La Intersecci´
on Arbitraria de una Familia de
Subconjuntos Abiertos con la Propiedad
α
-S-Localmente Finita es
α
-Semiabierta
The Intersection of an Arbitrary Family of Open Subsets
with the
α
-S-Locally Finite Property is
α
-Semi-Open
Carlos Carpintero
(ccarpi@cumana.sucre.udo.edu.ve)Ennis Rosas
(erosas@cumana.sucre.udo.edu.ve)Departamento de Matem´aticas. Universidad de Oriente. N´ucleo de Sucre.
Cuman´a. Venezuela.
Resumen
En este trabajo buscamos condiciones necesarias y suficientes para que la intersecci´on arbitraria de conjuntos abiertos seaα-semiabierta. Palabras y frases clave: α-semiabierto, propiedadα-SLF, operador
estrella.
Abstract
In this work we look for a necessary and suficient condition in order that the arbitrary intersection of open sets isα-semi-open.
Key words and phrases: α-semi-open,α-SLF property, star
opera-tor.
1
Introducci´
on
Despu´es de los trabajos de Levine [4], una gran cantidad de matem´aticos cen-traron su atenci´on en la generalizaci´on de conceptos topol´ogicos, considerando conjuntos semiabiertos en lugar de los conjuntos abiertos usuales. La noci´on de operador fu´e introducida posteriormente por Kasahara en [1]. Rosas y Vielma en [2] introducen el concepto de conjunto α-semiabierto, el cual ge-neraliza las nociones anteriormente citadas y observaron que la intersecci´on
de dos conjuntosα-semiabiertos no es necesariamenteα-semiabierta. En este trabajo se plantean ciertas condiciones a un operadorαpara obtener condicio-nes necesarias y suficientes para que la intersecci´on (resp. uni´on) arbitraria de conjuntos abiertos (resp.cerrados) sea α-semiabierta (resp. α-semicerrada).
2
Operadores asociados y conjuntos
α
-semiabiertos
A continuaci´on daremos una serie de definiciones y teoremas que son nece-sarios para el desarrollo del trabajo. P(X) denotar´a la familia de partes del conjunto X.
Definici´on 1 ([2]). Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico. Una funci´onαdeP(X) en P(X) se dice que es un operador asociado con Γ si satisface la siguiente propiedad: U ⊆α(U) para todoU ∈Γ.
Observemos que el dominio de un operador es todoP(X) y no solamente los conjuntos abiertos, como originalmente lo define Kasahara en [1].
Ejemplo 1. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico. Entoncesα, β:P(X)→P(X) dados por α(A) = A, β(A) = cl(A) para todo A ∈ P(X) son operadores asociados a Γ en el sentido de la definici´on anterior, denominados identidad y clausura respectivamente.
Ejemplo 2. Sean X ={a, b, c}, Γ = {∅, X,{a},{b},{a, b}}y α: P(X) → P(X) dado por α(A) =f r(A)c
para A∈P(X). Entoncesαes un operador asociado a Γ.
Observe que: α(A) =
X siA∈ {∅, X},
{a, b} siA∈P(X)− {∅, X}.
Ejemplo 3. Sea Rcon la topolog´ıa usual, Entonces α:P(R)→ P(R) dado por:
α(A) =
A si 0∈A cl(A) si 0∈/ A6=∅ {1} siA=∅ es un operador asociado a la topolog´ıa usual de R.
Definici´on 2 ([2]). Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador aso-ciado con Γ. Un subconjunto AdeX esα-semiabierto si existe un conjunto abierto U ∈ Γ tal queU ⊆A ⊆ α(U). Un subconjunto A de X se dice α
-semicerrado si el complemento deAes un conjuntoα-semiabierto. α-SO(X) denotar´a la colecci´on de todos los conjuntos α-semiabiertos deX.
Definici´on 3. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico yαun operador asociado con Γ. Decimos que un subconjunto AdeX es unaα-semivecindad de un punto x∈X,si existeO∈α-SO(X) tal quex∈O⊆A.
Observemos que la definici´on 2 generaliza la noci´on de conjunto semi abier-to dado por Levine en [4], en el sentido que los conjunabier-tos semiabierabier-tos seg´un Levine son conjuntos clausura semiabiertos. Cuando el operadorαes la iden-tidad, entonces los conjuntos α semiabiertos son justamente los conjuntos abiertos. Adem´as para un operador αarbitrario todo conjunto abierto esα -semiabierto, esto es, Γ⊆α-SO(X). Observemos tambi´en que la definici´on 3 generaliza la noci´on usual de vecindad de un punto, ya que cuandoαes el ope-rador identidad, la definici´on anterior coincide con la definici´on de vecindad. Tambi´en podemos notar que cuando αes el operador clausura, la definici´on anterior coincide con la definici´on dada en [3].
Cabe destacar que en general la intersecci´on arbitraria de una familia de conjuntosα-semiabiertos (resp. abiertos) no necesariamente esα-semiabierta (resp. abierto). Los ejemplos siguientes ilustran ciertas situaciones interesan-tes.
Ejemplo 5. Anteriormente observamos que Γ⊆α-SO(X). Veremos que en general la inclusi´on es estricta. SiX ={a, b, c}, Γ ={∅, X,{a},{b},{a, b}}y αes el operador clausura asociado a Γ, entoncesA={a, c} esα-semiabierto, pues {a} ⊆A⊆α({a}), peroA /∈Γ.
Ejemplo 6. Con respecto al operador descrito en el ejemplo 2, observe que α(∅) = X, luego P(X) =α-SO(X), en este caso A = {a, c} y B = {b, c} est´an en α-SO(X), peroA∩B={c}∈/ Γ, asi la intersecci´on de conjuntos α semiabiertos no es abierta.
Ejemplo 7. En relaci´on al ejemplo 3, n´otese que {(−1/n,1/n) : n ∈ Z+} es una colecci´on de conjuntos abiertos cuya intersecci´on no esα-semiabierto, puesT∞
n=1(−1/n,1/n) ={0}y el ´unico conjunto abierto contenido en{0}es
el conjunto vac´ıo, luego si {0} ∈ α-SO(R) entonces∅⊆ {0} ⊆α(∅) = {1}, lo cual es imposible. As´ıT∞
n=1(−1/n,1/n)∈/ α-SO(R).
Entonces α-SO(X) ⊂ β-SO(X). Adem´as la contensi´on es estricta, pues el conjunto Aesβ-semiabierto pero noα-semiabierto.
En la siguiente definici´on se introducen propiedades de un operador asocia-do a una topolog´ıa las cuales traen consecuencias muy ´utiles en este trabajo.
Definici´on 4. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico yαun operador asociado a Γ. Decimos queαes un operadorestrella si satisface la siguiente propiedad: para todo parU, V de conjuntos abiertos en Γ se tiene queα(U)T
V ⊆α(UT V).
Definici´on 5. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador asociado a una topolog´ıa Γ. Decimos que αes un operador mon´otono si para todo par U, V de conjuntos abiertos en Γ tales queU ⊆V ocurre queα(U)⊆α(V).
Ejemplo 9. En relaci´on con el ejemplo 4, observe que si el operador α es mon´otono (resp. estrella) entonces el operadorβ es mon´otono (resp. estrella). Los operadores: identidad y clausura son mon´otonos y estrella, mientras que el operador αdefinido por α(V) = f r(V)c
, para V ∈Γ, donde f r(V) es la frontera de V, es estrella y no es mon´otono.
Ejemplo 10. Sea X = {a, b, c}, Γ = {∅, X,{a},{b},{a, b},{a, c}} y β el operador definido como sigue:
β(A) =
A sib /∈A cl(A) sib∈A
Observe que β es un operador mon´otono, el cual no es estrella, ya que si tomamos V ={a, b} y U ={a, c}, entonces β(U ∩V) =β({a}) = {a} y β(V)∩U =X∩ {a, c}={a, c}
Observe que seg´un lo visto en estos dos ´ultimos ejemplos, la noci´on de operador estrella y de operador mon´otono son nociones dis´ımiles.
En [2] se estudian y caracterizan los operadores mon´otonos y se prueba que si un operador αes mon´otono entonces la uni´on de conjuntosα-semiabiertos esα-semiabierta. Usando este hecho podemos demostrar el siguiente teorema.
Teorema 1. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y α un operador mon´otono asociado con Γ. Un subconjunto H de X es αsemiabierto si y solo si H es una α-semivecindad de cada uno de sus puntos.
Demostraci´on. Sup´ongase queHes unaα-semivecindad de cada puntox∈H. Esto significa que para cada x∈H existeOx∈α-SO(X) tal que x∈Ox ⊂
H. Por lo tanto, como α es mon´otono, H = S
x∈HOx es α-semiabierto.
Teorema 2. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y α un operador mon´otono asociado con Γ. Un subconjunto A de X es α semiabierto si y s´olo si A ⊆ α(int(A)).
Demostraci´on. Supongamos que A es un conjunto α-semiabierto, entonces existeU ∈Γ tal queU ⊂A⊂α(U), esto implica queA⊆α(int(A)).
Rec´ıprocamente, siA⊆α(int(A)), entonces tomandoU =int(A) obtene-mos queU ⊂A⊂α(U) y as´ıA es un conjuntoα-semiabierto.
Teorema 3. Sean(X,Γ)un espacio topol´ogico,αun operador mon´otono aso-ciado conΓy Aun subconjunto α-semiabierto deX. Si B es un subconjunto deX tal queA⊆B⊆α(int(A)), entoncesB es un conjuntoα-semiabierto.
Demostraci´on. Como A ⊆ B, entonces α(int(A)) ⊆ α(int(B)), luego B ⊆ α(int(B)), ahora usando el teorema anterior el resultado sigue.
Definici´on 6. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y α un operador asociado con Γ. Decimos queαes un operadoridempotente siα2=α.
Ejemplo 11. Sea X = {a, b, c}, Γ = {∅, X,{a},{b},{a, b},{a, c}} y β el operador definido por:
β(A) =
A sib∈A cl(A) sib /∈A
Es f´acil observar queβ es un operador idempotente.
El siguiente teorema nos da una relaci´on estrecha entre operadores mon´oto-nos, operadores idempotentes y conjuntosα-semiabiertos.
Teorema 4. Sean (X,Γ) un espacio topol´ogico, α un operador mon´otono e idempotente asociado con Γ y A un conjunto α-semiabierto. Si B es un subconjunto de X tal que A ⊆ B ⊆ α(A), entonces B es un conjunto α -semiabierto.
Demostraci´on. Supongamos que A ⊆ B ⊆ α(A). Luego int(A) ⊆ int(B) y como α es mon´otono, se tiene que α(int(A)) ⊆ α(int(B)). Ahora usan-do el hecho de que A es un conjunto α-semiabierto, obtenemos que A ⊆ α(int(A))⊆α(int(B)), peroαes idempotente, as´ıα(A)⊆α(int(B)). Luego B ⊆α(int(B)) y as´ıB es un conjuntoα-semiabierto.
Ejemplo 12. SeaRel conjunto de los n´umeros reales dotado de la topolog´ıa usual, y definamosαcomo sigue:
α(A) =
cl(A) si 0∈A, A si 0∈/ A.
N´otese que el intervalo [−1,1] es un conjunto α-semiabierto y (0,2) es un conjunto abierto, luego [−1,1]∩(0,2) = (0,1] no es un conjuntoα-semiabierto.
Estamos interesados en buscar condiciones para las cuales se cumpla que la intersecci´on de un conjunto abierto con un conjuntoα-semiabierto sea α -semiabierto. Observe que el operador definido en el ejemplo anterior es dis-tinto del operador clausura como tambi´en del operador iidentidad, adem´as, este operador no es un operador estrella. El siguiente teorema nos da una condici´on necesaria que debe satisfacer el operadorαpara que la intersecci´on de un conjunto abierto con un conjunto α-semiabierto sea α-semiabierto. Es de observar que dicho teorema generaliza el resultado dado en [3].
Teorema 5. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico y αun operador estrella aso-ciado con Γ.Si A∈Γ y O∈α-SO(X), entoncesO∩A∈α-SO(X).
Demostraci´on. Por hip´otesis O ∈ α-SO(X), entonces existe U ∈ Γ tal que U ⊆O⊆α(U),luegoU∩A⊆O∩A⊆α(U)∩A⊆α(U ∩A) ya queαes un operador estrella, peroU∩A∈Γ. Esto nos indica queO∩A∈α-SO(X).
En la siguiente secci´on estudiamos una generalizaci´on de la propiedad de la intersecci´on finita, considerando conjuntos α-semiabiertos, la cual jugar´a un papel importante para obtener el resultado buscado en este trabajo.
3
Propiedad
α
-s-localmente finita
Definici´on 7. Sea (X,Γ) un espacio topol´ogico yαun operador asociado con Γ. Decimos que una familia{Ai}i∈I de subconjuntos deX tiene la propiedad
α-S-localmente finita, denotada por α-SLF, si para cada x ∈ X existe una α-semivecindad Ox de x tal que Ox∩Ai =∅ para todo i ∈ I excepto un
n´umero finito.
Como comentario a la definici´on anterior podemos decir que una familia {Ai}i∈I tiene la propiedadα-SLF enx, si existe unaα-semivecindadOxdex
y un subconjunto finito Ω0 deI, tal que Ox⊂Ti∈I−Ω
0A
c i.
cuandoαes el operador clausura, la propiedadα-SLF es equivalente a la dada por Caldas.
Definici´on 8. Sea (X,Γ) un espacio top´ologico y α un operador asociado con Γ. Una familia {Ai}i∈I de subconjuntos de X tiene la propiedad α
-S-localmente finita relativa a un subconjunto T de X si esta familia tiene la propiedadα-SLF en cada punto deT.
El siguiente teorema da una condici´on de equivalencia para que la inter-secci´on de conjuntos abiertos sea α-semiabierto en t´erminos de la propiedad α-SLF.
Teorema 6. Sea (X,Γ) un espacio top´ologico y α un operador estrella y mon´otono asociado conΓ.Una condici´on necesaria y suficiente para que la in-tersecci´on de una familia {Ai}i∈I de subconjuntos abiertos seaα-semiabierta
es que la familia {Ac
i}i∈I tenga la propiedad α-SLF relativa al subconjunto
A=T
i∈I Ai.
Demostraci´on. (Suficiencia) Sup´ongase que la familia{Ai}i∈I tiene la
propie-dad α-SLF relativa al subconjunto A = T
i∈I Ai, donde Ai ∈ Γ.
Conside-estrella, concluimos queU esα-semiabierto y as´ıAes unaα-semivecindad de cadax∈A; peroαes mon´otono, as´ı queA esα-semiabierto.
(Necesidad) Sup´ongase que A = T
i∈I Ai es α-semiabierto, entonces A
tos abiertos en la topolog´ıa usual deRcuya intersecci´on es un conjunto cerra-do, puesto queT∞
n=1(−1/n,1/n) ={0}. Siαes definido porα(V) =f r(V)
c
, para V abierto en la topolog´ıa real, dondef r(V) denota la frontera deV, se observa que el ´unico conjunto abierto contenido en{0} es el conjunto vac´ıo, luego ∅⊆ {0} ⊆α(∅) =R y as´ı{0} ∈α-SO(R), adem´as esta colecci´on no satisface la propiedadα-SLF.
uni´on de una familia {Ai}i∈I de subconjuntos cerrados sea α-semicerrada
es que la familia {Ac
i}i∈I tenga la propiedad α-SLF relativa al subconjunto
D= (S
i∈I Ai) c
.
Demostraci´on. Aplique el teorema anterior.
Observe que la condici´on de que α sea un operador mon´otono no pue-de ser omitida en los dos ´ultimos resultados, porque exactamente es ´esta la condici´on que se necesita para asegurar que la uni´on arbitraria de conjuntos α-semiabiertos seaα-semiabierta.
Finalmente daremos un ejemplo de un operador estrella y mon´otono di-ferente de los operadores identidad y clausura. Observe que el operador α definido por α(V) = f r(V)c
es un operador estrella pero no es mon´otono. Ahora consideremos un espacio topol´ogico de Hausdorff X y seaA un sub-conjunto finito de X. El operadorαdefinido porα(V) =A∪Cl(V) para V abierto enX, dondeCl(V) denota la clausura deV, es un operador mon´otono y estrella. SO(X) ⊂α-SO(X), A es un conjunto α-semiabierto pero no es semiabierto.
Referencias
[1] Kasahara, S. Operations-Compact Spaces, Mathematica Japonica 24
(1979), 97–105.
[2] Rosas, E., Vielma, J., Carpintero, C., α-Semi Connected and Locally α -Semi Connected Properties in Topological Spaces, submitted.
[3] Caldas C., M. La Intersecci´on Arbitraria de una Familia de Subconjun-tos AbierSubconjun-tos con la propiedad S Localmente Finita es Semi-Abierta, PRO MATHEMATICA, Vol X Nos. 19-20 (1996), 35–42.
