VEKTOR
PENGERTIAN VEKTOR
Vector adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Besaran yang merupakan vector antara lain yaitu kecepatan, gaya, dan percepatan.
OPERASI DASAR DUA VEKTOR A. Perkalian Vektor dengan Skalar
Suatu Vektor a´ dikalikan dengan suatu scalar m maka hasilnya ialah suatu vector m a´ . Besaran vector m a´ ialah m kali besaran vector a´ . jika m> 0, maka Vektor a´ dan m a´ mempunyai arah sama, akan tetapi jika m< 0, makakedua vector itu berlawanan arah.
a. Pada gambar (i)
1. Vector a´ dan 2 a´ sejajar dan searah , dan ¿BC⃗∨¿
¿ = 2 ¿a´∨¿
2. Vektor a´ dan -3 a´ saling berlawanan arah, dan ¿DE⃗∨¿
¿ = 3 ¿a´∨¿
b. Pada Gambar (ii)
Vector a´ dan 3 a´ searah , sedangkan vector a´ dan -5 a´ berlawanan arah.
1. Vektor a´ dan b´ sejajar jika dan hanya jika b´ = m a´ , m ialah scalar. Vector dapat dituliskan dalam huruf kecil tebal, misalnya a atau diberi tanda panah diatas, misalnya ⃗a . Alternatif lain vector dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke titik B atau titik-titik yang dihubungkan ruas garis, misalnya ⃗AB .
a
A
B
⃗AB ⃗
AB
A
2. Jika vector a´ dan b´ jika tidak sejajar dan m a´ = n b´ , maka m = 0 dan n = 0.
Contoh :
1. Diketahui vector
Gambarlah tiap vector berikut. a. ⃗OB = 2 a´
b. ⃗OC = -3 a´ c. ⃗OP = -3/2 a´ d. 2 ⃗BC = 3 ⃗OA
Jawab :
a. ⃗OB dan a´ mempunyai arah yang sama dan ¿OB∨¿ ⃗
¿ = 2 ¿a´∨¿
b. ⃗OC dan a´ berlawanan arah , tetapi ¿OC∨¿ ⃗
¿ = 3 ¿a´∨¿
c. ⃗OP dan a´ berlawanan arah ,dan ¿OP∨¿ ⃗
¿ = 1 ½ ¿a´∨¿
d. 2 ⃗BC = 3 ⃗OA atau ⃗BC = 3/2 ⃗OA
Sehingga ⃗BC dan ⃗OA mempunyai arah yang sama, dan ¿BC∨¿ ⃗
¿ = 1
½ | OA⃗¿∨¿ .
B. Penjumlahan Dua Vektor 1. Jumlah dua vector searah
Jumlah dua vector searah a´ dan b´ yang searah adalah suatu vector yang
arahnya sama dan besar vector sama dengan jumlah besar vector a´ dan b´ .
´
¿a + b∨´ ¿
¿ =
a∨¿ ¿¿´ +
¿b∨¿ ´ ¿ 2. Jumlah dua vector yang berlainan arah
Resultan atau jumlah dua buah vector pada umumnya dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk tiga buah vector atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan aturan polygon
b. Aturan jajargenjang
Gambar menunjukkan jumlah vector ⃗AB dan ⃗AD ditulis ⃗AB + ⃗AD , yaitu vector ⃗AC . Vector ⃗AC adalah diagonal jajargenjang ABCD yang sisi – sisi berdekatannya vector ⃗AB dan ⃗AD .
Perhatikan ∆ABC; jika vector ⃗BC = vector ⃗AD , maka ⃗AB + ⃗BC = ⃗AC ………..(1)
Perhatikan ∆ADC; vector ⃗DC = vector ⃗AB , maka ⃗AD + ⃗DC = ⃗AC ……….(2) Jadi, ⃗AD + ⃗DC = ⃗AC .
Dalam bentuk analitis, jika a´ = [a1, a2, a3] dan ⃗b=
[
b1, b2,b3]
maka jumlah⃗
a dan ⃗b didefinisikan sebagai: ⃗a+ ⃗b=
[
a1+b1,a2+b2, a3+b3]
Contoh :1. Pada gambar berikut diketahui ⃗OA = a´ dan ⃗OB = b´
a. Gunakan aturan segitiga vector untuk menentukan titik C, jika ⃗OC = 2 a´ + 3/2 b´
b. Gunakan aturan jajrgenjang vector untuk menentukan titik P, jika ⃗OP = 3 a´ + 2 b´ .
Jawab :
a. Lukislah ⃗OA ’ = 2 ⃗OA =2 a´
Gambar menunjukkan jumlah vector ⃗A B dan ⃗BC ditulis ⃗AB + ⃗BC , yaitu vector ⃗AC . Vector ⃗AC merupakan sisi segitiga ∆ABC yang sisi pertamanya vektor ⃗AB dan sisi keduanya vector
Lukislah ⃗A ' C = 3/2 ⃗OB = 3/2 b´ Maka ⃗OC = 2 a´ + 3/2 b´
b. Lukislah ⃗OA ' ' = 3 ⃗OA = 3 a´ Lukislah ⃗OB' ' = 2 ⃗OB = 2 b´ Gambarlah jajrgenjang ⃗OA ' '⃗PB ' ' Maka ⃗OP = ⃗OA ' ' + ⃗A ' ' P
= 3 a´ + 2 b´ atau 2 b´ + 3 a´
C. Pengurangan dua vector.
Pengurangan vector b´ dan vektor a´ dinyatakan sebagai a´ - b´ .
Operasi ini sama dengan penjumlahan vektor a´ dengan vector b´ yaitu : ´
a - b´ = a´+¿ ( - b´ )
PERKALIAN SKALAR 2 VEKTOR (OPERASI DOT)
Hasil kali skalar dua vector ⃗a(⃗a ≠⃗o)dan⃗b( ⃗b ≠⃗o) dinotasikan oleh ⃗a ∙⃗b . misalkan vector ⃗a dan vector ⃗b membentuk sudut θ , maka perkalian scalar vector didefinisikan sebagai berikut: ⃗a ∙⃗b=|⃗a|∙|⃗b|cosθ
Misalkan ⃗a=
(
a1 a2 a3)
dan ⃗b=
(
b1 b2 b3)
, maka ⃗a ∙⃗b=a1b1+a2b2+a3b3
Contoh:
Tentukan hasil kali scalar vector a dan b jika |a⃗=7|,|b⃗|=10 dan besar
sudut antara vector a dan b adalah 45° .
Jawab:
⃗a ∙⃗b=|⃗a||b⃗|cosθ=7∙10 cos 45=70∙1
2
√
2=35√
2 .Dari definisi ⃗a ∙⃗b=|a⃗|∙|⃗b|cosθ kita peroleh rumus besar sudut antara dua
vector berikut: cosθ= a ∙⃗ ⃗b
|⃗a||b⃗|=
a1b1+a2b2+a3b3
|⃗a||⃗b|
Contoh:
Misalkan ⃗a=
(
35
)
dan ⃗b=(
62
)
. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vector ⃗a dan ⃗b .Jawab:
⃗a=
(
35
)
→|⃗a|=√
3 2+52
=
√
34 , ⃗b=(
62
)
→|⃗b|=√
6 2+22 =
√
40⃗ a ∙⃗b=a
1b1+a2b2=3∙6+5∙2=28
⃗
a ∙⃗b=|⃗a||b⃗|cosθ ↔cosθ= ⃗a∙b⃗
|⃗a||⃗b|= 28
√
34√
40=0,76θ=cos−10,76
¿40,5°
Jadi, sudut yang dibentuk oleh vector ⃗a dan ⃗b adalah 40,5° .
SOAL-SOAL VEKTOR
1. Misalkan ⃗a=
(
23
)
dan ⃗b=(
−23
)
. Tentukan ⃗a+ ⃗b . 2. Misalkan ⃗a=(
710
)
,⃗b=(
−5 −6)
,c⃗=(
−8
3
)
, dan⃗d=(
43. Misalkan diketahui |a⃗|=5cm ,|b⃗|=6cm , dan vector ⃗a dan ⃗b membentuk sudut 60° . Tentukan perkalian scalar ⃗a ∙⃗b .
4. Diketahui ⃗u=
(
4−3
)
,⃗v=(
6 0)
. a. Tentukan ⃗u ∙⃗v .b. Tentukan |u⃗| dan |⃗v| .
c. Tentukan besar sudut antara ⃗u dan ⃗v
5. Pada gambar disamping diketahui vector ⃗OA = a´ dan ⃗OB = b´ .Lukislah vector tunggal yang mewakili :
a. 2 a´ - b´
b. 3 a´ - 2 b´
c. 2 b´ - 4 a´
PEMBAHASAN SOAL-S0AL VEKTOR
1. ⃗a+⃗b=
(
2 3)
+(
−2 3
)
=(
0 6
)
Jadi, ⃗a+ ⃗b=(
06
)
.2. −5a⃗+3⃗b−2c⃗+ ⃗d=−5
(
7 10)
+3(
−5 −6
)
−2(
−8 3
)
+(
4 −6
)
¿(
−35−50
)
+(
−15 −18)
−(
−16 6
)
+(
4 −6
)
¿(
−35−15+16+4−50−8−6−6
)
=(
−30 −80)
3. ⃗a ∙⃗b=|⃗a|∙|⃗b|cosθ=5∙6 cos60°
¿30∙1 2=15
Jadi, ⃗a ∙⃗b=15 .
4.
Solusi a. ⃗u ∙⃗v=4∙6+(−3)∙0=24b. |u⃗|=
√
42+(−3)2=5, dan|⃗v|=
√
62 +02=6
c. cosθ= u ∙⃗ ⃗v
|⃗u||⃗v|=
24 5∙6=
24 30=
4 5
θ=cos−1 4
5=36,86°
5. Solusi a 2 a´ - b´ = 2 ⃗OA - ⃗OB
= ⃗OA ' + (- ⃗OB )
= ⃗OA ' + ⃗BO
= ⃗BO + ⃗OA '
= ⃗BA '
b 3 a´ - 2 b´ = 3 ⃗OA - 2 ⃗OB
= ⃗OA 1 - ⃗OB 1 = ⃗OA 1 + (- ⃗OB 1) = ⃗OA 1 + ⃗B
1O = ⃗B1O + ⃗OA 1 = ⃗B1A1
c 2 b´ - 4 a´ = 2 ⃗OB - 4 ⃗OA
