PENGENDALIAN OPTIMAL
PADA MODEL
KEMOPROFILAKSIS DAN
PENANGANAN TUBERKULOSIS
Oleh:
Citra Dewi Kusuma P. 1206 100 007
Dosen pembimbing: DR. Subiono, MSc.
PENDAHULUAN
Latar Belakang
• Penyakit Tuberkulosis (TB) adalah penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium
Tuberkulosis (Mtb).
• Dalam penanganan pasien penderita TB, perawatan tidak lengkap dapat menyebabkan penyakit tersebut kambuh, tetapi kambuh dapat juga terjadi pada
pasien yang mengambil pengobatan penuh dan dinyatakan sembuh
• Dalam tugas akhir ini, dibahas tentang analisis ketunggalan dan penyelesaian kontrol optimal dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan penderita TB, dan kontrol penanganan pada penderita TB yang kambuh untuk mengurangi jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif.
– Rumusan Masalah
• Permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir ini dengan adalah:
• Bagaimana menentukan optimal kontrol dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan TB, dan kontrol pada kambuhnya penyakit TB.
• Bagaimana hasil simulasi numeriknya dengan menggunakan software MATLAB.
– Batasan Masalah
• Kontrol yang dapat diterima disimbolkan dengan u dalam keadaan terbatas dan kontinu pada
• Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama perawatan pada interval waktu tertentu.
– Tujuan
• Tujuan yang dicapai dalam tugas akhir ini antara lain:
• Mendapatkan kontrol optimal dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan TB, dan kontrol pada
kambuhnya penyakit TB sehingga dapat
mengurangi jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif.
• Mengetahui hasil simulasi numerik dari model TB yang diberikan dengan menggunakan software MATLAB.
– Manfaat
• Manfaat dari penelitian ini adalah agar pihak/badan kesehatan dapat mengetahui penanganan TB dan kemoprofilaksis secara optimal.
TINJAUAN PUSTAKA
Model Optimal Kontrol kemoprofilaksis dan Penanganan Tuberkulosis
Meminimalkan performance
index berikut:
Dengan:
individu yang rentan tertular TB :infeksi laten
:gejala TB
:penyembuhan dari penyakit :laju rekrutmen
:tingkat individu aktif yang tertular :tingkat kematian alami
:probabilitas infeksi akan memasuki tingkat laten
: : :::
:modifikasi parameter
:tingkat kemajuan alami TB aktif :penanganan untuk infeksi laten :modifikasi parameter
:tingkat penyembuhan alami :penanganan terhadap infeksi :tingkat TB penyebab kematian :laju penyakit yang kambuh
:kontrol kemoprofilaksis :kontrol penanganan
:kontrol penyakit yang kambuh :waktu akhir
:penyeimbang faktor biaya
k:
p:
d: q:
Fungsi Lipschitz Definisi 3.1 [2]
Misalkan dan jika terdapat bilangan positif sedemikian hingga
(6)
untuk setiap , maka dikatakan
fungsi Lipschitz (memenuhi kondisi Lipschitz) pada . A f : A u x L u f x f ( ) ( )
L
A
u
x
,
f
A
Masalah Optimal Kontrol
Pada prinsipnya, tujuan dari optimal kontrol adalah menentukan signal yang akan diproses dalam plant dan memenuhi
konstrain fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat
ditentukan ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan kreteria performance index.
• Pada gambar tersebut masalah kontrol optimal adalah mendapatkan kontrol optimal ( ), tanda * menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong dan mengatur
plant C dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan
beberapa konstrain pada kontrol dengan keadaan dan waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim berdasarkan
performance index yang diberikan.
• Berarti secara umum, formulasi yang dapat diberikan pada permasalahan optimal kontrol [5]:
– Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh metode matematika dari proses terjadinya
pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan).
– Spesifikasi dari performance index.
– Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan (state) dan atau kontrol.
• Prinsip Maksimum Pontryagins dengan Kontrol
Terbatas
• Prinsip maximum merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian kontrol optimal yang sesuai dengan tujuan (memaksimalkan performance
index). Hal ini, telah dikembangkan pada tahun 1950
oleh L. S. Pontryagin dan rekan kerjanya, yang
diaplikasikan untuk semua masalah kalkulus variasi [6]. • Diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang
terbatas sebagai berikut [4]:
dengan kendala
Hamiltonian adalah
Supaya optimal jika memenuhi persamaan jika 1 0 ) , , ( max t t dt t u x f ) , , (x u t g x x(t0) x0 a u b ) , , ( ) , , (x u t g x u t f H 0 u H b u a
dengan Persamaan keadaan (State dan Co-State)
Metode beda hingga
Jika maka turunan pertama dari u terhadap x didefinisikan H x x H ) (x u u
Kemudian diekspansikan menurut deret Taylor
1.
Persamaan (9) disebut persamaan beda hingga maju.
2.
Persamaan (11) disebut persamaan beda hingga mundur. ) (x u u ( ) ... ! 2 ! 1 ) ( ) ( 2 2 2 u x dx d h x u dx d h x u h x u ) ( ) ( ) ( ) ( u x o h dx d h x u h x u dx du h x u h x u( ) ( ) ( ) ... ! 2 ! 1 ) ( ) ( 2 2 2 u x dx d h x u dx d h x u h x u ) ( ) ( ) ( ) ( u x o h dx d h h x u x u dx du h h x u x u( ) ( )
3. Jika persamaan (8) dikurangi dengan persamaan (10), maka
Persamaan (13) disebut persamaan beda hingga tengah.
4. Jika persamaan (8) ditambahkan dengan persamaan (10), maka ... 2 ) ( ) ( dx du h h x u h x u ) ( 2 ) ( ) ( o h2 dx du h h x u h x u dx du h h x u h x u 2 ) ( ) ( ... ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 2 dx u d h x u h x u h x u ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 h o dx u d h h x u x u h x u 2 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( dx u d h h x u x u h x u
• Beda hingga memiliki tiga tipe syarat batas:
– Syarat batas Dirihclet, adalah syarat batas pada kondisi awal dan kondisi akhir.
• contoh : dan
– Syarat batas Neumann, adalah syarat batas untuk kondisi akhir dari turunan pertamanya.
• contoh : dan
– Syarat batas Robbins, adalah syarat batas
untuk kondisi awal atau akhir dan pada turunan pertamanya . • contoh : atau 100 ) 0 ( u u 1 100 0 ) 0 ( dx du 0 ) 1 ( dx du 3 ) 0 ( ) 0 ( dx du u (1) (1) 3 dx du u
• Pembahasan dan Hasil
Penyelesaian Kontrol Optimal
• Untuk mendapatkan penyelesaian kontrol optimal dari persamaan (1), (2), (3), dan (4) digunakan Prinsip Maksimum
Pontryagin. Metode ini merupakan
pengembangan dari masalah kalkulus variasi.
Persamaan co-state dapat diperoleh dari Sehingga
Berdasarkan prinsip optimum didapatkan dan
Analisis ketunggalan solusi sistem persamaan diferensial
• Andaikan dan
adalah dua solusi yang berbeda dari sistem persamaan diferensial. • Dengan dan , , , , , , , , , , ,
Untuk m>0, berarti dapat diperoleh bentuk kontrol optimal
Dengan menggunakan teorema Lipschitz sedemikian hingga dapat diperoleh:
dan Untuk
Sehingga dapat diperoleh
• Dilakukan cara yang sama pada state dan costate lainnya dan juga pada solusi yang kedua.
• Kemudian dilakukan pengurangan pada persamaan tersebut dan kemudian
Mengingat lama perawatan dibatasi pada selang waktu tertentu maka solusi yang
dihasilkan pada sistem Hamiltonian adalah terbatas, berarti terdapat suatu konstanta positif sehingga diperoleh
Demikian juga pada pengurangan yang lain dilakukan hal yang sama.
Kemudian jumlahkan delapan
Maka
Berarti jika dipilih dan Maka haruslah
sehingga menjadi jadi penyelesaian dari sistem adalah tunggal.
• Simulasi Numerik
• Persamaan state diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga maju
Persamaan co-state diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga
0 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Waktu (tahun) k o n tr o l u 1
Gambar 7.1 simulasi kontrol kemoprofilaksis (u1)
0 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Waktu (tahun) k o n tr o l u 2
0 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Waktu (tahun) k o n tr o l u 3
Gambar 7.3 simulasi kontrol penanganan TB yang kambuh (u3)
0 5 10 15 20 25 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 Waktu (tahun) ju m la h i n d iv id u y a n g t e ri n fe k s i T B l a te n d a n a k ti f dengan kontrol tanpa kontrol
Gambar 7.4 perbandingan jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif antara pemberian kontrol pada sistem dengan tanpa kontrol
Pada gambar 7.4 menunjukkan bahwa sistem yang diberi kontrol u1, u2 , dan u3 memberikan perbedaan yang signifikan
pada waktu setelah 5 tahun dengan sistem yang tanpa kontrol. Jumlah individu yang terinfeksi laten dan aktif pada sistem tanpa kontrol adalah 593 orang sedangkan pada sistem dengan kontrol adalah 19 orang. Hal ini berarti bahwa kontrol
kemoprofilaksis (u1), kontrol penanganan penderita TB (u2), dan kontrol penanganan pada penderita TB yang kambuh (u3)
dapat mengurangi jumlah individu yang terinfeksi laten dan aktif.
• Kesimpulan dan Saran
Kesimpulan
• Dari analisis yang dilakukan pada
model tuberkulosis, maka dapat diperoleh sebagai berikut :
• Pada analisis kontrol optimal dapat
diketahui bahwa bentuk kontrol optimal yang diperoleh dari model tuberkulosis adalah
dengan:
: kontrol kemoprofilaksis : kontrol penanganan TB
: kontrol penanganan TB yang kambuh
: penanganan untuk infeksi laten : penanganan terhadap infeksi : laju penyakit yang kambuh
q : individu yang terinfeksi TB laten
: individu yang terinfeksi TB aktif : individu yang sembuh dari TB : faktor penyeimbang biaya
• Hasil simulasi numerik menunjukkan
bahwa kontrol kemoprofilaksis (u1), kontrol penanganan TB (u2), dan kontrol pada TB yang kambuh (u3) dapat mengurangi
jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif.
Saran
• Saran dari Tugas Akhir ini adalah dapat dicari kontrol untuk penyakit yang lain, sehingga dapat meminimalkan atau mengurangi jumlah penderita penyakit tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
[1]AgustoF.B.OptimalChemopropylaxis And Treatment
Control Strategies Of A Tuberkulosis Transmission Model. World Journal Of Modelling And Simulation,
2009, 5(3): 163-173.
[2]Bartle, R.G., dan Sherbert, D.R., 1994. Introduction to
Real Analysis. Singapore: John Willy & Sons.
[3]Gerald, C.F.1994.Apllied Numerical
Analysis.Polytechnic State Univercity, California.
[4]Kamien, M. I dan Schwarz, N. L .1991. Dynamic
Optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management.
North-Holland. Amsterdam.
[5]Naidu, D. S., 2002. Optimal Control Systems. USA: CRC Presses LCC.
[6]Pontryagin, L.S , Boltyanskii, V. G, Gamkrelidze, R. V , and Mishchenko, E.F. 1962. The Mathematical Theory
