BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Harmonisa
Sistem tenaga listrik AC yang handal, memiliki sumber daya yang menghasilkan dan menyalurkan daya listrik hingga sampai ke pengguna dengan kondisi yang ideal, yaitu:
a. Memiliki tegangan dan arus dengan bentuk gelombang sinus yang sempurna. b. Besar tegangan yang konstan.
c. Besar frekuensi yang konstan pada nilai standard yang telah disepakati, yaitu pada frekuensi 50 Hz. Frekuensi tersebut dikenal sebagai frekuensi fundamental (frekuensi dasar).
Gambar 2.1. memperlihatkan bagaimana timbulnya distorsi tegangan pada sumber AC sinusoidal setelah pemasangan beban non linier pada sumber tersebut.
AC
I
LI
SSinusoidal Murni
Drop Tegangan Distorsi
Tegangan Distorsi Arus
Beban
Ketika beban non linear dihubungkan ke sebuah sumber tegangan sinusoidal murni, akan menghasilkan arus yang tidak murni sinusoidal. Dengan adanya gangguan pada sistem tenaga listrik menimbulkan penyimpangan bentuk tegangan dan arus sinusioidal serta kenaikan besar frekuensi pada sisi pengguna. Penyimpangan tersebut menggambarkan distorsi bentuk gelombang sinus yang sering dinyatakan sebagai distorsi harmonisa.
Komponen harmonisa atau biasa disebut harmonisa pada sistem tenaga AC didefenisikan sebagai komponen sinusoidal yang sempurna dengan bentuk gelombang priodik yang memiliki frekuensi sama dengan perkalian antara bilangan bulat (integer) dan frekuensi fundamental dari sistem [9]. Hal ini dapat dinyatakan dalam Persamaan (2.1) berikut:
fn= n x F ……… (2.1)
dimana : fn = frekuensi harmonisa ke – n, n = 2,3,4, ….. dst.
Gelombang dengan frekuensi dasar pada saat n=1 tidak dianggap harmonisa, yang dianggap harmonisa adalah orde kedua hingga ke–n. n = bilangan bulat yang menunjukkan orde harmonisa atau urutan
harmonisa.
F = frekuensi fundamental (dasar) dengan besar standar yang telah disepakati adalah 50 Hz.
Sebagai contoh, frekuensi harmonisa ke-5 dengan frekuensi dasar 50 Hz yaitu: 𝑓5 = 5 × 50 𝐻𝑧 → 𝑓5 = 250 𝐻𝑧.
Gambar 2.2 memperlihatkan bentuk gelombang Sinus ideal, frekuensi 50Hz dengan nilai puncak sekitar 100 A yang diambil sebagai nilai 1 per unit. Bentuk
gelombang lainnya masing-masing memiliki amplitude 1/7, 1/5 dan 1/3 dengan frekuensi masing-masing adalah 7, 5 dan 3 kali dari frekuensi dasar (50 Hz).
100 75
I
1 50I
5 25 0I
7 -25I
3 -50 -75 -100Gambar 2.2. Bentuk Gelombang Sinus Frekuensi 50 Hz dan Gelombang Harmonisa
Pada sistem daya, komponen harmonisa memiliki besar amplitude yang berbanding terbalik dengan orde harmonisanya [9]. Gambar 2.3. [5] memperlihatkan gelombang distorsi diuraikan menjadi gelombang sinus yang sempurna dengan frekuensi masing-masing yang merupakan kelipatan dari frekuensi dasar (frekuensi h=1). Secara matematis dijelaskan dengan persamaan Deret Fourier pada Persamaan (2.2).
𝑓 𝑡 = 𝑎0+ ∞𝑛=1 𝑎𝑛cos 2𝜋𝑛𝑡𝑇 + 𝑏𝑛sin 2𝜋𝑛𝑡𝑇 ……… (2.2)
Persamaan (2.2) membentuk fungsi priodik domain frekuensi dengan priode “T”= 2π dan disederhanakan menjadi Persamaan (2.3):
𝑓 𝑡 = 𝑎0+ ∞ 𝐴𝑛
𝑛=1 sin 2𝜋𝑛𝑡𝑇 + ∅𝑛 ……… (2.3)
Gelombang Harmonisa Gelombang Sinusoidal f = 50 Hz h=1 f = 150 Hz h=3 f = 250 Hz h=5 f = 350 Hz h=7 f = 450 Hz h=9 f = 550 Hz h=11 f = 650 Hz h=13
Gambar 2.3. Gelombang distorsi.
Vektor harmonisa orde ke-n adalah: 𝐴𝑛∠∅𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛, dimana 𝐴𝑛 𝑑𝑎𝑛 ∅𝑛
juga dikenal sebagai magnitude dan sudut fasa komponen harmonisa ke-n. Dengan besar vektor:
𝐴𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2 ……… (2.5)
Dan besar sudut fasa adalah:
∅𝑛 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑏𝑎𝑛
𝑛 ………. (2.6)
𝐴𝑛 dan Øn merupakan besar dan sudut fasa dari komponen harmonisa orde
ke –n
2𝜋𝑛
𝑇 = fungsi priodik dari harmonisa orde ke-n, komponen n = 1 disebut
komponen fundamental.
Plot bar dari besar harmonisa dihasilkan sebagai 𝐴𝑛 / A1 yang disebut dengan
spektrum harmonisa. Komponen deret fourier merupakan koefisien dari setiap harmonisa yang dapat dihitung dengan persamaan berikut:
𝑎0 = 1𝑇 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 2 −𝑇2 ………... (2.7) 𝑎𝑛 = 2𝑇 𝑓 𝑡 cos(2𝜋𝑛𝑡𝑇 ) 𝑑𝑡 𝑇 2 −𝑇2 , n = 1 ⟶ ∞ ………… (2.8) 𝑏𝑛 = 2𝑇 𝑓 𝑡 sin (2𝜋𝑛𝑡𝑇 ) 𝑑𝑡 𝑇 2 −𝑇2 , n = 1 ⟶ ∞ ………… (2.9) 2.2. Sumber Harmonisa
Berdasarkan penggunaan beban non linier, sumber harmonisa dapat dibagi menjadi dua bagian juga [5], yaitu:
a. Beban komersil
1. Sumber daya satu fasa, didominasi dengan beban konverter elektronika daya, seperti adjustabel-speed motor drives, electronic power supplies, DC motor drives, battery chargers, electronic ballasts, dan aplikasi penyearah lainnya serta penggunaan inverter. Dari antara beban tersebut, yang dominan digunakan pada gedung komersil adalah power supplies untuk peralatan elektronik satu fasa yang menghasilkan arus harmonisa terbesar.
2. Fluorescent lamps, pilihan penerangan yang popular dalam rangka hemat energi, terutama yang menggunakan electronic ballasat. Penggunaan ballast elektronik lebih murah dibanding dengan ballast magnetik, tapi fluorescent lamps yang menggunakan ballast electronic penghasil distorsi harmonisa yang tinggi. Hal ini dapat dilihat dari bentuk arus dan spektrum arus yang dihasilkan oleh fluorescent lamps yang menggunakan electronic ballasat pada Gambar 2.4 [5].
Persen harmonisa yang diijinkan ANSI C82.11-1993 dihasilkan oleh ballast adalah 10% s/d 32%. Biasanya filter pasif dapat digunakan untuk mengurangi distorsi harmonisa hingga 20%.
(a) Gelombang arus yang dihasilkan fluorescent lamps
(b) Spektrum Arus
Gambar 2.4. Bentuk gelombang dan spektrum arus dari fluorescent lamps
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Frekuensi (Hz)
60 40 20
3. Adjustabel-Speed Drives (ASDs) for HVAC dan elevators
Penggunaan umum dari ASDs pada beban komersil dapat dijumpai pada motor elevator, pompa dan kipas. Sebuah ASDs terdiri dari sebuah konverter elektronika daya yang merubah tegangan dengan frekuensi dasar menjadi tegangan dan frekuensi yang dapat diubah-ubah. Perubahan besar tegangan dan frekuensi digunakan ASDs untuk mengontrol kecepatan motor agar sesuai dengan yang diharapkan.
b. Beban Industri
1. Konverter daya tiga fasa.
Konverter daya tiga fasa berbeda dengan sebagaian besar konverter daya satu fasa karena mereka tidak menghasilkan arus harmonik orde ketiga. Ini keuntungan besar karena arus harmonik orde ketiga adalah komponen terbesar dari harmonik. Tapi mereka masih menjadi sumber harmonik. Konverter daya tiga fasa biasanya digunakan sebagai adjustabel speed drive, baik untuk DC drive maupun AC drive.
Bentuk gelombang arus pada Adjustabel-speed drives berubah untuk setiap kecepatan dan nilai torsi. Gambar 2.5. memperlihatkan dua kecepatan yang dihasilkan PWM ASDs dan dua nilai arus yang dihasilkan, dimana pada kecepatan 42% arus lebih disharmonik dari rated speed (batas kecepatan yang telah ditentukan) [5].
I
hAmpers
Rated Speed 42% Speed
I(t)
Gambar 2.5. Pengaruh kecepatan yang dihasilkan dari PWM ASDs pada harmonik arus AC
2. Arcing Devices (Perangkat Busur Api)
Yang termasuk dalam kategori ini yaitu busur api las, busur api pemanas, dan penerangan tipe discharging (pelepasan electron) seperti fluorescent, sodium vapor, (mercury vapor) dengan ballasts magnetik.
Karateristik tegangan dan arus dari busur api listrik adalah non linear. Tegangan akan menurun diikuti dengan kenaikan arus yang dibatasi oleh impedansi dari sistem daya. Busur api listrik sebenarnya wakil terbaik dari sumber tegangan harmonik, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.6. spektrum arus dari busur api pemanas yang dikontrol oleh SPLC (Smart Predictive Line Controller) untuk menstabilkan busur api dan mereduksi flicker pada sumber AC dari busur api pemanas [9].
Gambar 2.6. Spektrum arus dari Busur Api Pemanas (Tungku Listrik).
3. Saturable Devices
Peralatan yang termasuk dalam kategori ini adalah transformer dan perangkat elektromagnetik lainnya dengan inti besi, termasuk motor listrik. Untuk karakteristik arus dari transformer dapat dilihat pada Gambar 2.7. dan spektrum arus pada Gambar 2.8 [5].
I (A)
Gambar 2.7. Arus dari Transformer
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Time (s)
Gambar 2.8. Spektrum Arus Transformer
Berdasarkan perkembangan beban non linier, sumber harmonisa dapat dibagi dalam dua bagian, yaitu:
a. Sumber Harmonisa Tradisional. 1. Transformer.
2. Mesin-Mesin Listrik. 3. Fluorescent Lamps. 4. Tungku Listrik.
b. Sumber harmonisa masa depan, seperti peralatan elektronik yang sensitif untuk proses auto dalam industri, personal computer, dan multimedia. Generator dengan sumber energi diperbarukan juga dapat menjadi sumber harmonisa di masa depan.
2.3. Pengaruh Distorsi Harmonisa
Arus harmonisa yang dihasilkan oleh beban non linear, disuntikkan kembali ke saluran sumber daya listrik[5][9]. Arus harmonisa tersebut dapat berinteraksi dan mengganggu sejumlah peralatan sistem daya yang terpasang dalam saluran sumber daya listrik, sebagian besar yang paling dipengaruhi adalah kapasitor, transformer dan motor yang menyebabkan bertambahnya rugi-rugi, overheating, dan kelebihan beban. Arus harmonik juga dapat menyebabkan gangguan pada saluran komunikasi dan kesalahan pengukuran pada alat ukur meter daya.
2.4. Indeks Harmonisa
Indeks harmonisa yang sering digunakan, yaitu: THD (Total Harmonisa Distortion), THD merupakan index penting yang digunakan secara luas untuk menggambarkan kualitas daya dalam transmisi dan sistem distribusi. THD ini menyatakan besarnya distorsi yang ditimbukan oeh semua komponen harmonisa, dan didefinisikan sebagai perbandingan antara jumlah rms harmonisa dengan rms frekuensi fundamental, persamaan matematika THD dinyatakan sebagai berikut:
𝑻𝐻𝐷 = 𝑀𝑘2 𝑛2 1 2
𝑀1 ……… (2.10)
Keterangan:
THD = Total Harmonc Distortion, dengan dikali 100% dapat dinyatakan dalam %. Mn = komponen harmonisaorde n, dimana nilai n dimulai dari 2 hingga k = ∞,
dan biasanya k bernilai komponen harmonisa maksimum yang diamati. M1 = komponen fundamental.
Melalui rumus THD tersebut dapat kita hitung nilai RMS bentuk geombang yang terdistorsi, yaitu dengan persamaan sebagai berikut:
𝑅𝑀𝑆 = 𝑘𝑛=1𝑀𝑛2 ………... (2.11)
𝑅𝑀𝑆 = 𝑀12+ 𝑀 𝑛2 𝑘
𝑛=2 ………. (2.12)
Dari Persamaan (2.10) dapat kita peroleh Persamaan (2.13): 𝑀1. 𝑇𝐻𝐷 = 𝑘𝑛=2𝑀𝑛2
𝑀12. 𝑇𝐻𝐷2= 𝑘𝑛=2𝑀𝑛2 pada kedua sisi ditambah 𝑀12
𝑀12+ 𝑀
12. 𝑇𝐻𝐷2 = 𝑀12+ 𝑘𝑛=2𝑀𝑛2 ………... (2.13)
Substitusi Persamaan (2.13) ke dalam Persamaan (2.12) hingga diperoleh Persamaan (2.14). 𝑅𝑀𝑆 = 𝑀12+ 𝑀 𝑛2 𝑘 𝑛=2 = 𝑀12+ 𝑀12. 𝑇𝐻𝐷2 𝑅𝑀𝑆 = 𝑀1 1 + 𝑇𝐻𝐷2 ………... (2.14)
THD ini dapat dihitung untuk tiap besaran tegangan maupun arus untuk dibandingkan dengan batasan yang telah ditetapkan agar harmonisa tidak mempengaruhi kinerja peralatan listrik. Batasan THD tidak sama untuk setiap negara tergantung standar yang dipakai.
THD tegangan menggambarkan distorsi harmonisa tegangan, perubahan nilai THD tegangan menunjukkan telah ada aktifitas beban non linear pada sistem. Untuk menghitung THD tegangan dengan merubah komponen harmonisa Mn menjadi Vn, dan rumusnya menjadi:
𝑇𝐻𝐷𝑣 = 𝑉𝑘2 𝑛2 1 2
𝑉1 ……… (2.15)
THD arus menunjukkan besar distorsi arus yang terjadi pada saluran distribusi, pengaruh THD arus yang cukup tinggi dapat menurunkan faktor daya masukan. THD arus didefinisikan sebagai perbandingan antara arus harmonisa total dengan arus fundamentalnya.
𝑇𝐻𝐷𝐼 = 𝐼𝑛 2 𝑘 2 1 2 𝐼1 . ……… (2.16) 2.5. Standar Harmonisa
Sistem kelistrikan dunia telah mengalami perubahan dimana untuk menjaga kualitas daya pada jaringan listrik agar terhindar dari distorsi harmonisa yang berlebih, telah ditentukan batas harmonisa yang diijinkan berada pada jaringan instalasi dan dituangkan dalam peraturan yg dikenal sebagai standar harmonisa. Dengan adanya standar harmonisa ini, memaksa perancang peralatan listrik menghasilkan peralatan dengan harmonisa yang telah ditentukan.
Ada beberapa standar harmonisa, yang sering digunakan sebagai aturan untuk membatasi harmonisa yang dihasilkan beban elektronika daya satu fasa adalah: EN-61000-3-2 (IEC EN-61000-3-2), IEC 1000-3-4 [10][11][12].
Batasan besar arus harmonisa untuk masing-masing kelas dapat dilihat pada Tabel 2.1. dan khusus kelas D pada Tabel 2.2.
Tabel 2.1. Batas Harmonisa IEC-61000-3-2 Harmonik [n] Kelas A [A] Kelas B [A] Kelas C [% sumber] Kelas D [mA/W] Harmonisa Ganjil 3 2.3 3.45 30 x λ 3.4 5 1.14 1.71 10 1.9 7 0.77 1.155 7 1.0 9 0.4 0.6 5 0.5 11 0.33 0.495 3 0.35 13 0.21 0.315 3 3.85/13 15≤n≤39 0.15x15/n 0.225x15/n 3 3.85/n Harmonisa Genap 2 1.08 1.62 2 - 4 0.43 0.645 - - 6 0.3 0.45 - - 8≤n≤40 0.23 x 8/n 0.345 x 8/n - -
Tabel 2.2. Batas Harmonisa perangkat Class D berdasarkan Standar EN-61000-3-2 Harmonik order
n
75 W < P < 600 W Maximum permissible Harmonik current [mA/W]
P > 600 W Maximum permissible Harmonik current [A] 3 5 7 9 11 13 15≤n≤39 3.4 1.9 1.0 0.5 0.35 0.296 3.85/n 2.3 1.14 0.77 0.4 0.33 0.21 2.25/n
Standar EN-61000-3-2 atau IEC61000-3-2 mengklasifikasikan nilai harmonisa untuk setiap beban elektronika daya menjadi empat kelas, yaitu:
a. kelas A: peralatan 3 fasa setimbang, dan semua peralatan lainnya kecuali yang telah ditentukan pada klas yang berikutnya.
b. kelas B: peralatan portabel, seperti mesin las, batasan arus harmonisa merupakan harga absolute maksimum dengan waktu kerja singkat. c. kelas C: peralatan penerangan dengan daya aktif input > 25 Watt.
d. kelas D: 1 fasa dengan daya < 600 W, personal computer, PC Monitor, dan TV receiver.
2.6. Penyearah Satu Fasa Full bridge
Pada bagian ini membahas tori tentang penyearah satu fasa full bridge mulai dari spesifikasi ideal dari suatu penyearah dan pengaruh pemasangan kapasitor perata, beban R dan beban RL pada sisi output terhadap arus input dari penyearah tersebut.
a. Penyearah ideal
Sistem penyearah ideal merupakan tujuan dari sistem penyearah real dan akan menjadi dasar pembanding dalam pembuat penyearah real. Penyearah memiliki dua sisi, yaitu sisi input daya AC dan sisi output daya DC [13][14].
Sumber daya AC diasumsikan sebagai sumber tegangan sinus ideal untuk penyearah ideal dengan loss yang sangat kecil. Seluruh daya AC pada sisi input diubah menjadi daya DC pada sisi output. Karateristik penyearah Ideal [2][15] adalah:
1. Efeciency 𝜂 = 𝑃𝑑𝑐
𝑃𝑎𝑐 = 100%.
2. Nilai efektif dari RMS komponen AC pada tegangan keluaran. 3. 𝑉𝑎𝑐 = 𝑉𝑟𝑚𝑠2 − 𝑉𝑑𝑐2 = 0 𝑣𝑜𝑙𝑡.
4. Ripple Faktor ideal, (mengukur kandungan ripple), 𝑅𝐹 = 𝑉𝑎𝑐
𝑉𝑑𝑐= 0. 5. TUF (Transformer utilization faktor), 𝑇𝑈𝐹 = 𝑃𝑑𝑐
𝑉𝑠𝐼𝑠= 1.
6. HF (Harmonisa Faktor) = THD (Total Harmonisa Distortion) = 0.
7. Power Faktor (PF) juga dikenal dengan Displacement Power Faktor (DPF) =1.
b. Penyearah satu fasa full bridge beban resistif [15,16]
Gambar 2.9 merupakan rangkaian penyearah satu fasa full bridge, pada rangkaian penyearah tersebut terdapat dua siklus sinyal dari sinyal input AC. Kedua siklus tersebut adalah:
1. Siklus positif (0 s/d π), D1 dan D3 mendapat bias maju sedangkan D2 dan D mendapat bias mundur, sehingga arus mengalir melalui D1, R dan D3.
2. Siklus negatif (π s/d 2π), D1 dan D3 mendapat bias mundur sedangkan D2 dan D4 mendapat bias maju, sehingga arus mengalir melalui D2, R dan D4, dimana π= T/2. AC
D
2D
3D
1D
4R
Gambar 2.9 Rangkaian Penyearah satu fasa full bridge.
Bentuk gelombang tegangan input dan output dari penyearah diperlihatkan pada Gambar 2.10.
Keterangan dari Gambar 2.10 adalah:
1. Gelombang input: gelombang AC,𝑉𝑠 = 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡, Gambar 2.10 a.
2. Gambar 2.10.a. gambar gelombang output dari penyearah satu fasa full bridge. Gelombang tegangan output terdiri dari tiga komponen, yaitu: komponen gelombang DC, komponen gelombang AC dan harmonisa tegangan output.
𝑉𝑆 = 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡
(a)
(b)
Gambar 2.10. Sinyal pada penyearah satu fasa full bridge (a) sinyal tegangan input (b) sinyal arus output
Besarnya nilai dari tegangan output berdasarkan nilai komponen: VOut (t)
1. Nilai komponen gelombang DC yang dihasilkan oleh penyearah full bridge adalah:
𝑉𝑑𝑐 = 1𝑇 𝑣0𝑇 𝑅 𝑡 𝑑𝑡 ………... (2.17)
Nilai𝑣𝑅 = 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 untuk 0<t<T/2 dan T/2<t<T. Oleh karena itu
nilai rata-rata tegangan keluaran (tegangan beban) adalah:
𝑉𝑑𝑐 = 2 𝑥 1 𝑇 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑇/2 0 𝑉𝑑𝑐 = 2𝑉𝑚 𝑇 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑇/2 0 𝑢 = 𝜔𝑡 →𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝜔 → 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝜔 𝑉𝑑𝑐 = 2𝑉𝑚 𝑇 sin 𝑢 𝑑𝑢 𝜔 𝑇/2 0 𝑉𝑑𝑐 = −2𝑉𝑚 𝜔𝑇 cos 𝜔𝑡 0 𝑇 2 → 𝑉 𝑑𝑐 = − 2𝑉𝑚 𝜔𝑇 cos 2𝜋𝑓𝑡 0 𝑇 2 𝜔 = 2𝜋𝑓 → 𝑓 = 1 𝑇 𝑉𝑑𝑐 = − 2𝑉𝑚 𝜔𝑇 cos 2𝜋𝑓𝑇/2 − cos 0 𝑉𝑑𝑐 = −2𝑉𝑚 2𝜋 −2 → 𝑉𝑑𝑐 = 2𝑉𝑚 𝜋 = 0,6366𝑉𝑚 ………… (2.18)
Gambar 2.10.b nilai rata-rata arus keluaran (arus beban) adalah: 𝐼𝑑𝑐 = 𝑉𝑑𝑐
𝑅 → 𝐼𝑑𝑐 =
0,6366 𝑉𝑚
𝑅 ……… (2.19)
𝑃𝑑𝑐 = 𝑉𝑑𝑐𝐼𝑑𝑐 ………. (2.20)
2. Nilai tegangan komponen gelombang AC yang dihasilkan adalah : Nilai root mean square (rms), Tegangan RMS :𝑉𝑟𝑚𝑠 = 1𝑇 𝑣0𝑇 𝑅2 𝑡 𝑑𝑡
1 2
Gelombang output penyearah gelombang penuh memiliki priode T =2π. 𝑣𝑅 = 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 untuk 0 < t < T/2 dan T/2 < t < T.
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 1𝑇 𝑣0𝑇 𝑅2 𝑡 𝑑𝑡 12 ∴ 𝑉𝑟𝑚𝑠 = 2𝑇1 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 2𝑑𝑡 𝑇 2 0 1 2 𝑉𝑟𝑚𝑠 = 2𝑉𝑚 2 𝑇 sin 𝜔𝑡 2𝑑𝑡 𝑇 2 0 1 2 ………….… (2.21) misalkan 𝑢 = 𝜔𝑡 →𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝜔 → 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝜔
Substitusi 𝑢 = 𝜔𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑡 =𝑑𝑢𝜔 ke dalam Persamaan (2.21)
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 2𝑉𝑚2 𝜔𝑇 sin 𝑢 2𝑑𝑢 𝑇 2 0 1 2 ∴ 𝑠𝑖𝑛2𝑢 = 1 2 1 − cos 2𝑢 → 𝑉𝑟𝑚𝑠 = 2𝑉𝑚2 2𝜔𝑇 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢 𝑇 2 0 1 2 𝑉𝑟𝑚𝑠 = 2𝑉𝑚2 2𝜔𝑇 𝜔𝑡 − sin 2𝜔𝑡 2 0 𝑇 2 1 2
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 2𝑉𝑚2 2.2𝜋𝑓𝑇 2𝜋𝑓 𝑇 2− sin 2.2𝜋𝑓𝑇2 2 − 2𝜋𝑓. 0 − sin 2.2𝜋𝑓. 0 2 1 2 𝑉𝑟𝑚𝑠 = 2𝑉𝑚2 4𝜋 𝜋 − sin 2𝜋 2 − 0 − sin 0 2 1 2 𝑉𝑟𝑚𝑠 =𝑉 2𝑚 = 0,707 𝑉𝑚 ……… (2.22) Arus RMS: 𝐼𝑟𝑚𝑠 =𝑉𝑟𝑚𝑠 𝑅 ………... (2.23)
Daya keluaran AC penyearah:
𝑃𝑎𝑐 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠 = 0,0707 𝑉𝑚
2
𝑅 ……….. (2.24)
Nilai effectif rms tegangan keluaran penyearah, 𝑉𝑎𝑐 besarnya adalah:
𝑉𝑎𝑐 = 𝑉𝑟𝑚𝑠2 − 𝑉 𝑑𝑐2 → 𝑉𝑎𝑐 = 𝑉𝑚 2 2 − 2𝑉𝑚 𝜋 2 𝑉𝑎𝑐 = 𝜋2𝑉 𝑚2− 8𝑉𝑚2 2𝜋2 → 𝑉𝑎𝑐 = 𝑉𝑚 𝜋 𝜋2− 8 2 𝑉𝑎𝑐 = 0,3078 𝑉𝑚 ……… (2.25)
3. Harmonisa Tegangan output.
Priode T = 2π ……….. (2.26) Dimana f(t) = Vout = Vm sin ωt untuk 0 s.d π dan
Vout = Vm sin ωt untuk π s.d 2π ……….. (2.27)
𝑓 𝑡 = 𝑎0+ ∞𝑛=1(𝑎𝑛cos 2𝜋𝑛𝑡𝑇 + 𝑏𝑛sin 2𝜋𝑛𝑡𝑇 ) 𝑎0= 2𝜋1 𝑉02𝜋 𝑚 sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑡 → 𝑎0= 2 ×2𝜋1 𝑉0𝜋 𝑚sin 𝜔𝑡 𝑑 𝑡 (2.29) Substitusi 𝜔 = 2𝜋 𝑇 ke Persamaan (2.29)diatas. 𝑎0= 2𝜋𝜔2𝑉𝑚 − cos2𝜋𝑇 𝑡 0 𝜋 ……….. (2.30)
Substitusi T=2π ke dalam Persamaan (2.30) 𝑎0= 2𝑉𝑚 2𝜋𝜔 − cos 𝑡 0𝜋 𝑎0=𝑉𝑚 𝜋 − cos 𝜋 + cos 0 → 𝑎0= 2𝑉𝑚 𝜋 ……… (2.31) 𝑎𝑛 = 2 𝑇 𝑓 𝑡 cos( 2𝜋𝑛𝑡 𝑇 ) 𝑑𝑡 𝑇 2 −𝑇2 , n = 1 ⟶ ∞ 𝑎𝑛 = 2 2𝜋 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 cos( 2𝜋𝑛𝑡 2𝜋 ) 𝑑𝑡 2𝜋 0 → 𝑎𝑛 = 2 𝜋 𝑉𝑚sin 𝑡 . cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝜋 0
∴ 2 sin 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 = sin 𝐴 + 𝐵 + sin(𝐴 − 𝐵) 𝑎𝑛 = 2𝑉𝑚 𝜋 1 2 𝜋 0 sin 𝑡 + 𝑛𝑡 + sin 𝑡 − 𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑛 = 𝑉𝜋𝑚 sin 𝑡 + 𝑛𝑡 𝑑𝑡 + sin 𝑡 − 𝑛𝑡 𝑑𝑡0𝜋 0𝜋 ……… (2.32) Misal: x = t + nt → 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑛 + 1 → 𝑑𝑡 = 𝑛+1𝑑𝑥 Misal: y = t – nt → 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 1 − 𝑛 → 𝑑𝑡 = 1−𝑛𝑑𝑦
Substitusi nilai dt ke Persamaan (2.32) untuk memperoleh Persamaan (2.33)
𝑎𝑛 = 𝑉𝑚 𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑛 𝜋 0 + sin 𝑦 𝑑𝑦 1 − 𝑛 𝜋 0 → 𝑎𝑛 = 𝑉𝑚 𝜋 − cos 𝑥 1 + 𝑛− cos 𝑦 1 − 𝑛 0 𝜋
𝑎𝑛 = 𝑉𝑚 𝜋 − cos 𝑡 + 𝑛𝑡 1 + 𝑛 − cos 𝑡 − 𝑛𝑡 1 − 𝑛 0 𝜋 𝑎𝑛 =𝑉𝑚 𝜋 − cos 1 + 𝑛 𝜋 − 1 1 + 𝑛 − cos 1 − 𝑛 𝜋 − 1 1 − 𝑛 𝑎𝑛 =𝑉𝑚 𝜋 1 + cos 𝑛𝜋 𝑛 + 1 − 1 + cos 𝑛𝜋 𝑛 − 1 𝑎𝑛 = 𝑉𝜋𝑚 −2 1+cos 𝑛𝜋 𝑛2−1 → 𝑎𝑛 = −2𝑉𝑚 1+cos 𝑛𝜋 𝜋 𝑛2−1 , 𝑛 ≠ 1 …… (2.33) 𝑏𝑛 = 2 𝑇 𝑓 𝑡 sin ( 2𝜋𝑛𝑡 𝑇 ) 𝑑𝑡 𝑇 2 −𝑇2 , n = 1 ⟶ ∞ 𝑏𝑛 = 2 2𝜋 sin 2𝜋𝑡 2𝜋 sin ( 2𝜋𝑛𝑡 2𝜋 ) 𝑑𝑡 2𝜋 0 → 𝑏𝑛 = 2 𝜋 sin 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝜋 0
∴ 2 sin 𝐴 sin 𝐵 = cos 𝐴 − 𝐵 − cos(𝐴 + 𝐵)
𝑏𝑛 = 2 𝜋 sin 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝜋 0 → 𝑏𝑛 = 1 𝜋 cos 𝑡 − 𝑛𝑡 − 𝜋 0 cos 𝑡 + 𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑏𝑛 = 1 𝜋 cos 𝑡 − 𝑛𝑡 − 𝜋 0 cos 𝑡 + 𝑛𝑡 𝑑𝑡 Misal : x = t + nt →𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑛 + 1 → 𝑑𝑡 = 𝑛+1𝑑𝑥 Misal : y = t – nt → 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 1 − 𝑛 → 𝑑𝑡 = 1−𝑛𝑑𝑦 𝑏𝑛 = 1 𝜋 1 1 − n(cos𝑦 𝜋 0 𝑑𝑦) − 1 1 + ncos 𝑥 𝑑𝑥 𝑏𝑛 = 𝜋1 sin 𝑡−𝑛𝑡 1−𝑛 − sin 𝑡+𝑛𝑡 1+𝑛 0 𝜋 = 0 ……….. (2.34)
Dengan demikian persamaan untuk Vout adalah: 𝑓 𝑡 = 𝑎0+ (𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑡 𝑇 ∞ 𝑛=1 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑡 𝑇 ) 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 2𝑉𝑚 𝜋 − 2𝑉𝑚 𝜋 1+cos 𝑛𝜋 𝑛2−1 ∞ 𝑛=2 cos 2𝜋𝑛𝑡𝑇 , 𝑛 = 2,4,6,8,.. (2.35) 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 2𝑉𝜋𝑚 −4𝑉𝜋𝑚 cos 2𝜔𝑡 22−1 + cos 4𝜔𝑡 42−1 + cos 6𝜔𝑡 62−1 + ⋯ …….. (2.36) 𝑉𝑅𝑀𝑆 = 𝑉12+ 𝑉22+ 𝑉32+ ⋯ 𝑉𝑛2 ……… (2.37) 𝑇𝐻𝐷 = 𝐻𝐹 = 𝑉2 2+𝑉 32+⋯𝑉𝑛2 𝑉1 → 𝑇𝐻𝐷 = 𝑉𝑅𝑀𝑆2 −𝑉12 𝑉1 …….. (2.38)
Catatan: Melalui Persamaan (2.38), dapat dilihat bahwa output penyearah satu fasa full bridge mengandung harmonisa genap dan harmonisa kedua lebih dominan dengan frekuensi 100 Hz.
c. Penyearah satu fasa full bridge dengan tapis kapasitor [16]
1. Kerja penyearah satu fasa full bridge dengan kapasitor perata.
Penyearah dengan kapasitor perata seperti pada Gambar 2.11 dikenal juga dengan penyearah pasif, dimana rangkaian penyearah hanya terdiri atas komponen pasif kapasitor dan dioda. Kapasitor perata sebenarnya lebih menghasilkan masalah daripada solusi, karena pada arus input dari filter banyak mengandung harmonisa. Pada masa lalu, penggunaan kapasitor perata pada penyearah satu fasa full bridge dibenarkan dalam perangkat yang beroperasi di kisaran daya rendah (sekitar beberapa
penggunaan kapasitor perata pada penyearah satu fasa full bridge dalam peralatan elektronik semakin berkembang dan beroperasi pada saluran listrik yang sama dan secara bersamaan. Oeh karena itu perlu dipertimbangkan kandungan harmonisa yang ditimbulkan pada arus input penyearah, bahkan untuk penggunaan perangkat dengan daya rendah. AC
C
1
D
1
D
2
D
3
D
4
R
Gambar 2.11.Rangkaian Penyearah satu fasa full bridge dengan kapasitor perata. Dari Gambar 2.12 dapat dilihat perubahan yang terjadi pada sinyal keluaran setelah kapasitor, adapun yang terjadi pada penyearah jembatan gelombang penuh awalnya kapasitor tidak bermuatan, pengisian kapasitor (energized) pada 0 s/d t2 (𝜔𝑡 = 𝜋/2) hingga mencapai Vm kemudian ketika tegangan sumber mulai turun,
kapasitor melepas muatan (discharge) ke beban R dan saat bersamaan dioda D1 dan D3 juga off. Pada saat t2 s/d t3 semua dioda menjadi off. Pada waktu t3 s/d t4 D2 dan D4 on dan kembali kapasitor diberikan muatan hingga mencapai Vmpada t4 (𝜔𝑡 = 3
Gambar 2.12 Bentuk gelombang penyearah (a) Sinyal masukan tegangan penyearah (b) Sinyal keluaran sebelum kapasitor (c) sinyal keluaran setelah kapasitor.
2. Menentukan nilai kapasitas kapasitor perata.
Proses pengisian dan pengosongan kapasitor pada penyearah jembatan gelombang penuh diatas sangat bergantung kepada besarnya nilai resistor dari beban dan kapasitansi kapasitor yang terpasang pada rangkaian.
Tegangan charging kapasitor pada t1-t2:
𝑉𝑐𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑔 = 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 ≈ 𝑉𝑚 1 − 𝑒−𝑅𝐶𝑡 ……… (2.39)
p
2p
DVR
Vm
𝑉𝑑𝑖𝑠𝑐 𝑎𝑟𝑔𝑒 = 𝑉𝑚𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 ……… (2.40) ∆VR dikenal sebagai tegangan ripple atau komponen sinyal AC yang effective,
besar ripple ∆VR dapat dihitung dengan estimasi Deret Taylor untuk tegangan
kapasitor saat discharge (Vout R minimal setelah pengosongan kapasitor).
Deret Taylor, untuk 𝑥 ≪ 1 → 𝑒−𝑥 ≈ 1 − 𝑥. Bila nilai t (t3-t2) jauh lebih kecil
dari RC maka nilai t/RC jauh lebih kecil dari 1 dan nilai Vdischarge menjadi:
𝑉𝑑𝑖𝑠𝑐 𝑎𝑟𝑔𝑒 = 𝑉𝑚 1 −𝑅𝐶𝑡 ……… (2.41)
Bila besar t = t3 –t2 ≈ T/2 maka: 𝑉𝑑𝑖𝑠𝑐 𝑎𝑟𝑔𝑒 = 𝑉𝑚 1 − 𝑇 2𝑅𝐶 → 𝑉𝑑𝑖𝑠𝑐 𝑎𝑟𝑔𝑒 = 𝑉𝑚 1 − 1 2𝑓𝑅𝐶 𝑉𝑑𝑖𝑠𝑐 𝑎𝑟𝑔𝑒 = 𝑉𝑚 1 −2𝑓𝑅𝐶1 ……… (2.42) Besarnya ∆𝑉𝑅adalah: ∆𝑉𝑅 = 𝑉𝑚 − 𝑉𝑑𝑖𝑠𝑐 𝑎𝑟𝑔𝑒 → ∆𝑉𝑅 = 𝑉𝑚− 𝑉𝑚 1 − 1 2𝑓𝑅𝐶 ∆𝑉𝑅 = 𝑉𝑚 2𝑓𝑅𝐶 → ∆𝑉𝑅 = 𝑉𝑚 2𝑓𝑅𝐶……… (2.43)
Besarnya tegangan DC pada penyearah satu fasa full bridge dengan menggunakan tapis kapasitor sebesar tegangan rata-rata pada beban, yaitu:
𝑉𝑑𝑐 = 𝑉𝑎𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒 = 𝑉𝑚− ∆𝑉𝑅 2
𝑉𝑑𝑐 = 𝑉𝑚 1 −4𝑓𝑅𝐶1 𝑣𝑜𝑙𝑡 ……… (2.44) 𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝑉𝑎𝑐 = ∆𝑉2 2𝑅 → 𝑉𝑎𝑐 = 4 2 𝑓.𝑅.𝐶𝑉𝑚 …………. (2.45)
𝑅𝐹 = 𝑉𝑎𝑐 𝑉𝑑𝑐 → 𝑅𝐹 = 𝑉𝑚 4 2 𝑓.𝑅.𝐶 𝑉𝑚 1 −4𝑓𝑅𝐶1 𝑅𝐹 = 1 2 4𝑓.𝑅.𝐶−1 ………… (2.46)
Nilai C yang digunakan dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan besar RF yang diharapkan dari penyearah dan besar R yang digunakan.
2 4𝑓. 𝑅. 𝐶 − 1 = 𝑅𝐹1 → 2 4𝑓. 𝑅. 𝐶 − 2 = 1 𝑅𝐹 2 4𝑓. 𝑅. 𝐶 = 𝑅𝐹1 + 2 → 𝐶 = 1 𝑅𝐹+ 2 2 4𝑓.𝑅 𝐶 = 1 𝑅𝐹. 2 4𝑓. 𝑅+ 2 2 4𝑓. 𝑅 𝐶 = 4𝑓.𝑅1 1 + 𝑅𝐹. 21 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 ……… (2.47)
3. Hubungan kapasitas kapasitor perata dengan harmonisa pada penyearah satu fasa full bridge.
Pada rangakaian penyearah satu fasa full bridge, besar ripple berbanding terbalik dengan harmonisa yang ditimbulkan pada saluran daya input. Bila ripple yang dihasilkan rendah dengan pemakaian kapasitas kapasitor yang tinggi akan menghasilkan kandungan harmonisa yang tinggi pada arus input. Hal ini dapat kita lihat pada Gambar 2.13, 2.14 dan 2.15, hasil simulasi penyearah satu fasa full bridge dengan menggunakan dua buah nilai kapasitas kapasitor yang berbeda dan daya beban konstan [17].
Gambar 2.13 Simulasi teganan input dan gelombang arus input dari penyearah satu fasa full bridge dengan kapasitas kapasitor perata CO = 68 µF dan
CO = 470 µF.
(a)
(b)
Gambar 2.15 Spektrum arus pada saluran daya input penyearah satu fasa full bridge dengan nilai kapasitas kapasitor perata CO = 68 µF dan CO = 470 µF.
e. Rangkaian full bridge dengan beban RL seri
Pada Gambar 2.16.a. menunjukkan adanya beban motor DC dengan beban induktif yang sangat tinggi dan bekerja seperti sebuah filter dalam mengurangi arus ripple dari beban.
AC
D
1D
2D
3D
4L
R
Gambar 2.16 (a).Penyearah satu fasa full bridge dengan beban RL Seri (b). Bentuk gelombang tegangan dan arus
Dari bentuk gelombang tegangan dan arus pada Gambar 2.16.b, dengan deret fourier persamaan arus input adalah:
𝑖𝑠 𝑡 = 𝐼𝐷𝐶+ ∞𝑛=1,3,… 𝑎𝑛cos 𝑛𝜔𝑡 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝜔𝑡 ……... (2.48) dimana 𝐼𝐷𝐶 = 2𝜋1 𝑖02𝜋 𝑠 𝑡 𝑑 𝜔𝑡 = 2𝜋1 𝐼02𝜋 𝑎 𝑑 𝜔𝑡 = 0 ………... (2.49) 𝑎𝑛 = 1 𝜋 𝑖𝑠 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑 𝜔𝑡 2𝜋 0 ∴ 𝑎𝑛 = 2𝜋 𝐼0𝜋 𝑎cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑 𝜔𝑡 = 0 ……… (2.50) 𝑏𝑛 = 1 𝜋 𝑖𝑠 𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑 𝜔𝑡 2𝜋 0
∴ 𝑏𝑛 = 2𝜋 𝐼0𝜋 𝑎sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑 𝜔𝑡 = 4 𝐼𝑛𝜋𝑎 ………. (2.51)
Substitusi Persamaan (2.50) dan Persamaan (2.51) ke dalam Persaman (2.48), untuk menghasilkan nilai arus input.
𝑖𝑠 𝑡 = 4 𝐼𝜋𝑎 ∞𝑛=1,3,5,..sin 𝑛𝜔𝑡𝑛 ……….. (2.52)
Nilai RMS arus input, komponen fundamental adalah:
𝐼𝑠1 = 𝜋 24𝐼𝑎 = 0,9 𝐼𝑎 ……… (2.53)
Nilai RMS arus input adalah: 𝐼𝑠 = 4𝐼𝑎 𝜋 2 1 𝑛 2 ∞ 𝑛=1,3,5,… 1 2 = 𝐼𝑎 ………. (2.54) 𝑇𝐻𝐷 = 𝐼𝑠 𝐼𝑠1 2 − 1 1 2 = 𝐼𝑎 0,9 𝐼𝑎 2 − 1 1 2 = 0,4843 THD = 48,43% ………. (2.55)
𝜑
merupakan displacement angle yang dibentuk antara komponenfundamental arus input dan tegangan.
𝜑
= 0, DF = Cos𝜑
= 1 dan faktor daya besarnya adalah:𝑝𝑓 = 𝐼𝑠1
𝐼𝑠 cos
𝜑
=0,9 𝐼𝑎
𝐼𝑎 = 0,9 (𝑙𝑎𝑔𝑔𝑖𝑛𝑔) ………. (2.56) Berdasarkan beban yang diterapkan pada output penyearah satu fasa full bridge baik adanya kapasitor perata maupun pemasangan beban RL Seri akan menghasilkan harmonisa pada sisi input. Dengan terjadinya distorsi harmonisa pada gelombang input maka diperlukan filter harmonisa untuk mereduksi harmonisa yang terjadi agar tidak mengganggu kualitas daya listrik input.
2.7. Resonansi
Pada rangkaian listrik, resonansi terjadi bila rangkaian mengandung L dan C, dimana besar reaktansi XL = XC [18].
𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 → 𝜔𝐿 = 𝜔𝐶1 ……….. (2.57)
Frekuensi resonansi besarnya dapat ditentukan berdasarkan Persamaan (2.58) berikut:
2𝜋𝑓𝐿 = 2𝜋𝑓𝐶1 → 𝑓 = 1
2𝜋 𝐿𝐶 ……….. (2.58)
Harmonisa pada frekuensi resonansi dibagi menjadi dua bagian, yaitu: a. Resonansi Seri
Resonansi Seri untuk rangkaian RLC, dimana ketiga komponen terpasang seri. Impedansi seri adalah:
𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 + 𝑗𝜔𝐶1 → 𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅 + 𝑗 𝜔𝐿 + 𝜔𝐶1 ………. (2.59)
Pada saat resonansi:
𝜔𝐿 = 1
𝜔𝐶 → 𝜔2 = 1 𝐿𝐶
Frekuensi resonansi seri adalah:
𝜔 = 1
𝐿𝐶 → 𝑓 = 1
2𝜋 𝐿𝐶 ……….. (2.60)
b. Resonansi Paralel,
Resonansi paralel pada rangkaian RLC, dimana ketiga komponen R,L dan C terpasang shunt pada jaringan. Impedansi paralel adalah:
1 𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1 𝑅+ 1 𝑍𝐶+ 1 𝑍𝐿 𝑌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1+ 𝑗𝜔𝐶 +𝑗𝜔𝐿1 → 𝑌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1+ 𝑗 𝜔𝐶 +𝜔𝐿1 …….. (2,61)
Frekuanesi pada saat resonansi:
𝜔𝐶 =𝜔𝐿1 → 𝑓 = 1
2𝜋 𝐿𝐶 ………... (2.62)
Pada saat resonansi paralel, arus pada rangkaian minimum dan tegangannya akan maksimum.
2.8. Faktor Daya
a. Faktor daya dalam sistem daya dengan harmonisa
Konsep faktor daya berasal dari kebutuhan akan efisiensi beban menggunakan arus yang ditarik dari sistem listrik AC [19].
Bila beban induktif yang dipasang pada sistem listrik AC seperti pada Gambar 2.17. AC Motor Load ` (Linear) R I rms Vsin ωt
Gambar 2.17.Sistem Daya dengan Beban RL Seri.
Nilai tegangan dan arus beban pada frekuensi dasar adalah:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑘𝑠 sin 𝜔𝑜𝑡 + 𝛿1 ……….. (2.63)
True Power Faktorbeban dinyatakan pada Persamaan (2.65) 𝑝𝑓𝑡𝑟𝑢𝑒 = 𝑃𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎
𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 ………. (2.65) Untuk sinus murni, True Power Faktor menjadi:
𝑝𝑓𝑡𝑟𝑢𝑒 = 𝑝𝑓𝑑𝑖𝑠𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 2 𝐼𝑚𝑎𝑘𝑠 2 cos 𝛿1−𝜃1 𝑃2+𝑄2 𝑝𝑓𝑑𝑖𝑠𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 2 𝐼𝑚𝑎𝑘𝑠 2 cos 𝛿1−𝜃1 𝑉𝑚𝑎𝑥 2 𝐼𝑚𝑎𝑘𝑠 2 → 𝑝𝑓𝑑𝑖𝑠𝑝 = cos 𝛿1 − 𝜃1 …. (2.66)
Bila ∅ = 𝛿1− 𝜃1 maka Displacement Power Faktor menjadi Persamaan (2.67) 𝑝𝑓𝑑𝑖𝑠𝑝 = cos ∅ ……….. (2.67)
Sistem daya yang mengandung beban non linear didalamnya, pada dasarnya memiliki dua faktor daya, yaitu faktor daya komponen fundamental dan faktor daya komponen harmonisa. Perhitungan daya beban didapat dengan persamaan berikut:
1. Daya nyata 𝑆 𝑘𝑉𝐴 = 𝑃2+ 𝑄2+ 𝐷2= 𝑘𝑊2+ 𝑘𝑉𝐴𝑟2+ 𝑘𝑉𝐴𝑟 𝐻2
atau𝑆 𝑘𝑉𝐴 = ∞=1𝑉𝑟𝑚𝑠 . 𝐼𝑟𝑚𝑠 = 𝑉1𝑟𝑚𝑠. 𝐼1𝑟𝑚𝑠 . 1 + 𝑇𝐻𝐷𝑉2 . 1 + 𝑇𝐻𝐷𝐼2
𝑆 𝑘𝑉𝐴 = 𝑆1 . 1 + 𝑇𝐻𝐷𝑉2 . 1 + 𝑇𝐻𝐷𝐼2……… (2.68)
2. Daya aktif, daya yang dipakai untuk melakukan energi sebenarnya, satuannya adalah watt
𝑃𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 = ∞ 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠 cos ∅
=1 = 𝑃1 + ∞=2𝑃….. (2.69)
3. Daya reaktif, daya yang diperlukan untuk pembentukan medan magnet, satuannya Var 𝑄 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 .𝐼𝑟𝑚𝑠. sin ∅ = 𝑄1+ ∞ 𝑄 =2 ∞ =1 ………….. (2.70) 4. Faktor Distorsi 𝐷 = 𝑆2− (𝑃2 + 𝑄2)………. (2.71)
5. Faktor Daya
𝐶𝑜𝑠 ∅ = 𝑃𝑆 = 𝑃
𝑆1 . 1+ 𝑇𝐻𝐷𝑉2 . 1+𝑇𝐻𝐷𝐼2
= cos ∅𝑑𝑖𝑠𝑝 . cos ∅𝑑𝑖𝑠𝑡 ... (2.72)
Keterangan: Øh = sudut fasa antara tegangan dan arus harmonisa individu.
P0 = Komponen DC dari daya aktif.
Beban resistif memiliki faktor daya = 1
Beban induktif memiliki faktor daya lagging (tertinggal)
Beban kapasitif memiliki faktor daya leading Faktor daya minimal 0,85.
b. Perhitungan Perbaikan Faktor Daya [20][21] Dari Gambar 2.18 dapat diketahui:
1. Daya reaktif awal dengan faktor daya awal (total dengan distorsi) : Q1, P1 dan Ø1
2. Daya reaktif dengan faktor daya telah diperbaiki (total dengan penguranan distorsi) : Q2, P2, dan Ø2.
3. ∆𝑄 = 𝑄1− 𝑄2 → ∆𝑄 = 𝑃 tan ∅1− tan ∅2 ……… (2.73)
4. Nilai kapasitor yang dipasang adalah 5. 𝑋𝐶 = 𝑉 2 ∆𝑄 → 1 𝜔𝐶 = 𝑉2 ∆𝑄 6. 𝐶 = 𝜔𝑉∆𝑄2 ……… (2.74)
Q
1
Q
2
∆Q
Ø
2
Ø
1
P
S
1
S
2
Gambar 2.18. Diagram Phasor Faktor Daya Lagging
2.9. Filter Harmonisa
Pada dunia listrik, filter adalah rangkaian yang digunakan untuk mengalirkan frekuensi yang diinginkan dan menahan atau menghilangkan frekuensi yang tidak diinginkan. Filter harmonisa berguna untuk meredam frekuensi harmonisa yang timbul pada jaringan listrik akibat penempatan beban non linier pada jaringan tersebut hingga batas yang telah ditentukan [21][22][23][24]. Pada frekuensi fundamental filter dapat mengkompensasi daya reaktif dan memperbaiki faktor daya sistem.
Kemampuan filter dalam meredam dinyatakan dalam % peredaman, dimana besarnya dapat dihitung berdasarkan rumus berikut:
% 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑑𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑇𝐻𝐷𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 −𝑇𝐻𝐷𝑠𝑒𝑠𝑢𝑑𝑎
Dari segi jenis kerjanya, ada dua jenis filter yang dapat digunakan untuk mereduksi harmonisa pada penyearah, yaitu:
a. Filter pasif: Filter yang siap memfilter frekuensi tertentu dengan menggunakan variasi komponen R, L dan C pada rangkaian. Dari segi harga lebih ekonomis dari filter aktif.
b. Filter aktif: Filter yang menggunakan teknik elktronika daya yang canggih, filter ini dapat bekerja secara independent dari karateristik impedansi sistem. Dapat bekerja pada konsdisi yang sulit dengan meredam lebih dari satu frekuesi pada sebuah waktu dan mengatasi permasalahan kualitas daya lainnya, seperti flicker sekaligus.
Dan dari segi penempatan filter terdapat dua posisi penempatan filter, yaitu pada posisi masukan (sumber AC) dan pada posisi keluaran (tegangan DC).
Dari segi fungsinya, filter dapat dibedakan menjadi empat jenis filter, yaitu: a. Low pass filter (LPF), filter yang melewatkan frekuensi rendah, dengan
memperlemah tegangan pada frekuensi diatas frekuensi rendah yang diijinkan seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.19.
Penguatan terjadi jika Vout >Vin dan dB = + dan
Pelemahan terjadi jika Vout <Vin dan dB = - .
Cut off frekeunsi merupakan frekuensi pancung, peralihan antara pass band dan stop band, posisinya 3db dibawah penguatan maksimum.
Roll off adalah pelemahan yang terjadi akibat naik atau turunnya frekuensi. Dalam grafik terlihat pada kemiringan garis setelah cut off yaitu pada daerah stop band. Satuan Roll off yang digunakan pada umumnya terdiri dari dua bagian, yaitu:
1. Octave: luang antara dua frekuensi dengan perbandingan 2:1, 1 oktave ke atas berarti melipat duakan frekuansi dan 1 oktave ke bawah berarti membagi frekuensi dengan 2.
2. Dekade: dalam hal ini adalah luang antara dua frekuensi yang memiliki perbandingan 10:1
Gambar 2.19 Grafik cut off frequency low pass filter
Amplitude respon = 20 log10
𝑉𝑂𝑢𝑡
Order dari suatu filter menyatakan tingkatan dari Roll off dari filter tersebut, biasanya ada tiga orde (tingkatan) dari roll off suatu filter, yaitu:
1. Orde I (1st order) : roll off = -6dB/oktaf atau -20dB/dekade. 2. Orde II (2nd order) : roll off = -12dB/oktaf atau -40dB/dekade. 3. Orde III (3rd order) : roll off = -18 dB/oktaf atau -60cB/dekade.
b. High Pass Filter (HPF),
Kerja filter ini kebalikan dari low pass filter. Filter ini melewatkan frekuensi tinggi dan menahan atau meredam frekuensi rendah, Gambar 2.20.
Gambar 2.20. Grafik 75 Hz high pass filter.
c. Band PassFilter (BPF), filter yang melewatkan frekuensi dengan band (range) tertentu dan tidak melewatkan arus dengan frekuensi diluar batas frekuensi yang telah diset, Gambar 2.21.
Gambar 2.21. Grafik band pass filter Keterangan:
fL : Low frequency, frekuensi rendah, cut off frekuensi rendah.
fH : Upper frequency, frekuensi atas, cut off frekuensi tinggi.
fO : Centre frequency, frekuensi tengah, titik munculnya penguatan tegangan
maksimum.
B : Bandwidth, lebar pita, dimana besarnya adalah 𝐵 = 𝑓𝐻 − 𝑓𝐿.
fo sebenarnya bukan frekuensi tengah (centre frecuency), hanya terlihat di tengah karena grafik digambar dengan skala log. Karena besar fo adalah rata-rata geometrik yang dapat ditulis dengan persamaan berikut:
𝑓
𝑂= 𝑓
𝐻. 𝑓
𝐿 1 2 ……… (2.76)𝑓
𝐿=
−𝐵+ 𝐵2+4𝑓𝑂2 1 2 2 ……… (2.77)𝑓
𝐻= 𝑓
𝐿+ 𝐵
……… (2.78)Faktor kualitas Q memperlihatkan hubungan fO dan B, dimana Q adalah: 𝑄 = 𝑓𝑂 𝐵 → 𝑄 = 𝑓𝐻 .𝑓𝐿 1 2 𝑓𝐻− 𝑓𝐿 ………... (2.79)
Nilai Q merupakan indeks ketajaman lengkungan tanggap amplitude dan frekuensi tengah. Penyempitan lebar pita meningkatkan nilai Q.
d. filter band stop/band rejection filter/band eliminasi filter/notch filter,
Kerja filter kebalikan dari filter band pass dengan melewatkan satu frekuensi dan memperlemah frekuensi lainnya, Gambar 2.22.
Gambar 2.22. Grafik band stop filter
Dari segi teknik penempatan filter terdapat dua jenis filter yaitu : a. Shunt Filter
Filter yang terpasang paralel dengan beban non linear pada saluran. Ada dua jenis shunt filter, yaitu:
HS
f (Hz)
1. Tuned Filter, dimana komponen R, L dan C terpasang seri dan dipasang secara shunt ke beban. Ada beberapa jenis dari rangkaian tuned filter seperti yang terlihat pada Gambar 2.23.
R
L
C
a. Single Tuned filter
R L C R L C
b. Two Single Tuned filter c. Double Tuned filter
R L
C
Gambar 2.23 Rangkaian tuned filter 2. Damped Filter
Gambar 2.24 berikut memberikan beberapa rangkaian damped filter.
v v
(a) (b) (c) (d)
Gambar 2.24. Damped filter (a) first order (b) second order (c) third order (d) C-type. [22]
b. Series Filter,
Filter yang terpasang seri dengan beban non linier pada saluran. Filter ini biasa digunakan untuk memblok arus harmonisa tunggal, seperti harmonisa ke-3, dan
digunakan khusus pada rangkaian satu fasa karena tidak bisa mengatasi permasalahan karateristik urutan nol.
c. Kombinasi Shunt dan series filter
Dengan kombinasi filter ini digunakan untuk mendapatkan hasil filter yang lebih baik, pada Gambar 2.25.
(a) (b) (c) (d)
Gambar 2.25. Filter Pasif Kombinasi shunt dan serie (a) Low Pass Filter
(b) High Pass Filter (c) Band Pass Filter (d) Band EliminasiFilter 2.10. Karateristik Komponen Filter Pasif
Komponen dari filter pasif yang utama [15][25] adalah: a. Kapasitor,
Kapasitor dihubungkan secara seri dan/atau paralel untuk mencapai tegangan yang diinginkan dan rating kVA. Faktor utama yang dipertimbangkan pada kapasitor: suhu koefisien kapasitansi, daya reaktif, kehilangan daya, kehandalan dan biaya. Daya reaktif kapasitor tinggi bila memiliki kehilangan daya yang rendah dan dioperasikan pada tegangan tinggi. Penggunaan dengan waktu yang lama pada tegangan maksimum harus dihindari untuk mencegah kerusakan thermal dari dielectric; pada tegangan yang lebih tinggi dengan priode yang singkat juga dapat menghasilkan ionisasi destruktif dari dielektrik.
Daya reaktif yang diperlukan dari kapasitor adalah jumlah daya reaktif dari masing-masing frekuensi.
Kapasitor pada rangkaian AC, Gambar 2.26.
AC
Vm sinωt C VO
IC
(a) (b)
Gambar 2.26. (a) Rangkaian kapasitor (b) bentuk gelombang tegangan dan arus
𝑞 = 𝐶 . 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 Coulumb ……… (2.80) 𝑖 = 𝑑𝑞𝑑𝑡 → 𝑖 = 𝑑 𝐶.𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝜔𝐶. 𝑉𝑚cos 𝜔𝑡 𝑖 = 𝑉𝑚 1 𝜔𝐶cos 𝜔𝑡 → 𝑖 = 𝑉𝑚 1 𝜔𝐶sin 𝜔𝑡 + 𝜋 2 𝐼𝐶 = 𝐼𝑚 = 𝑉𝑚 1 𝜔𝐶 → 𝐼𝑚 = 𝑉𝑚 𝑋𝑐 ……….. (2.81) 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚sin 𝜔𝑡 + 𝜋2 amper ……… (2.82) 𝑋𝐶 = 𝜔𝐶1 → 𝑋𝐶 = 2𝜋𝑓𝐶1 ohm ……… (2.83) Sifat kapasitor lainnya adalah:
1. Nilai hambatan sangat besar untuk tegangan DC, membatasi arus DC yang mengalir pada kapasitor.
2. Nilai hambatan berubah-ubah untuk tegangan AC sesuai dengan perubahan frekuensi, nilai f berbanding terbalik dengan nilai reaktansi kapasitif.
3. Pada tegangan AC menimbulkan pergeseran fasa, arus mendahului 90o terhadap tegangan.
4. Menyimpan energi listrik dalam bentuk medan listrik.
b. Induktor
Induktor pada rangkaian AC, Gambar 2.27
AC
Vm sinωt
L
VO
I
(a) (b)
Gambar 2.27.(a) Rangkaian L (b) bentuk gelombang tegangan dan arus
Induktor adalah komponen elektronika pasif yang mampu menyimpan energi pada medan magnet yang ditimbulkan arus listrik yang melewatinya, dimana besarnya ditentukan besar induktansi (satuan Henry) yang dimiliki oleh induktor. Dalam rangkaian filter, mengingat frekuensi tinggi yang terlibat maka nilai induktor harus memperhitungkan efek kulit dan rugi-rugi histerisis. Sebagai alternatif, filter induktor lebih baik didesain tanpa inti magnetik. Kualitas filter Q pada frekuensi harmonisa yang dominan bisa dipilih antara 50 dan 150 untuk biaya yang terendah. Namun nilai Q yang rendah biasayanya digunakan dan ini diperoleh dengan
r.m.s maksimum dan pada tingkat isolasi yang diperlukan untuk menahan switching surge (perpindahan gelombang).
Persamaan untuk rangkaian induktor adalah:
𝑣𝑂 = 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 ………. (2,84) 𝑣𝑂 = 𝐿 𝑑𝑖𝑑𝑡 → 𝑉𝑚sin 𝜔𝑡 = 𝐿𝑑𝑡𝑑𝑖 𝑑𝑖 = 𝑉𝑚 𝐿 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 → 𝑖 = 𝑉𝑚 𝐿 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑖(𝑡) = 𝑉𝑚 𝐿 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 → 𝑖 = 𝑉𝑚 𝜔𝐿 (− cos 𝜔𝑡) 𝑖(𝑡) = 𝑉𝑚 𝜔𝐿sin 𝜔𝑡 − 𝜋 2 ……… (2.85)
𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿substitusi ke Persamaan (2.85) di atas, maka besar i menjadi:
𝑖(𝑡) = 𝑉𝑚 𝑋𝐿 sin 𝜔𝑡 − 𝜋 2 → 𝑖 = 𝐼𝑚sin 𝜔𝑡 − 𝜋 2 ……… (2.86) 𝐼𝑚 = 𝑉𝑋𝑚 𝐿 ………. (2.87) c. Resistor
Resistor berfungsi sebagai penghambat arus, pembagi tegangan dan pembagi arus. Nilai resistor pada filter single tuned mempengaruhi faktor kualitas Q yang digunakan untuk mengukur ketajaman dari tuning. Adapun persamaan nilai Q untuk rangkaian single tune filter adalah:
𝑄 = 𝑅1 𝐿𝐶 ……… (2.88) Berdasarkan Persamaan (2.88), untuk nilai Q yang besar maka sebaiknya nilai R yang terpasang memiliki nilai yang tidak begitu besar.
2.11. Perancangan Filter Pasif RLC
Salah satu rangkaian RLC yang dapat digunakan adalah filter dengan teknik band pass filter [26] seperti yang diperlihatkan rangkaian Gambar 2.28.
L
C
R
V
OutV
inZ
Gambar 2.28. Rangkaian Band Pass Filter Passive RLC
a. Persamaan band pass filter passive RLC Tegangan output, Persamaan (2.90)
V𝑜𝑢𝑡 = Z+RR Vin ………... (2.89)
Impedansi seri, Persamaan (2.91)
𝑍 = 𝑆𝐶1 + 𝑆𝐿 → 𝑍 = 𝑆𝐶1 + 𝑆𝐿.𝑆𝐶𝑆𝐶
𝑍 = 𝑆𝐶1 + 𝑆𝐿.1 ………. (2.90) Impedansi total, Persamaan (2.91)
𝑍 + 𝑅 =𝑆𝐶1 + 𝑆𝐿 + 𝑅 → 𝑍 + 𝑅 = 𝑆𝐶1 + 𝑆𝐿 + 𝑅 ×𝑆𝑆 𝐿 𝐿 … (2.91) 𝑍 + 𝑅 = 1 𝐿𝐶+𝑆2+𝑆 𝑅 𝐿 𝑆 𝐿 → V𝑜𝑢𝑡 = 1 R 𝐿𝐶+𝑆2+𝑆𝑅𝐿 𝑆 𝐿 Vin
Fungsi transfer, Persamaan (2.92): 𝐻 𝑆 = 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛 = 𝑆𝑅𝐿 𝑆2+1 𝐿𝐶+𝑆 𝑅 𝐿 ……….. (2.92) Substitusi 𝑆 = 𝑗𝜔 ke Persamaan (2.92) 𝐻 𝑗𝜔 = 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛 = 𝑗𝜔𝑅𝐿 𝑗2𝜔2+1 𝐿𝐶+𝑗𝜔 𝑅 𝐿 𝐻 𝑗𝜔 = 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛 = 𝜔𝑅𝐿 𝐿𝐶1−𝜔2 2+ 𝜔𝑅 𝐿 2……… (2.93) Ketika terjadi resonansi:
𝜔𝑜 = 1 𝐿. 𝐶 𝐻 𝑗𝜔𝑜 = 𝐻𝑚𝑎𝑥 ……….. (2.94) 𝐻 𝑗𝜔𝑜 = 𝜔𝑜 𝑅 𝐿 𝐿𝐶1 − 𝜔𝑜2 2 + 𝜔𝑜𝑅 𝐿 2
Nilai fungsi transfer pada saat resonansi, Persamaan (2.95): 𝐻 𝑗𝜔𝑜 = 𝐻𝑚𝑎𝑥 = 1 𝐿𝐶 𝑅 𝐿 𝐿𝐶1−𝐿𝐶1 2+ 1 𝐿𝐶 𝑅 𝐿 2 = 1 ………… (2.95) Untuk rangkaian RLC seri nilai Q dapat kita peroleh melalui persamaan berikut [13]: 𝑄 = 𝜔𝐿𝑅 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑠𝑖 𝜔 = 1 𝐿𝐶 → 𝑄 = 1 𝑅 𝐿 𝐶 ………. (2.96)
Jika rangkaian hanya memiliki L dan C akan menyebabkan terjadinya resonansi, keberadaan R pada rangkaian akan mematikan osilasi yang disebabkan
oleh resonansi. Nilai R yang kecil, cendrung menghasilkan osilasi dan sebaliknya bila nilai R besar, osilasi cendrung diredam. Pada Persamaan (2.97) bila nilai R kecil akan menghasilkan nilai Q yang besar. Nilai Q yang tinggi berarti 𝜔 mendekati 𝜔𝑚𝑎𝑘𝑠.
Frekuensi cut off, 𝐻 𝑗𝜔𝑐 = 1
2𝐻𝑚𝑎𝑥 karena 𝐻 𝑗𝜔𝑐 drop pada saat 1 2 dari
nilai maksimum. Berdasarkan Persamaan (2.97) nilai 𝐻𝑚𝑎𝑥 = 1, maka persamaan
frekuensi cut off adalah:
𝐻 𝑗𝜔𝑐 = 21 = 𝜔𝑐 𝑅 𝐿 𝐿𝐶1−𝜔𝑐2 2 + 𝜔𝑐𝑅 𝐿 2 ………. (2.97)
Kita ketahui saat resonansi 𝜔𝑜 = 1
𝐿.𝐶 dan nilai 𝑄 = 1 𝑅
𝐿
𝐶. Bila kedua
persamaan kita kuadratkan maka pertama diperoleh nilai C pada Persamaan (2.98): 𝜔𝑜2 = 1
𝐿.𝐶 → 𝐶 = 1
𝜔𝑜2.𝐿 ……….. (2.98) Substitusi nilai C dari Persamaan (2.98) ke Persamaan (2.99), Q yang dikuadratkan.
𝑄2 = 𝐿 𝐶.𝑅2 ……….. (2.99) ↔ 𝑄2 = 𝐿 1 𝐿.𝜔𝑜 2 . 𝑅 2 → 𝑄 2= 𝜔𝑜2𝐿2 𝑅2 𝜔𝑜 𝑄 = 𝑅 𝐿 ……… (2.100)
Substitusi Persamaan (2.100) ke Persamaan (2.97) untuk memperoleh frekuensi cut off.
𝐻 𝑗𝜔𝑐 = 21 =
𝜔𝑐𝜔 𝑜𝑄
𝜔𝑜2−𝜔𝑐2 2+ 𝜔𝑐𝜔 𝑜𝑄 2
1 2 = 𝜔𝑐𝜔 𝑜𝑄 2 𝜔𝑜2−𝜔𝑐2 2+ 𝜔𝑐𝜔 𝑜𝑄 2 → 𝜔𝑜2− 𝜔𝑐2 2+ 𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜 2 = 2 𝜔𝑐𝜔𝑜 𝑄 2 𝜔𝑜2− 𝜔 𝑐2 2 = 𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜 2 → 𝜔𝑜2− 𝜔 𝑐2 = ±𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜… (2.101)
Dari Persamaan (2.101) diperoleh 2 persamaan, yaitu:
𝜔𝑜2− 𝜔𝑐2 = 𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜……… (2.102)
𝜔𝑜2− 𝜔𝑐2 = −𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜 ……….… (2.103)
Dari Persamaan (2.102) dan Persamaan (2.103) dihasilkan empat solusi. Dari kedua persamaan tersebut solusi yang digunakan untuk menentukan frekuensi cut off diambil dari akar yang bernilai positif.
Untuk Persamaan (2.102), sisi kiri dan sisi kanan dikali negatif hingga persamaan menjadi: 𝜔𝐶2− 𝜔𝑜2+ 𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜 = 0 → 𝜔𝐶2+ 𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜− 𝜔𝑜2 = 0 …… (2.104) 𝜔𝑐2 + 𝜔𝑐𝑄 𝜔𝑜− 𝜔𝑜2 = 0 → 𝜔𝑐2+ 2𝜔2𝑄𝑐 𝜔𝑜− 𝜔𝑜2 = 0 …… (2.105) Jika 𝜔𝐶+ 𝜔𝑜 2𝑄 2 = 𝜔𝐶2 + 2𝜔𝑐 𝜔𝑜 2𝑄 + 𝜔𝑜2 4𝑄 ……….. (2.106)
maka agar Persamaan (2.106) sama dengan nol dan sama dengan Persamaan (2.105), pada Persamaan (2.106) ditambahkan Persamaan (2.107) berikut:
−𝜔𝑂2 −𝜔𝑜
2
4𝑄 ……….. (2.107)
𝜔𝐶+ 𝜔𝑜 2𝑄 2 −𝜔𝑂2 −𝜔𝑜2 4𝑄 = 𝜔𝐶 2+ 2𝜔𝑐 𝜔𝑜 2𝑄 + 𝜔𝑜2 4𝑄 −𝜔𝑂 2 −𝜔𝑜2 4𝑄
Persamaan (2.106) telah sama dengan Persamaan (2.105) 𝜔𝐶+ 𝜔2𝑄𝑜 2 −𝜔𝑂2 −𝜔𝑜 2 4𝑄 = 𝜔𝐶 2+ 2𝜔𝑐 𝜔𝑜 2𝑄 −𝜔𝑂 2 ↔ 𝜔𝐶+ 𝜔2𝑄𝑜 2 −𝜔𝑂2 −𝜔𝑜2 4𝑄 = 0 ↔ 𝜔𝐶+ 𝜔𝑜 2𝑄 2 = 𝜔𝑂2 + 𝜔𝑜2 4𝑄 → 𝜔𝐶+ 𝜔𝑜 2𝑄 = ± 𝜔𝑂 2 + 𝜔𝑜2 4𝑄 1 2 ….. (2.108)
Akar yang bernilai positif dari Persamaan (2.105) diperoleh nilai 𝜔𝑐1 , yaitu:
𝜔𝑐1= −𝜔2𝑄𝑜+ 𝜔𝑜 1 +4𝑄12 ……… (2.109)
Untuk Persamaan (2.103), sisi kiri dan sisi kanan dikali negatif hingga persamaan menjadi : 𝜔𝐶2− 𝜔𝑜2− 𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜 = 0 → 𝜔𝐶2− 𝜔𝑐𝜔𝑄𝑜− 𝜔𝑜2 = 0 ……. (2.110) 𝜔𝑐2 − 𝜔𝑐 𝜔𝑜 𝑄 − 𝜔𝑜 2 = 0 → 𝜔 𝑐2− 2𝜔2𝑄𝑐 𝜔𝑜− 𝜔𝑜2 = 0 …… (2.111) Jika 𝜔𝐶− 𝜔2𝑄𝑜 2 = 𝜔𝐶2− 2𝜔2𝑄𝑐 𝜔𝑜+ 𝜔𝑜 2 4𝑄 ……… (2.112)
maka agar Persamaan (2.112) sama dengan nol, sama dengan Persamaan (2.111), pada Persamaan (2.112) ditambahkan juga Persamaan (2.107). Persamaan (2.112) menjadi: 𝜔𝐶− 𝜔𝑜 2𝑄 2 + −𝜔𝑂2 −𝜔𝑜2 4𝑄 = 𝜔𝐶2− 2𝜔𝑐 𝜔𝑜 2𝑄 + 𝜔𝑜2 4𝑄+ −𝜔𝑂2 − 𝜔𝑜2 4𝑄 𝜔2− 2𝜔𝑐 𝜔𝑜+𝜔𝑜2−𝜔2 −𝜔𝑜2 → 𝜔2− 2𝜔𝑐 𝜔𝑜− 𝜔2
𝜔𝐶− 𝜔𝑜 2𝑄 2 + −𝜔𝑂2 −𝜔𝑜2 4𝑄 = 0 ↔ 𝜔𝐶− 𝜔2𝑄𝑜 2 = 𝜔𝑂2 + 𝜔𝑜2 4𝑄 → 𝜔𝐶− 𝜔𝑜 2𝑄 = ± 𝜔𝑂 2 + 𝜔𝑜2 4𝑄 1 2 …… (2.113) Akar yang bernilai positif dari Persamaan (2.111) diperoleh nilai 𝜔𝑐2 , yaitu:
𝜔𝑐2= 𝜔𝑜
2𝑄+ 𝜔𝑜 1 + 1
4𝑄2 ……… (2.114)
Besar bandwidth dapat kita tentukan dari Persamaan (2.115) berikut: 𝐵 = 𝜔𝑐2− 𝜔𝑐1 → 𝐵 = 𝜔𝑜
𝑄 = 𝑅
𝐿……… (2.115)
Frekuensi centre ditentukan berdasarkan Persamaan (2.115) berikut:
𝜔𝑜 = 𝜔𝑐2 . 𝜔𝑐1 ………. (2.116)
Jika direncanakan frekuensi centre 𝜔0 tepat berada ditengah 𝜔𝐶1 dan 𝜔𝐶2 maka nilai 𝜔𝐶1 harus memenuhi Persamaan (2.117) dibawah ini:
𝜔0 = 𝜔𝐶1+ 𝜔𝐶2
2 ……….. (2.117)
Substitusi Persamaan (2.117) ke Persamaan (2.116) untuk memperoleh Persamaan (2.118). 𝜔𝐶1+ 𝜔𝐶2 2 = 𝜔𝑐2 . 𝜔𝑐1 → 𝜔𝐶1+𝜔𝐶2 2 4 = 𝜔𝐶2. 𝜔𝐶1 𝜔𝐶1+ 𝜔𝐶2 2 = 4𝜔 𝐶2. 𝜔𝐶1 → 𝜔𝐶1− 𝜔𝐶2 2= 0 𝜔𝐶1= 𝜔𝐶2 ………. (2.118)
Dari Persamaan (2.118) diketahui bahwa untuk mendapatkan frekuensi tengah 𝜔0 tepat berada ditengah 𝜔𝐶1dan 𝜔𝐶2 maka nilai 𝜔𝐶1 = 𝜔𝐶2 = 𝜔0 dimana nilai B=0.
Hal ini tidak mungkin terjadi, dan frekuensi centre 𝜔0 tidak pernah tepat ditengah
𝜔𝐶1dan 𝜔𝐶2.
b. Langkah-langkah dalam menentukan nilai R, L dan C serta karateristik filter pasif RLC adalah:
1. Menentukan daya reaktif yang diharapkan untuk memperbaiki faktor daya dengan Persamaan (2.73).
2. Menentukan nilai kapasitor seri berdasarkan Persamaan (2.74). 3. Menentukan nilai L dengan menggunakan Persamaan (2.98). 4. Menentukan faktor Q yang diharapkan (diperkirakan).
5. Menentukan nilai R berdasarkan nilai Q yang telah ditentukan dengan Persamaan (2.96).
6. Menentukan frekuensi fundamental, f = 50 Hz.
7. Menentukan frekuensi cut off frekuensi tinggi (frekuensi harmonisa setelah frekuensi fundamental), Persamaan (2.114).
8. Menentukan frekuensi cut off frekuensi rendah dengan Persamaan (2.109). 9. Tentukan nilai B dengan Persamaan (2.115).
