1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Nama : Zuni Eka Sari Kelas : 5b3

NPM : 1284202150

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR A. Pangkat Bilangan Bulat

1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut.

2 x 2 x 2

3 x 3 x 3 x 3 x 3 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6

Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilangan-bilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:

2 x 2 x 2 = 23 _{(dibaca 2 pangakat 3)} 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 _{(dibaca 3 pangkat 5)} 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 66 _{(dibaca 6 pangkat 6)}

Bilangan 23_{, 3}5_{, 6}6 _{disebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-bilangan} tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan berpangkat an dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut.

an =a x a x a … x a n_faktor Contoh 4.1 1. 45 _{= 4 x 4 x 4 x 4 x 4} 2. 76 _{= 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7} 3. (-3)4_{= (-3) x (-3) x (-3) x (-3)}

Berdasarkan penjelasan di atas, diperoleh sifat-sifat berikut ini. Misalkan a,b R dan m , n adalah bilangan bulat positif.

1. amx an= a m+n 2. _n m a a = am-n _{,m > n} 3. ( a m₎n _{= a} m x n 4. ( a x b )n_{= a}n_{x b}n 5. m b a       _{= , untukb ≠0}

2. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Apa yang terjadi jika m = 0 ? Dari pembahasan di atas jika dipilih m = 0, maka:

n m a a = am-n n a a0 = a0–n n a 1 = a-n

Jadi, a-n_{= atau a}n_{= dengan a ≠ 0} Contoh 4.3 1. 16-3₌ 3 16 1 2. 14-3₌ 3 14 1

Dari contoh tersebut dapat disimpulkan: Untuk a R , a  0 berlaku a-n_{= atau a}n₌

n

a

1

a-ndisebut pangkat bulat negatif.

3. Bilangan Berpangkat Nol

Telah diketahui sebelumnya bahwa an adalah bentuk perkalian a sebanyak n dimana

a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif.

Perhatikan kembali m_n

a a

= a m – n _{pada pembahasan sebelumnya. Jika diperoleh m = n} maka diperoleh :

n m a a = am – n 1 = a0 Jadi, a0_{= 1 , dengan a ≠ 0}

Untuk setiap a R, a 0 maka berlaku a0_{= 1} Contoh 4.2

1. (6)0 _{= 1}

2. (-45)0_{= 1}

B. BILANGAN PECAHAN BERPANGKAT DAN BILANGAN BERPANGKAT PECAHAN

1. Bilangan Pecahan Berpangkat

Untuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahan berpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jika a, b B, b ≠ 0, n adalah bilangan bulat positif maka:

n b a       ₌ b a x b a x b a x … b a = b bxbxbx a axaxax ... ... = _n n b a n_{faktor , jadi} n b a       ₌ n n b a Contoh 4.4 1. 3 3 2       ₌ 3 3 3 2 = 27 8 2. 4 5 4       ₌ 4 4 5 4 = 625 256

2. Bilangan Pecahan Berpangkat Bilangan n

m

a dengan a R, m dan n bilangan asli a ≠ 0 dan n ≠ 0 didefinisikan sebagai berikut n m n m a a  ,a R,a ≠ 0 ,n ≠ 0

Contoh 4.5 1. ₃ 3 2 2 6 6  2. 5 5 4 4 8 8 

D. OPERASI PADA BENTUK AKAR 1. Operasi Hitung Bentuk Akar

Dua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, maupun dikalikan.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh - contoh berikut.

1. 4 3₊4 3_{= (4+3)} 3₌7 3

2. 6 5₊3 5_{= (6-3)} 3₌3 5

Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapat dirumuskan sebagai berikut. Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlaku hubungan:

c b c a  = (a + b) cdan a cb c= (a + b) c Contoh 4.6 1. 7 7₊ 4 7_- 7 2. 5_- 6 5₊7 5 3. 3 2+4 8+7 32 4. 6 27-3 12- 7 Penyelesaian : 1. 7 7+ 4 7- 7=(7+4-1) 7= 10 7 2. 5- 6 5+7 5 =(1-6+7) 5 = 2 5 3. 3 2₊4 8₊7 32 = 3 2+ (4 x 2) 2 +(7 x4) 2 = 3 2+ 28 +28 2 = (3+8+28) 2 = 39 2

4. 4.6 7_-3 12_- 3 ₌(6 x 3) 3_-(3 x 2) 3_- 3

= 18 3-6 2- 3

= (18 - 6 - 1) 3

= 11 3

b. Perkalian Bentuk Akar

Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlaku sifat perkalian berikut.

a x b = ab

Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar. Contoh 4.7 1. 3( 23 - 5 ) Penyelesaian 1. 3( 23 - 5 ) = ( 3 (3 2 ) - ( 3 x 5 ) = 3( 3 x 2 ) - 15 = 3 6 - 15 c. Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar

Bentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapun pemangkatan bentuk akar akar didapat beberapa sifat.

1. Pemangkatan bentuk

 

pa n

 

_p n a = p _ap_ap _a...p _a = p aaa...a = p_an Jadi

 

p _{a =}n p _an

Contoh 4.8

1.

 

3 =4 _{3 = 3}4 2_{= 9} 2.

 

3 _{9 =}2 3 _{9 =}2 3 ₈₁

2. Pemangkatan bentuk dengan pangkat negative

Bentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya dengan bilangan berpangkat bilangan negatif. Sehingga:

 

_p n a  =

 

_p n a 1 = p_an 1 Contoh 4.9

 

₂ 5 3 =

 

₂ 5 3 1 = 2 ₃5 1

3. Pemangkatan bentuk (a + b )2_{dan (a - b )}2

(a + b )2_{= (a + b )(a + b ) = a}2_{+a b +a b + ( b x b )}

= a2_{+2a b +( b )}2

Jadi , (a + b )2_{= a}2_{+2a b +( b )}2

Dengan cara yang sama akan diperoleh (a - b )2_{= a}2_{-2a b + ( b )}2 Contoh 4.10 ( 3+ 3 )2_{= 3}2_{+ (2 x 3 3 +( 3 )}2 = 9 + 6 3 + 3 = 12 + 6 3 ( 3 - 5 )2_{= 4}2_{- ( 2 x 4 5 ) +}

 

₅ 2 = 16 - 8 5 + 5 = 21 - 8 5

4. Pemangkatan bentuk ( a + b )2_{dan ( a - b )}2

Pada dasarnya penyelesaian dari pemangkatan bentuk ( a + b ) 2 _dan

( a - b )2_{sama dengan penyelesaian pemangkatan bentuk ( a + b )}2_dan

( a + b )2₌

 

_{a + ( 2 x a x b )}2 2

= a + 2 a +bb

Jadi ,( a + b )2 _{= a + 2 a +bb}

Dengan cara yang sama maka akan diperoleh ( a - b )2_{= a - 2 a +bb} Contoh 4.11 ( 5 + 7 )2_{= 5+2 5 + 77} = 12+ 2 35 ( 3 - 2 )2 _{= 3 - 2 3 +22} = 5+ 2 6

2. Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan

Pada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat tersebut akan digunakan untuk mencari hubungan antara bentuk akar dengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah

 

_am n_{= a}mn

Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka p = q dengan a > 0, a ≠ 1

Perhatikan pembahasan berikut:

1. Misalkan n _{a = a jika kedua ruas dipangkatkan n, maka diperoleh :}p

 

n n _{a =}

 

_ap n  a_{= a}np  _{1 =} np  p₌ n 1 Jadi , n _{a = a}n 1

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka:

n _{a = a}n

Berdasarkan kesimpulan pangkat pecahan _an

1

, selanjutnya akan diperluas pada pangkat pecahan dalam bentuk yang lebih umum n

m

a . Untuk tujuan itu perhatikan

pembahasan berikut : n m a = m n a       1

, menggunakan sifat bilangan positif

n m

a =

 

n _a m _{, menggunakan pangkat pecahan} n _{a = a}n

1

n m

a = n _{a , menggunakan sifat pemangkatan bentuk}m

 

p _{a =}n p _an

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol,

m bilangan bulat, dan n bilangan asli n ≥ 2, maka n _{a =}m _am_n

Contoh 4.12

Ubahlah bentuk akar berikut ke dalam bentuk pangkat pecahan. a. 3 _{4 c.} 4 ₂3 b. 3 ₅3 _d. 3 ₂6 Penyelesaian : a. 3 _{4 =}3 ₂2 _c. 4 _{2 =}3 4 3 2 = 3 2 2 b. 3 _{5 =}3 3 ₅3 _d. 3 _{2 =}6 3 6 2 = 3 3 5 = _{2 = 4}2

D. MERASIONALKAN BENTUK AKAR KUADRAT

Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan tersebut.

1. Merasionalkan Bentuk

Untuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudah daripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan dari 3, yaitu dengan merasionalkan penyebut. Cara ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar :

a x b = ab

a x a = a = aa

Selanjutnya pecahan diubah bentuknya dengan memanipulasi aljabar. Contoh 4.13 3 6 = 3 6 x 3 3 = 3 3 3 6   = 3 3 6 = 2 3 Mengubah 3 6 menjadi 3 6 3

atau 2 3 disebut merasionalkan penyebut pecahan. Dari uraian diatas, dapat kita ambil kesimpulan bahwa pecahan

3

a

( a bilangan rasional dan b bentuk akar), bagian penyebut dapat dirasionalkan, dengan mengalikan pecahan tersebut dengan

b b

sehingga pecahan tersebut menjadi :

b a = b a x b b = b b a

Contoh 4.14 1. 5 12 = 5 12 x 5 5 = 5 5 12 2. 5 5 = 2 5 x 2 2 = 2 10 2. Merasionalkan Bentuk

Untuk merasionalkan pecahan yang berbentuk

c b

a

 , terlebih dahulu perhatikan perkalian pasangan bilangan



b c



dan



b c



dengan b dan c bilangan rasional dan c bentuk akar.



b c





b c



= _{b -}2 _{b c+b c-c}

= _{b - c}2

Karena b dan c bilangan rasional, maka hasil kali pasangan bilangan



b c



dan



b c



juga rasional. Pasangan bilangan



b c



dan



b c



disebut bentuk -bentuk akar sekawan atau dikatakan



b c



sekawan dari



b c



dan sebaliknya. Dengan mengunakan sifat perkalian bentuk-bentuk akar sekawan maka penyebut bentuk c b a  atau b c a

 dapat dirasionalkan dengan memanipulasi aljabar. a. Pecahan Bentuk c b a  Untuk pecahan c b a  diubah menjadi : c b a  =b c a  xb c c b   =





c b c b a   2

b. Pecahan Bentuk c b a  Untuk pecahan c b a  disederhanakan menjadi : c b a  =b c a  x b c c b   =





c b c b a   2 Contoh 4.15 1. 2 5 3  =5 2 3  x 5 2 2 5   =





2 5 2 5 3 2_  = 23 3 3 15 2. 2 3 3  = 3 2 3  x 3 2 2 3   =



₂



2 3 2 3 3   = 1 3 2 3   = -



32 3



3. Merasionalkan Bentuk c b a  atau b c a  Penyebut pecahan yang berbentuk

c b

a

 dapat dirasionalkan dengan mengunakan manipulasi aljabar yang hampir sama dengan merasionalkan penyebut pecahan yang berbentuk

c b

a

a. Pecahan Bentuk

c b

a

 Untuk pecahan pembilang

c b

a

 dan penyebut dikalikan b - c

c b a  = b c a  x b c c b   =





c b c b a   b. Pecahan Bentuk c b a  Untuk pecahan c b a

 pembilang dan penyebut dikalikan       c b a c b a  = b c a  x b c c b   =





c b c b a   Contoh 4.16 1. 2 5 4  = 5 2 4  x 5 2 2 5   =





2 5 2 5 4   = 3 2 4 5 4  2. 7 3 3  = 3 7 3  x 3 7 7 3   =





7 3 7 3 3   = 4 21 3  