4 Departemen Statistika FMIPA IPB

Suplemen Responsi Pertemuan

ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351)

4

Departemen Statistika – FMIPA IPB

Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Referensi Waktu

Uji Hipotesis Tiga

Contoh atau Lebih  Uji Friedman (analisis ragamdua-arah berdasarkan peringkat)

 Perbandingan berganda hasil uji Friedman Applied Nonparametric Statistic Daniel (1990) Jumat 22 Okt 2010 15.30 – 17.30

Kelengkapan: Tabel Khi-Kuadrat, Tabel koefisien konkordansi Kendall, Tabel Normal

Uji Friedman

Uji Friedman merupakan metode nonparametrik yang digunakan untuk rancangan acak kelompok lengkap. Tujuan uji Friedman adalah untuk melihat ada atau tidaknya perbedaan pengaruh antar perlakuan. Ketika pengaruh perlakukan-perlakuan memiliki pengaruh yang berbeda, respon dari subjek yang diberi suatu perlakuan akan memiliki median yang sama dengan respon dari subjek yang diberi perlakuan lainnya, setelah pengaruh pengelompokkan peubah dihilangkan. Sehingga, uji ini analog dengan dengan prosedur parametrik analisis ragam dua-arah. Rancangan data untuk uji Friedman ditampilkan dalam tabel di bawah, di mana baris mewakili kelompok dan kolom untuk perlakuan. Istilah perlakuan memiliki makna yang luas, misalnya status social ekonomi atau latar belakang pendidikan.

Tabel : Rancangan untuk uji Friedman Kelompok Perlakuan 1 2 _{ } k 1 X11 X12   X1k 2 X21 X22   X2k        b Xb1 Xb2   Xbk R1 R2   Rk

Ada perbedaan dalam hal pemeringkatan antara uji Kruskal-Wallis dan uji Friedman. Dalam uji Kruskal-Wallis pengamatan-pengamatan dari seluruh contoh yang telah digabungkan akan diperingkatkan relatif satu sama lain. Namun pada uji Friedman pengamatan-pengamatan dalam setiap kelompok diperingkatkan secara terpisah, sehingga setiap kelompok akan memiliki gugus data peringkat, dengan k adalah banyaknya perlakuan.

Asumsi

a. Data terdiri dari b kelompok yang saling bebas dengan ukuran k perlakuan b. Peubah yang diamati bersifat kontinu

c. Tidak ada interaksi antara kelompok dan perlakuan

d. Pengamatan dalam setiap kelompok dapat diperingkatkan berdasarkan besarnya Hipotesis

H0 : M1= M2=  = Mkatau k perlakuan memiliki median yang sama

H1 : Ada minimal satu Mi≠ Mjdimana i ≠ j dan i, j = 1, 2, …, k

Statistik Uji

Statistik uji Friedman dapat ditentukan melalui prosedur berikut :

1. Urutkan pengamatan-pengamatan dalam setiap kelompok secara terpisah,

2. Jika terdapat ties (nilai yang sama) dalam kelompok, beri peringkat tengah (mid-rank)

3. Statistik uji Friedman dapat diperoleh melalui rumus :









2 2 1

1 2

3

1

1

k r j j

R

b k

b k k















atau









2 2 2 1 2 2 1 2 3 1 1 k j j R b k k W b k k     



di mana 2 ( 1) r W 



b k

Apabila ada ties maka







 



2 2 1 2 2 3

12

3

1

1

k j j

R

b k k

W

b k k

b

t

t









    



Uji W digunakan jika : k = 3 dan b ≤ 15

k = 4 dan b ≤ 8 k = 5 dan b ≤ 3 Catatan b : banyaknya kelompok

k : banyaknya perlakuan

Ri : jumlah peringkat perlakuan ke-i

t : banyaknya pengamatan yang bernilai sama (ties)

Kaidah Keputusan

Jika b dan k kecil, tolak H0jika W lebih besar atau sama dengan Wtabel (tabel koefisien

konkordansi Kendall, A.14). Selainnya, jika b dan/atau k tidak tercantum dalam tabel A.14, tolak H0 jika



r2b k( 1)Wlebih besar atau sama dengan nilai

2 (1)



 dengan

Contoh1_:

Di bawah ini adalah data jumlah korosi berbagai jenis logam pada tiga jenis segel. Selidiki dengan Uji Friedman apakah ketiga jenis segel mempunyai kemampuan menahan korosi yang berbeda (gunakan taraf nyata 5%).

Logam Segel A B C 1 21 23 15 2 29 30 21 3 16 19 18 4 20 19 18 5 13 10 14 6 5 12 6 7 8 18 12 8 26 32 21 9 17 20 9 10 4 10 2

Hipotesis : H0 : Ketiga jenis segel mempunyai kemampuan menahan korosi yang sama

H1 : Minimal ada satu jenis segel yang mempunyai kemampuan menahan

korosi yang berbeda dengan jenis segel lainnya Statistik Uji : Logam Segel A B C 1 21 2 23 3 15 1 2 29 2 30 3 21 1 3 16 1 19 3 18 2 4 20 3 19 2 18 1 5 13 2 10 1 14 3 6 5 1 12 3 6 2 7 8 1 18 3 12 2 8 26 2 32 3 21 1 9 17 2 20 3 9 1 10 4 2 10 3 2 1 RA 18 RB 27 RC 15

Dengan menggunakan rumus di peroleh :





















2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 8 2 7 1 5 3 (1 0 ) 3 3 1 0 . 3 9 1 (1 0 ) ( 3 ) 3 1 k j j R b k k W b k k    _{   }     



1_{Sumber : Irawan, N & Astuti S.P. 2006. Mengolah Data Statistik dengan Mudah Menggunakan Minitab 14. Yogyakarta :} Penerbit Andi.

Tabel A.14 dengan k=3 dan b=10 menunjukkan peluang untuk mendapatkan sebuah nilai W yang sama besar atau lebih besar dari 0.39 ketika H0 benar adalah sebesar 0.018.

Konsekuensinya, H0 ditolak pada taraf nyata 5% sehingga dapat disimpulkan bahwa tiga

jenis segel tidak mempunyai kemampuan menahan korosi yang sama. Dengan menggunakan pendekatan khi-kuadrat, nilai 2

r



yang ekuivalen dengan W=0.39 adalah

2

10(3 1)(0.39) 7.80

r



   . Berdasarkan Tabel A.11, 2

( .05, db=2)

5.991







. Karena 2 2 ( .05, db=2) r 







_ , H0ditolak. Output MINITAB :

Friedman Test: Korosi versus Segel blocked by Logam

S = 7.80 DF = 2 P = 0.02 Sum of Segel N Est Median Ranks A 10 16.167 18.0 B 10 19.833 27.0 C 10 13.500 15.0 Grand median = 16.500

Prosedur Perbandingan Berganda untuk Uji Friedman

Ketika uji Friedman memberikan penolakan terhadap H0, yang artinya ada sepasang

perlakuan yang mempunyai pengaruh berbeda terhadap respon, biasanya kita tertarik untuk menyelidiki lebih lanjut mengenai di mana perbedaan tersebut berada. Untuk itu diperlukanlah suatu prosedur perbandingan berganda yang konsisten untuk dapat digunakan bersama dengan uji Friedman. Hipotesis yang diuji adalah :

H0: Mi= Mj

H1: Mi≠ Mjdimana i ≠ j

Ketika kita membandingkan semua kemungkinan pasangan perlakuan pada taraf nyata α, dan banyaknya kelompok adalah besar, kita dapat menyatakan Ri dan Rj berbeda nyata

apabila :  





1

1

|

|

6

i j k k

b k k

R

R

_ 





 

Misalnya pada contoh di atas, kita mempunyai α=0.05, b=10, k=3, dan dari tabel normal (A.2) kita peroleh Z0.008332.39. Sehingga kita peroleh :

10(3)(3 1)

2.39

10.688

6



_

0.4917 0.00833 Z0.00832.39 0.00

Jumlah peringkat adalah RA=18, RB=27 dan RC=15, sehingga :

|RA– RB| = 9 |RA – RC| = 3 |RB– RC| = 12

Dapat kita simpulkan bahwa segel jenis B dan segel jenis C mempunyai kemampuan menahan korosi yang berbeda (|RB – RC| = 12 > 10.688), sedangkan pasangan jenis segel

lainnya sama.

Tambahan :

Uji Durbin

Biasanya digunakan untuk rancangan acak kelompok tidak lengkap seimbang Asumsi :

a. Kelompok saling bebas satu sama lain

b. Pengamatan masing-masing kelompok dapat diperingkatkan sesuai dengan besarnya.

Hipotesis :

H0: M1= M2= ...= Mk

H1: ada minimal satu Mi≠ Mjdimana i ≠ j

Prosedur :

1. peringkatkan untuk setiap kelompok 2. R = jumlah peringkat tiap perlakuan Statistik uji :







 



1





 





1 2

1

3

1

1

1

1

1

t j j

t

r t

k

T

R

r t k

k



k



















Dimana t = banyaknya perlakuan r = banyaknya ulangan k = banyaknya subjek per blok Kaidah keputusan :

Uji Cohran untuk Pengamatan Berhubungan Asumsi :

a. Data yang dianalisis terdiri dari respon dari r kelompok untuk perlakuan yang saling bebas.

b. Respon 1 untuk sukses dan 0 untuk gagal

c. Kelompok dipilih secara acak dari populasi dari semua kemungkinan kelompok.

Hipotesis :

H0: Perlakuannya mempunyai pengaruh yang sama

H1: Perlakuan tidak semuanya mempunyai pengaruh yang sama

Statistik uji :

Derajat bebas = c – 1. Hilangkan kelompok yang terdiri dari hanya 0 atau hanya 1 saja.













       _r i i c j j R cN N c C c c Q 1 2 2 1 2 1 1 Kaidah keputusan :

Dengan melihat tabel Khi-Kuadrat (A.11) maka terima H0 saat nilai Q berada diantara dua

taraf selang kepercayaan.