sumbu φ00:

2π Z 0 dφ00g(φ0− φ00) = 2π Z 0 dφ00g(φ00) . (32)

Dengan demikian, dapat kita definisikan suatu fungsi V_λλ0_λ00(p0, p00, θ0, θ00) sebagai berikut:

V_λλ0_λ00(p0, p00, θ0, θ00) ≡ 2π Z 0 dφ00Vλ0_λ00(p0, p00)ei(λ 0_φ0_−λ00_φ00₎ e−iλ(φ0−φ00), (33)

sehingga persamaan integral untuk Tλ0_λ(p0, p, θ0) di Eq. (28) menjadi:

Tλ0_λ(p0, p, θ0) = V_λ0_λ(p0, p, θ0) +2µ lim →0 1 2 X λ00₌₋1 2 ∞ Z 0 dp00 p 002 p2_{+ i − p}002 × 1 Z −1 d cos θ00V_λλ0_λ00(p0, p00, θ0, θ00)T_λ00_λ(p00, p, θ00) . (34)

Mengingat nilai-nilai λ, λ0, λ00 = ±1₂, maka untuk tiap nilai λ dperlukan 2 persamaan seperti Eq. (34) yang harus diselesaikan secara simultan, yaitu untuk mendapatkan T1

2λ(p

0_{, p, θ}0_{) dan}

T₋1 2,λ(p

0_{, p, θ}0_{). Jadi, dijumpai problem menyelesaikan dua persamaan integral terkopel (coupled}

integral equations) untuk tiap nilai λ. Untuk semua nilai λ = ±1

2, dengan demikian, ada 2 set 2

persamaan integral terkopel yang harus diselesaikan.

Perhatikan bahwa integral tertutup di Eq. (32) juga invarian apabila arah integrasi dibalik:

2π Z 0 dφ00g(φ00) = 2π Z 0 dφ00g(−φ00) . (35)

Berdasarkan sifat yang ditunjukkan di Eq. (35), diperoleh relasi simetri untuk Vλ

λ0_λ00(p0, p00, θ0, θ00) sebagai berikut: V_λλ0_λ00(p0, p00, θ0, θ00) = 2π Z 0 dφ00nδλ0_λ00V₁  cos φ00, e−2iλ00φ00

+δλ0_,−λ00λ00V₂



cos φ00, e−2iλ00φ00oei(λ00−λ)φ00

= 2π Z 0 dφ00nδλ0_λ00V₁  cos φ00, e2iλ00φ00 +δλ0_,−λ00λ00V₂ 

cos φ00, e2iλ00φ00oe−i(λ00−λ)φ00

= (−)λ0−λ00 2π Z 0 dφ00nδ−λ0_,−λ00V₁  cos φ00, e2iλ00φ00 +δ−λ0_λ00(−λ00)V₂  cos φ00, e2iλ00φ00 o e−i(λ00−λ)φ00 = (−)λ0−λ00V_−λ−λ0_,−λ00(p 0 , p00, θ0, θ00) . (36)

Dengan menggunakan relasi simetri di Eq. (36) diperoleh relasi simetri untuk Tλ0_λ(p0, p, θ0), yang

serupa dengan relasi simetri untuk Vλ0_λ(p0, p, θ0) di Eq. (22):

Tλ0_λ(p0, p, θ0) = (−)λ 0_−λ

T−λ0_,−λ(p0, p, θ0) . (37)

Relasi simetri Eq. (37) membuat kita cukup menyelesaikan satu set, bukan 2 set, 2 persamaan in-tegral terkopel di Eq. (34), yaitu untuk λ = 1₂, sehingga diperoleh T1

2 1 2(p 0_{, p, θ}0_{) dan T} −1 2 1 2(p 0_{, p, θ}0_).