Estimasi Perubahan Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar Amerika Tahun 2005 Menggunakan Estimasi Model ARCH-GARCH

(1)

ESTIMASI PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP

DOLAR AMERIKA TAHUN 2005 MENGGUNAKAN

ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

SUSI IRMAYANI

020803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2007

(2)

ESTIMASI PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP

ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana

Sains

SUSI IRMAYANI

020803048

(3)

PERSETUJUAN

Judul

: ESTIMASI VOLATILITAS NILAI TUKAR

RU-PIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA TAHUN

2005 MENGGUNAKAN ESTIMASI MODEL

ARCH-GARCH

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: SUSI IRMAYANI

Nomor Induk Mahasiswa

: 020803048

Program Studi

: SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Medan, September 2007

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dra. Rahmawati Pane, M.Si

Dr. Sutarman, M.Sc

NIP.131474682

NIP. 131945359

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc

NIP. 131796149

i

(4)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

September 2007

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan

Ma-ha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya kertas kajian ini berMa-hasil diselesaikan

dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc

dan Ibu Dra. Rahmawati Pane, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian tugas

akhir ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya

untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah

diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima

kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika, Dr.

Saib Suwilo, M.Si dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara,

semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU

dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada bapak, ibu dan semua

ahli keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan.

Semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya.

Penulis,

Susi Irmayani

iii

(6)

ABSTRAK

(7)

ABSTRACT

This thesis discusses about United State dolar exchange rate estimation and

mod-el using ARCH-GARCH in 2005. Exchange rate volatility can be explained by

ARCH-GARCH because the nature of the variabel can fluctuate on certain period

with followed by the stabilization of the next period. According to the result of

the estimation, we know that data have heteroscedasticity, stationerity and do not

have otocorelation.

vi

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

v

ABSTRACT

vi

DAFTAR ISI

vii

BAB

1. PENDAHULUAN

1

1.1. Latar Belakang

1

1.2. Perumusan Masalah

3

1.3. Tinjauan Pustaka

3

1.4. Batasan Masalah

3

1.5. Tujuan Penelitian

3

1.6. Manfaat Penelitian

4

1.7. Metode Penelitian

4

2. LANDASAN TEORI

5

2.1. Heteroskedastisitas

5

2.2. Stasioner

11

2.3. Model ARCH dan GARCH

16

3. PEMBAHASAN

21

3.1. Deskripsi Data

21

3.2. Uji Heteroskedastisitas

22

3.3. Otokorelasi (Autokorelasi)

22

3.4. Model ARCH-GARCH

22

3.5. Estimasi Parameter-parameter Dengan Estimasi

Maximum

Likelihood

23

4. KESIMPULAN DAN SARAN

25

4.1. Kesimpulan

25

4.2. Saran

26

(9)

ABSTRAK

Skripsi ini membahas pemodelan dan estimasi volatilitas nilai tukar rupiah

ter-hadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi ARCH-GARCH.

Da-ta volatiliDa-tas nilai tukar rupiah dapat diterangkan oleh model ARCH-GARCH

karena sifat variabel tersebut berfluktuasi (naik-turun) dari satu periode tertentu

keperiode berikutnya. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh melalui program

eviews

dapat diketahui bahwa data tersebut mengandung heteroskedastisitas,

sta-sioner dan tidak mengandung otokorelasi.

v

(10)

ABSTRACT

(11)

ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

SUSI IRMAYANI

020803048

MEDAN

2007

(12)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana

Sains

SUSI IRMAYANI

020803048

(13)

PERSETUJUAN

Judul

: ESTIMASI VOLATILITAS NILAI TUKAR

RU-PIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA TAHUN

2005 MENGGUNAKAN ESTIMASI MODEL

ARCH-GARCH

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: SUSI IRMAYANI

Nomor Induk Mahasiswa

: 020803048

Program Studi

: SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dra. Rahmawati Pane, M.Si

Dr. Sutarman, M.Sc

NIP.131474682

NIP. 131945359

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc

NIP. 131796149

i

(14)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

September 2007

(15)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan

Ma-ha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya kertas kajian ini berMa-hasil diselesaikan

dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc

dan Ibu Dra. Rahmawati Pane, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian tugas

akhir ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya

untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah

diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima

kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika, Dr.

Saib Suwilo, M.Si dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara,

semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU

dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada bapak, ibu dan semua

ahli keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan.

Semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya.

Penulis,

Susi Irmayani

iii

(16)

ABSTRAK

(17)

ABSTRACT

This thesis discusses about United State dolar exchange rate estimation and

mod-el using ARCH-GARCH in 2005. Exchange rate volatility can be explained by

ARCH-GARCH because the nature of the variabel can fluctuate on certain period

with followed by the stabilization of the next period. According to the result of

the estimation, we know that data have heteroscedasticity, stationerity and do not

have otocorelation.

vi

(18)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

v

ABSTRACT

vi

DAFTAR ISI

vii

BAB

1. PENDAHULUAN

1

1.1. Latar Belakang

1

1.2. Perumusan Masalah

3

1.4. Batasan Masalah

3

4

2. LANDASAN TEORI

5

2.2. Stasioner

11

16

3. PEMBAHASAN

21

3.1. Deskripsi Data

21

22

Maximum

Likelihood

23

25

4.1. Kesimpulan

25

4.2. Saran

26

(19)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode kuadrat terkecil

(Ordinary Least Square/OLS)

telah banyak digunakan

dalam berbagai kesempatan. Pada umumnya metode ini digunakan untuk

menge-tahui hubungan antarvariabel. Dalam metode kuadrat terkecil, Teorema Gauss

Markov, salah satunya mensyaratkan agar varians dari residu bersifat konstan atau

tidak berubah-ubah. Hal ini agar estimator yang didapat adalah BLUE

(Best

Lin-ier Unbiased Estimater)

atau mempunyai sifat yang linier, tidak bias dan varians

minimum. Data yang digunakan dalam metode ini dapat berupa data penampang

(

cross section

) dan data runtun waktu (

time series

). Data penampang adalah data

yang diperoleh dari pengamatan yang berbeda pada waktu yang sama, sedangkan

data runtun waktu adalah data yang diperoleh dari pengamatan yang sama

pa-da waktu yang berbepa-da. Contohnya besarnya kompensasi yang diberikan kepapa-da

karyawan industri makanan, tekstil, pakaian, percetakan dan lain-lain berdasarkan

jumlah karyawan. Semakin besar industri (makin banyak jumlah karyawannya),

maka kompensasi yang diberikan semakin besar. Data penampang sering

memu-nculkan varians dan residu yang berubah-ubah, namun bukan berarti data runtun

waktu terhindar dari permasalahan tersebut.

Ada beberapa alasan mengapa variansi kesalahan pengganggu

e

i

selalu

berubah-ubah, antara lain sebagai berikut:

1. Mengikuti model berbuat kesalahan dalam belajar, yaitu kalau orang belajar

terus, kesalahan untuk melakukan apa yang dipelajari semakin menurun,

sebab ketrampilan semakin meningkat. Dalam hal ini diharapkan variansi

σ

2

i

diharapkan menurun nilainya.

(20)

2

2. Kalau pendapatan tumbuh/berkembang, makin banyak orang menerima

pen-dapatan yang sangat berbeda jumlahnya, kemungkinan mempunyai lebih

banyak alternatif untuk mengeluarkan/menggunakan pendapatan itu,

se-hingga variansi makin membesar dengan kenaikan pendapatan.

3. Kalau teknik pengumpulan data semakin membaik, nilai

σ

2

cenderung

menge-cil.

Data runtun waktu terutama data finansial seperti data harga indeks

sa-ham, tingkat bunga, nilai tukar sering kali berubah-ubah (volatilitas). Akibat

data yang bervolatilitas adalah varians dan residu tidak konstan. Dengan kata

lain data semacam itu mengalami heteroskedastisitas. Adanya heteroskedastisitas

menyebabkan perkiraan (estimasi) parameter berdasarkan OLS menjadi tidak

efe-sien baik dalam sampel kacil maupun sampel besar sehingga estimasi varians akan

bias dan menyebabkan pengujian hipotesis tentang parameter tidak tepat.

Bagaimana cara mendeteksi dan mengatasi adanya heteroskedastisitas akan

dibahas pada bab berikutnya. Heteroskedastisitas dipandang bukan sebagai

su-atu masalah, tetapi justru memanfaatkan kondisi tersebut untuk membuat model.

Bahkan dengan memanfaatkan heteroskedastisitas dalam residu dengan tepat,

ma-ka ama-kan diperoleh varians yang lebih efisien. Model ini dikenal dengan nama

Auto

Regressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) dan General Auto Regressive

Conditional Heteroskedasticity (GARCH)

.

Volatilitas diperlukan dalam penukaran mata uang untuk menganalisis

re-siko pemegang aset dari investasi pilihan, meramalkan interval keyakinan sehingga

dapat diperoleh interval yang lebih tepat dengan memodelkan varians, residu dan

estimasi yang lebih efesien bila heteroskedastisitas digunakan dengan tepat.

Berdasarkan uraian di atas, maka penulis memilih judul skripsi ini

(21)

Ameri-3

ditional Heteroskdastisitas-General Auto Regressive Conditional

Het-eroskdastisitas

(ARCH-GARCH).

1.2 Perumusan Masalah

Adapun yang menjadi permasalahan dalam tulisan ini adalah bagaimana membuat

dan mengestimasi parameter model ARCH-GARCH pada data volatilitas nilai

tukar rupiah terhadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi model

ARCH-GARCH.

1.3 Tinjauan Pustaka

Engle (2001) menyatakan bahwa ARCH adalah variabel yang dipengaruhi oleh

variabel itu sendiri berdasarkan informasi masa lalu dan variansnya berubah-ubah

pada periode-periode sebelumnya.

Sumargono dan Laksono (2004) menyatakan bahwa GARCH telah secara

luas dipakai sebagai pendekatan pada variabel ekonomi khususnya volatilitas.

J.Supranto (2004) Heteroskedastisitas ialah suatu keadaan dimana variansi

dari kesalahan pengganggu

e

i

tidak konstan untuk semua variabel bebas.

Surya dan Hariadi (2003) telah melakukan pemodelan volatilitas beberapa

saham menggunakan model GARCH(1,1).

1.4 Batasan Masalah

Untuk menyelesaikan masalah pemodelan dan estimasi volatilitas, penulis

mem-batasi orde/derajat pada ARCH-GARCH, yaitu GARCH(1,1).

1.5 Tujuan Penelitian

Tulisan ini bertujuan untuk membuat dan mengestimasi model ARCH-GARCH

(22)

4

menjadi lebih efesien yaitu mempunyai varians yang minimum.

1.6 Manfaat Penelitian

Memperkaya literatur tentang model dan estimasi ARCH-GARCH untuk data

volatilitas dan hasil penelitian ini juga dapat menambah wawasan sebagai

pen-dekatan pada variabel ekonomi khususnya volatilitas.

1.7 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam menganalisis data adalah estimasi ARCH-GARCH

bila data berbentuk heteroskedastisitas. Bila data berbentuk homoskedastisitas,

maka data diestimasi menggunakan estimasi OLS.

Langkah-langkah untuk membuat model dan estimasinya adalah sebagai

berikut:

1. Pengumpulan data.

2. Uji korelasi dan uji heteroskedastisitas menggunakan uji

white noise

.

3. Menghilangkan otokorelasi (jika ada). Untuk mengetahui ada atau tidaknya

otokorelasi dilakukan dengan uji

Durbin Watson

.

d

=

Σ

n

i=2

(e

i

−

e

i−1

)

2

Σ

n i=1

e

2i

4. Membuat model sederhana ARCH-GARCH.

σ

2

i

=

α

0

+

α

1

e

2i−1

+

βσ

2

i−1

5. Estimasi menggunakan metode kemungkinan terbesar.

logℓ

= Σ

n i=1

(

−

1

(23)

ABSTRAK

Skripsi ini membahas pemodelan dan estimasi volatilitas nilai tukar rupiah

ter-hadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi ARCH-GARCH.

Da-ta volatiliDa-tas nilai tukar rupiah dapat diterangkan oleh model ARCH-GARCH

karena sifat variabel tersebut berfluktuasi (naik-turun) dari satu periode tertentu

keperiode berikutnya. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh melalui program

eviews

dapat diketahui bahwa data tersebut mengandung heteroskedastisitas,

sta-sioner dan tidak mengandung otokorelasi.

v

(24)

ABSTRACT

(25)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

v

ABSTRACT

vi

DAFTAR ISI

vii

BAB

1. PENDAHULUAN

1

1.1. Latar Belakang

1

1.2. Perumusan Masalah

3

1.4. Batasan Masalah

3

4

2. LANDASAN TEORI

5

2.2. Stasioner

11

16

3. PEMBAHASAN

21

3.1. Deskripsi Data

21

22

Maximum

Likelihood

23

25

4.1. Kesimpulan

25

4.2. Saran

26

DAFTAR PUSTAKA

27

vii

(26)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode kuadrat terkecil

(Ordinary Least Square/OLS)

telah banyak digunakan

dalam berbagai kesempatan. Pada umumnya metode ini digunakan untuk

menge-tahui hubungan antarvariabel. Dalam metode kuadrat terkecil, Teorema Gauss

Markov, salah satunya mensyaratkan agar varians dari residu bersifat konstan atau

tidak berubah-ubah. Hal ini agar estimator yang didapat adalah BLUE

(Best

Lin-ier Unbiased Estimater)

atau mempunyai sifat yang linier, tidak bias dan varians

minimum. Data yang digunakan dalam metode ini dapat berupa data penampang

(

cross section

) dan data runtun waktu (

time series

). Data penampang adalah data

yang diperoleh dari pengamatan yang berbeda pada waktu yang sama, sedangkan

data runtun waktu adalah data yang diperoleh dari pengamatan yang sama

pa-da waktu yang berbepa-da. Contohnya besarnya kompensasi yang diberikan kepapa-da

karyawan industri makanan, tekstil, pakaian, percetakan dan lain-lain berdasarkan

jumlah karyawan. Semakin besar industri (makin banyak jumlah karyawannya),

maka kompensasi yang diberikan semakin besar. Data penampang sering

memu-nculkan varians dan residu yang berubah-ubah, namun bukan berarti data runtun

waktu terhindar dari permasalahan tersebut.

Ada beberapa alasan mengapa variansi kesalahan pengganggu

e

i

selalu

berubah-ubah, antara lain sebagai berikut:

1. Mengikuti model berbuat kesalahan dalam belajar, yaitu kalau orang belajar

terus, kesalahan untuk melakukan apa yang dipelajari semakin menurun,

(27)

2

2. Kalau pendapatan tumbuh/berkembang, makin banyak orang menerima

pen-dapatan yang sangat berbeda jumlahnya, kemungkinan mempunyai lebih

banyak alternatif untuk mengeluarkan/menggunakan pendapatan itu,

se-hingga variansi makin membesar dengan kenaikan pendapatan.

3. Kalau teknik pengumpulan data semakin membaik, nilai

σ

2

cenderung

menge-cil.

Data runtun waktu terutama data finansial seperti data harga indeks

sa-ham, tingkat bunga, nilai tukar sering kali berubah-ubah (volatilitas). Akibat

data yang bervolatilitas adalah varians dan residu tidak konstan. Dengan kata

lain data semacam itu mengalami heteroskedastisitas. Adanya heteroskedastisitas

menyebabkan perkiraan (estimasi) parameter berdasarkan OLS menjadi tidak

efe-sien baik dalam sampel kacil maupun sampel besar sehingga estimasi varians akan

bias dan menyebabkan pengujian hipotesis tentang parameter tidak tepat.

Bagaimana cara mendeteksi dan mengatasi adanya heteroskedastisitas akan

dibahas pada bab berikutnya. Heteroskedastisitas dipandang bukan sebagai

su-atu masalah, tetapi justru memanfaatkan kondisi tersebut untuk membuat model.

Bahkan dengan memanfaatkan heteroskedastisitas dalam residu dengan tepat,

ma-ka ama-kan diperoleh varians yang lebih efisien. Model ini dikenal dengan nama

Auto

Regressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) dan General Auto Regressive

Conditional Heteroskedasticity (GARCH)

.

Volatilitas diperlukan dalam penukaran mata uang untuk menganalisis

re-siko pemegang aset dari investasi pilihan, meramalkan interval keyakinan sehingga

dapat diperoleh interval yang lebih tepat dengan memodelkan varians, residu dan

estimasi yang lebih efesien bila heteroskedastisitas digunakan dengan tepat.

Berdasarkan uraian di atas, maka penulis memilih judul skripsi ini

(28)

3

ditional Heteroskdastisitas-General Auto Regressive Conditional

Het-eroskdastisitas

(ARCH-GARCH).

1.2 Perumusan Masalah

Adapun yang menjadi permasalahan dalam tulisan ini adalah bagaimana membuat

dan mengestimasi parameter model ARCH-GARCH pada data volatilitas nilai

tukar rupiah terhadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi model

ARCH-GARCH.

1.3 Tinjauan Pustaka

Engle (2001) menyatakan bahwa ARCH adalah variabel yang dipengaruhi oleh

variabel itu sendiri berdasarkan informasi masa lalu dan variansnya berubah-ubah

pada periode-periode sebelumnya.

Sumargono dan Laksono (2004) menyatakan bahwa GARCH telah secara

luas dipakai sebagai pendekatan pada variabel ekonomi khususnya volatilitas.

J.Supranto (2004) Heteroskedastisitas ialah suatu keadaan dimana variansi

dari kesalahan pengganggu

e

i

tidak konstan untuk semua variabel bebas.

Surya dan Hariadi (2003) telah melakukan pemodelan volatilitas beberapa

saham menggunakan model GARCH(1,1).

1.4 Batasan Masalah

Untuk menyelesaikan masalah pemodelan dan estimasi volatilitas, penulis

mem-batasi orde/derajat pada ARCH-GARCH, yaitu GARCH(1,1).

1.5 Tujuan Penelitian

(29)

4

menjadi lebih efesien yaitu mempunyai varians yang minimum.

1.6 Manfaat Penelitian

Memperkaya literatur tentang model dan estimasi ARCH-GARCH untuk data

volatilitas dan hasil penelitian ini juga dapat menambah wawasan sebagai

pen-dekatan pada variabel ekonomi khususnya volatilitas.

1.7 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam menganalisis data adalah estimasi ARCH-GARCH

bila data berbentuk heteroskedastisitas. Bila data berbentuk homoskedastisitas,

maka data diestimasi menggunakan estimasi OLS.

Langkah-langkah untuk membuat model dan estimasinya adalah sebagai

berikut:

1. Pengumpulan data.

2. Uji korelasi dan uji heteroskedastisitas menggunakan uji

white noise

.

3. Menghilangkan otokorelasi (jika ada). Untuk mengetahui ada atau tidaknya

otokorelasi dilakukan dengan uji

Durbin Watson

.

d

=

Σ

n

i=2

(e

i

−

e

i−1

)

2

Σ

n i=1

e

2i

4. Membuat model sederhana ARCH-GARCH.

σ

2

i

=

α

0

+

α

1

e

2i−1

+

βσ

2

i−1

5. Estimasi menggunakan metode kemungkinan terbesar.

logℓ

= Σ

n i=1

(

−

1

2

log2π

−

1

2

logσ

2 i

−

1

2

e

2 i

σ

2 i

)

6. Kesimpulan.

(30)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dipaparkan mengenai materi-materi yang berhubungan dan

mendukung untuk mendapatkan model dan bagaimana mengestimasi model

terse-but.

Materi-materi tersebut antara lain: heteroskedastisitas, stasioner model

ARCH-GARCH. Dengan demikian, akan mempermudah dalam hal pembahasan

hasil utama pada bab berikutnya.

2.1 Heteroskedastisitas

Heteroskedastisitas adalah suatu kondisi dimana varians dari kesalahan/pengganggu

tidak konstan untuk semua nilai variabel bebas.

2.1.1 Dampak Heteroskedastsitas.

Beberapa akibat yang ditimbulkan heteroskedastisitas adalah sebagai berikut:

(i) Estimasi OLS menjadi tidak bias.

(ii) Varians dari parameter OLS tidak minimum.

(iii) Estimasi OLS menjadi tidak konsisten.

2.1.2 Teknik Mendeteksi Heteroskedastisitas.

Untuk mendeteksi heteroskedastisitas dapat diketahui dengan dua cara, yaitu

(31)

6

1.

Metode Grafik

Heteroskedastisitas merupakan suatu kondisi dimana varians tidak konstan.

Dengan demikian pada suatu nilai variabel bebas akan mempunyai nilai

var-ians yang berbeda dengan variabel bebas lainnya. Oleh karena itu, bila

nilai-nilai varians diplot dengan nilai-nilai-nilai-nilai variabel bebas akan ditemui suatu pola

atau bentuk yang sistematis.

2.

Uji Formal

Salah satu kelemahan pengujian secara grafik adalah tidak jarang kita ragu

terhadap pola yang ditunjukkan grafik. Keputusan secara subyektif

tentun-ya dapat mengakibatkan berbedantentun-ya keputusan antara satu orang dengan

orang lainnya. Oleh karena itu, kadang-kadang dibutuhkan uji formal untuk

memutuskannya. Uji formal tersedia cukup banyak, seperti uji

P ark

dan

Goldfeld

−

Quandt, uji

Breusch-Pagan Godfrey

(uji BPG), uji

white

dan

lain-lain. Pada bagian ini hanya akan membahas uji BPG dan uji

white

karena uji ini telah tersedia dalam program

eviews.

(a) Uji

Breusch-Pagan Godfrey

(BPG)

Pada prinsipnya uji ini tidak jauh berbeda dengan uji lainnya, yaitu

men-coba mengukur varians akibat perubahan nilai-nilai variabel bebasnya.

Per-hatikan model regresi ganda pada persamaan (2.1) berikut:

Y

i

=

β

0

+

β

1

X

1i

+

β

2

X

2i

+

...

+

β

k

X

ki

+

e

i

(2.1)

dengan

i

= 1, 2, 3, ...,

n.

k

= 0, 2, 3, ...,

n.

n

= Banyak pengamatan.

Diasumsikan

var(e

2

i

) =

σ

i2

merupakan fungsi linier.

Adapun langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk menguji ini adalah:

1. Buat hipotesis

H

0

: Varians

e

i

homoskedastisitas

H

1

: Varians

e

i

heteroskedastisitas

(32)

7

2. Estimasi model regresi dan cari ˆ

e

i

.

3. Cari :

˜

σ

2

=

e

ˆ

2

i

n

4. Uji BPG dilambangkan dengan

p, dengan rumus:

p

i

=

ˆ

e

2

i

˜

σ

2

5. Regresikan

p

i

dengan

X

sehingga didapat:

p

2

i

=

γ

0

+

γ

1

X

1i

+

γ

2

X

2i

+

...

+

γ

m

X

mi

+

e

i

dengan

e

i

adalah residual.

6. Hitung jumlah kuadrat regresi

(Sum Of Square Regression/SSR)

dan

cari:

Θ =

1

2

SSR

7. Bandingkan dengan tabel

Chi Square

dengan derajat bebas (m

−

1)

dimana

m

adalah jumlah parameter yang digunakan.

Jika Θ

> χ

2

(m−1)

, maka tolak hipotesis yang menyatakan homoskedastisitas.

(b)

Uji White noise

(White General Heteroscedastisity Test)

Model ini lebih mudah digunakan dibandingkan dengan uji-uji lainnya.

Per-hatikan persamaan regresi ganda berikut:

Y

i

=

β

0

+

β

1

X

1i

+

β

2

X

2i

+

...

+

β

k

X

ki

+

e

i

k

= Banyaknya variabel yang tercakup dalam persamaan regresi.

Berdasarkan persamaan regresi ganda di atas kita dapat melakukan

uji white noise

dengan beberapa tahap, yaitu:

1. Hasil estimasi dari model di atas akan menghasilkan residu, yaitu: ˆ

e

2

(33)

8

H

0

: Varians

e

i

homoskedastisitas.

H

1

: Varians

e

i

heteroskedastisitas.

Sampel berukuran

n

dan koefesien determinasi

R

2

yang didapat dari

regresi akan mengikuti distribusi

Chi Square

dengan derajat bebas,

jumlah variabel bebas atau jumlah parameter regresi di luar intercept.

Dengan demikian, rumus

uji white noise

adalah sebagai berikut:

nR

2

∼

χ

2

3. Jika nilai penghitungan melebihi nilai kritis dengan

α

yang dipilih,

dipu-tuskan bahwa tidak terdapat heteroskedastisitas. Hal ini disebabkan

α

1

=

α

2

=

α

3

=

...

=

α

k

= 0, sehingga ˆ

e

2i

=

α

0

(konstan).

2.1.3 Teknik Mengatasi Heteroskedastisitas.

Menurut Nachrowi dan Usman (2006) ada beberapa teknik yang dapat digunakan

untuk mengatasi heteroskedastisitas, yaitu:

(a) Metode Kuadrat Terkecil Tertimbang

Metode ini hanya dapat diterapkan jika

σ

2

i

diketahui. Perhatikan model

berikut:

Y

i

=

β

0

+

β

1

X

i

+

e

i

dengan

var(e

i

) =

σ

i2

(2.3)

Jika persamaan tersebut masing-masing dikalikan

_σ1

i

, maka:

Y

i

σ

i

=

β

0

(

1

σ

i

) +

β

1

(

X

i

σ

i

) + (

e

i

σ

i

)

(2.4)

Jika

_σ1_i

disubstitusi dengan * maka model tersebut dapat dituliskan sebagai:

Y

∗

i

=

β

0∗

+

β

1

X

i∗

+

e

∗i

(2.5)

Dapat dibuktikan bahwa model (2.4) telah homoskedastisitas.

(34)

9

E(e

∗2

i

) =

E(

e

2

i

σ

2

i

) =

1

σ

2

i

E(e

2_i

) =

1

σ

2

i

=

σ

2

(2.6)

Oleh karena residu telah homoskedastisitas karena mempunyai varians yang

konstan, maka model (2.4) dapat diduga dengan OLS, dan penduga yang

diperoleh akan bersifat BLUE, sedangkan model awal (2.3) yang belum

di-transformasikan bila diestimasi dengan OLS, estimasi tidak bersifat BLUE.

(b) Transformasi dengan

1

Xi

Dalam banyak pembuatan model regresi, ternyata nilai-nilai

σ

2

i

hampir tidak

pernah diketahui. Untuk menanggulangi kendala tersebut maka digunakan

asumsi untuk menentukan nilai

σ

2

i

. Asumsikan bahwa:

E(e

2

i

) =

σ

2

X

i2

(2.7)

Dengan asumsi demikian, maka transformasi dilakukan dengan membagi

model awal (2.3) dengan

X

i

. Maka model menjadi:

Y

i

X

i

=

β

0

(

1

X

i

) +

β

1

+ (

e

i

X

i

)

(2.8)

Jika

_X1

i

disubstitusi dengan * maka model tersebut dapat ditulis sebagai:

Y

∗

i

=

β

0∗

+β

1

+e

∗i

(2.9)

Apakah sudah homoskedastisitas? Perhatikan bukti berikut:

E(e

∗2

i

) =

E(

e

2

i

X

2

i

) =

1

X

2

i

E(e

2_i

) =

1

X

2

i

(σ

2

X

_i2

) =

σ

2

(2.10)

Ternyata hasil transformasi tersebut telah menyebabkan residual konstan,

dan berarti residual telah homoskedastisitas. Mengingat hal tersebut, maka

sekarang OLS dapat digunakan dengan meregresikan

Yi

Xi

dengan

1

Xi

. Lihat

kembali persamaan (2.8). Persamaan hasil transformasi menunjukkan bahwa

(35)

10

(c) Transformasi dengan

√1 Xi

Pada transformasi ini diasumsikan bahwa

E

(e

2

i

) =

σ

2

X

i

. Setelah

ditransfor-masikan persamaan (2.3) menjadi:

Y

i

√

X

i

=

β

0

(

1

√

X

i

) +

β

1

p

X

i

+ (

e

i

√

X

i

)

(2.11)

Atau dapat ditulis dengan:

Jika

1

√

Xi

disubstitusi dengan * maka model tersebut dapat ditulis sebaga:

Y

∗

i

=

β

0∗

+

β

1

+

e

∗i

Pembuktian bahwa hasil transformasi konstan adalah:

E(e

∗2

i

) =

E(

e

2

i

√

X

i

2

) =

1

X

i

E(e

2_i

) =

1

X

i

(σ

2

X

i

) =

σ

2

(2.12)

(d) Transformasi dengan

E(Y

i

)

Transformasi ini dilandasi dengan asumsi bahwa:

E(e

2

i

) =

σ

2

[E(Y

i

)]

2

Hasil transformasi adalah:

Y

i

E(Y

i

)

=

β

0

(

1

E(Y

i

)

) +

β

1

(

X

i

E(Y

i

)

) + (

e

i

E(Y

i

)

(2.13)

Y

∗

i

=

β

0∗

+

β

1

X

1∗

+

e

i

Kembali akan dibuktikan, apakah residu telah homoskedastisitas?

E(e

∗2

i

) =

E

(

e

2

i

[E(Y

i

)]

2

) =

1

[E(Y

i

)]

2

E(e

2_i

) =

1

[E(Y

i

)]

2

(σ

2

[E(Y

i

)]

2

) =

σ

2

(2.14)

Permasalahan dalam transformasi ini adalah tidak diketahuinya nilai

β

0

dan

β

1

, sehingga [E(Y

i

)] juga tidak dapat diketahui. Oleh karena itu,

trans-formasi dapat dilakukan dengan memanfaatkan model regresi yang diduga,

(36)

11

yaitu:

Y

i

=

b

0

+

b

1

X

i

, yang sekaligus merupakan penduga [E

(Y

i

)], atau sering

dinotasikan dengan ˆ

Y

. Persamaan hasil transformasinya adalah:

Y

i

ˆ

Y

i

=

β

0

(

1

ˆ

Y

i

) +

β

1

(

X

i

ˆ

Y

i

) + (

e

i

ˆ

Y

i

)

(2.15)

2.2 Stasioner

Sekumpulan data dinyatakan stasioner jika nilai rata-rata dan varians dari data

runtun waktu tidak mengalami perubahan (rata-rata dan varians konstan).

Data runtun waktu sangat banyak digunakan, ternyata data runtun waktu

menyimpan berbagai permasalahan. Salah satunya adalah otokorelasi. Otokorelasi

adalah penyebab yang mengakibatkan data menjadi tidak stasioner, sehingga bila

data distasionerkan maka otokorelasi akan hilang dengan sendirinya, karena itu

transformasi data untuk membuat data yang tidak stasioner menjadi stasioner

sama dengan transformasi data untuk menghilangkan otokorelasi.

Mengapa data harus stasioner? Hal ini berkaitan dengan metode estimasi

yang digunakan. Misalnya regresi, tidak stasionernya data mengakibatkan kurang

baiknya model yang diestimasi akibat heteroskedastisitas.

Proses yang stasioner mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1.

P

(Y

i

, ..., Y

(i+k)

) =

P

(Y

(i+m)

, ..., Y

(i+k+m)

),

∀

k, m, i

2.

EY

i

=

µ

y

tidak tergantung pada

i.

3.

V ar(Y

i

) =

σ

y2

=

E[Y

i

−

µ

i2

] tidak tergantung pada

i.

4.

γ

k

=

cov(Y

i

, Y

(i+k)

) : tidak tergantung pada =

cov(Y

(i+m)

, Y

(i+k+m)

)

(37)

12

dengan

k

= Beda waktu (lag) dan

m

= Panjang lag.

2.2.1 Uji Kestasioneran Data.

Uji yang sangat sederhana untuk melihat stasioner data adalah dengan analisis

grafik, yang dilakukan dengan membuat plot antara nilai observasi (Y

) dan waktu

(i). Akan tetapi analisis grafik mempunyai kelemahan karena keputusan

diam-bil secara subyektif, sehingga memungkinkan terjadinya perbedaan pengamdiam-bilan

keputusan. Untuk itulah digunakan uji formal dalam menentukan stasioner

da-ta. Ada beberapa macam pengujian yang dapat dilakukan yaitu Uji Bartlett, Uji

Box-Pierce, Uji Ljung-Box(LB) dan

Unit Root Test

.

(a) Uji Bartlett

Uji ini dilakukan untuk melihat signifikan

r

k

satu per satu. Bartlett menunjukkan

bahwa jika suatu runtun waktu dibentuk melalui proses

white noise

, maka sampel

otokorelasinya akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata nol dan standar

deviasi

_n11/2

, di mana

n

banyaknya pengamatan, atau dinotasikan dengan

r

k

∼

N(0,

_n11/2

). Oleh karena itu, bila ada

r

k

>

0.2 (dua kali standar deviasi), maka

kita yakin dengan kepercayaan 95% bahwa

ρ

6

= 0 dan berarti runtun waktu yang

sedang kita analisis bukan berasal dari proses

white noise

. Atau secara sistematis

dapat ditulis:

r

k

±

Z

a2

s.e

Di mana: s.e = standar error.

H

0

: Homoskedastisitas

H

1

: Lainnya.

Jika interval

r

k

tidak mengandung nilai nol, maka

H

0

diterima, akan tetapi

(38)

13

(b) Uji Box-Pierce

Uji ini digunakan untuk mengetahui apakah nilai

ρ

k

pada sekumpulan waktu secara

nyata berbeda dengan nol. Dengan demikian hipotesisnya adalah:

H

0

: Semua

ρ

k

= 0

H

1

: Paling sedikit ada satu

ρ

k

6

= 0

Untuk menguji hipotesis tersebut, kita gunakan uji

Q

yang dikenalkan oleh

Box

dan

Pierce, dengan formulasi:

Q

=

nΣ

m k=1

r

k2

Dengan:

n

= Banyaknya pengamatan.

m

= Panjangnya lag.

Nilai uji

Q

ini dibandingkan dengan Tabel

Chi-Square

dengan derajat bebas

sama dengan

m. jika

Q > χ

2

(m,5)

, maka kita dapat menolak hipotesis, atau dapat

juga dikatakan, kita yakin dengan tingkat kepercayaan 95% bawha tidak semua

ρ

k

= 0. Bila ini terjadi, runtun waktu tidak berasal dari proses

white noise

.

(c) Uji Ljung-Box (LB)

Fungsi uji ini sesungguhnya sama dengan Uji

Q, tetapi untuk sampel yang

beruku-ran kecil, teknik yang merupakan pengembangan dari Statistik

Q

ini lebih

”pow-erfull”

.

Rumus dari pengujian ini adalah sebagai berikut:

LB

=

n(n

+ 2)Σ

m k=1

(

r

2

(39)

14

Sama pula dengan Uji

Q, nilai

LB

dibandingkan dengan tabel

Chi Square

dengan

derajat bebas sama dengan

m.

(d) Uji

Unit Root

Selain membuat korelogram, stasioner juga dapat dilihat dengan menggunakan

uji formal yang dikenal dengan uji

Unit Root

. Pengujian ini merupakan uji yang

sangat populer, dan dikenalkan oleh

David Dickey

dan

Wayne Fuller. Untuk

memudahkan pengertian mengenai

Unit Root

, perhatikan model berikut:

Y

i

=

ρY

i−1

+

e

i

Jika

ρ

k

= 1, maka model menjadi acak tanpa trend. Disini kita akan

meng-hadapi masalah dimana varian

Y

i

tidak stasioner. Dengan demikian

Y

i

dapat

disebut mempunyai

unit root

atau data tidak stasioner.

Bila persamaan tersebut dikurangi pada

Y

i−1

sisi kanan dan kiri, maka

persamaannya menjadi:

Y

i

−

Y

i−1

=

ρY

i−1

+

e

i

−

Y

i−1

Y

i

−

Y

i−1

= (ρ

−

1)Y

i−1

+

e

i

∆Y

i

=

δY

i−1

+

e

i

Dari persamaan tersebut dapat dibuat hipotesis:

H

0

:

δ

= 0

H

1

:

δ

6

= 0

Jika kita menolak hipotesis

δ

= 0, maka

ρ

= 1. Artinya kita memiliki

unit

root

, dimana data runtun waktu

Y

i

tidak stasioner.

(40)

15

2.2.2 Transformasi Data Tidak Stasioner Menjadi Stasioner.

Teknik transformasi yang digunakan adalah proses pembedaan stasioner

(Difference Stasionarity Process/DSP)

. Untuk keperluan tersebut, perhatikan

mod-el berikut:

Y

i

=

α

+

ρY

i−1

+

e

i

dengan memasukkan variabel bebas waktu(i), maka model menjadi:

Y

i

=

α

+

βi

+

ρY

i−1

+

e

i

Andaikan

α

= 0,

β

= 0, dan

ρ

6

= 0, maka modelnya menjadi:

Y

i

=

Y

i−1

+

e

i

Y

i

−

Y

i−1

=

e

i

atau

∆Y

i

=

e

i

Sehingga,

E(∆Y

i

) = 0, dan

var(∆Y

i

) =

σ

2

, maka model tersebut menjadi

stasioner. Proses inilah yang disebut proses pembedaan stasioner. Andaikan

α

6

=

0,

β

= 0, dan

ρ

6

Y

i

=

α

+

Y

i−1

+

e

i

Model tersebut adalah

Random Walk

dengan intercep yang tidak stasioner.

Bila model ditulis dengan:

Y

i

−

Y

i−1

=

α

+

e

i

atau

(41)

16

maka:

E(∆Y

i

) =

E(α

+

e

i

) =

α

dan

var(∆Y

i

) =

var(α

+

e

i

) =

σ

2

Kita lihat bahwa rata-rata maupun varians telah konstan, yang berarti ∆Y

i

telah stasioner. Berarti persamaan ini juga merupakan proses pembedaan

stasion-er, karena ketidakstasioneran

Y

i

dapat dieliminasi pada pembedaan pertama.

Andaikan

α

6

= 0,

β

6

= 0, dan

ρ

Y

i

=

α

+

βi

+

e

i

Dengan rata-rata adalah sebagai berikut:

E(Y

i

) =

α

+

βi

dan

E(Y

i

) =

σ

2

Dari persamaan rata-rata dan varians di atas dapat kita lihat bahwa rata-rata

berubah sesuai waktu, sehingga tidak stasioner.

2.3 Model ARCH dan GARCH

2.3.1 Model ARCH.

Model ARCH yang sangat sederhana dan mudah digunakan adalah model linier

orde pertama (I). Andaikan

{

e

i

}

adalah nilai riil dan

{

a

i

}

adalah sebuah

white

noise

dengan

ψ

i

adalah kumpulan semua informasi yang diperoleh pada waktu

i.

Pada intinya, model ARCH dapat dijelaskan sebagai berikut:

(42)

17

y

i

=

b

0

+

b

1

x

1i

+

b

2

x

2

i

+

e

i

σ

2

i

atau varians

e

i

heteroskedastisitas, dan mengikuti persamaan berikut:

σ

2

i

=

α

0

+

α

1

e

2i−1

;

σ

2

i

=

var(e

i

)

Perhatikan bahwa

var(e

i

) dijelaskan oleh dua komponen:

(a) Komponen konstanta:

α

0

(b) Komponen variabel:

α

1

e

2i−1

; yang disebut komponen ARCH

Pada model ini,

e

i

heteroskedastisitas, tergantung (conditional) pada

e

i−1

.

Dengan menambahkan informasi ”conditional” ini estimator dari

b

0

,

b

1

dan

b

2

menjadi lebih efesien.

Model ARCH di atas, dengan

var(e

i

) tergantung hanya pada volatilitas satu

periode lalu, seperti pada

σ

2

i

=

α

0

+

α

1

e

2i−1

, disebut model ARCH(1). Sedangkan

secara umum, bila

var(e

i

) tergantung hanya pada volatilitas beberapa periode lalu,

seperti

σ

2

i

=

α

0

+

α

1

e

2i−1

+

α

2

e

2

i−2

+

α

3

e

2

i−3

+

...

+

α

p

e

2

i−p

disebut model ARCH(p)

dengan

α

0

>

0 dan

α

1

, α

2

, α

3

, ..., α

p

≥

0.

p

= Orde/derajat model.

= 0, 1, ...,

∞

Atau ditulis dengan:

σ

2

i

=

α

0

+ Σ

pi=1

α

i

e

2i−1

Pada model ini, agar varians menjadi positif (var(e

2

)

>

0), maka harus

dibuat pembatasan, yaitu:

α

0

>

0 dan 0

< α

1

<

1. Sebuah proses ARCH(p)

stasioner jika:

0

≤

Σ

p_i₌₁

α

i

<

1

(43)

be-18

sar akan mengakibatkan banyaknya parameter yang harus diestimasi sehingga

ketelitian dari estimator tersebut berkurang. hal semacam ini sering dijumpai

pada analisis data harian.

Untuk mengatasi estimasi parameter yang terlalu banyak,

var(e

i

) dapat

dijadikan model berikut:

σ

2

i

=

α

0

+

α

1

e

2i−1

+

βσ

i−2 1

Model ini disebut model GARCH(1,1), karena

σ

2

i

tergantung pada

e

2i−1

dan

σ

2

i−1

yang masing-masing mempunyai beda waktu satu hari, maksudnya waktu

yang diperlukan variabel tak bebas terhadap perubahan-perubahan variabel bebas

adalah satu hari. Sama halnya dengan model ARCH, agar varians menjadi positif

(var(e

2

i

)

>

0), maka pada model ini juga harus dibuat pembatasan, yaitu:

α

0

>

0;

α

1

, β

≥

0; dan

α

1

+

β <

1 untuk menjamin bahwa data mempuyai varians yang

stationer.

Sebagaimana model ARCH, maka model GARCH ini juga dapat diestimasi

dengan teknik

maximum likelihood

. Secara umum,

var(e

i

) dapat ditulis:

σ

2

i

=

α

0

+

α

1

e

i2−1

+

...

+

α

p

e

2

i−p

+

β

1

σ

2

i−1

+

...

+

β

q

σ

2

i−q

Model di atas disebut model GARCH(p, q). Dari model di atas terlihat

bahwa besaran

var(e

i

) selain diduga tergantung pada

e

2

juga tergantung pada

σ

2

pada masa lalu. Parameter dari model GARCH memberi informasi seberapa erat

pengaruh masa lalu terhadap perubahan nilai volatilitas.

2.3.1.1 Sifat-sifat Model ARCH(1) Linier.

Dengan menggunakan persamaan

E(e

i

) =

E

{

E(e

i

|

ψ

i−1

)

}

, sifat dari ARCH(1)

linier dapat ditunjukkan. Sifat-sifatnya adalah sebagai berikut:

(i) Varians

E(e

i

) = 0,

α

0

>

0 dan 0

≤

α

1

<

1

(44)

19

(iii)

cov(e

i

, e

i−k

) = 0,

∀

k

6

= 0

(iv)

E(e

4

i

) = [

3 α0

(1−α1)2

][

1−α21

1−3α21

],

α

0

>

0 dan 0

≤

α

1

<

1

Teorema 2.3.1

Asumsikan bahwa

e

i

adalah proses ARCH(1) dengan variabel

(e

i

) =

σ

2

<

∞

. Maka

e

i

adalah white noise.

Bukti. Dari

E(e

i

|

ψ

i−1

) sedemikian sehingga

E(e

i

) = 0, dan

cov(e

i

, e

i−k

) =

E

(e

i

|

ψ

i−1

)

=

E

[E(e

i

e

i−k

|

ψ

i−1

)]

=

E

[e

i−k

E(e

i

|

ψ

i−1

)]

=

E

[e

i−k

,

0]

=

E

[0]

= 0.

Teorema 2.3.2

(Ketidakkondisionalan varians dari ARCH(1)) Asumsikan proses

e

i

adalah proses ARCH(1) dengan

var(e

i

) =

σ

2

<

∞

sedemikian sehingga

σ

2

=

α0

1−α1

.

Bukti

σ

2

=

E(e

2i

)

=

E[E(e

2_i

|

ψ

i−1

)]

=

α

0

+

αE(e

2i−1

)

=

α

0

+

α

1

σ

2

σ

2

(1

−

α

1

) =

α

0

σ

2

=

α

0

1

−

α

1

(45)

20

2.3.2 Estimasi Model ARCH(p) Linier.

Estimasi dari model ARCH adalah berdistribusi normal menggunakan metode

maximum likelihood

. Asumsikan bahwa

e

i

berdistribusi normal.

ℓ(e

i

|

ψ

i−1

) =

1

p

2πσ

2 1

e

− 1 2

e21

σ21

.

1

p

2πσ

2 2

e

− 1 2

e22

σ22

.

1

p

2πσ

2 3

e

− 1 2

e23

σ32

...

1

p

2πσ

2 i

e

− 1 2

e2_i σ2

i

logℓ

=

log(

p

1

2πσ

2 1

e

− 1 2 e2 1

σ12

.

1

p

2πσ

2 2

e

− 1 2 e2 2

σ22

.

1

p

2πσ

2 3

e

− 1 2 e2 3

σ23

...

1

p

2πσ

2 i

e

− 1 2

e2_i σ2

i

)

logℓ

=

log(

p

1

2πσ

2 1

e

− 1 2

e21

σ12

) +

log(

1

p

2πσ

2 2

e

− 1 2

e22

σ22

) +

log(

1

p

2πσ

2 3

e

− 1 2

e23

σ32

) +

...

+

log(

1

p

2πσ

2 i

e

− 1 2

e2_i σ2

i

)

logℓ

= Σ

n i=1

log(

1

p

2πσ

2 i

e

− 1 2

e2_i σ2

i

)

logℓ

= Σ

n i=1

(

−

1

2

log2π

−

1

2

logσ

2 i

−

1

2

e

2 i

σ

2 i

)

n

= Jumlah pengamatan dari

Y

i

.

(46)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Deskripsi Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data nilai tukar rupiah terhadap

dolar Amerika tahun 2005 yang diperoleh dari Bank Sentral Republik Indonesia

melalui internet pada tanggal 28 agustus 2006 pukul 10.00 WIB dengan alamat:

http

:

//www.bi.go.id/biwb/templates/Dynamic/Kurs ID.aspx?NRMODE

=

P

−

ublished&NRORIGIN ALU RL

= %2fweb%2fid%2fIn.

Data terdiri dari dua model, yaitu model untuk nilai tukar jual dan model

nilai tukar beli. Data terlampir pada lapiran A dan B.

Adapun model yang digunakan adalah model ARCH-GARCH yang terdiri

dari dua persamaan, yaitu persamaan regresi dan persamaan varians

Peramaan regresi:

Y

i

=

γX

i

+

e

i

Y

i

= Tingkat penurunan rupiah terhadap dolar Amerika pada waktu

i.

X

i

= Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika pada waktu

i.

e

i

= Residu pada waktu

i

= 1, 2, 3, ..., 246.

Persamaan varians:

σ

2

i

=

α

0

+α

1

e

2i−1

+βσ

2

(47)

22

Data terdiri dari dua variabel, yaitu variabel

X

dan variabel

Y

. Persamaan (3.1)

menunjukkan

conditional

varians dan peramalan varians dari satu periode ke

de-pan,

σ

2

i

berdasarkan informasi masa lalu.

Conditional

varians merupakan fungsi

tiga hal, yaitu (1) rata-rata,

α

0

; (2) Volatilitas masa lalu yang diukur dari residu

kuadrat masa lalu,

e

2

i−1

dan merupakan bentuk ARCH; dan (3) varians masa lalu

σ

2

i−1

yang merupakan bentuk GARCH. Parameter-parameter yang akan diestimasi

adalah

γ,

α

0

,

α

1

dan

β. Untuk mengestimasi parameter model GARCH digunakan

perangkat lunak, yaitu

eviews.

3.2 Uji Heteroskedastisitas

Untuk menentukan adanya heteroskedastisitas dilakukan

Uji White

. Baik nilai

tukar jual maupun beli, hasilnya menunjukkan bahwa probabilitas statistik

Obs*R-Squared

sangat tinggi bila dibandingkan dengan

F

Statistik, yaitu 8,

636584

>

4,

421271 untuk nilai tukar jual, sedangkan untuk nilai tukar beli 8,

701900

>

4,

455939. Atau dapat disimpulkan bahwa residu dari model regresi yang dibuat

mengandung heteroskedastisitas.

3.3 Otokorelasi (Autokorelasi)

Untuk mengetahui apakah data otokorelasi digunakan uji

Durbin Watson (

DW

)

Statistik

. Untuk nilai tukar jual diperoleh nilai

DW

=1.626662 (mendekati dua),

maka

ρ

akan benilai nol, yang berarti tidak ada otokorelasi. Begitu juga untuk

nilai tukar beli,

DW

=1.626850. Berarti baik nilai tukar jual maupun beli tidak

ada otokorelai

3.4 Model ARCH-GARCH

Berdasarkan output pada lampiran diperoleh persamaan sebagai berikut:

per-samaan regresi dan varians untuk nilai tukar jual:

Y

i

= 481.4049371

−

0.04854932027

∗

X

i

(48)

23

σ

i2

= 888.2988 + 0.913962e

2i−1

+ 0.026251σ

2

i−1

X

i

bertanda negatif (- 0.04854932027), artinya semakin tinggi nilai tukar jual

rupiah terhadap dolar, maka semakin rendah tingkat penurunan rupiah terhadap

dolar.

Persamaan regresi dan varians untuk nilai tukar beli:

Y

i

= 432.4236279

−

0.04841952591

∗

X

i

σ

2

i

= 903.410 + 0.905105e

2i−1

+ 0.030720σ

i−2 1

X

i

bertanda negatif (- 0.04841952591), artinya semakin tinggi nilai tukar beli

rupiah terhadap dolar, maka semakin rendah tingkat penurunan rupiah terhadap

dolar.

3.5 Estimasi Parameter-parameter Dengan Estimasi

Maximum

Likeli-hood

Untuk mengestimasi model ARCH-GARCH digunakan estimasi

likelihood. Fungsi

likelihoodnya adalah:

logℓ

= Σ

n i=1

(

−

1

2

log2π

−

1

2

logσ

2 i

−

1

2

e

2 i

σ

2 i

)

Berdasarkan

output, maka diperoleh model sebagai berikut:

Estimasi

likelihood

untuk nilai tukar jual adalah sebagai berikut:

logℓ

=

−

1

2

log2(3.14)

−

1

2

log(0.026251)

−

1

2

1.113962

0.026251

=

−

20.823644

Estimasi

likelihood

untuk nilai tukar beli adalah sebagai berikut:

ℓ

i

=

−

1

2

log2(3.14)

−

1

2

log(0.030720)

−

1

2

1.095105

0.030720

(49)

24

Melalui pendekatan estimasi

maximum likelihood

parameter-parameter yang

diperoleh dapat dilihat dari tabel berikut ini:

Tabel 3.1

:

Hasil estimasi

γ,

α

dan

β

menggunakan metode estimasi

maximum likelihood

Variabel

γ

α

β

(StandaarError(SE)

Nilaitukarjual

888.2988

0.913962

0.026251

81.40337

Nilaitukarbeli

903.410

0.905105

0.030720

81.36871

Koefesien regresi yang dihasilkan ternyata untuk

γ

hasilnya paling besar

yaitu 903.410 pada nilai tukar beli sedang untuk

α

hasil yang paling besar pada

nilai tukar jual, yaitu sebesar 0.913962. Untuk

β

hasil yang paling besar adalah

pada nilai tukar jual, yaitu sebesar 0.030720, sedangkan untuk

Standart Error

yang paling besar adalah pada nilai tukar beli, yaitu sebesar 81.40337.

Dari hasil estimasi terlihat bahwa estimasi ARCH terdiri dari dua bagian,

bagian atas untuk persamaan rata-rata (mean) dan bagian bawah untuk

per-samaan varians.

α

ditunjukkan oleh koefesien ARCH, sedangkan

β

ditunjukkan

oleh koefesien GARCH. Koefesien ARCH-GARCH memberi informasi seberapa

besar pengaruh masa lalu terhadap perubahan nilai volatilitas nilai tukar.

Pa-da

output

terbawah menunjukkan sekumpulan satistik regresi yang menggunakan

residu dari persamaan rata-rata.

Jumlah parameter ARCH dan GARCH hampir mendekati satu tepatnya

0.940213 untuk nilai tukar jual, sedangkan untuk nilai tukar beli 0.935825.

Apa-bila jumlah parameter ARCH dan GARCH mendekati 1 (satu) maka volatilitas

bersifat tetap. Model ARCH-GARCH membutuhkan 198 iterasi, untuk nilai tukar

jual dan 123 iterasi untuk nilai tukar beli untuk mencapai fungsi

likelihood

yang

maksimum.

(50)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari hasil dan pembahasan di atas dapat diambil kasimpulan sebagai berikut:

1. Dari

uji white

diketahui bahwa nilai tukar jual dan beli mengandung

het-eroskedastsitas.

2. Dari

uji Durbin Watson Statistik

diketahui bahwa nilai tukar jual dan beli

tidak mengandung otokorelasi.

3. Persamaan regresi dan varians nilai tukar jual:

Y

i

= 481.4049371

−

0.04854932027

∗

X

i

σ

2

i

= 888.2988 + 0.913962e

2i−1

+ 0.026251σ

2

i−1

Persamaan regresi dan varians nilai tukar beli:

Y

i

= 432.4236279

−

0.04841952591

∗

X

i

σ

2

i

= 903.410 + 0.905105e

2i−1

+ 0.030720σ

2

i−1

i

= 1, 2, 3, ..., 246.

4. Data mempunyai varians yang stasioner, karena jumlah koefesien ARCH

dan GARCH lebih kecil dari satu, yaitu 0.940213 untuk nilai tukar jual dan

(51)

26

4.2 Saran

Model GARCH(1,1) yang dikembangkan masih terlalu sederhana yaitu data

Y

i

hanya mempertimbangkan variabel

e

i

, hal ini bisa dikembangkan lebih lanjut

misalnya dengan menyertakan data

Y

i−1

atau dengan meningkatkan derajat/orde

GARCH.

(52)

DAFTAR PUSTAKA

Asokan, M.V. Chenouri, S. dan Mahmoodabadi, A.K. 2001. ARCH and GARCH

Models. Dept Of Statistics and Actuarial Science University. Waterloo On

Canada.

Engle, Robert. 2001. GARCH 101: The Use Of ARCH/GARCH Model in Applied

Econometrics. Journal Of Econometric Presvektive, Vol.15. Num. 4.

Gujarati, D. 1995. Ekonometri Dasar. Erlangga. Ciracas, Jakarta.

Hasibuan, Nurimandjah. 1982. Pengantar Ekonometrika. Bagian Penerbitan Fakultas

Ekonomi, UGM. Yogyakarta.

Nachrowi, D.N. dan Usman, Hardius. 2006. Ekonometrika. Fakultas Ekonomi

Universitas Indonesia. Jakarta.

Pornchaiwiseskul, P. ARCH Models. Faculty Of Economics Chulalongkorn

University.

Sugiarto, Harijono. 2000. Peramalam Bisnis. PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta.

Sumargono, B. dan Laksono, Y.G. 2004. Pemodelan Volatilitas Nilai Tukar Yen

Dengan Model ARCH-GARCH. Jurnal Mat Stat, Vol. 4. No. 2.

Sumodiningrat, Gunawan. 2001. Ekonometrika Pengantar. BPFE. Yogyakarta.

Supranto, J. 2004. Ekonometrika. Ghalia Indonesia. Jakarta.