Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2008 Nomor Soal: 21-30

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 3

Januari Pekan Ke-3, 2008

Nomor Soal: 21-30

21. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan        3 8 log log 16 y x y x x y Solusi: y x 16 3 8 log logxx y y 3 8 log log log log _{ } x y y x …. (1) Misalnya a y x  log log

, maka persamaan (1) menjadi:

3 8 1   a a 0 3 8 3_a2_{ a } 0 ) 3 )( 1 3 ( a a  3 1   a atau a3 a y x y x a _{ }        log log 163 1 atau a y x y x a        log log 16 3 3 1 log 16 log _ y y atau 3 log 16 log _ y y

3log16ylogyatau log16y3logy

_log

 

_16y3 _logy1 _{atau log16y logy}3

 

3 1 16y  y atau _{16y y}3 y y 1 46 3_{ atau} 0 16 3_{ y} y 46y4 1atau _y



_y2_16



_0



43_y2_1



43_y2_1



_0_{atau y(y4)(y4)0}



64_y2_1





8_y1



8_y1



_0 _{atau y0, 4}

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 8 1   y atau y0, 4 8 1 

y atauy4 (karena x0 dan y0)

8 1  y  x 16 y 2 8 1 16        atau y4 x 16 y 16

 

4 64 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah





            4 , 64 , 8 1 , 2

22. Selesaikan sistem persamaan         x z zx z y yz y x xy log log ) 2 log( log log ) log( log log ) 2 log( . Solusi:

Persamaan (1) dijabarkan sebagai berikut.

y x xy) log log 2 log(  1 log log 2 log 1 log

logx y   x y (kedua ruas ditambah 1) 1 2 log 1 log log log logx y x y   20 log ) 1 (log ) 1 (log logx y  y  (logx1)(logy1)log20

Persamaan (2) dijabarkan sebagai berikut.

z y yz) log log log(  1 log log 1 log

logy z  y z (kedua ruas ditambah 1) 1 1 log log log logy z y z  1 ) 1 (log ) 1 (log logz y  y  1 ) 1 )(log 1 (logy z 

Persamaan (3) analog dengan persamaan (2), sehingga penjabarannya adalah 20 log ) 1 )(log 1 (logx z 

Sehingga sistem persamaan semula identik dengan sistem persamaan berikut ini.               20 log ) 1 )(log 1 (log 1 ) 1 )(log 1 (log 20 log ) 1 )(log 1 (log z x z y y x

Dengan mengalikan ketiga persamaan itu diperoleh



(log 1)(log 1)(log 1)



2 log220     y z x 20 log ) 1 )(log 1 )(log 1 (logx y z 

(logx1)(logy1)log20 (logx1)(logy1)(logz1)log20 log20(logz1)log20

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 logz11

z100atau z1

(logy1)(logz1)1 (logx1)(logy1)(logz1)log20 (logx1)1log20 logx1log20 x200atau 2 1  x

(logx1)(logz1)log20 (logx1)(logy1)(logz1)log20 (logy1)log20log20

logy11 y100atauy1

Jadi, penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(200,100,100)} atau

            _,1,1 2 1 .

23. Carilah himpunan solusi dari sistem persamaan               2 log log log 2 log log log 2 log log log 16 16 4 9 9 3 4 4 2 y x z x z y z y x . Solusi: 2 log log log 4 4 2 _{x y z} 2 log log log 2 4 4 4 _{x  y z} 2 log 2 4 _{x yz} 16 2_yz x …. (1) 2 log log log 9 9 3 _{y z x} 2 log log log 2 9 9 9 _{y  z x} 2 log 2 9 _{xy z} 81 2_z xy …. (2) 2 log log log 16 16 4 _{z x y} 2 log log log 2 16 16 16 _{z  x y} 2 log 2 16 _{xyz } 256 2 _ xyz …. (3)

Hasil kali ketiga persamaan itu menghasilkan: 256 81 16 2 2 2_{yzxy zxyz   } x

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 4 4 4 4 4 4_{y z 2 3 4} x 4 3 2   xyz 24  xyz 24  xyz  _x2_yz16 24 x 16 3 2  x 24  xyz  xy2z81 24 y 81 8 27  y 24  xyz  _xyz2_256 24 z 256 3 32  z

Jadi, himpunan solusinya adalah

            3 32 , 8 27 , 3 2 .

24. Jika



x y z, ,



adalah solusi dari system persamaan berikut ini.

2 4 4 4

3 9 9 9

4 16 16 16

log log log log16

log log log log81

log log log log 256

x y z y x z z x y      _{  }   _{  } 

. Carilah nilai dari 48192

xyz . Solusi: Dafinisi: loga _{x  y x a}y Akibat 1: loga _ay_{ y} Akibat 2: alog_x a  x

Ketentuan 1: ak log_x 1 alog_x

k



Bukti:

 

1 log

log 1

log log log log

a

k k a k x

a _x a _a x a _ak _k a _x

k

  

Ketentuan 2: loga _xk _kalog_x Bukti:

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

 

log log

log log a k log a log

a _xk _a _a x _ a _ak x _ka _x Akibat 3: logaq _xp palog_x

q



Dalam logaritma didefinikan x0,y0,z0. Pada basis ini untuk 1

, 0   a

a ,

Gunakan 2log log ₂ 1 log 2 log a a a a A A A a

  untuk menuliskan kembali sistem persamaan, kita mendapatkan

2_logx 4_logy4_logz 4_log162_log 1 2_log 1 2_{log 2}

2 2

x y z 

2 2 2

2 logx logy logz 4 2_{logx yz  }2 _{4 x}2_yz24_x2_yz42_{…. (1)} 3_logy9_logx9_logz 9_log813_log 13_log 13_{log 2}

2 2

y x z 

3 3 3

2 logy logx logz 4 3_{logy xz  }2 _{4 y}2_xz34_y2_xz92_{…. (2)} 4_logz16_logx16_logy16_{log 256}4_log 14_log 14_{log 2}

2 2

z x y 

4 4 4

2 logz logx logy 4 4_{logz xy  }2 _{4 z}2_xy44 _z2_xy162_{…. (3)}

Kalikan kedua sisi dari persamaan-persamaan ini memberikan

  

4

 

2



4 4 3 2 16 9 4     

xyz , dengan x0,y0,z0, menghasilkan

4 3 2  

xyz …. (4).

Selanjutnya dari (1), (4), kita mendapatkan





3 2 4 4 3 2_{  x} 2 _{ x , analogi} dari (2), (4) dan (3), (4), kita memperoleh jawaban

3 32 , 8 27 , 3 2    y z x . 2 27 32 ₂₄ 3 8 3 xyz     48192 48192 2008 24 xyz   

25. Tentukan nilai x yang merupakan akar-akar persamaan 6 6

5 1 3 log 3 log 2 2 6  xx x. Solusi: 6 6 5 1 3 log 3 log 2 2 6  xx x 6 6 5 1 3 log 3 log 2 2 6  xx x

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 6 6 5 1 3 log 3 log 6_{log 6} ₂ x_ 6_logx ₂ x 6 5 _log

6_{log 6}3 6_{log 6}2 ₃ 16_log 6_log 2 x x x  _{ } _      6 6 6 2 5 1

3 log 3 log log

2 x x 2 x

   

Misalnya 6_{log x y, sehingga} 2 5 1 3 3 2y y 2y     2 6 5y 6y y     2 _{6 0} y   y



y3



y2



0 3 y  atau y  2

6_{logx 3atau} 6_{logx  2} 216

x  atau 1 36

x 

26. Jika akar-akar persamaan





3log 2 3log

3 6 1 1 x x x p x p x x

    adalah a dan b dengan

a b , maka nilai a .... b  Solusi:





_3log 2 3log 3 6 1 1 x x x p x p x x    



_p1



_x6 6log x_px3 3log x_1 Misalnya _x3 3log x _{ , sehingga y}



_p1



_y2_{py  1 0}



y1

 

_ p1



y 1_ 0 1 1(diterima)atau (ditolak) 1 y y p     3 3logx ₁ x  1atau 3 3log 0 x  x 1 1atau 3 3log 0 10 x  x  x  Sehingga _{a1danb10}1

7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 Jadi, 1₁ 10

10

a

b  

27. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan









34

log log

15 log log log5 log3

x y x y a a a a x y x y x y    _{   }    _{  }  Solusi:









34 log log 15 x y _{x y }x y _{x y }





1

_

_

34 log 15 log x y x y x y x y      

Misalnya _px y log



_{x y}



_{, sehingga} 1 34 15 p p   2 15p 34p15 0



5p3 3



p  5



0 3 5 5 3 p   p





3 log ....(1) 5 x y _{x y }





5 log ....(1) 3 x y _{x y }

log log log5 log3 a _xa _y a _a 5 log log 3 a x a y  5 3 x y  3 5 x y  .... (3)

Dari (1) dan (3) diperoleh 3 5 _log 3 3 5 5 x x x x  _{ }       8 5 _log2 3 5 5 x x 

8 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 2 log ₃ 5 8 ₅ log 5 x x  log 2 log5 3 log8 log5 5 x x  _ 

5log 2x5log5 3log8 x3log5

 

3

 

5

log 8x log 2x 3log5 5log5 9 3 5 5 2 log 2log5 2 x x   2 16 1 log log 25 x  2 16 1 25 x  2 _{16 25} x   16 25 20 x      3 20 20 12 5 x  y   (diterima)





3 20 20 12 5 x   y    (ditolak) Dari (2) dan (3) diperoleh

3 5 _log 3 5 5 3 x x x x          8 5 _log2 5 5 3 x x  2 log ₅ 5 8 3 log 5 x x  log 2 log5 5 log8 log5 3 x x   

3log 2x3log5 5log8 x5log5

 

5

 

3

log 8x log 2x 5log5 3log5 15 5 3 3 2 log 2log5 2 x x  12 2 log 2 x log 25

9 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 12 2 2 x 25 2 12 25 2 x  12 6 25 5 5 64 2 2 x       5 3 5 ₆₄ 3 64 5 64 x y      (diterima) 5 3 5 64 3 64 5 64 x y _            (ditolak)

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah



20,12 ,



5 3, 64 64

  

  

 

 

28. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan log 6 log 5

2log log log

x _y y _x x y xy         Solusi:

2logxlogylogxy.... (1) log 6 log 5 x _y y _x 6 log 5 log x x y y  

Misalnya logx _{y a , sehingga} 6 5 a a   2 _{5 6 0} a  a 



a2



a  3



0 2 3 a   a 2 log 2 ....(2) x _{y  y x} 3 log 3 ....(3) x _{y  y x}

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2 2

2logxlogx logx x 2 4log x3logx





logx 4logx 3  0 3 4 4 3

log 0 1(ditolak) log 10 1000(diterima) 4

10 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 2 3 3 3 4 4 2 10 10 10 1000 x  y _ _    

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh

3 3

2logxlogx logx x 2 6log x4logx





2log 3logx x 2  0 2 3 3 2

log 0 1(ditolak) log 10 100(diterima) 3 x  x  x  x  3 2 2 2 3 3 10 10 10 100 x  y _ _    

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah





4_{1000, 1000 , 100,100}

 

3





29. Tentukan nilai x dari persamaan

1 6_log 6_log 2_x x_42_x x_19_. Solusi: 1 6_log 6_log 2_x x_42_x x _19 6_log 6_log 2_x x_42_x x _19 Misalnya _{y x} 6log x_{, sehingga}

1 2y42y 19 2 2y 42 19 y 2 2y 19y42 0



2y7



y6



 0 7 6 2 y   y 6_log 7 6_log 6 2 x x x  x  6 6

6_log log 6_log7 6_log log 6_{log 6} 2

x x

x   x 

6_log2 6_log7 6_log2 ₁ 2

x  x

6_log 6_log7 6_{log 1} 2 x   x  6_log7 1 2 6 6 x   x 

11 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 6_log7 6_log7 2 2 1 2 3 4 1 6 6 6 6 x  x   x  x 

30. Tentukan nilai x dari persamaan  





1 2 2

1 _{log 1 1log8} log 5 log 2 log 2,5 x _{x x }  _. Solusi:  1

_

_

1₁ log 5 log 22 2 log 1 log8 log 2,5 x _x x  _{   } 

 1_log

_

₁

_

log8



log5 log 2 log5 log 2





1 _{log 2,5} log 1 x _x x  _{  }     

_

_











1 log8 log10 log 2,5

log 1 1 log 1 _{log 2,5} 2 x x x  _{  }    1

_

_

 1 log 1 log8 2 x x x  _{ }  _ x1_log8

_

_{x  1}

_

₂



 



2 8 x 1 x1 2 8x 8 x 2x 1 2 _{6 9 0} x  x 





2 3 0 x   3 x 