HANDOUT
ANALISIS REGRESI
Kismiantini
NIP. 19790816 200112 2 001
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
1
Analisis
Analisis Regresi
Regresi
A
li i
A
li i
K
K
l
l
i
i
Analisis
Analisis Korelasi
Korelasi
Model
Model Regresi
Regresi Linear
Linear Sederhana
Sederhana
2
Analisis
Analisis Regresi
Regresi dan
dan Analisis
Analisis Korelasi
Korelasi
•
Apa itu an alisis regresi?
•
Apa bedan ya den gan korelasi?
Apa bedan ya den gan korelasi?
Analisis RegresiÎAnalisis statistika yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih peubah kuantitatif sehingga salah satu peubah dapat diramalkan dari peubah lainnya.p p p y
Analisis KorelasiÎAnalisis statistika yang membahas tentang y g g derajat (kekuatan) hubungan antara peubah-peubah.
3
Korelasi
Korelasi
Korelasi
Korelasi
4
i i
i
X
Y
i=
β
β
00+
β
β
11 i+
ε
i i = 1, 2 , …, nYiadalah n ilai peubah tak bebas dalam pen gam atan ke-i
β d β d l h t
i 1, 2 , …, n
β0 dan β1 adalah param eter
Xiadalah kon stan ta yan g diketahui, yaitu n ilai peubah bebas dari pen gam atan ke-i
εiadalah galat yan g bersifat acak den gan rataan E[εi]=0 dan ragam Var [εi]=σ2; ε
idan εjtidak berkorelasi sehin gga peragam / kovarian si
σ{{εii, ,εjj}} =0 un tuk sem ua i,j ; i ,j ; ≠j j iid
S e h in gga :
S e h in gga :
( )
2
,
0
~
σ
ε
N
iid i
i
i
X
Y
E
[
]
=
β
0
+
β
1
5
Model regresi linear sederhana
•
Model regresi diatas dikatakan sederhan a, lin ear dalam
param eter, dan lin ear dalam peubah bebas.
Dik t k
“
d
h
” k
h
d
t
b h
•
Dikatakan “
s e d e rh a n a
” karen a han ya ada satu peubah
bebas.
•
Dikatakan “
Dikatakan
lin e a r d a la m p a ra m e te r
lin e a r d a la m p a ra m e te r
” karen a tidak
karen a tidak
ada param eter yan g m un cul sebagai suatu ekspon en atau
dikalikan atau dibagi oleh param eter lain .
Dik t k
“
li
d l
b h b b
” k
•
Dikatakan “
lin e a r d a la m p e u ba h be ba s
” karen a
peubah dalam m odel tersebut berpan gkat satu.
•
Model yan g lin ear dalam param eter dan lin ear dalam
Model yan g lin ear dalam param eter dan lin ear dalam
peubah bebas juga din am akan
m o d e l o rd o -p e rta m a
.
Plot Data!
Plot Data!
NEVER skip this step! The d a t a m a y n o t
6
Plot Data!
Plot Data!
NEVER skip this step! The d a t a m a y n o t
e v e n b e lin e a r a n d a d iffe r e n t m o d e l m a y b e m o r e
7 8
9
( i k i) d l h b d t il i t d il i d
Yˆ
Persamaan regresi linear dugaan :
ˆ
ei (sisaan ke-i) adalah beda antara nilai amatan Yidengan nilai dugaannya
Y
ii
i
X
Y
ˆ
=
13
,
82
+
48
,
60
Y
ˆ
=
13
,
82
+
48
,
60
X
10
11
Bagaimana mendapat kan b
0dan b
1?
•
Metode kuadrat terkecil yaitu den gan
•
Metode kuadrat terkecil, yaitu den gan
m em in im um kan jum lah kuadrat galat :
( )
(
Y
E
Y
)
(
Y
(
X
)
)
L
n
i
i i
n
i
i i n
i
i
=
∑
−
=
∑
−
+
=
∑
= = =1 21 0 1
2 1
2
β
β
ε
∂
L
n(
)
(
)
0
2
11 0 0
=
+
−
−
=
∂
∂
∑
=n
i
i
i
X
Y
L
β
β
β
(
)
(
)
0
2
11
0
+
=
−
−
=
∂
∂
∑
in
i
i
X
X
Y
L
β
β
β
1 1∂
β
i=• Pendugaan terhadap koefisien regresi:
12g
p
g
Æ
b
0penduga bagi
β
0dan b
1penduga bagi
β
1
1
Metode
∑
−
∑ ∑
n
Y
X
Y
X
b
i i i i
Metode
Kuadrat Terkecil
(
)
∑
−
∑
=
n
X
X
n
b
i i
2 2 1
(
Y
b
X
)
Y
b
X
n
b
0 i 1 i 11
−
=
−
=
∑
∑
Bagaimana Pengujian terhadap model regresi ??
• parsial (per koefisien)
Æ
uji-t
• bersama
Æ
uji-F (Anava)
Bagaimana menilai kesesuaian model ??
g
M k
M k
d g
d g
k
k
fi i
fi i
g
g
i
i
13Makna
Makna dugaan
dugaan koefisien
koefisien regresi
regresi
Misalkan ingin mengetahui hubungan jarak tempuh kendaraan mobil dalam k (X) d ti k t i i d l (Y)km (X) dengan tingkat emisinya dalam ppm (Y).
• Plot data ternyata menunjukkan ada hubungan linear antara X dan Y • Dicobakan model linear Yi= β0+ β1Xi+ εi, diperoleh persamaan regresi
i
i
X
Y
ˆ
=
364
+
5
,
47
• Apa makna b0dan b1pada konteks ini ?Makna dari b1yaiturata-rata emisimeningkat5,47 ppm untuk setiap
kenaikanjarak tempuh kendaraan mobil 1 km(ataukenaikanjarak
kenaikanjarak tempuh kendaraan mobil 1 km (ataukenaikanjarak tempuh kendaraan mobil 1 kmakanmeningkatkanrata-rata emisi yang dihasilkan mobil sebesar 5,47 ppm).
Makna dari b0yaitu untuk mobil dengan jarak tempuh kendaraan mobil 0
km (mobil baru) tingkat emisi yang dihasilkan rata-rata sebesar 364 ppm.
l 1
14
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Soal 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xi 5,5 4,8 4,7 3,9 4,5 6,2 6,0 5,2 4,7 4,3 Yi 3,1 2,3 3,0 1,9 2,5 3,7 3,4 2,6 2,8 1,6
i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Xi 4,9 5,4 5,0 6,3 4,6 4,3 5,0 5,9 4,1 4,7 Yi 2,0 2,9 2,3 3,2 1,8 1,4 2,0 3,8 2,2 1,5
66
,
257
;
84
,
134
;
12
,
509
;
0
,
50
;
0
,
100
=
2=
2=
=
=
∑
X
i∑
Y
i∑
X
i∑
Y
i∑
X
iY
i1. Apakah nilai mutu rata-rata (NMR) pada akhir tahun pertama (Y) dapat diramalkan dari nilai ujian masuk (X)?
Bila jawaban ya, maka
2 l h d d
2. Buatlah diagram pencar X dan Y.
3. Tentukan persamaan regresi dugaannya beserta maknanya!
Soal 2
15
Soal 2
• Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu)
Nilai ulangan matematika
95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95
Lama waktu 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10 belajar matematika
a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y!
b) Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan
b) Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan koefisien regresinya!
Soal 3
16
Soal 3
• Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui hubungan antara pengeluaran untuk iklan (p g (X dalam jutaan rupiah) denganj p ) g penerimaan melalui penjualan (Y dalam jutaan rupiah) pada perusahaan tertentu. Berikut ringkasan datanya :
∑
∑
∑
∑
∑
= = = = ==10, 120, 500, 6106, 2 1470, 2 25440
i i
i i i
i Y XY X Y
X n
a) Tentukan persamaan regresi dugaan! Berikan maknanya.
b) Bila pengeluaran untuk iklan sebesar 16 juta rupiah berapakah
b) Bila pengeluaran untuk iklan sebesar 16 juta rupiah, berapakah penerimaan dari hasil penjualan?
Soal 4
17
Seoran g guru m atem atika m en catat lam a waktu (Y, dalam
i )
di
bil d
i
j l
k
k l h k ik
m en it), yan g diam bil dari perjalan an ke sekolah ketika
m en in ggalkan rum ah setelah jam 7 pagi (X , dalam m en it)
pada tujuh pagi hari yan g tercatat
pada tujuh pagi hari yan g tercatat.
X
0
10
20
30
40
50
60
X
0
10
20
30
40
50
60
Y
16
27
28
39
39
48
51
a)
Plot data den gan diagram pen car. Berikan pen jelasan
dari plot tersebut.
b)
Ten tukan persam aan regresi lin ear sederhan a dari dan
m akn an ya.
)
G
b
k
i
i d
i b)
d
b
)
c)
Gam barkan garis regresi dari b) pada gam bar a).
Soal 5
18
Soal 5
Tabel in i m en un jukkan skor tes pen alaran verbal, X ,
j
p
,
,
dan skor tes In ggris, Y, un tuk setiap sam pel acak dari 8
an ak yan g m en gikuti kedua tes tersebut:
Anak A
B
C
D
E
F
G
H
X
112 113 110 113 112 114 109 113
Y
69
65
75
70
70
75
68
76
a)
Plot
data
den gan
diagram
pen car.
Berikan
pen jelasan dari plot tersebut.
A
SUMSI
-
ASUMSI DALAM ANALISIS
REGRESI LINEAR SEDERHANA
1MODEL
MODEL REGRESI
REGRESI LINEAR
LINEAR SEDERHANA
SEDERHANA BERGALAT
BERGALAT NORMAL
NORMAL
X
Y
i
=
β
+
β
X
i
+
ε
i
Y
=
β
0
+
β
1
+
ε
β
d
β
d l h t
β
0dan
β
1adalah parameter
X
iadalah konstanta yang diketahui nilainya
ε
iadalah galat yang menyebar N(0,
σ
2) dan bebas satu sama lain
A
A
SUMSISUMSI--
ASUMSIASUMSI DALAMDALAM ANALISISANALISIS REGRESIREGRESI LINEARLINEAR SEDERHANASEDERHANAi
g
y
g
y
( ,
)
|
Galat memiliki ragam yang konstan
|
Galat menyebar normal
|
Galat menyebar normal
|
Galat bersifat saling bebas
ε
ididuga oleh
!!!
S l
d
b
l
d
l
i i i
Y
Y
e
=
−
ˆ
2
Selanjutnya e
idisebut sisaan atau nilai dugaan galat.
G
ALAT MEMILIKI RAGAM YANG KONSTAN
ˆ
|
Plot sisaan (e
i) dengan nilai dugaan ( )
|
Plot sisaan (e
i) dengan peubah bebas (X
i)
i
Yˆ
Bila sisaan-sisaan tidak membentuk suatu pola tertentu maka galat memiliki ragam yang konstan.
Galat memiliki ragam
Galat tidak memiliki ragam
3Galat memiliki ragam
konstan (tidak berpola)
Galat tidak memiliki ragam
konstan (berpola)
G
ALAT MENYEBAR NORMAL
|
Plot peluang normal bagi sisaan yaitu e
iversus h
i⎤
⎡
⎛
⎞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
25
,
0
375
,
0
n
i
z
KTG
h
i⎦
⎣
)
/(
n
p
JKG
KTG
=
−
JKG
=
∑
Y
i−
b
0∑
Y
i−
b
1∑
X
iY
i 2h
iadalah nilai harapan di bawah asumsi kenormalan
|
Sisaan diurutkan dari kecil ke besar
ei
Gambar disamping
menunjukkan bahwa galat
menunjukkan bahwa galat
menyebar normal
karena titik-titik (sisaan-sisaan)
mengikuti arah garis diagonal.
4
hi
P
ERHATIKAN
T
ABEL
B
ERIKUT
ŶŶ
= 10 + 2X, KTG = 7,5
i X Y Ŷ e Urutan e terurut h i Xi Yi Ŷi ei naik i eiterurut hi
1 30 73 70 3
1
-3
-4,24
2 20 50 50 0
2 20 50 50 0
2
-2
-2,74
3 60 128 130 -2
3
-2
-1,79
4 80 170 170 0
4 80 170 170 0
4
-2
-1,02
5 40 87 90 -3
5
-1
-0,33
6 50 108 110 2
6
0
0 33
6 50 108 110 -2
6
0
0,33
7 60 135 130 5
7
0
1,02
8 30 69 70 1
8
2
1 79
8 30 69 70 -1
8
2
1,79
9 70 148 150 -2
9
3
2,74
10 60 132 130 2
10
5
4 24
10 60 132 130 2
10
5
4,24
5
G
ALAT BERSIFAT SALING BEBAS
|
Bila data tidak diamati secara bersamaan,melainkan
dalam suatu urutan waktu maka buatlah plot sisaan
dalam suatu urutan waktu maka buatlah plot sisaan
(e
i) terhadap waktu.
|
Tujuan adalah untuk melihat apakah ada korelasi
|
Tujuan adalah untuk melihat apakah ada korelasi
antara suku galat dengan suku galat berikutnya.
|
Bila suku suku galat saling bebas maka
sisaan sisaan
|
Bila suku-suku galat saling bebas, maka
sisaan-sisaan
berfluktuasi secara acak di sekitar nilai o
.
Bila data diamati bersamaan, untuk melihat
keacakan galat percobaan dibuat plot antara nilai
g
p
p
dugaan galat (e
i) dengan nilai dugaan respons (
Ŷ
i)
Apabila berfluktuasi secara acak di sekitar nol
6
7
S
OAL
1
Sebuah penelitian mengukur banyaknya gula yang terbentuk
pada berbagai suhu. Data telah dikodekan sebagai berikut:
a) Tentukan persamaan garis regresi linear dugaan
b) Dugalah banyaknya gula yang terbentuk bila suhunya 1,75.
c) Perhatikan gambar berikut, apa yang dapat Anda simpulkan
dari gambar tersebut?
Residuals Versus the Fitted Values
(response is Y) Normal Probability Plot of the Residuals(response is Y)
id
ua
l
1.0 0.5
cen
t
99
95
90
80
70 60 50
8
Re
s
0.0 -0.5
Pe
rc
1 5 1 0 0 5 0 0 -0 5 -1 0 -1 5
50 40 30 20
10
5
1
Fitted Value
10.0 9.5 9.0 8.5
8.0 Residual
1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5
S
OAL
2
S
OAL
2
|
Perhatikan gambar berikut :
90
80
70
Scatterplot of Y vs X
20
10
Versus Fits
(response is Y)
99
95 90
80
Normal Probability Plot
(response is Y)
60
50
40
30
Y 0
-10
Re
s
id
u
al
80 70 60 50 40 30 20
10 5
Pe
rc
e
nt
Gambar 1 Plot X dan Y Gambar 2 Plot nilai dugaan vs sisaan Gambar 3 Plot Peluang Normal 55
50 45 40 35 30 20
X
80 70 60 50 40 -20
Fitted Value
30 20 10 0 -10 -20 -30 1
Residual
Gambar 1. Plot X dan Y Gambar 2. Plot nilai dugaan vs sisaan Gambar 3. Plot Peluang Normal
a)
Apa yang dapat Anda simpulkan dari gambar 1, 2 dan 3? Berikan
j l
penjelasannya.
b)
Berdasarkan Gambar 1, apa tanda dari koefisien korelasinya? Berikan
penjelasannya
penjelasannya.
INFERENSI DALAM
INFERENSI DALAM
ANALISIS REGRESI
ANALISIS REGRESI
1. Inferensi tentang
β
1a Selang Kepercayaan bagi
β
a. Selang Kepercayaan bagi
β
1b. Uji bagi
β
12 I f
i t
t
β
2. Inferensi tentang
β
0a. Selang Kepercayaan bagi
β
0b. Uji bagi
β
01
Selang
Selang Kepercayaan
Kepercayaan bagi
bagi
ββ
Selang
Selang Kepercayaan
Kepercayaan bagi
bagi
ββ
1
1
−
b
β
{ }
( )21 1 1
~
− nt
b
s
b
β
Tingkat kepercayaan ( ){ }
β
α( )α
α⎟⎟⎠
⎞
=
−
⎜⎜⎝
⎛
−
≤
−
≤
−− ; 2
1
1 1 1 2
; 2
2 n
s
b
t
nb
t
P
( )
{ }
1
2
;
1
t
s
b
b
n
±
α
{ }
(
)
∑
=
X
KTG
b
s
1 22 dengan
{ }
⎠
⎝
s
b
1( )
2
;
2
n
−
∑
−
(
∑
)
n
X
X
i i2
Misalkan diperoleh selang kepercayaan 95% bagi
β
11,89 ,8
≤ β
β
11≤
2,11 ,Artinya diduga bahwa rata-rata banyaknya jam-orang (Y) naik sekitar antara 1,89 sampai 2,11 satuan untuk setiap kenaikan satu
it k l t (X) unit ukuran lot (X).
2
Uji bagi
β
=0 lawan
β ≠
0
Uji bagi
β
1
=0 lawan
β
1
≠
0
Hipotesis
H0: β1=0 (Tidak ada hubungan linear antara X dan Y)
H1: β1≠0 (Ada hubungan linear antara X dan Y)
Sumber
Keragaman db JK KT Fhit Ftabel
1 β1 g
Regresi Galat 1 n-2 JKR JKG KTR=JKR/1 KTG=JKG/n-2
Fhit=KTR/KTG Fα(1,n-2)
Galat n 2 JKG KTG JKG/n 2
Total n-1 JKT
Kriteria keputusan :
H0 ditolak jika Fhit> Fα(1,n-2)
{ }
b
1t
hit=
{ }
b
1s
t
hitKriteria keputusan :
H dit l k jik |t | t H0 ditolak jika |thit|> tα/2(n-2)
3
Perhatikan simpangan total berikut :
i
i
i
i
Y
Y
Y
Y
Y
Y
−
=
ˆ
−
+
−
ˆ
Jumlah kuadrat simpangan-simpangan tersebut :
(
Y
i
−
Y
)
2
=
∑
( ) ( )
Y
ˆ
i
−
Y
2
+
∑
Y
i
−
Y
ˆ
i
2
∑
JKG
JKR
JKT
=
+
Y X b Y b Y JKG Y n Y JKT i = − =∑
∑
∑
∑
2 2 2( )
XY X YY X b Y b Y JKG i i i i i i i i ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎤ ⎡ − − =
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
2 2 1 0( )
(
X)
X n n Y Y i i i i i i − ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =
∑
∑
∑
∑
∑
2 2 2 2 JKG JKT JKR n i − =∑
4Uji Satu Arah Bagi
β
Uji Satu Arah Bagi
β
1
A
k h
A
k h
ββ
itif
itif tt
tid k
tid k?
?
Apakah
Apakah
ββ
1
1
positif
positif atau
atau tidak
tidak?
?
Hipotesis : H
0:
β
1≤
0
H
1:
β
1> 0
Taraf nyata :
α
Statistik uji : t = b
1/s{b
1}
Kriteria Keputusan : H
0ditolak jika t
hit> t
α(n-2)Apakah
Apakah
ββ
1
1
negatif
negatif atau
atau tidak
tidak??
Hipotesis : H :
β ≥
0
H :
β
< 0
Hipotesis : H
0:
β
1≥
0
H
1:
β
1< 0
Taraf nyata :
α
Statistik uji : t = b /
s{b }
Statistik uji : t = b
1/
s{b
1}
Kriteria Keputusan : H
0ditolak jika t
hit< -t
α(n-2)5
Mi
lk
S
t K
t
t
Misalkan a Suatu Konstanta
• Ujilah apakah
β
= a atau tidak?
• Ujilah apakah
β
1= a atau tidak?
St ti tik ji
• Statistik uji :
{ }
11
b
b
t
=
−
β
{ }
b
1s
Gant i
β
dengan a
Gant i
β
1dengan a
Selang
Selang Kepercayaan
Kepercayaan bagi
bagi
ββ
0
0
β
⎟⎞
⎜⎛
≤
0−
0≤
1
t
b
t
P
Selang
Selang Kepercayaan
Kepercayaan bagi
bagi
ββ
0
0
0 0
−
b
β
( )
{ }
β
α( )α
α
⎟⎟⎠
=
−
⎜⎜⎝
−
−≤
≤
; −21
00 0 2
; 2
2 n
s
b
t
nt
P
⎤
⎡
{ }
( )20 0
0
~
−
n
t
b
s
β
( )
{ }
0
2
0
t
s
b
b
n
±
α
{ }
(
)
⎥
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎢
⎡
+
=
∑
X
KTG
b
s
22 0
2
1
dengan
( )
2
2
n
−
{ }
(
)
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎣
∑
−
∑
n
X
X
n
i i
2 2
Misalkan diperoleh selang kepercayaan 90% bagi
β
05,34
≤ β
0≤
14,66
Artinya diduga bahwa
rat aan
rat aan banyaknya
banyaknya j am
j am orang
orang sekit ar
sekit ar
Artinya diduga bahwa
rat aan
rat aan banyaknya
banyaknya j am
j am -- orang
orang sekit ar
sekit ar
ant ara
ant ara 5
5,,34
34 sam pai
sam pai 14
14,,66
66 sat uan
sat uan unt uk
unt uk ukuran
ukuran lot
lot sebesar
sebesar 0
0..
Selang
Selang ini
g
g
ini t idak
t idak m em punyai
m em punyai m akna
p
p
y
y
m akna
..
Selang kepercayaan ini tidak selalu memberikang p y informasi yang bermanfaat
7
Uji bagi
β
=0 lawan
β ≠
0
Uji bagi
β
0
=0 lawan
β
0
≠
0
Hipotesis
H
0:
β
0=0
H
0
H
1:
β
0≠
0
Taraf Nyata :
α
b
Statistik Uji :
Taraf Nyata :
α
{ }
0 0b
s
b
t
hit=
Statistik Uji :
{ }
b
0s
Kriteria keputusan :
H
0ditolak jika |t
hit|> t
α/2(n-2)8
Soal 1
a
Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilaip p g g ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu).
Nilai ulangan matematika
95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95
L kt 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10
a)Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas
X
dan peubah tak bebas Lama waktubelajar matematika
18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10
a)Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas
X
dan peubah tak bebasY
!Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. Anggap asumsi asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. b)Tentukan selang kepercayaan 99% bagi
β
0 danβ
1beserta maknanya! c)Ujilah apakah ada hubungan linear antara lama waktu belajar ) j p g jmatematika dan nilai ulangan matematika? Gunakan taraf nyata
α
= 0,01. d)Ujilah apakahβ
1= 5 lawanβ
1≠
5 ? Gunakan taraf nyataα
= 0,01. e)Ujilah apakahβ
0 = 0 atau tidak? Gunakan taraf nyataα
= 0,01. 9Soal 2
Suatu tes diberikan pada semua mahasiswa baru. Seseorang yang memperoleh nilai di bawah 35 tidak diizinkan mengikuti kuliah matematika yang biasa tetapi harus mengikuti suatu kelas khusus matematika yang biasa, tetapi harus mengikuti suatu kelas khusus (
remedial class
). Berikut ringkasan data dari nilai tes dan nilai akhir bagi 20 mahasiswa yang mengikuti kuliah matematika yang biasa:a Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas
X
dan peubah tak a. Tentukan peubah mana sebagai peubah bebasX
dan peubah takbebas
Y
!b. Tentukan persamaan regresi dugaan! b u a p a aa g dugaa
c. Bila 60 adalah nilai terendah agar lulus dari pelajaran matematika tersebut, berapakah batas nilai tes terendah di masa mendatang untuk dapat diizinkan mengikuti kuliah tersebut?
Bila model regresi ordo pertama layak digunakan.
d Ujil h k h d h b li i il i d il i khi ? d. Ujilah apakah ada hubungan linier antara nilai tes dan nilai akhir?
Gunakan taraf nyata 0,05.
e Tentukan selang kepercayaan 95% bagi
β
danβ
beserta maknanya e. Tentukan selang kepercayaan 95% bagiβ
0danβ
1beserta maknanya.10
Soal 3
Suatu percobaan dilakukan pada jenis mobil baru merk tertentu, untuk menentukan jarak yang dibutuhkan untuk berhenti bila mobil tersebut direm pada berbagai kecepatan. Data yang diperoleh sebagai berikut:
Kecepatan (kilometer per jam) 35 50 65 80 95 110
)T t k b h b i b h b b
X
d b h t kp ( p j )
Jarak sampai berhenti (meter) 16 26 41 62 88 119
a)Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas
X
dan peubah tak bebasY
!b)Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan b)Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan koefisien regresinya!
Anggap asumsi-asumsinya terpenuhi.gg p y p
c)Tentukan selang kepercayaan 95% bagi
β
1dan berikan maknanya! d)Tentukan selang kepercayaan 95% bagiβ
0dan berikan maknanya!e)Ujilah apakah ada hubungan linear antara kecepatan dan jarak sampai berhenti? Gunakan taraf nyata
α
= 0,05.f)Ujilah apakah
β
1positif? Gunakan taraf nyataα
= 0,05. 11Sum Square of Errors (SSE)
Sum Square of Errors (SSE)
→
→
JKG
JKG
Sum Square of Errors (SSE)
Sum Square of Errors (SSE)
→
→
JKG
JKG
( )
∑
−
=
2ˆ
i i
Y
Y
SSE
∑
( )
i i∑
−
∑
−
∑
+
∑
+
∑
=
Y
ib
Y
ib
X
iY
ib
Y
ib
X
iY
iSSE
0 1 0 12
2
2
∑
i 0∑
i 1∑
i i 0∑
i 1∑
i iNormal Equation
Normal Equation
13
Data Kredit Konsumen
Data Kredit Konsumen
Hal 204 No. 6.5
Hal 204 No. 6.5
Data di bawah ini menunjukkan bagi sebuah perusahaan kredit
konsumen yang beroperasi di enam kota, banyaknya perusahaan sejenis
b
i di k t it (X) d
b
t t l k dit d l
ib
yang beroperasi di kota itu (X) dan besarnya total kredit dalam ribuan
yang tertunggak (Y):
ii
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
X
i4
1
2
3
3
4
Y
i16
5
10
15
13
22
Angga pla h ba hw a m ode l re gre si ordo pe r t a m a la ya k diguna k a n. Angga pla h ba hw a m ode l re gre si ordo pe r t a m a la ya k diguna k a n.
a. Tentukan persamaan regresi dugaannya!
b
Tentukan selang kepercayaan bagi
β
dan
β
beserta
b. Tentukan selang kepercayaan bagi
β
0dan
β
1beserta
maknanya!
c.
Ujilah apakah besarnya total kredit tertunggak
1 4
j
p
y
gg
Ukuran
Ukuran Deskriptif
Deskriptif bagi
bagi Hubungan
Hubungan
antara
antara Peubah
Peubah Bebas
u
u
Bebas ( X)
s
s ( )
( X) dan
( ) d
dan
d
Peubah
Peubah Tak
Tak Bebas
Bebas ( Y)
( Y)
dalam
dalam Model
Model Regresi
Regresi
dalam
dalam Model
Model Regresi
Regresi
* Koefisien Determinasi
* Koefisien Determinasi
* Koefisien Korelasi
1
` Perhatikan kembali ` Perhatikan kembali
(
Y
iY
)
( ) ( )
Y
ˆ
iY
Y
iY
ˆ
i2 2
2
−
+
−
=
−
∑
∑
∑(
)
( ) ( )
JKG
JKR
JKT
i i i
i
=
+
∑
∑
∑
` JKT mengukur keragaman di dalam amatan-amatan Yiatau
ketidakpastian ketika meramalkan Y tanpa menggunakan peubah bebas X ⇒keragamankeragaman totaltotal
bebas ⇒ e agae aga aa o ao a
` JKG mengukur keragaman dalam Yidengan menggunakan model
i t k b h b b X kk
regresi yang menyertakan peubah bebas X ⇒keragamankeragaman yang yang tidak
tidak dapatdapat dijelaskandijelaskan
` JKR mengukur keragaman Yiyang berasal dari garis regresi⇒
keragaman
keragaman Y yang Y yang dapatdapat dijelaskandijelaskan
2
Koefisien
Koefisien Determinasi
Determinasi
`Ukuran untuk mengukur pengaruh X dalam menurunkan keragaman Y adalah
adalah
JKT
JKG
JKT
JKR
JKT
JKG
JKT
r
2=
−
=
=
1
−
Koefisien
determinasi
Karena
Karena 0 0 ≤≤JKG JKG ≤≤JKT JKT makamaka 0 0 ≤≤rr22≤≤11
X b b Yˆ= 0+ 1
Y Yˆ=
Gambar 2 Gambar 1
Gambar 1
3
P h k G
b 1 !!
Perhatikan Gambar 1 !!
Jika semua amatan terletak pada garis regresi maka JKG = 0 dan r2= 1.
Peubah bebas X berhasil menjelaskan semua keragaman di dalam Peubah bebas X berhasil menjelaskan semua keragaman di dalam amatan-amatan Yi.
Perhatikan Gambar 2 !!
Jika kemiringan garis regresi adalah b1= 0 sehingga
maka JKG = JKT dan r2= 0
Y
Yˆ
maka JKG = JKT dan r2= 0.Tidak ada hubungan linear antara X dan Y.
Peubah bebas X dalam bentuk regresi linear tidak bisa membantu
k li d l k k d l t t Y
Y
Y
≡
sama sekali dalam menurunkan keragaman dalam amatan-amatan Yi.
Semakin dekat pada 1 semakin tinggi tingkat
hubungan linear antara X dan Y.
hubungan linear antara X dan Y.
4
Makna
Makna koefisien
koefisien determinasi
determinasi
`Misalkan ingin mengetahui hubungan antara jarak tempuh kendaraan (X) dengan tingkat emisinya (Y) suatu mobil ? kendaraan (X) dengan tingkat emisinya (Y) suatu mobil ?
`Diperoleh r2 = 89,9% , artinya sekitar 89,9% keragaman dari
tingkat emisi suatu mobil yang dapat dijelaskan oleh jarak tempuhnya.
atau atau
Keragaman tingkat emisi suatu mobil berhasil diturunkan 89,9% dengan disertakan peubah jarak tempuh.
5
Hubungan
Hubungan antara
antara b
b
1
1
dan
dan rr
(
)
⎛
⎞
∑
(
Y
Y
)
2(
−
)
=
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
−
=
∑
∑
XY
i i
s
s
r
X
X
Y
Y
r
b
1 2(
)
⎝
⎠
∑
X
iX
Xdalam hal ini
(
)
2−
=
∑
Y
Y
s
Y i(
1
)
2
−
−
=
∑
n
X
X
s
X i1
−
n
Y
n
1
Koefisien
Koefisien Korelasi
Korelasi
2
r
r
=
±
Tanda plus atau minus tergantung pada kemiringan garis regresinya positif atau negatif.g y p g
-1 ≤r ≤1
0
>
β
0
β
<
0
1
>
β
β
1<
0
7
Rumus
Rumus Hitung
Hitung bagi
bagi rr
(
)(
)
[
−
−
]
=
∑
X
X
Y
Y
r
i i(
) (
)
[
2 2]
12−
−
=
∑
∑
∑
∑
∑
Y
X
Y
Y
X
X
r
i i i i
(
)
( )
122 2
⎤
⎡
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
−
=
∑
∑
∑
∑
∑
Y
X
n
Y
X
Y
X
i ii i
(
)
2( )
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∑
∑
∑
∑
n
Y
Y
n
X
X
ii i i
Bila hubungan linear antara X dan Y sempurna maka r = ± 1 r = 1 hubungan sempurna dan searah r 1 hubungan sempurna dan searah r = -1 hubungan sempurna dan berlawanan arah
Korelasi hanya dapat mengukur hubungan linear !!!
Korelasi hanya dapat mengukur hubungan linear !!!
8
Koefisien
Koefisien Korelasi
Korelasi antara
antara X
X dan
dan Y
Y
Koefisien korelasi populasi dinyatakan denganρ.
U t k ji k h d h b li t X d Y d
Untuk menguji apakah ada hubungan linear antara X dan Y pada model Y=β0+β1X+εdapat pula dengan menguji
H00: ρρ= 0 lawan H11: ρ ≠ρ 0
Jika regresi Y atas X merupakan garis lurus maka koefisien korelasi pada populasi adalahρatau ρXY
pada populasi adalah ρatau ρXY
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
XY
Y
E
X
E
XY
E
Y
V
X
V
Y
X
Cov
σ
σ
ρ
=
,
=
−
( ) ( )
X
Var
Y
X YVar
σ
σ
( )
(
∑
−∑
∑
∑
)
(
∑
∑
−( )
∑
)
−
= 2
2 2
2 X n Y Y
X n
Y X XY n rXY
Koefisien
Koefisien
korelasi
korelasi sampel
sampel
(
∑
( )
∑
)
(
∑
( )
∑
)
9
Pengujian
Pengujian hipotesis
hipotesis tentang
tentang
k
fi i
k
fi i
k
k
l
l
i
i
koefisien
koefisien korelasi
korelasi
Hipotesis Hipotesis
1) H0: ρ= 0 (Tidak ada hubungan linear antara X dan Y)
H1: ρ ≠0 (Ada hubungan linear antara X dan Y)
2) H0: ρ ≥0 3) H0: ρ ≤0
H1: ρ< 0 H1: ρ> 0
T f t
Taraf nyata : α Statistik uji :
2
1
2
r
n
r
t
−
−
=
Kriteria Keputusan : 1) H0ditolak jika | thit| > tα/ 2,n-2
1 r
−
2) H0ditolak jika thit< - tα,n-2
3) H0ditolak jika thit> tα,n-2
10
Hipotesis
1) H :ρ= k 2) H :ρ ≥k 3) H :ρ ≤k 1) H0: ρ= k 2) H0: ρ ≥k 3) H0: ρ ≤k
H1: ρ ≠k H1: ρ< k H1: ρ> k
Taraf nyata : α Statistik Uji :
1 1 ln 1 1 ln
− + − − +
k k r r
Kriteria Keputusan : 3 1
1 1
− − − =
n k r Z
Kriteria Keputusan : 1) H0ditolak jika | Zhit| > Zα/ 2
2) H) 00ditolak jika Zj hithit< -Zαα 3) H0ditolak jika Zhit> Zα
11
Soal
Soal 11
Data
Data nilai
nilai mutu
mutu rata
rata-- rata
rata
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xi 5,5 4,8 4,7 3,9 4,5 6,2 6,0 5,2 4,7 4,3
Yi 3,1 2,3 3,0 1,9 2,5 3,7 3,4 2,6 2,8 1,6
i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Xi 4,9 5,4 5,0 6,3 4,6 4,3 5,0 5,9 4,1 4,7
Yi 2,0 2,9 2,3 3,2 1,8 1,4 2,0 3,8 2,2 1,5
Keterangan Keterangan: :
Y : nilai mutu rata-rata (NMR) pada akhir tahun pertama X : nilai ujian masuk
X : nilai ujian masuk
Anggap model regresi linear cocok digunakan.
a)
a) TentukanTentukan koefisienkoefisien determinasideterminasi dandan maknanyamaknanya b)
b) TentukanTentukan koefisienkoefisien korelasikorelasi
12
b)
b) TentukanTentukan koefisienkoefisien korelasikorelasi c)
Data
Data Pemeliharaan
Pemeliharaan Kalkulator
Kalkulator
Soal
Soal 22
Data
Data Pemeliharaan
Pemeliharaan Kalkulator
Kalkulator
ii 11 22 33 44 55 66 77 88 99 X
X 77 66 55 11 55 44 77 33 44 X
Xii 77 66 55 11 55 44 77 33 44
Y
Yii 9797 8686 7878 1010 7575 6262 101101 3939 5353
ii 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 X
Xii 22 88 55 22 55 77 11 44 55
Y
Yii 3333 118118 6565 2525 7171 105105 1717 4949 6868
(
)
16504,(
)
74.5,(
)(
)
1098 ,81 ,
1152 = − 2= − 2= − − =
=
∑
∑
∑
Yi∑
Xi∑
Yi Y Xi X , Xi X Yi YXiadalah banyaknya kalkulator yang diservis
Yiadalah lamanya waktu untuk memperbaiki kalkulator
A d l i li d h k di k
(
)
,(
)
,(
)(
)
,
,
∑
∑
∑
i∑
i∑
i i i iAnggap model regresi linear sederhana cocok digunakan.
Hitunglah
Hitunglah koefisienkoefisien determinasideterminasi! ! BerikanBerikan maknanyamaknanya!! Hitunglah
Hitunglah koefisienkoefisien korelasinyakorelasinya!! Hitunglah
Hitunglah koefisienkoefisien korelasinyakorelasinya!! Apakah
Apakah ρ≠ρ≠0? 0? LakukanLakukan pengujianpengujian hipotesishipotesis dengandenganαα=0,01.=0,01. 13
Soal
Soal 33
Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu).
Nilai ulangana u a ga 95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95 matematika
95 00 00 80 0 55 50 5 55 60 65 95
Lama waktu belajar matematika
18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10
a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas dan peubah tak bebas! Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi belajar matematika
Anggap asumsi asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi.
b)Tentukan koefisien determinasi dan maknanya c)Tentukan koefisien korelasi
d)Ujilah apakah ada hubungan linier antara lama waktu belajar matematika dan nilai ulangan matematika? Gunakan uji korelasi populasi dengan taraf nyata 0 05
dengan taraf nyata 0,05.
14
Soal
Soal 44
Suatu tes diberikan pada semua mahasiswa baru. Seseorang yang memperoleh nilai di bawah 35 tidak diizinkan mengikuti kuliah memperoleh nilai di bawah 35 tidak diizinkan mengikuti kuliah matematika yang biasa, tetapi harus mengikuti suatu kelas khusus (remedial class). Berikut ringkasan data dari nilai tes dan nilai akhir bagi 20 mahasiswa yang mengikuti kuliah matematika yang biasa:
20 mahasiswa yang mengikuti kuliah matematika yang biasa:
a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas Xdan peubah tak bebas Y!
Bila model regresi ordo pertama layak digunakan. Bila model regresi ordo pertama layak digunakan.
b)Tentukan koefisien determinasi dan maknanya c)Tentukan koefisien korelasi
d)Apakahρ= 0,85? Lakukan pengujian hipotesis denganα= 0,01.
15
K it i k
fi i
k
l
i
Kriteria koefisien korelasi
(Sarwono:2006):
– 0 : Tidak ada korelasi antara dua variabel
– 0 : Tidak ada korelasi antara dua variabel
– >0 – 0,25: Korelasi sangat lemah
– >0,25 – 0,5: Korelasi cukup
– >0,5 – 0,75: Korelasi kuat
– >0,75 – 0,99: Korelasi sangat kuat
– 1: Korelasi sempurna
– 1: Korelasi sempurna
ANALISIS VARIANSI
ANALISIS VARIANSI
ANALISIS VARIANSI
ANALISIS VARIANSI
UJI F UNTUK KETIDAKCOCOKKAN
UJI F UNTUK KETIDAKCOCOKKAN
MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA
MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA
1
UJI F UNTUK KETIDAKCOCOKKAN
UJI F UNTUK KETIDAKCOCOKKAN
MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA
MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA
MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA
MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA
•
Uji ini mengasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan
Y untuk suatu X tertentu bersifat bebas, tersebar
normal, memiliki ragam yang sama.
•
Uji ini menghendaki adanya pengamatan berulang pada
satu atau lebih nilai X.
2
Formula
Formula Hipotesis
Hipotesis
p
p
Hipotesis Hipotesis
H0: E{ Y} = β0+ β1X H1: E{ Y} ≠ β0+ β1X Atau
H0: Tidak ada ketidakcocokan model regresi linear sederhana dengan data
dengan data
H1: Ada ketidakcocokan model regresi linear sederhana dengan data Atau
H0: Model regresi linear sederhana cocok H1: Model regresi linear sederhana tidak cocok
3
Jumlah
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Ketidakcocokkan
Ketidakcocokkan Model
Model
(JKKM)
(JKKM)
(JKKM)
(JKKM)
JKG = JKGM + JKKM
JKG = JKGM + JKKM
Perhatikan :
ˆ
ˆ
ij
j
j
ij
ij
ij
Y
Y
Y
Y
Y
Y
−
ˆ
=
−
+
−
ˆ
Simpangan galat
Simpangan ketidakcocokan
d l Simpangan
galat murni g
model g
(
Y
ij−
Y
ˆ
ij)
2=
∑∑
(
Y
ij−
Y
j)
2+
∑∑
(
Y
j−
Y
ˆ
ij)
2∑∑
(
)
(
)
(
)
JKKM
JKGM
JKG
ij j j
ij ij
ij
=
+
∑∑
∑∑
∑∑
4
Statistik
Statistik Uji
Uji
(
k
)
KKM
J
2
jj
(
)
(
n
k
)
JKGM
k
KKM
J
F
−
−
=
(
2
)
(
)
2∑∑
−
=
Y
Y
JKGM
=
∑∑
(
Y
ij−
Y
j)
JKGM
i i i
i
b
Y
b
X
Y
Y
JKG
=
∑
∑
2−
0∑
∑
−
1∑
∑
JKGM
JKG
JKKM
=
−
2
)
(
;
)
(
;
2
)
(
G
=
n
−
db
GM
=
n
−
k
db
KM
=
k
−
db
(
G
)
n
2
;
db
(
GM
)
n
k
;
db
(
KM
)
k
2
db
5
Soal
Soal 1
1,
lakukan uji kecocokan model regresi linear
sederhana gunakan taraf nyata 0 05
i Xi Yi
sederhana, gunakan taraf nyata 0,05.
Xi Yij ⎯Yj
1 125 160
2 100 112
3 200 124
75 28
42 35
100 112 124
3 200 124
4 75 28
5 150 152
136 125 160 150
155
5 150 152
6 175 156
7 75 42
150 150 152 152 175 156 140
8 175 124
9 125 150
10 200 104
124 200 124 104
114
10 200 104
11 100 136
The regression equation is Ŷ
ΣXiYi=186200, ΣXi=1500, ΣYi=1288, ΣYi2=170696
Ŷi= 50,72251+ 0,48670 Xi
Soal
Soal 2. Data
2. Data Konsentrasi
Konsentrasi Larutan
Larutan
i Xi Yi
1 9 0.07
2 9 0 09 a. Tentukan persamaan regresi linear d
2 9 0.09
3 9 0.08
4 7 0.16
dugaannya.
b. Lakukan uji F untuk memeriksa apakah ada ketidakcocokan model bila
5 7 0.17
6 7 0.21
ada ketidakcocokan model bila digunakan model regresi linear
sederhana, gunakanα= 0.05.
7 5 0.49
8 5 0.58
9 5 0 53
c. Buatlah diagram pencar antara X dan Y, mengindikasikan model regresi apa yang cocok? Jelaskan
9 5 0.53
10 3 1.22
11 3 1.15
yang cocok? Jelaskan.
Seorang kimiawan mempelajari hubungan
12 3 1.07
13 1 2.84
g p j g
konsentrasi suatu larutan (Y) dengan waktu (X).
14 1 2.57
15 1 3.10 7
Soal
Soal 3
3
Bagaimana
Bagaimana uji
uji kecocokan
kecocokan model
model regresi
regresi
linear
linear sederhana
sederhana dilakukan
dilakukan
bila
bila tidak
tidak ada
ada
linear
linear sederhana
sederhana dilakukan
dilakukan
bila
bila tidak
tidak ada
ada
pengamatan
pengamatan berulang
berulang pada
pada nilai
nilai X?
X?
Berikan
PENDEKATAN
PENDEKATAN MATRIKS
MATRIKS TERHADAP
TERHADAP
ANALISIS
ANALISIS REGRESI
REGRESI LINEAR
LINEAR SEDERHANA
SEDERHANA
1
Perhatikan
Perhatikan kembali
kembali model
model regresi
regresi linear
linear sederhana
sederhana:
:
Y
Y
ββ
+
+
ββ
X
X +
+
Y
Y
ii=
=
ββ
00+
+
ββ
11X
X
ii+
+
εε
iiX Y1=
β
0+β
1 1+ε
1X Y2=
β
0+β
1 2+ε
2M
n n
n X
Y =
β
0+β
1 +ε
⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ + ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ X X Y Y εε β 2 1 0 2 1 2 1 1 1
ε
β
+
=
X
Y
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢⎣Yn Xn εn
β M M M M 1 1
ε
β
+
=
X
Y
n×1 n×2 2×1 n×1
2
Perhatikan bahwa adalah vektor nilai-nilai harapan
b
i
t
t
Y
b b E{Y }
β
+
β
X
β
X
bagi amatan-amatan Y
isebab E{Y
i}=
β
0+
β
1X
iS h
E
{ }
Y
X
β
Sehingga :
E
{ }
Y
=
X
β
n×1 n×2 2×1
S
d l h
ε
k
b h
b h k
l
Syarat : adalah suatu vektor peubah-peubah acak normal
yang bebas dengan dan
ε
E{ }
ε
=0 2{ }
2Iσ
ε
σ
=Persamaan normal regresi linear sederhana
∑
∑
=+b Xi Yi
nb0 1
Y X b X
Xt = t
ditulis dalam notasi matriks
∑
∑
∑
=+ i ii
i b X XY
X b 2 1 0 ⎤ ⎡ ⎤
⎡1 X Y
( )
X X XY b Y X b X X t t −1= ⇒ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ n n Y Y Y X X X b b X X X X X
X K M
K M M K K 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢
⎣1 Xn Yn
3
Perhatikan
Perhatikan !!!
!!!
Perhatikan
Perhatikan !!!
!!!
4
Uji
Uji terhadap
terhadap
ββ
11
Uji
Uji terhadap
terhadap
ββ
11
• Untuk menguji apakah ada hubungan linear antara Y dengan
X dil k k
ji
b ik t
X, dilakukan pengujian berikut :
Hipotesis :
H :
β
= 0
H
0:
β
1= 0
H
1:
β
1≠
0
Taraf nyata :
α
Taraf nyata :
α
Statistik Uji :
)
/(
)
1
/(
p
n
JKG
p
JKR
KTG
KTR
F
−
−
=
=
Y
J
Y
n
Y
Y
JKT
/1
⎟
/⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
p : banyaknya parameter
JKR = JKT-JKG
)
(
p
Y
X
b
Y
Y
JKG
=
/−
/ /n
⎠
⎝
Kriteria Keputusan :
H
0ditolak jika F
hit> F
α(p-1,n-p)5
Perhatikan
Perhatikan !!!
!!!
Perhatikan
Perhatikan !!!
!!!
1
⎞
⎛
Y
J
Y
n
Y
Y
JKT
/1
⎟
/⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎤
⎢
⎡
1
1
M
M
M
L
n
⎠
⎝
∑
′
2
Y
Y
Y
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣
=
1
1
L
M
M
M
J
n × n
∑
=
Y
i
Y
Y
⎢⎣
1
1
⎥⎦
( )
2
∑
=
′
i
Y
Y
J
Y
( )
∑
i
Selang
Selang Kepercayaan
Kepercayaan bagi
bagi
ββ
k
k
Selang
Selang Kepercayaan
Kepercayaan bagi
bagi
ββ
k
k
{ }
b
s
t
b
k
±
t
(
n
p
)
s
{ }
b
k
b
±
α
/
2
,
−
{ }
=
⎢
⎡
{ } { }
0 0 1⎥
⎤
2
2
b
s
b
s
b
, b
s
{ }
( )
1 /
2
=
−X
X
KTG
b
s
{ } { } { }
⎥
⎦
⎢
⎣
=
1 2 0 1
,
b
s
b
b
s
b
s
{ }
( )
K
fi i
K
fi i
D t
D t
i
i
i
i
Koefisien
Koefisien Determinasi
Determinasi
r
2=
JKR/JKT = 1- (JKG/JKT)
Koefisien
Koefisien korelasi
korelasi
r = ±
r
2 7Soal
Soal 11
Suatu percobaan telah dilakukan untuk menentukan apakah berat seekor kambing (dalam kilogram) dapat diprediksikan (setelah pada seekor kambing (dalam kilogram) dapat diprediksikan (setelah pada periode tertentu) berdasarkan jumlah makanan yang dimakan (dalam kilogram). Berikut data yang telah dinyatakan dalam notasi matriks.
, 14533 379
379 10
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ′X
X ,
31726 825
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ′Y
X Y′Y=
[
70083]
, Y′JY=[
680625]
Anggap model regresi ordo pertama dapat digunakan. a) Tentukan persamaan regresi dugaan beserta maknanya. b) Bila jumlah makanan seekor kambing sebesar 300 kg, berapakah
prediksi berat kambing tersebut?
c) Buatlah selang kepercayaan 99% bagiβ dan berikan maknanya c) Buatlah selang kepercayaan 99% bagi β1dan berikan maknanya. d) Tentukan koefisien korelasinya.
Soal
Soal 2
2
((
kerjakan
kerjakan dengan
dengan pendekatan
pendekatan matriks
matriks)
)
D
D
K
K
k
k
R
R
Data
Data Kerusakan
Kerusakan Rasa
Rasa
Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara suhu penyimpanan (dalam °F) dan lama (dalam minggu ) sebelum mulai terjadi kerusakan rasa suatu produk
i 1 2 3 4 5
Xi 8 4 0 -4 -8
Anggap bahwa model regresi ordo pertama dapat digunakan.
Yi 7.8 9.0 10.2 11.0 11.7
a)Tentukan persamaan regresi dugaannya
b)Ujilah apakah ada hubungan linear antara suhu penyimpanan dan lama sebelum mulai terjadi kerusakan rasa suatu produk ? lama sebelum mulai terjadi kerusakan rasa suatu produk ? c)Buat selang kepercayaan bagi β0 dan β1!
d)Tentukan koefisien determinasi dan koefisien korelasinya!) y
AN ALIS IS REGRES I LIN EAR GAN D A
AN ALIS IS REGRES I LIN EAR GAN D A
AN ALIS IS REGRES I LIN EAR GAN D A
AN ALIS IS REGRES I LIN EAR GAN D A
Dosen Pengampu : Kismiantini, M.Si.
1
Ingat
Ingat!
!
Metode
Metode Kuadrat
Kuadrat Terkecil
Terkecil untuk
untuk Model
Model Regresi
Regresi Linear
Linear Sederhana
Sederhana
( )
(
)
∑
(
(
)
)
∑
(
)
∑
−
=
−
+
=
−
−
=
nY
E
Y
nY
X
nY
X
Q
∑
(
( )
)
2∑
(
(
β
β
)
)
2∑
(
β
β
)
2 = = ==
+
=
=
i i i i i i i ii
E
Y
Y
X
Y
X
Y
Q
1 1 0 1 1 0 1β
β
β
β
∂
Q
n∂
Q
n(
)
∑
=−
−
−
=
∂
∂
ii i
X
Y
Q
1 1 0 02
β
β
β
∂
∂
=
−
∑
=(
−
−
)
n
i
i i
i
Y
X
X
Q
1 1 0 12
β
β
β
Lalu
Lalu keduakedua turunanturunan parsialparsial tersebuttersebut disamadengankandisamadengankan nolnol, , dengandengan penduga
penduga bagibagiββ00dandanββ11adalahadalah bb00dandan bb1 1 yang yang meminimumkanmeminimumkan Q.Q.
n
(
)
0
2
11
0
−
=
−
−
∑
= n i i ib
b
X
Y
2
(
)
0
1
1
0
−
=
−
−
∑
= n i i ii
Y
b
b
X
X
0
1 1 0 1=
−
−
∑
∑
= =ni i n
i
i
nb
b
X
Y
0
1 2 1 1 0 1=
−
−
∑
∑
∑
= = =ni i n i i n i i
i
Y
b
X
b
X
X
2Persamaan
Persamaan
Normal
Normal
n n∑
∑
==
=+
n i i n i iY
X
b
nb
1 1 1 0∑
∑
∑
+
=
n i in i n
i
b
X
X
Y
X
b
2 1 0 = == i i
i1 1 1
3
Model
Model Regresi
Regresi Linear
Linear Ganda
Ganda
Model
Model Regresi
Regresi Linear
Linear Ganda
Ganda
X
X
X
Y
iβ
+
β
X
i+
β
X
i+
+
β
pX
ip+
iY
=
β
0+
β
1 1+
β
2 2+
L
+
β
−1 , −1+
ε
dengan :
dengan :
β
0,
β
1, …,
β
p-1adalah parameter
X
i1
, …,
X
i,p-1 ,padalah konstanta yang diketahui nilainya
ε
isaling bebas dan menyebar
N
(0,
σ
2)
i
= 1, 2, …,
n
Persamaan regresi dugaan :
1 , 1 2 2 1 1 0
ˆ
− −+
+
+
+
=
i i p ipi
b
b
X
b
X
b
X
Y
L
g
g
4
P
P
N
N
l
l
Persamaan
Persamaan Normal
Normal
∑
∑
∑
∑
∑
∑
+
∑
+
−+
∑
+
−∑
=
=
+
+
+
+
i i p ip iY
X
X
X
b
X
X
b
X
b
X
b
Y
X
b
X
b
X
b
n
b
2 1 1 2 2 1 1 0K
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
− − − −=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
i i ip i p i i i i i i ip i p i i i iY
X
X
X
b
X
b
X
X
b
X
b
Y
X
X
X
b
X
X
b
X
b
X
b
2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0K
K
∑
∑
∑
∑
∑
X
ip−+
b
X
iX
ip−+
b
X
iX
ip−+
+
b
p−X
ip−=
X
ip−Y
ib
1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 0K
M
∑
∑
∑
∑
∑
p p p p p p5
Model
Model Regresi
Regresi Linear
Linear dengan
dengan 2
2 Peubah
Peubah Bebas
Bebas
i i i
i
X
X
Y
=
β
0+
β
1 1+
β
2 2+
ε
Persamaan regresi dugaan
:
2 2 1 1 0
ˆ
i ii
b
b
X
b
X
Y
=
+
+
Persamaan normal
:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
+
+
i i i⎥ ⎤ ⎢
⎡ ⎤
⎡ 11 12
1 1 1 1
1 L X X
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
= 21 22
2 22 12 1 21 11 ' 1 1 n n X X X X X X X X X X X X M M M L L ⎦ ⎣1 Xn1 Xn2
⎥ ⎤ ⎢
⎡
∑
1∑
2' i i X X n ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ =
∑
∑
∑
∑
∑
∑
2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 ' i i i i i i i i X X X X X X X X X X ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ =∑
∑
i Y X Y Y Y X X X Y X 2 1 ' 1 1 1 L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ =∑
∑
i i i i n n n Y X Y X Y X X X X X X Y X 2 1 2 22 12 1 21 11 M L 7Memaknai
Memaknai Persamaan
Persamaan Regresi
Regresi Dugaan
g
g
Dugaan
g
g
Misalkan : Ingin mengetahui apakah volume penjualan (Y, gros) b h b d j l h d d k (X ib ji ) d berhubungan dengan jumlah penduduk (X1, ribuan jiwa) dan pendapatan per kapita (X2, dolar).
Diperoleh persamaan regresi dugaannya ialahpe o e pe sa aa eg es dugaa ya a a
2 1 0,00920 496 , 0 453 , 3
ˆ X X
Y= + +
Persamaan ini menunjukkan bahwa rataan volume penjualan diharapkan akan naik 0,496 gros bila jumlah penduduk naik 1 ribu jiwa kalau pendapatan per kapita tetap, dan bahwa rataan volume j p p p p p,
penjualan diharapkan akan naik 0,0092 gros bila pendapatan per kapita naik 1 dolar kalau jumlah penduduk tetap. Bila jumlah penduduk sebesar 0 jiwa dan pendapatan per kapita 0 dollar maka penduduk sebesar 0 jiwa dan pendapatan per kapita 0 dollar maka rata-rata volume penjualan sebesar 3,453 gros (tidak bermakna).
8
Soal
Soal 1
1
Suatu percobaan telah dilakukan untuk menentukan apakah berat seekor binatang dapat diprediksikan (setelah pada periode
) b d k b l d j l h k tertentu) berdasarkan berat awal dan jumlah makanan yang dimakan. Diperoleh data sebagai berikut yang diukur dalam kilogram.
Berat Akhir (Y) 95 77 80 100 97 70 50 80 92 84
Berat Awal (X1) 42 33 33 45 39 36 32 41 40 38
Jumlah Makanan (X2)
272 226 259 292 311 183 173 236 230 235
Tentukan persamaan regresi dugaan dan maknanya!
Coefficientsa
-22.993 17.763 -1.294 .237 -64.995 19.009
1 396 583 404 2 396 048 018 2 773
(Constant) Berat Awal Model 1
B Std. Error Unstandardized
Coefficients Beta Standardized
Coefficients
t Sig. Lower Bound Upper Bound 95% Confidence Interval for B
9
1.396 .583 .404