ART Liek Wilardjo Bintik catu Full text

(1)

BINTIKC4TU Liek Wilardjo

::,.

.·

Ｚｾ［ｊ＠

BINTIK CATlJ

- .... ,:<;... Ｇｲｴｾ＠

ｾｾｾｾ＾＠

····'

$

ＮﾷﾷﾷｾﾷＮＬ［ＺＺｾｾＩ＠

..

.··· '\ \.V'

Liek Wilardjo

Program Studi Teknik Elektro, Fakultas Teknik Elektronika dan Komputer- UKSW

Jalan Diponegoro 52-60, Salatiga 50711

ABSTRACT

One-dimensional square potential well is used as a model

for quantum dots. Its Schroedinger's equations and their

solutions - both eigenstates and eigenenergies - for he

lowest three levels are explained qualitatively and derived

mathematically.

1.

PENGANT AR

University Physics susunan Young dan Freedman (2008) dinyatakan oleh penerbitnya

sebagai buku teks laris nomor wahid. Pernyataan itu tidak berlebihan, sebab sebagai buku

teks Fisika untuk mahasiswa S-1 bertahana "tama" (freshman) dan "muda" (sophomore),

buku Y & F itu memang komprehensif, ringkas, bernas, dan jelas. Penjelasannya

diberikan· baik secara kuantitatif-matematis, maupun secara kualitatif-konseptual.

Contoh-contoh soalnya diselesaikan dengan lebih dulu menegaskan apa-apa yang

diketahui dan menggariskan siasat yang hendak ditempuh.

Tetapi karena terlalu tajam (succint)nya, ada bagian-bagian yang rincian penurunan

matematis (dan/atau grafis)nya tidak diberikan, misalnya pada pokok bahasan potensial

sumur persegi (square-well potential) dengan potensial yang anta (finite) [Y & F, p.

(2)

E

｛ｾＩ＠ (,'

-

--- r

-£3 5.09

£2

2.-n

£1 0.625 ....

ｾ＠

-a/2 () _a/2

Gambar 1 : Uo = 6Eoo

Artike1 ini mengisi bagian yang nunpang itu. Untuk

memudahkan mencari eigentenaganya secara

matematis-grafis, kita mengikuti Eisberg ( 1961 )

dengan menggeser sumbu ordinat (tenaga, dalam

x Uo Er/), di Gb.l) ke tengah, sehingga dinding kiri dan kanan sumur itu setangkup terhadap sumbu

tersebut. Di sini Uo ialah tenaga potensial, sedang E

=

ffln

2/2ma2 ialah tenaga dasar zarah di dalam

kotak. Lebar sumur itu, yang dalam Y & F dinamai

L, di sini dinyatakan dengan a, sehingga dinding-dinding kiri dan kanan sumur itu posisinya

berturut-turut di x

= -

(:'J a dan x

=

+ L7 a, di sumbu absisa.

Untuk Uo = 6 Er/), Y & F memberikan ketiga aras tenaga yang terendah, yakni-dalam Eoo -£1 = 0,635,£2 = 2,43, dan £3 = 5,09 (Gambar 1).

2. PERSAMAAN SCHROEDINGER DAN EIGENKEADAAN

Kalau H ialah pengandar

(operator)

Hamilton,

If/

ialah eigenfungsi atau

eigenkeadaan,

danE

ialah eigentenaga, persamaan Schroedinger kita tulis:

Hlf/ = Elf/.

2

Untuk soal ekamatra, H

=

P

2

/2m

= ,

11 d

2 ,

dan eigenfungsinya

lf/(X).

Maka di

-111 dx

kiri dan kanan sumur:

( 1)

2

d If/ - 2m (U - E) w = 0 .

2 2

°

,.

'

dx ;,

sedang di dalam sumur

d21f/

+

2mE w

=

_{0 .}

J J ,. ' dx-

;,-(2)

Penyele

dengan

sedang

dan

dengan

Indeks

L, 1

dengan dit

Bahwa

memasukll

penyelesai

G

=

0, seb

dan

Penye

[image:2.612.42.498.53.725.2]

(3)

secara

( 1961)

dalam

sumbu

sedang E

oa

Penyelesaian persamaan (2) ialah fungsi sinusoida:

(3) lf/.₁₁=A sin ktx

+

B cos ktx ;

dengan

(4)

BINTIKCATU Liek Wilardjo

sedang penyelesaian persamaan ( 1) ialah fungsi eksponensoal :

(5) If' L = _ e

( , k2x (-, -k2x

+

1 e , x::;-1a

dan

(6)

dengan

lndeks L, M, dan R pada If' berturut-turut-turut menandai daerah kiri, tengah, dan kanan, dengan dinding-dinding di x =

+

1a sebagai batasnya.

Bahwa ( 3 ), ( 5 ), dan ( 6) secara matematis benar, mudah diverifikasi dengan

memasukkannya ke dalam persamaan diferensialnya masing-masing. Tetapi secara fisis

penyelesaian-penyelesaian itu harus tetap anta bila x ｾ＠ ± oc, pun! Karena itu haruslah F = G = 0, sehingga

dan

(6.a) lf/R=De

-k2x

,

Penyelesaian-penyelesaian (3), (S.a), dan (6.a) dan turunan pertamanya juga harus

malar (continuous) di batas-batas daerah. Tegasnya,

If/ L _=If/_M If!' L

=

lfl' _M

x=-la

x=-1a

2 2 2

lf/M =If/ R lf/'M

=

lfl' _R

x=-la

x=--a

l

x=-la

(4)

(8) Ce-(k2al 2) =-Asin(kla12)+Bcos(klal2) (9) _{k2 C e-(k2a/}2) = ki{A cos(kta12)+B sin(k1al2)} (10) A sin (ktai2)+B _cos(k1a12)=De -(k2a/2)

(11) k1

{A

cos (k1a I 2)-B sin(k1a I 2)}= _{-k2D e -(k2a I}2>

yang dapat diselesaikan secara simultan.

Dari ( 1 0)-(8) kita peroleh

(12) (D-C) e-(k2a/ 2) = 2A sin(k1al2) dan dari ( 10)

+

(8) :

(13) (D+C)e-(k2a/ 2 ) =2Bcos(k1al2),

sedang dari (9)- ( 11) kita dapatkan

( 14) _{k2(D+C) e-(k2a/}2) = 2k1B sin(ktal2) , dan dari (9) + ( 11) :

(15) -k2(D-C) e-(k2a/ 2 ) = 2k1 cos(ktal2).

Asalkan B =F 0 dan (D

+

C) =F 0 , ( 14) dapat dibagi dengan ( 13 ), dan hasilnya ialah

(16)

k.2

= kt tan(kta/2) .

AsalkanA :f= 0 dan (D-C) :f= 0, (15) dapat dibagi dengan (12). dan hasilnya ialah

( 17) -k2 = kt cot(kla/2).

Dengan reductio ad absurdum (yang juga disebut reductio ad impossibile), dapat

dibuktikan bahwa ( 16) dan ( 17) tidak dapat dipenuhi kedua-keduanya secara bersama,

sebab- seandainya bisa - maka ( 16)

+ (

17) akan memberikan :

0 = ki{tan(k1a/2)

+

cot(kla/2)}

Kalikanlah ini dengan tan(kta/2), maka hasilnya ialah :

0 = kt{tan2(kta/2)

+

1}

a tau

tan\k1a/2) = -1

yang "absurd'' atau mustahil, sebab k1 dan a kedua-keduanya nyata.

Jadi, pe

kategori.

Kategori l :

sehingga

a tau

dan (3), (5.

Kategori 2:

dan (3), (5

3c

2-ｴｾ＠

3. EIGE

Dari s

(5)

}

/2)

), dapat

BINTIKC4TU Liek Wilardjo

Jadi, penyelesaian persamaan Schroedinger ( 1) dan (2) terpi1ah ke dalam dua

kategori.

Kategori 1 : k1 tan(kla/2) = k2, A= 0, (D-C')= 0 sehingga (l 0) menjadi

a tau

dan (3), (S.a) dan (6.a) menjadi:

(18) !JI (x)

/

Bcos (k

₁

a/2)

/k2a 12l/k2x),

= ｾ＠ Bcos(ktx), -a/2 :S x :S a/2

Bcos (k

1a/2) e<k2al 2 )e-(k2x),

xs-a/2

x"C.a/2

Kategori 2: k1cot(ktal2) = -k2, B = 0, (D

+

C') = 0

dan (3), (S.a) dan (6.a) menjadi :

/ -Asin(k₁al2)e(k2al 2)e(k2x), xsa/2

!JI(x) = ｾ＠ A sin(k1x), -a/3 :S x :S a/2

Asin(k1a/2)e(k2a/ 2 )e-(k2x), x"C.a/2

(19)

3 £3 Tampak dari (18) bahwa lf/u adalah

fungsi genap (yakni kosinus), dan dari (19)

2 £2 bahwa !JI.\I adalah fungsi gasal (yakni sinus).

£1 Gam bar 2 memperlihatkan

eigenfi.mgsi-1

X _{eigenfungsi itu.}

[image:5.612.34.463.237.615.2]

- a/2 a/2

Gambar 2

3. EIGENTENAGA

Dari syarat untuk Kategori 1, yakni persamaan (16) dengan memakai kt dan k2

(6)

Kalau

'V

I

mU

0

a

2

In

2

=

R,

dan ruas kiri dan ruas kanan kita namakan ｱＨｾＩＬ＠ maka: (16.a) q(r;) =

ｾｒ

Ｒ＠

Ｍｾ

Ｒ＠ =;tan;

Ruas kiri dan tengah dari (16. a) dapat ditulis sebagai ; 2

+

IT

= R2 yang - karena ｾ＠ > 0 dan 17 > 0 - grafik ( 17 versus ; )-nya berupa seperempat lingkaran di kuadran-1, dengan pusat di titik asal 0 dan ruji (radius) R. Ruas kiri dan kanan dari ( 16.a) ialah fungsi '7 = ; tan; yang grafiknya nol di ｾ＠

=

0 dan di JT ( =3, 14) rad, dan naik, mula- mula landai

tetapi lalu makin terjal, secara asimtoti

menghampiri sumbu x = Jd2 (= 1,5

a tau

Ruasl

rad, dan o

secara asi1

diberikan

bersanglaJ

5-rad) dan sumbu

x

=

3x/2

(= 4,71 rad

4-lt 2

ＱｾＲＴ＠ tr • . ｾＮＸＵ＠t 4

ｾａｳ＠

Gamhar :i

5 6 7 8

Perpotongannya dengan kurv

seperempat lingkaran tadi memberika

titik-titik dengan absisa

;t

dan

;.1

yan

bersangkutan dengan eigentenaga 1

dan £3. (Lihat Gambar.3 ).

Dari

［］ｾｭｅ＠

a

2

1211

2

ｾ＠

E

=

(211

2

I

ma

2

)

ｾ

Ｒ

Ｌ＠

atau

I , .., "I .., ..,

I ..,

..,

.

£=(4 JT-)(JT-17- Ｒｭ｡ＭＩｾｽ＠ =(4 ｊｔＭＩｅｸ［ＮｾＭ yanguntuk(f.:,=6£et:>,membenkan E

=

(4/;) (Uo/6)

e.

Gb.3 memberikan ｾｾ＠ = 1,24 dan ;3 = 3,55, sehingga £1 = 0,104 Uo

dan £3

=

0,848 Uo

Dari syarat untuk Kategori 2, yakni persamaan ( 17), diperoleh :

ｾＭ

2-

[image:6.612.46.499.102.695.2]

(7)

secara asi

X = ;r/2 (=

3x/2 (= 4,71

dengan

ｾｾ＠ dan

.;1

eigentenaga

a tau

( 17.a)

BINTIKC4TU

Liek Wilan{jo

Ruas kiri dan kanan persamaan ini ialah 17 ］ｾ｣ｯｴｾ＠ yang grafiknya nol di ;r/2 (=1,57)

rad, dan naik, mula-mula landai tetapi lalu terjal, menghampiri sumbu

x

=

;r (= 3,14) rad

secara asimtotis. Perpotongannya dengan kurve seperempat lingkaran di kuadran 1 yang

diberikan oleh ruas kiri dan tengah persamaan ( 17.a) ialah titik dengan absisa ｾ＠ 2 yang

bersangkutan dengan eigentenaga £2 (lihat Gambar 4).

5-

2-

1-1 2

7r 2

Ａ｝ｻｾＩ＠

3 : ｾ＠ 5 6 7 8

3.85

Gamhar 4

R

=

ｾｭｕ

Ｐ

｡

Ｒ＠ I 2n2 , yang untuk Uo

=

6 E""

Dari Gambar 4 diperoleh ｾ＠ 2

=

2,45,

sehingga eigentenaganya , £2

=

0,405 lf.). Dalam Gambar3 dan

Gambar4:

=

ｾｭＨＶｅ

ＰＰ

Ｉ｡

Ｒ＠ 12n2

］ｾＶＨｭ｡

Ｒ＠ 12n2)(;r2n2 12nu.12)

(8)

(energy level diagram) di Gb.l, dengan tenaga

E

yang dinyatakan dalam

Eao

sebagai

ordinat.

4. WASANAKATA

Seperti disebutkan dalam Y & F {p.l384 ), salah satu terapan model potensial sumur

persegi ini ialah bintik catu (quantum dots), yakni zarah-zarah berukuran nanometer dan

bahan semipenghantar, seperti kadmium-selenida (CdSe). Bila bintik-bintik catu disinari

dengan foton ultraungu, elektron-elektronnya menyerap tenaga foton itu dan terteral

(excited) ke aras-aras tenaga yang tinggi, misalnya aras ketiga. Kemudian elektron itu

kembali ke aras tenaga dasar secara beriam (cascading), ke aras ke dua dulu, lalu dari

sana ke aras pertama. Salah satu langkah itu dibarengi dengan dipancarkannya foton

cahaya kasatmata, yang disebut pendaran-fluor (fluorescence). Bintik-bintik catu dapat

disuntikkan ke jaringan hidup dan pendaran-fluornya dipakai sebagai perunut (tracers)

untuk penelitian biologi dan biomedis. Bintik catu dapat menjadi kunci perancangan laser

dan komputer ultracepat generasi baru.

Pernah ada usulan untuk RUTI (Riset Unggulan Terpadu Internasional) untuk

merancang dan memproduksi bintik-bintik catu guna memetakan agihan suhu di

bagian-bagian tubuh tertentu, dalam pendeteksian tumor di bidang Onkologi.

ACUAN

I. Eisberg, Robert M. : Fundamentals of Modern Physics, John Wiley & Sons, New

York, 1961, p.239 -45

2. Young, Hugh D. & Roger A Freedman: Sears and Zemansky's University Physics

{lih ed.) Addison-Wesley, San Francisco, 2008, p.1382-4

Sistem ｾ＠

menjadi

Sistem i

Sehingg

penamb;

ｨｵ｢ｵｮｧｾ＠

.Kata k1

1.

GA1

spesifila

diletakk

Spesifik

paket d

kapasita

pengm11

cepat d