BAB 1 KONSEP DASAR MATEMATIKA. Nur Ainiyah, SE., M.Akt.

BAB 1 KONSEP DASAR MATEMATIKA Nur Ainiyah, SE., M.Akt..

REFERENSI  Bumulo, H dan Mursinto, D. 2012. Matematika untuk Ekonomi dan Aplikasinya Edisi 7. Malang: Bayumedia Publishing..  Dumairy. 2012. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi edisi kedua. Cetakan keenam. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta  Kalangi, Josep Bintang. 2015. Matematika Ekonomi & Bisnis edisi ke-3 buku 1. Jakarta: Salemba Empat. SISTEM PENILAIAN : a. Presensi : 15 % b. Tugas : 20 % c. UTS : 25 % d. UAS : 40 %.

 SILABUS :. TM BAB. MATERI. 1. I. Konsep Dasar Matematika. 2. II. Persamaan. 3. III. Bilangan dan Himpunan. 4. IV. Relasi dan Fungsi. 5. V. Pertidaksamaan. 6. VI. Aplikasi Fungsi dalam ilmu ekonomi. 7. VII. Matriks. 8. UTS. 9. VIII. Hitung Diferensial. 10. IX. Hitung Integral. 11. X. Barisan dan Deret. 12. XI. Hitung Keuangan. 13. XII. Hitung Keuangan. 14. XII. Hitung Keuangan. 15. XIV. Hitung Keuangan. 16. UAS.

PENGERTIAN MATEMATIKA ASAL KATA :  MATHEMA artinya pengetahuan dan  MANTHANEIN artinya mempelajari atau belajar.  Matematika adalah ilmu tentang tata cara mempelajari pengetahuan. Dengan mempelajari matematika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dengan sistematis. Berpikir matematis:.  Seseorang yg hendak menempuh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.  Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika.  Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa..  Dengan mempelajari matematika, membawa seseorang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat..

Ekonomi dan Matematika Ekonomi : Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya: a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana. b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif-kan logika dengan asumsi-asumsinya.. c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng-gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel) . Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi. Kelemahannya pendekatan matematis : a. Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran.. Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika. b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan: 1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis 2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi. Kesimpulan dari bahasa adalah: 1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi. 2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model).

Manfaatnya belajar matematika  Sebagai salah satu pola berpikir yang jelas, objektif dan efektif sehingga melatih daya ingat dan daya nalar  Sebagai alat bantu yang sangat berguna untuk melakukan perhitungan dan pertimbangan dalam menetapkan keputusan  Sebgai ilmu pengetahuan untuk dikembangkan lebih lanjut. Kegunaan matematika dalam analisis ekonomi: Sebagai alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah sehingga dapat dianalisis dan dipecahkan Peranan matematika dalam ilmu ekonomi :  Hubungan-hubungan antara berbagai factor ekonomi dapat dinyatakan secara lebih singkat dan jelas  Perubahan-perubahan dari faktor-faktor kuantitatif mudah dihitung dan dilukiskan dalam bentuk table / diagram dan dengan turunan fungsi dapat dilakukan analisis marginal  Definisi dan asumsi dapat dirumuskan secara tegas  Penarikan kesimpulan dalam proses analisis akan lebih sistematis sehingga kekeliruan oleh uraian yang kaburdapat dihindarkan  Penerapan matematika dalam analisis ilmu ekonomi dapat menampakkan keterbatasan-keterbatasan serta kemungkinan-kemungkinannya..

Beberapa pengertian dasar dalam matematika  VARIABEL Variabel Adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Dalam arti lain variabel merupakan symbol bagi sembarang objek dalam suatu himpunan tertentu. Variabel dalam matematika sering dilambangkan dengan huruf. Contoh : P = Price, Q = kuantitas, C = cost. Variabel dalam model ekonomi terdiri berbagai jenis : 1. Variabel diskrit Adalah Variabel bagi objek yang satuannya tidak dapat dibagi-bagi menjadi pecahan (harus utuh: 0, 1, 2 dan seterusnya). Dalam arti lainsuatu variabel dengan nilai yang dapat dihitung atau terbatas. 2. Variabel kontinyu Adalah Variabel satuan ukurannya dapat dipecah menjadi bagian yang tidak utuh.Variabel adalah variabel dengan nilai tidak terbatas yang dapat diukur atau dicatat sampai tingkat kesempatan yang diperlukan. 3. Variabel bebas Adalah Variabel yang nilainya tidak tergantung Variabel lainnya. 4. Variabel tak bebas Adalah Variabel yang nilainya tergantung Variabel bebas. 5. Variabel endogen Adalah variabel yang penyelesaiannya diperoleh dari dalam model. Pada variabel ini tidak diberi simbol subscript 0. Contoh P adalah variabel endogen 6. Variabel eksogen Adalah variabel yang nilai-nilainya diperoleh dari luar model atau sudah ditentukan berdasarkan data yang ada. Pada variabel ini diberi simbol subscript 0. Contoh P0 adalah variabel eksogen.

 KONSTANTA, KOEFISIEN DAN PARAMETER a. Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggal yang nilainya tidak berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Konstanta ini sama halnya dengan variabel eksogen karena nilainya sudah tetap berupa data.. b. Kooefisien adalah angka pengali konstan terhadap variabelnya. Bila konstanta digabung dengan variabel jadi satu, misal 5R, 4P, stsu 0,3 C maka angka konstanta yang ada didepan variabel disebut koefisien dari variabel tersebut. c. Parameter adalah suatu nilai tertentu dalam suatu masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah yang lainnya. Parameter biasanya dilambangkan dengan abjad yunani atau arab seperti α, β, x atau a,b, dan c. Parameter ditulis dengan huruf kecil  KONSEP DASAR MATEMATIKA Beberapa konsep dasar diharapkan telah dipahami oleh mahasiswa diantaranya adalah himpunan, sistem bilangan, pangkat akar dan logaritma.Namun beberapa hal perlu dikaji kembali sebagai penyegaran agar lebih mudah dalam pemahaman analisis matematika lebih lanjut..

Jenis bilangan :. Bilangan nyata. Bilangan khayal. bilangan yang dapat berupa bilangan positif maupun negatif contoh : 5; -1, 5; 100; -9 Bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu. bilangan negatif contoh: √-9 = ±3, Hasil bagi antara dua bilangan yang berupa bilangan. Bilangan rasional. bulat atau berupa pecahan dengan desimal terbatas atau desimal berulang. contoh: 0,2347575; 5,12341234; 10; 1,35 Hasil bagi antara dua bilangan, berupa pecahan dengan. Bilangan irrasional. desimal tak terbatas dan tak berulang. Termasuk bilangan. π dan bilangan e Bilangan bulat. Hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya bulat termasuk nol. contoh: 0; 5; 8; 11 Hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya pecahan. Bilangan pecahan. dengan desimal terbatas atau desimal berulang contoh: 0,5; 0,375375; 0,123.

Selain bilangan-bilangan tersebut di atas, terdapat 3 jenis bilangan yang merupakan bilangan bulat positif yaitu:.  Bilangan asli : semua bilangan bulat positif tidak termasuk nol. Himpunan bilangan asli (A) = {1, 2, 3, …dst}.  Bilangan cacah : semua bilangan bulat positif atau nol. Himpunan bilangan cacah (C) = {0, 1, 2, 3, …dst}.  Bilangan prima : bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya “habis” dibagi oleh dirinya sendiri. Himpunan bilangan prima (P) = {2, 3, 5, 7, 11,…dst}.

MATHEMATICAL MODEL  MODEL ialah suatu struktur atau bentuk hubungan yang merupakan perwujudan dari alam pikiran terhadap sesuatu masalah (“a structure for ordering thought”).Suatu model matematik, pada umumnya terdiri atas persamaan atau pertidak samaan yang merupakan struktur dari suatu masalah yang mengandung variable dan parameter yang harus dianalisis atau diselesaikan dengan menggunakan operasi matematik.  Contoh suatu pabrik kopi ingin mencampur 3 jenis kopi, kualitas A, B, dan c dengan maksud agar diperoleh suatu hasil campuran yang memadai. Harga tiap jenis kopi tiap kg adalah Rp. 1.200,- untuk kualitas A, Rp. 1.600,- untuk kualitas B, dan Rp. 1.400,- untuk kualitas C. pabrik ini ingin mendapatka 4 ton kopi campuran dengan harga pokok Rp. 1.440,- tiap kg, sedangkan untuk memenuhi kualitas campuran maka perbandingan antara banyaknya kopi kualitas B dengan kualitas A harus berbanding 2:1, maka ditanyakan berapa kg untuk masing-masing kualitas kopi yang harus dicampur untuk memenuhi tujuan pabrik kopi ini, dengan catatan bahwa ongkos mencampur tidak diperhitungkan..  Jawab : Kopi kualitas A : x1 Kopi kualitas B : x2 Kopi kualitas C : x3  x1 + x2+ x3 = 4 ton = 4.000 kg ……persamaan 1  karena harga kopi campuran Rp. 1.400,- tiap kg maka harga pokok 4 ton kopi campuran ialah 4.000 x Rp. 1.400 = Rp. 5.760.000, karena ongkos mencampur tidak diperhitungkan, maka 1.200 x1 + 1.600 x2+ 1.400 x3= . 5.760.000 ……persamaan 2  perbandingan antara kopi kualitas B dan A ialah x2 : x1 = 2 : 1 atau 2x1 = x2 ……persmaan 3  selesaikan dengan subtitusi dan eleminasi.

TAHAPAN PENYELESAIAN SUATU MASALAH SECARA MATEMATIS  Langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah : 1. Memahami persoalan yang akan diselesaikan 2. Tulis apa yang harus ditanyakan / yang harus dihitung / yang harus diselesaikan 3. Menyelesaikan masalah 4. Memeriksa/ mengevaluasi/menilai kembali hasil penyelesaian dan melihat apa implikasi dari penyelesaian masalah ini. Dalam menyelesaikan soal matematika, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan agar hal-hal yang rancu bisa terselesaikan : a. Tidak memperhatikan tingkatan dari urutan operasi hitung, akan tetapi berdasarkan tanda kurung, perpangkatan, operasi kali dan bagi baru kemudian tambah/kurung. Contoh : y = 2x3, dimana x = 2 maka y = 2. (23) = 16, (4x2 + 3x) / x , maka (4x+3). b. Tidak tepat memakai rumus yang salah menulis bentuk rumus Contoh :(a + b)2, bukan a2 + b2 , tetapi =a2 + 2ab + b2. b. Salah menformulasikan persamaan (model) dari suatu persoalan yang mengandung beberapa variabel.





BAB 2 PERSAMAAN Nur Ainiyah, SE., M.Akt..

PERSAMAAN  Suku (terms) : bagian-bagian secara individu yang dipisahkan oleh tanda positif dan / negatif  Faktor (factor) : satu dari pengali-pengali yang dipisahkan dalam suatu kali.  Contoh : 3XYZ + XY – 5XZ  Pernyataan tersebut terdiri atas 2 bilangan bulat : 3 dan 5,  Terdiri atas 3 variabel : X, Y, Z  Suku-suku dalam lambang tersebut : +3XYZ, +XY dan -5XZ.  Suku pertama memiliki 4 faktor : +3, X, Y, Z dst.  Persamaan ialah bentuk hubungan variable yang dihubungkan dengan tanda =.  Dalam arti lain Persamaan adalah suatu pernyataan bahwa dua lambang adalah sama. Disimbolkan dengan “=”..

Dalam matematika ekonomi dan bisnis terdapat 3 macam persamaan : 1. Persamaan Definisi (Identity) Adalah suatu bentuk persamaan diantara 2 pernyataan yang mempunyai arti yang sama. Kesamaan antara ruas kiri dan ruas kanan. Contoh : total penerimaan adalah perkalian antara harga per unit dengan jumlah barang yang terjual, yang dapat dirumuskan : TR = P.Q Modal = Harta – Utang Log xy = log x + log y 𝑥 2 – 𝑦 2 = (x + y). (x - y). 2. Persamaan dari suatu fungsi Dapat melakukan pengamatan : hubungan antara variabel, kecederungannya, bentuk grafik dan batas-batas variabel Contoh : y = 3x + 50 C = 5000 + 4Q + 𝑄2. Persamaan perilaku (behavioral Equation) Adalah suatu persamaan yang menunjukkan bahwa perubahan perilaku suatu variabel sebagai akibat dari perubahan variabel lainnya yang berhubungan. Contoh : TC = 100 + 25Q TC = 150 + Q.

3. Kondisi keseimbangan Adalah suatu persaman yang menggambarkan prasarat untuk pencapaian keseimbangan (equilibrium). Keseimbangan pasar : Qd = Qs Keseimbangan pendapatan nasional : S = I (tabungan = investasi) Penyelesaian Persamaan sangat tergantung pada : 1. Bentuk persamaan 2. Banyaknya variabel 3. Banyaknya persamaan Cara penyelesaiannya : eliminasi dan subtitusi.

PERSAMAAN KUADRAT  ax2 + bx + c = 0 (a≠0)  harga x yang memenuhi persamaan ini disebut juga akar persamaan, ditentukan oleh diskriminan yakni, : D = b2 -4ac HAL-HAL YANG HARUS DIPERHATIKAN :. a. Sifat akar : x1 + x2 = -b/a; x1x2 = c/a b. Kalau D < 0, maka akar persamaan kuadrat tidak real, misalnya: 3x2 – 8x +10 = 0 tidak mempunyai akar yang real c. Kalau D = 0, persamaan kuadrat ini mempunyai dua akar sama (akar kembar), yakni: x = -b/(2a), misalnya: x2 = 6x – 9, akar-akarnya x1 =x2 =3 d. Kalau D > 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang berlainan misalnya: 3x2 = 17x – 20, pada persamaan seperti ini akar-akarnya dihitung dengan rumus abc, yakni :. 𝑥1 =. −𝑏+ 𝐷 2𝑎. dan 𝑥2 =. −𝑏− 𝐷 2𝑎. Kalau D tepat suatu kuadrat misalnya D = 144, maka akar-akarnya akan rasional. e. Kalau D ≥ 0 dan a, b, dan c sama tandanya, maka akar-akarnya negatif, misalnya : 2x2 + 15x +27 = 0.

f. Kalau D ≥ 0 dan b berlainan tanda dengan a dan c (a dan c sama tanda), maka akar-akarnya positif, misalnya: 3x2 – 47x + 180 = 0. g. Jika a dan c berlainan tanda, maka akar-akarnya berlainan tanda pula, satu positif lainnya negatif. Misalnya: x2 = 8x + 360, akar-akarnya diperoleh dengan cara memindahkan ruas kanan ke kiri menjadi: x2 – 18x – 360 = 0 dan D = (-18)2 – 4 (-360) = 1764 =>√1764 =42 𝑥1 =. 18+42 2. = 30 dan 𝑥2 =. 18−42 2. = −12. f. Jika c = 0, maka salah satu akarnya pasti = 0 dan akar lainnya = b/a, misalnya: 3x2 – 8x = 0 => x(3x – 8) = 0, akar-akarnya x1 = 0 dan x2 = 8/3.

PERSAMAAN EKSPONEN & PERSAMAAN LOGARITMA  Persamaan Eksponen ialah persamaan yang variabelnya ada di eksponen. seperti 2(3x + 1) = 32. 11 12 13 14.

 LOGARITMA. 1. x. log x =1, sebab x1 = x. 2. x. log 1 =0, sebab x0 = 1. 3. x. log xa =a, sebab xa = xa. 4. x. log ma =a xlogm. 5 6. xxlog m =m x. log m.n = xlog m + xlog n. 7. x. 8 9 10 11 12. = xlog m - xlog n. log x. log m. mlog x = 1. x. m. log n. nlog x = 1. log m. x. log. =.

BAB 3 BILANGAN & HIMPUNAN Nur Ainiyah, SE., M.Akt..

DEFINISI BILANGAN  Bilangan adalah perbandingan (rasio) antara suatu kuantitas dengan unitasnya (satuannya)..  Untuk menyatakan suatu bilangan dipakai lambang yang disebut angka atau digit, yang cara penyajiannya ditentukan oleh suatu perjanjian atau aturan tertentu yakni dengan memakai basis atau radiks tertentu seperti 1, 2, 3, 4...  Nilai tempat ditentukan oleh angka dan basis bilangan, yakni : 𝑎. 𝑥 𝑛−1. Dimana : a. : angka (a < x - 1). x. : basis bilangan. n. : nomor tempat angka di depan koma. Atau = 𝑎. 𝑥 −𝑛. Jika a terletak dibelakang koma dan n = nomor tempat angka dibelakang koma.

BASIS BILANGAN YANG DIPAKAI DALAM KOMPUTER :  Selaian memakai basis desimal maka pada dasarnya mesin komputer hanya mengenal basis binary yang hanya mengenal 2 digit yakni 0(= off, tidak ada aliran listrik) dan 1 (= on, ada aliran listrik), sebagai bahasa mesin. Dalam perkembangannya dikenal basis OKTAL (memakai 8 digit, yakni: 0,1,2,3,4,5,6 dan 7) dan basis hexadenary atau hexadesimal yang menggunakan 16 digit, yaitu 10 angka dari 0-9 dan 6 huruf besar: A,B,C,D,E dan F (A=10, B=11, C=12, D=13 dan E=14 dan F=15 pada basis desimal JENIS-JENIS BILANGAN REAL Bilangan nyata. Bilangan khayal. Bilangan rasional. bilangan yang dapat berupa bilangan positif maupun negatif contoh : 5; -1, 5; 100; -9 Bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif contoh: √-9 = ±3,. Hasil bagi antara dua bilangan yang berupa bilangan bulat atau berupa pecahan dengan desimal terbatas atau desimal berulang. contoh: 0,2347575; 5,12341234; 10; 1,35. Bilangan irrasional Bilangan bulat Bilangan pecahan. Hasil bagi antara dua bilangan, berupa pecahan dengan desimal tak terbatas dan tak berulang. Termasuk bilangan π dan bilangan e Hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya bulat termasuk nol contoh: 0; 5; 8; 11 Hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya pecahan dengan desimal terbatas atau desimal berulang contoh: 0,5; 0,375375; 0,123.

Selain bilangan-bilangan tersebut di atas, terdapat 3 jenis bilangan yang merupakan bilangan bulat positif yaitu:  Bilangan asli: semua bilangan bulat positif tidak termasuk nol. Himpunan bilangan asli (A) = {1, 2, 3, …dst}  Bilangan cacah: semua bilangan bulat positif atau nol. Himpunan bilangan cacah (C) = {0, 1, 2, 3, …dst}  Bilangan prima: bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya “habis” dibagi oleh dirinya sendiri. Himpunan bilangan prima (P) = {2, 3, 5, 7, 11,…dst}.

Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Irrasional. Bilangan Rasional. Bilangan Bulat. Positif. Bilangan Khayal. Nol. Bilangan Pecahan. Negatif.

KONSEP HIMPUNAN  Himpunan (set) = sekumpulan obyek yang dapat dibedakan secara tegas.  Obyek yang membentuk sebuah himpunan disebut anggota/elemen/unsur.  Secara umum himpunan dilambangkan dengan huruf besar, sedang anggota berhuruf kecil  Dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan sehimpunan atau sekelompok data observasi dari lapangan  Konsep himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi Ilmu Matematika modern pada umumnya dan di bidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya..

DEFINISI HIMPUNAN  Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang (diterangkan) dengan jelas. didefinisikan.  Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambanglambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas..  Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma Contoh: himpunan A, himpunan B, dll.  Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu Contoh: A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }.

Penulisan Himpunan : 1. cara daftar / tabulasi Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan..  Anggota himpunan ditulis satu persatu diantara tanda kurung siku / kurawal  Cara ini untuk anggota terbatas jumlahnya (masih dapat dihitung).  Contoh : A = {1,2,3,4,5} atau. HIMPUNAN A YANG BERISI EMPAT BILANGAN ASLI PERTAMA DAPAT DITULIS SEBAGAI A = {1, 2, 3, 4} 2. cara kaidah / rumusan / deskriptif. Cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut.  Dengan cara menyebutkan syarat keanggotaan himpunan tersebut  Cara ini untuk yang anggotanya sangat banyak.

 Contoh : A = {x; 0 < x < 6} atau A = {x ; 1 = x =5} B = {x; x adalah bilangan gasal} x. S berarti objek x adalah unsur himpunan S. x. S berarti objek x bukan unsur himpunan S. atau Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}.  Perhatikan tabel berikut !. Cara – 1. Cara – 2. A = { 3, 5, 7, 11, 13 }. A = { x t bilangan prima | 3 ≤ x ≤ 13 }. A = { ayam, buku, api }. B = tidak dapat dinyatakan karena tidak ada sifat yang sama. Tidak dapat dinyatakan karena jumlah anggota C tak terhingga. C = { x E bil.bulat | x > 10 }.

 Keanggotaan Suatu Himpunan Contoh: A = { 1, 3, 5, 7, 9 } 1 A 1 B 3 A 3 B 5 A 5 B 7 A 7 B 9 A 9 B. B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } 2 B 2 A 4 B 4 A 6 B 6 A 8 B 8 A 10 B 10 A 12 B 12 A. Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5. Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6 Catatan:.  Lambang. dibaca “elemen” atau anggota.  Lambang. dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota.  Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal.

JENIS HIMPUNAN. 1. HIMPUNAN BERHINGGA (FINITE SET) Adalah himpunan yang anggota-anggotanya terhingga banyak atau (countable). Contoh : H = { dosen fakultas ekonomi} M = {bilangan asli < 10} 2. HIMPUNAN TAK BERHINGGA (FINITE SET). Adalah himpunan yang banyaknya anggota himpunan tak terhingga atau tidak dapat dihitung dengan pasti. Contoh :. H = { hewan yang bertanduk} M = {x/x bil. Real lebih kecil dari 6} 3. Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan Simbol himpunan semesta : S atau U..

Contoh : A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} D = { 2,3,5,7,11 }. B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }. E = { 0, 2, 4, 6 }. C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }. Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E : 1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ? 2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?. Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E. 4. KOMPLEMEN SUATU BILANGAN  Adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan himpunan A tetapi anggota dari himpunan universal (U), diluar himpunan A. Ditulis dengan notasi A’ atau Ac.  Contoh : U = { bilangan real}. A = { bilangan rasional} A’ = Ac = { bilangan irrasional } = U-A.

5.. HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET) A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A B Contoh: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 } a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?. b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ? Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C : Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B  A Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C  A. RUMUS BANYAKNYA HIMPUNAN BAGIAN. Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A) Contoh:. Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut A = { a, b, c } C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }.

Jawab: n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 =8 n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 32. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 128 6. Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).. Notasi : Ø atau { } Contoh :. E = {x | x < x}, maka n(E) = 0 P = {orang Indonesia yang pernah ke mars}, maka n(P) = 0 atau D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m} F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 } Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ?.

7. HIMPUNAN KUASA (POWER SET) Adalah semua himpunan bagian dari suatu himpunan. Maka banyaknya himpunan bagian atau power set dari K adalah 2n himpunan bagian. Contoh : K = { a, b, c} maka banyaknya himpunan bagian 23 = 8 himpunan, yakni Ø, {a},{b},{c},{a, b},{ a,c},{ b, c},{ a, b, c}, (K adalah juga himpunan bagian dari K).. 8. HIMPUNAN PENYELESAIAN (SOLUTION SET) Adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah jawab (solusi)dari suatu soal. Contoh :. Kalau A = { x/bilangan real yang memenuhi x2 – 2x – 3 = 0}maka himpunan penyelesaian adalah A = { 1, 3} 9. HIMPUNAN LEPAS Adalah Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama.. Contoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }. G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }.  Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?  Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G.

10. HIMPUNAN TIDAK SALING LEPAS Adalah Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama. Contoh : P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }. Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }. Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P Q 11. HIMPUNAN SAMA Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya.. Contoh : A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e } Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B 12. HIMPUNAN EKUIVALEN. Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama. Contoh :. P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 } Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q ).

OPERASI HIMPUNAN 1. OPERASI GABUNGAN (UNION) Yakni yang anggota-anggotanya merupakan gabungan anggota himpunanhimpunan semula. Gabungan himpunan A dan B ditulis A  B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B Contoh : Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P  Q. Jawab :. P  Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }. A B A B. 2. OPERASI IRISAN (INTERSEKSI) Irisan himpunan A dan B ditulis A  B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B Contoh : Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P  Q Jawab :. P  Q = { d, e }. A B A B.

3. OPERASI SELISIH (MINUS) A – B = H, maka ini berarti anggota himpunan A tetapi yang bukan anggota himpunan B, sehingga : A – B = A  B’. Jadi kalau z  H maka z  A, tetapi z  B Operasi irisan dan operasi selisih mempunyai hubungan sebgai berikut : A – B = A  B’. A. AB=A–B 4. OPERASI Komplemen A’ = {x: x. U tapi x. Notasi : = { x. x. A} = U-A. U, x. A}. Contoh. Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka 𝐴 = {2, 4, 6, 8}. jika A = { x | x/2. P, x < 9 }, maka. 𝐴 = { 1, 3, 5, 7, 9 }. A B. B.

Kesimpulan operasi himpunan : 1. A  B  B  A 2. A  B  B  A. 3. A  B  C    A  B    A  C . 4. A  B  '  A' B ' 5. A  B  '  A' B '. 6. A' '  A. 7. A  B  B  A.

HUBUNGAN ANTARA 2 HIMPUNAN : Hubungan yang mungkin terjadi antar 2 himpunan : 1. A = B, karena itu akan berlaku :. a. A  B dan B  A b. A – B = Ø (himpunan kosong) c. A  B = A atau B 2. A ≠ B, ada 3 kemungkinan a. A  B dan B  A.  AB=B  AB=A  A-B=Ø b. A disjoint dengan B dan akan berlaku :  AB=Ø.  A–B=A  B–A=B c. Ada irisan antara A dan B 3. A ekuivalen dengan B (ditulis A B) n (A) = n (B), sedangkan anggota-anggotanya tidak perlu sama.

HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM HIMPUNAN Hukum -hukum yang berlaku dalam himpunan :. 1. hukum komutatif AB=BA PQ=QP 2. hukum asosiatif A  (B  C) = (A  B )  C = (A  C )  B P  (Q  R) = (P  Q )  R = (P  R )  Q. 3. hukum distributive A  (B  C) = (A  B )  (A  C ) P  (Q  R) = (P  Q )  (P  R ). 4. hukum absorbsI H  (H  M) = H P  (P  Q) = P. 5. hukum de morgan (A  B )’ = A’  B’ (P  Q )’ = P’  Q’.

APLIKASI PENGGUNAAN DIAGRAM VENN  DIAGRAM VENN. Langkah-langkah menggambar diagram venn : 1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah 4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi. 5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu. 7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap  Contoh :. 1. Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 } A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 }. C = { 3,6,9,12 }. Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas 2. Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?.

 JAWAB :. S. 1. Berikut jawaban untuk soal no 1. 0. A. 7.  6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C  3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C  2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B. 9. 3. 12. 6. C 8. 13 11. N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis}. n(A) = 21. B = {siswa gemar menari}. n(B) = 16. A  B = {siswa gemar keduanya}. n(A  B) = 10. a Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis b Ada 6 siswa yang hanya gemar menari c Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya. A. 11. 5. 2 4. 14. 2. Berikut jawaban untuk soal no 1. S. 1. B. 10. 6. 5. 10. B.

BANYAKNYA ANGGOTA SUATU HIMPUNAN YANG MEMPUNYAI SIFAT TERTENTU Sifat himpunan yang terdapat dalam daerah himpunan universal : 1. Daerah himpunan universal u dengan 2 subset A dan B. 2. Daerah himpunan universal u dengan 3 subset P, Q dan R 3. Banyaknya anggota himpunan. Beberapa rumus yang dipakai dari 3 sifat diatas : 1. 2. 3. 4. 5.. n (A B) = n (A) + n (B) – n (A  B) n (P  Q  R) = n (P) + n (Q) + n (R) – n (P  Q  R) - n (P  Q) - n (P  R) - n (Q  R) n (H  M) = n (H) - n (H  M) n (A – (B  C)) = n (A) + n (A  B  C) - n (A  B) - n (A  C) n (A’) = n (U) - n (A).

BATAS-BATAS ANGGOTA HIMPUNAN Cara batas maksimum atau minimal pada operasi himpunan :  Jika diketahui banyaknya himpunan A dan B adalah n (A) = p dan n (B) = q dan tidak diketahui banyaknya anggota A  B, maka operasinya :. n (A B) => batas maksimal n (A) + n (B) = p + q batas minimal= maksimal dari n (A) atau n (B) n (A B) =>batas maksimal = minimal dari n(A) atau n (B) batas minimal = nol n (A- B) =>batas maksimal = n(A) yakni sebanyak anggota himpunan yang dikurangi kalau n(A) ≤ n (B) maka batas minimal = nol kalau n(A) > n (B) maka batas minimal = p - q.

SISTEM BILANGAN NYATA N : 1,2,3, ... Z : ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... Q:. 𝑎 𝑞 = , 𝑎, 𝑏, ∈ 𝑍, 𝑏 ≠ 0 𝑏 R = Q U irasional Contoh bilangan irasional 2, 3, 𝜋.

TERIMA KASIH.

SOAL : 1. Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan a. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15. b. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari 10 c. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20. 2. Diketahui : S = { x | 10 < x ≤ 20, x  B } M = { x | x > 15, x  S } N = { x | x > 12, x  S } Gambarlah diagram vennya ! 3. Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya. a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso? c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?.

4.. Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang lulus tes bahasa. Banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa !. Take Home : 1. Dari 80 terdapat 25 orang suka membaca , 46 orang suka menulis dan 10 orang tidak suka keduanya. a. Ada berapa orang siswa yang suka membaca dan menulis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka membaca? c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka menulis? d. Gambarkan diagram Venn-nya! 2. Dari 40 siswa terdapat 20 orang suka futsal, 16 orang suka basket dan 7 orang tidak suka keduanya. a. Ada berapa orang siswa yang suka bermain futsal dan basket? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka futsal saja? c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka basket saja? d. Gambarkan diagram Venn-nya!.

JAWABAN: 1. Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi. pembentuk himpunan. a. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x  A} = { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } b. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x  B } = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } c. D = { x | x < 20 , x  A } = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }. 2. S = { x | 10 < x ≤ 20, x  B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 } M = { x | x > 15, x  S } = { 16,17,18,19,20}. S. N = { x | x > 12, x  S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20} M  N = { 16,17,18,19,20 }. Diagram Vennya adalah sbb:. N 11 12. 16 18 13. 17 19 14 15. 20. M.

3. N(S) = 60 Misalnya : A = {siswa suka bakso}. n(A) = 20. B = {siswa suka siomay}. n(B) = 46. (A B)c = {tidak suka keduanya}. n((A B)c) = 5. Maka A B = {suka keduanya}. n(A B) = x. {siswa suka bakso saja} = 20 - x {siswa suka siomay saja} = 46 – x. Perhatikan Diagram Venn berikut S A. 20 - x. x. 46 - x. B. 5. n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5 60 = 71 - x X = 71 – 60 = 11 a. Yang suka keduanya adalah x = 11 orang b. Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang c. Yang suka siomay saja adalah 46-x = 46-11= 35 orang.

4. n(S) = 180 orang n(M) = 103 orang n(B) = 142 orang n(M. B ) = x orang. n(S) = n( M. B ) = n(M) + n(B) – n( M B). 180 = 103 + 142 - X X. = 245 – 180 = 65. Jadi yang lulus adalah 65 orang = ( C ).

BAB 4 RELASI DAN FUNGSI Nur Ainiyah, SE., M.Akt..

PASANGAN URUT  Jika x anggota himpunan A dan y adalah anggota himpunan B maka (x, y) disebut pasangan urut, dimana x sebagai unsur pertama dan y kedua. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n dan banyaknya anggota himpunan B ialah p maka himpunan pasangan urut dari A ke B akan terdiri atas n.p pasangan urut, himpunan tersebut disebut dengan juga hasil kali (product) cartesius A x B.  Contoh : Jika A = {1, 3, 5} dan B = {a, b} maka himpunan pasangan urut dari A ke B : C = A x B = {(1, a), {(1, b),{(3, a),{(3, b){(5, a){(5, b)}.

RELASI  Ialah memasangkan anggota dari himpunan A dengan anggota himpunan B dengan suatu syarat tertentu sehingga himpunan pasangan urut yang memenuhi syarat ini akan merupakan subset dari himpunan pasangan urut A x B..  Contoh : A = {2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 5, 8} Relasi A ke B dengan syarat bahwa anggota dari A harus lebih besar dari anggota B ialah himpunan pasangan urut : (3, 2), (4,2), (5,2),(5, 4).

FUNGSI  Fungsi atau pemetaan (mapping )adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.  Fungsi atau pemetaan (mapping) dari himpunan A ke B adalah suatu relasi yang mempunyai ciri khusus, yakni setiap anggota A harus dipasangkan dengan hanya dan hanya satu anggota himpunan B..  Fungsif: A ke B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap x  A dengan tepat satu y  B.

 Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.  ATURAN : 1. setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. 2. setiap anggota A hanya boleh satu kali dipasangkan dengan anggota B 3. kalau setiap anggota A harus dipasangkan dengan anggota B, maka belum tentu semua anggota B akan dipasangkan dengan anggota A  Domain / daerah asal (Df) merupakan anggotan himpunan dari daerah asal seperti anggota himpunan A dalam gambar diatas.. Df  {x  R | f ( x)  R}  Daerah nilai / Range /Kodomain (Rf) merupakan daerah kawan dari f(x), yaitu :. Rf  { f ( x)  R | x  D f }  B.

 Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur yaitu: variabel, koefisien, dan konstanta.  Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap fungsi.  Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi.  Konstanta adalah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuksebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait pada suatu variabel tertentu). y = 5 + 0,8x y : variabel terikat. x : variabel bebas 0,8 : koefisien variabel x. 5 : konstanta Sedangkan notasi sebuah fungsi secara umum adalah: y = f(x).

CARA MENYATAKAN SUATU FUNGSI :  Hubungan fungsional antar variabel, sebagai berikut : 1. Dengan tabel (daftar lajur-dua) x. y. -1 0 2 4. 0 1 3 6. 2. Dengan suatu kalimat yang menyatakan rumusan fungsi disertai daerah asal dan daerah hasil dari fungsi Misalnya : A = {x / -1 ≤ x ≤ 4, x R}dan F:A => R yang ditentukan oleh f(x) = 𝑥 2 -2x-3 3. Dengan himpunan pasangan urut {(x, y)/dimana y=f(x)} atau cukup y = f(x) 4. Dengan diagram anak panah x. y. 5 7 8 9. A B C D. 5. Dengan suatu grafik yang koordinat titik-titiknya memenuhi pasangan urut suatu fungsi.

JENIS-JENIS FUNGSI : 1. Fungsi konstan  Merupakan fungsi konstan kalau setiap anggota dari A dipetakan pada satu anggota tertentu dari B. f:A. B. 2. Fungsi tunggal  Merupakan fungsi tunggal kalau setiap anggota dari A yang berbeda dipetakan pada anggota B yang berbeda pula.. 3. Fungsi berkorespondensi satu-satu  Merupakan suatu fungsi yang setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota B dan sebaliknya. Maka n (A) = banyaknya anggota n (B) 4. Fungsi identitas. f:A A dengan syarat bahwa anggota x dari A dipasangkan dengan x yang sama, jadi f(x) = x 5. Fungsi aljabar  Merupakan setiap bentuk fungsi yang hubungan antara variabel-variabel dihubungkan oleh +, -, x atau :, perpangkatan, √. Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi :.

a. Fungsi rasional: linier dan non linier b. Fungsi pecahan: c. Fungsi irasional. 6. Fungsi transendent  Merupakan fungsi yang tidak tergolong fungsi aljabar dan terdiri atas fungsifungsi berikut ini: a.Fungsi goniometris, y = sin x b.Fungsi eksponen, y = 3x c.Fungsi logaritma, y = log x d.Fungsi syklometris, y = arc sin x e.Fungsi hyperbolis, y = sinh x. 7. Kalau dilihat cara penulisannya, digolongkan sebagai berikut : a.Fungsi eksplisit, ditulis secara umum y = f (x). Y : variabel dependen, x : variabel independent.

b.Fungsi implisit ditulis secara umum f (x, y) = 0 atau c bilangan konstan 3x +2y = 8 c.Fungsi dalam bentuk parameter Variabel-variabel endogen dinyatakan dalam variabel lain yang disebut parameter. X = f(t) = 2t + 3 Y = g(t) = t2 -3t T sebagai parameter 8. Fungsi berdasarkan banyaknya variabel a.Fungsi dengan satu variabel, terjadi pada jenis fungsi konstan X = 5, y = 20 b.Fungsi dengan dua variabel Y = 3x + 1. c.Fungsi yang variabel lebih dari dua disebut multivariable function Z = 3x + 2y – 5u +2.

SISTEM KOORDINAT CARTESIUS  Setiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (sistem koordinat).  Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang.  Dalam menggambarkan suatu fungsi meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat). Misal:. y = 3 + 2x X. 0. 1. 2. 3. 4. y. 3. 5. 7. 9. 11.

Contoh Soal 1. Jika diketahui f(x) = x2 – 2x + 3, tentukan: f(-2); f(0); f(3); f(4); dan f(8) 2. Jika diketahui 𝑓 𝑥 =. 150+20𝑥 , 𝑥. tentukan. f(1), f(2), f(3) 3. Tentukanlah himpunan pasangan urut berikut ini apakah fungsi atau bukan a. {(2,3), (3,4), (4,5)} b. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4), (5,5)} c. {(2,4),(4,6),(2,6)} 4. Tentukan himpunan pasangan urut (x,f(x)) berikut apakah fungsi atau bukan a. X F(x) b. X F(x) c. X F(x). D.. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 1. 2. 3. 4. 4. 5. 1. 2. 3. 3. 4. 5. 6. 7. X. 1. 2. 3. 4. F(x). 1. 8. 27. 64.

KURVA SUATU FUNGSI  Bentuk kurva dapat dibedakan berikut ini : 1. Kurva yang linier (garis lurus). Fungsi linier adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel tersebut, atau dengan kata lain tak satupun variabel berpangkat lebih dari 1. Bentuk fungsi linier atas 2 variabel : a. f(x) = Y = a + bx : bentuk umum b. px + qy = r c. ..  PERSAMAAN GARIS LURUS. Dimana:  a dan b adalah konstanta  a adalah slope/gradien  b adalah intercept apabila :  a > 0 : garis condong ke kanan  a< 0 : garis condong ke kiri  a = 0 : garis mendatar (sejajar sumbu x)  a = ~ : garis tegak (tegak lurus dengan sumbu x). Dapat ditentukan persamaannya kalau diketahui 2 titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) atau diketahui gradiennya dan satu titik yang dilalui misalkan A(x1, y1). Rumus gradien (slope = koefisien arah) :.

Sebagai contoh, y = 15 – 2x, kemiringannya adalah –2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y..

m adalah bilangan yang menunjukkan besarnya perubahan variabel y kalau x naik/ turun 1 unit, maka persamaan garis AB :. Jika x1 = x2, maka x = x1 Jika y1 = y2, maka y = y1 Gradien (slope/kemiringan/kecondong an) adalah garis yang mengukur perubahan (Δ) nilai variabel pada sumbu tegak dibagi dengan perubahan (Δ) nilai variabel pada sumbu datar. Arahnya disebut dengan koefisien arah. a<0. a=  Sb. y. a>0. } {. b(+). b (-). a=0 Sb. x.

y. Y2 y. Y1. 0. x. X1. X2. x. . Dari gambar diatas terlihat bahwa slope garis:. . Bila slope garis dilambangkan dengan a, maka:.

Intercept titik dimana grafik memotong sumbu tegak, jika persamaan berbentuk y=f(x) atau titik dimana grafik memotong sumbu datar, jika persamaan berbentuk x=f(y) Misal Persamaan 4y=2x+8 y= 2/4x + 8/4 y=1/2x+2 X y. 0 2. 1 2. 2 3. Jadi slope = 1/2 Intercept = 2 3 3. 4 4. Y=1/2x +2. 4.5 4 3.5 3 2.5. 2 1.5 1 0.5 0 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5.

CARA MEMBENTUK FUNGSI LINIER.

1. Metode Koordinat Lereng (Slope-Coordinate) Dari sebuah titik, misal koordinat titik A (x1,y1) dan sebuah lereng, misal koefisien arah a dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi titik dan lereng tersebut, maka persamaan garisnya dapat dicari dengan menggunakan rumus: y-y1 = a (x-x1) 2. Metode Dwi-Kooordinat (Bi-Coordinate) Dari dua buah titik, misal titik A (x1,y1) dan titik B (x2,y2) dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut, maka persamaan garisnya dapat dicari dengan menggunakan rumus: y – y1 = x – x1 Y2-y1 = x2 – x1.

3. Melalui Dua Titik Potong  Titik potong dengan sumbu x, maka y=0, jika x=a maka koordinat titik (a,0), titik tersebut merupakan titik (x1,y1).  Titik potong dengan sumbu y, maka x=0, jika y=b maka koordinat titik (0,b), titik tersebut merupakan titik (x2,y2).  Apabila ada 2 titik koordinat, maka dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dwi-koordinat.. atau.

PENGGAMBARAN GRAFIK/KURVA.

1. Sebarang Nilai untuk Variabel Bebas Di dalam persamaan y= f(x), setiap harga yang diberikan untuk x menentukan harga dari pada y. Misal persamaan: y = 4x+3 x y. 0 3. 1 7. 2 11. 3 15. 4 19. y. 30. y=4x+3. 20 10. x -1 0. 12 3. 4 5. 5 23.

2. Metode Dwi-Kooordinat (Bi-Coordinate) Umumnya untuk menggambarkan grafik fungsi linier cukup kalau ditentukan dua titik. Kedua titik yang sering diambil ialah dimana x=0 dan dimana y=0 Titik potong dengan sumbu y, maka y=0 y=4x+3 0=4x+3 4x=3 X= - 3/4 (-3/4,0) Titik potong dengan sumbu y, maka x=0 y=4x+3 y=4.0+3 y=3 (0,3).

y. Y=4x+3 3 2 1 1. x.

3. Intercept Titik potong dengan sumbu tegak atau dengan sumbu datar tergantung pada bentuk persamaannya. Jika persamaannya y=f(x), titik potong pada sumbu tegak dan jika persamaannya x=f(y), titik potongnya ada di sumbu datar. Misal persamaan: Y = 4x+3, berarti interceptnya 3 digambarkan di sumbu y.. X=. , berarti interceptnya =. y. ada pada sumbu x. Y=4x+3. 3 2 1 1. x.

HUBUNGAN DUA BUAH GARIS.

2. Dua garis lurus a.2 garis lurus akan berpotongan jika gradiennya tidak sama, koordinat didapat dengan eliminasi dan subtitusi b.2 garis lurus akan sejajar kalau gradiennya sama c.2 garis lurus akan saling tegak lurus kalau hasil kali kedua gradien = -1 atau m1 = -1/m2  Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yaitu a. berimpit/identik, b. berpotongan, c. sejajar/paralel dan d. tegak lurus.  Hubungan dua garis tersebut dapat diterangkan dengan menggunakan 2 persamaan, yaitu: Persamaan I y = ax+b Persamaan II y = mx+n.

1. Berimpit Dua buah garis lurus akan berimpit/identik apabila koefisien arah dari intercept dan dua persamaan adalah sama, yaitu a=m dan b=n. y. x Berimpit a=m b=n.

2. Berpotongan Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila mempunyai koefisien arah yang berlainan, yaitu a≠m y. Berpotongan a≠m. x.

3. Sejajar/paralel Dua buah garis lurus akan sejajar/paralel apabila mempunyai koefisien arah yang sama dan intercept yang berbeda, yaitu a=m dan b≠n y. Sejajar a=m. x.

4. Tegak Lurus Dua buah garis lurus akan saling tegak lurus apabila hasil kali dari koefisien arahnya sama dengan -1, yaitu a x m = -1 y. x Tegak lurus axm= -1.

Soal Latihan 1.. Carilah kemiringan (slope) garis yang telah ditentukan oleh titik A dan B berikut ini:. 5. Untuk setiap pasangan titik – titik koordiant (x,y) carilah persamaan garis lurus y=a0 + a1x. a. A(3,4) dan B(4,3). a. (3,5), (10,2). b. A(4,5) dan B(8,13). b. (4, -2), 0,6). 2. Carilah kemiringan (slope dari garis – garis berikut : a. Y = 2x + 3. 6. Untuk setiap titik koordinat (x,y), dan koefisien kemiringan a berikut ini carilah persamaan garis lurus y=a0 + a1x. a. (2,6) dan a = 0.4. b. 4x – 6y = 10 3. Tulislah persamaan – persamaan berikut dalam bentuk slope-intercept a. 2x – 3y -6 =0. b. (5,8) dan a =-1.6. 7. Tentukaah apakah garis – garis berikut sejajar atau tidak a.2x – 3y + 2 = 0 dan 4x -6y = 0. b. 3x +4y +1 = 0 4. Carilah kemiringan dan titik potong sumbu Y pada setiap garis – garis berikut:. b.3x+y +4 = 0 dan 6x -2y +8 = 0 8. Tentukan apakah garis – garis berikut ini tegak lurus satu sama lainnya atau tidak. a. 3x -12y + 2 =0. a.. A(3,1), B(4,3) dan C(1,-3), D(0,-2). b. 2x -5y -10 =0. b.. A(-1,2), B(4,5) dan C(2,-5), D(0,0).

3. Kurva yang non linier a. Berbentuk parabola: y = ax2 + bx + c (a≠0) Jika a > 0, maka kurva kan terbuka keatas (upward) Jika a < 0, maka kurva kan terbuka kebawah (downward) Kurva parabola mempunyai ciri khusus : 1) Mempunyai sumbu simetri x =. −𝑏 2𝑎. yang sejajar sumbu Y. a)Jika b = 0 maka sumbu simetri x = 0 yakni sumbu y b)Jika b dan a (sama-sama +/-), maka sumbu simetri akan terletak sebelah kiri sumbu y c)Jika b dan a (berlainan tanda), maka sumbu simetri akan terletak sebelah kanan sumbu y 2) Mempunyai titik tertinggi jika a < 0 atau mempunyai titik terendah a > 0, koordinat tititk ini : −𝑏 𝑥= 2𝑎 2 𝑏 − 4𝑎𝑐 𝑦= −4𝑎 Atau bisa juga dicari dengan turunan fungsi.

3) Kofaktor konstan c dari y = ax2 + bx + c adalah koordinat potong parabola dengan sumbu y, sebab x = 0, maka y = c 4) Berkenaan dengan sifat-sifat akar persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0, dimana 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 adalah diskriminan, maka kurva tersebut :  Memotong sumbu x kalau D > 0  Menyinggung sumbu x kalau D = 0  Dan tidak akan Memotong sumbu x kalau D < 0  Yakni akan seluruhnya diatas sumbu x kalau a > 0 dan seluruhnya dibawah sumbu x kalau a > 0, kalau D< 0 b. Kurva fungsi eksponen Fungsi y = 2x; y = eax  Untuk x yang real, Ax dimana a > 0 selalu positif , maka kurva y = ax akan selalu terletak diatas sumbu x dan  untuk x = 0 harga dari a0 = 1, kurva ini akan memotong sumbu y dititik (0,1), sedangkan kurva dari y = k.ax akan memotong sumbu y dititik (0, k) Fungsi eksponen y = a.ebx , eksponen yang sering dipakai :  x = 0, maka y = a dan kalau b> 0 dan x : ∞ maka y makin ∞  b < 0 kalau x : ∞ maka y = 0.

c. Kurva fungsi logaritma  Y = alog.x  Jika log x, dimana x = positif kurva Akan terletak sebelah kanan sumbu Y & a > 1 maka kurva terletak dibawah sumbu x  Jika 0 < a < 1, kurva y akan terletak diatas sumbu x d. Kurva fungsi pecahan Fungsi y =. 𝑥−3 𝑥−2. asimtot tegak ialah x = 2 yang diperoleh dari penyebut x-2 = 0. Sedangkan asimtot mendatar ialah y = 1 yang diperoleh dari : 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡. 𝑥−3 𝑥−2. untuk x mendekati tak terhingga yakni y = 1. Kurva y =. 𝑥−3 𝑥−2. 4. Kurva fungsi yang monoton naik Kurva ini dibedakan kurva monoton naik dan kurva monoton turun : a. Kurva fungsi yang monoton naik. Jika suatu fungsi y = f (x) berlaku x1< x2maka akan berlakuf (x1)< f (x2), maka kurva ini akan monoton naik dalam interval x yang memenuhi ketentuan tersebut b. fungsi yang monoton turun Jika suatu fungsi y = f (x) berlaku x1< x2justru sebaliknya berlaku f (x1)> f (x2), maka kurva ini akan monoton turun dalam interval x yang memenuhi ketentuan tersebut.

5. Kurva fungsi yang kontinyu Kurfa fungsi y = f (x), misalkan untuk x = a, akan berlaku : a. Harga y = f (a) ada, yakni tertentu b. Harga limit f (x) untuk x mendekati a, baik dari arah kiri maupun kanan harga a, yakni : Lim f(x) = ada, misalkan = L X. a. c. Harga f (a) = L Jika ada salah satu dari ketiga syarat ini yang tidak dipenuhi, maka grafik fungsi ini tidak kontinyu untuk x = a 6. Kurva fungsi yang mempunyai beberapa interval. Y = f (x). x2. Untuk x ≤ 0. x. Untuk 0 < x < 4. 3. Untuk x ≥ 4.

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS 1.Fungsi komposisi Jika diketahui fungsi dari A ke B ialah y = f (x) dan fungsi dari B ke C ialah z = g (y) maka fungsi dari A ke C yang ditentukan oleh k (x) = g (f(x)), yang dibaca sebagai “ g f x” disebut fungsi komposisi f dan g. 2.Fungsi invers Jika diketahui fungsi dari A ke B ialah y = f (x) dan fungsi ini hanya mungkin mempunyai invers B ke A sebagai fungsi f-1 (x) kalau setiap anggota b dapat dipetakan tepat pada suatu anggota A; hal ini hanya mungkin kalau fungsi A ke B adalah fungsi yang berkorespondensi satu-satu.

PENCARIAN AKAR-AKAR.

PENCARIAN AKAR-AKAR Digunakan untuk menghitung besarnya nilai variabel-variabel tertentu di dalam persamaan suatu fungsi atau menghitung harga dari bilangan tak diketahui dalam persamaan. Pencarian besarnya harga dari bilangan dalam persamaan dapat diselesaikan dengan cara substitusi dan eliminasi. Cara Substitusi Dua persamaan dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang lain. Cara Eliminasi Dua persamaan dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu bilangan, sehingga dapat dicari nilai atau harga dari bilangan yang lain.

SELAMAT BELAJAR!.

 N.

BAB 5 PERTIDAKSAMAAN Nur Ainiyah, SE., M.Akt..

PERTIDAKSAMAAN BENTUK PERTIDAKSAMAAN.  Merupakan hubungan antara variabel-variabel yang dihubungkan dengan simbol > dan <. Misalnya :  Y > 2x  2x -1 < x + 3  Cara menyelesaikannya seperti pada persamaan dengan jalan memindahkan variabel ke dalam salah satu ruas.  Bentuk pertidaksamaan : 1. Pertidaksamaan linear. 3x < x + 8. 2. Pertidaksamaan nonlinear :  Pertidaksamaan kuadratis  Pertidaksamaan pecahan  Pertidaksamaan irrasional.  x2 > 3x + 8 3𝑥−2  𝑥−1 > 4. 3. Pertidaksamaan dengan satu variabel. x2 - 2x < 8. 4. Pertidaksamaan dengan dua variabel atau lebih. x + 3y < 24. . 2𝑥 − 4 < 3.

SIFAT-SIFAT PERTIDAKSAMAAN 1. Kalau a < b dan b < c maka a < c 2. Suatu persamaan tidak akan berubah hubungannya walaupun ruas kiri dan kanan ditambah/dikurangi dengan bilangan yang sama : a < b, maka a + p < b +p 3. a. Kalau a < b dan p > 0 (+), maka ap < bp (tanda pertidaksamaan tetap),. b. Kalau a < b dan p < 0 (-), maka ap > bp (tanda pertidaksamaan dibalik) misalnya : 2 – 1/2x < -3 maka -4 + x > 6, x > 10 4. kalaua dan b + dan a < b, maka a2< b2 sebaliknya, kalau x2 < 4, maka harga x yang memenuhi bukan hanya x < 2, tetapi -2 < x < 2, yakni himpunan bilangan antara -2 dan 2.

PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN  Menyelesaikan pertidaksamaan adalah dengan menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut : 1. Pertidaksamaan linear dengan 1 variabel selalu mempunyai himpunan jawab 2. Pertidaksaaam kuadratis  ax2 + bx + c > 0 atau < 0  ruas kanan selalu dijadikan nol kemudian hitung nilai diskriminan D = b2 – 4ac a. Kalau D > 0, maka himpunan jawab yang batas-batasnya ditentukan oleh akar-akar dari persamaan : ax2 + bx + c = 0 b. Kalau D < 0, maka himpunan jawabnya ada 3 kemungkinan o {} atau himpunan kosong, tidak ada jawaban yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, misalnya : x2 + 18 < 2x atau x2 +1. o Semua bilangan real atau x € R o Misalnya : x2 + 18 > 2x ............... x2-2x+ 18. o Semua bilangan real kecuali x = p (karena D = 0 maka p adalah akar kembar persamaan).

3.Pertidaksamaan yang berbentuk pecahan 𝑓(𝑥) <0 𝐹(𝑥) Sedapat mungkin menguraikan f dan F(x) atas faktor linear dan selidiki tanda hasil bagi pembilang dan penyebut untuk hargaharga dari f(x) = 0 dan F(x) = 0, atau apakah f(x) atau F(x) selalu definit + atau – HARGA MUTLAK 𝑎 yang dibaca sebagai harga mutlak dari bilangan real a didefinisikan sebagai :  Jika a ≥ 0 maka 𝑎 = a.  Jika a ≤ 0 maka 𝑎 = -a Sedangkan jika 𝑎 < bilangan + b maka a harus memenuhi syarat –b < a < b. Sebaliknya jika 𝑎 > bilangan + c maka a harus memenuhi syarat a > c atau a < -c.

DAERAH MEMENUHI PERTIDAKSAMAAN LINIER Pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan ax + by +c = 0 merupakan koordinat titik-titik yang terletak pada grafik garis ax + by +c = 0, sedangkan Pasangan (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan ax + by +c = 0merupakan daerah titik-titik yang letaknya diatas atau dibawah garis ax + by +c = 0. Daerah sebelah mana yang memenuhi pertidaksamaan tersebut tergantung pada hubungan persamaan tersebut..

n.

BAB 6 APLIKASI FUNGSI DALAM ILMU EKONOMI Nur Ainiyah, SE., M.Akt..

 JENIS-JENIS FUNGSI DALAM EKONOMI Terdapat beberapa fungsi ekonomi : 1. Fungsi permintaan (demand functions) D : x = f(p) atau p = f(x) 2. Fungsi penawaran S : x = f(p) atau p = f(x) 3. Fungsi penerimaan (total revenue) TR = f(x) 4. Fungsi biaya (total cost) TC = f(x) 5. Fungsi produksi X = f(K, L, M) 6. Fungsi konsumsi C =f(Y) 7. Fungsi tabungan S = f(Y, i).

FUNGSI PERMINTAAN (FUNGSI DEMAND)  adalah fungsi yang menghubungkan antara (barang/jasa) yang diminta oleh konsumen.. variabel. harga. dan. variabel. jumlah.  Pada umumnya para ahli ekonomi berasumsi bahwa jumlah produk yang akan diminta oleh konsumen selama satu periode waktu tertentu tergantung pada 5 variabel utama yaitu : 1) Harga Produk itu sendiri. 2) Pendapatan Konsumen 3) Harga produk lain yang saling berhubungan 4) Harga produk yang diharapkan pada periode mendatang 5) Selera Konsumen Secara matematis fungsi permintaan di atas dapat ditulis persamaannya :. Qdx,t = ƒ (Px,t, Py,t, Yt, PeX,t+1,St) Dimana Qdx,t. = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.. Px,t. = Harga produk X dalam periode t.. Py,tt. = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.. Yt. = Pendapatan konsumen dalam periode t.. Pex,t+1. = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t + 1.. St. = Selera dari konsumen pada periode t..

Dari kelima variabel di atas variabel harga produk ,adalah variabel yang dianggap paling penting sehingga dipakai sebagai variabel bebas. Sedangkan keempat variabel bebas lainnya dianggap konstan. Dengan demikian penulisan fungsi permintaan ini dapat ditulis ke persamaan :. Qdx =ƒ(Px) Dan apabila persamaan di atas ditransformasikan ke dalam bentuk persamaan linier ,maka bentuk umumnya adalah : Dimana :. Qx = a - b.Px Dimana :. Qx. = Jumlah produk X yang diminta. Px. = Harga produk X. a dan b. = Parameter, dimana parameter b bernilai negatif dikarenakan bahwa fungsi permintaan mengacu pada hukum permintaan , yaitu : “Jika harga suatu produk naik (turun) , maka produk yang diminta oleh konsumen akan berkurang (bertambah) , dengan asumsi variabel lainnya konstan..

Fungsi permintaan dapat berbentuk linear atau nonlinear : 1. Bentuk linear bentuk umumnya adalah, Syarat-syarat kofaktornya : D : x = a + bp. a > 0 dan b ≤ 0. D : p = a + bx. a > 0 dan b ≤ 0. D : ax + bp = c (implisit) a, b, dan c sama tandanya (pada umumnya diambil bilangan +). D : x = constant. (sejajar sumbu P). Qx = a - bPx Dimana Qx = Jumlah produk X yang diminta Px. = Harga produk X. a dan b. = Parameter.  Contoh :. x = 300 – 2P p = 200 - x.

2. Bentuk Kuadratis Syarat-syarat kofaktornya :. D : x = ap2 + bp + c D : p = ax2 + bx + c. a < 0, b ≤ 0 dan c > 0 Kalau a < 0, maka b < 0,c > 0 dan b2-4ac ≥ 0 kalau a < 0, maka b ≤ 0 dan c > 0.  Contoh : x = -p2 – p + 12. p = x2 – 9x + 20 3. Bentuk pecahan Contoh :. Syarat-syarat kofaktornya : 𝑎 𝑎 𝐷: 𝑥 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 𝑝 𝑥 𝑎𝑝 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐷: 𝑥 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 𝑝 𝑥. 𝑎𝑝 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐷: 𝑥 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 𝑚𝑝 + 𝑛 𝑚𝑥 + 𝑛. a harus +. a < 0 dan b > 0. an – bm < 0 atau a berlawanan tanda dengan b, m, dan n.

4. Bentuk exponensial / logaritmik  D : p = a.e-nx;. atau ln p = -nx + ln a. (a>0).  Contoh : P = 6.e-2x.  Hukum Permintaan : Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri) Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah :.

 Kurva Permintaan :. Sesuai dengan hukum permintaan, kurva fungsi permintaan pada umumnya berbentuk monoton turun dari kiri atas ke kanan bawah. Pada kurva permintaan, perlu diperhatikan tingkat harga maksimum sehingga tidak ada konsumen yang mampu membeli barang tersebut yaitu untuk x = 0, atau Pmaks = f(0). Interval x dan interval p, yakni : a. Untuk varibel kuantitas 0 ≤ x ≤ xmaks b. Untuk varibel tingkat harga 0 ≤ p ≤ pmaks FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS Contoh : 1. Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah grafiknya?.

Jawab : 1. Diketahui: P1 = 100; P2 = 75; Q1 = 10; Q2 = 20 𝑄 − 𝑄1 𝑄2 − 𝑄1 = 𝑃 − 𝑃1 𝑃2 − 𝑃1 𝑄 − 10 20 − 10 = 𝑃 − 100 75 − 100 10 𝑄 − 10 = − 𝑃 − 100 25 2 𝑄 − 10 = − 𝑃 − 100 5 2 𝑄 − 10 = − 𝑃 + 40 5 2. 2. 𝑄 = − 5 𝑃 + 50 ATAU 𝑄 = − 5 𝑃 − 50 2. N.

FUNGSI PENAWARAN (FUNGSI SUPPLY)  Adalah fungsi yang menghubungkan (barang/jasa) yang ditawarkan.. antara. variabel. harga. dan. variabel. jumlah.  Variabel lain yang yang sangat mempengaruhi jumlah yang ditawarkan oleh produsen menurut ahli ekonomi ada 5 variabel utama yaitu : 1) Harga Produk tersebut. 2) Tingkat teknologi yang tersedia 3) Harga dari faktor faktor produksi yang dipakai 4) Harga produk lain yang berhubungan dalam produksi. 5) Harapan pra produsen terhadap harga produk tersebut di masa depan  Secara matematis hubungan fungsional antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen dengan kelima variabel bebas yang mempengaruhinya dapat ditulis sebagai berikut :. Qsx,t = ƒ(Px,t , Tt , PF,t , PR,t , Pex,t+1) Dimana Qsx,t. = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.. Px,t. = harga produk X dalam periode t. Tt. = Teknologi yang tersedia dalam periode t. PF,t. =. PR,t. = harga produk lain yang berhubungan dalam periode t. Pex,t+1. = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1. harga faktor-faktor produksi dalam periode t.

 Fungsi penawaran di atas dapat disederhanakan lagi dengan menganggap variabel dari harga produk tersebut yang saling berpengaruh, sedangkan keempat variabel lainnya dianggap konstan. Jadi fungsi penawarannya adalah:. Qsx = g (Px) Dimana. Qsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen Px. = Harga produk X.  Dan apabila persamaan di atas ditransformasikan ke dalam bentuk persamaan linier ,maka bentuk umumnya adalah :. Qsx = a + b.Px.

Fungsi penawaran dapat berbentuk linear atau nonlinear : 1. Bentuk linear bentuk umumnya adalah,. Syarat-syarat kofaktornya : S : x = a + bp. a < 0 dan b > 0. S : p = a + bx. a > 0 dan b > 0. S : ax + bp = c. A berlainan tanda dengan b dan c. S : x = constant atau p = constant Contoh :. S : x = -10 + 2p p = 14 + x. 2x - 3p = -18 2. Bentuk Kuadratis Syarat-syarat kofaktornya :. S : x = ap2 + bp + c 2. a > 0, b sembarang dan c <40.

Contoh : x = p2 + p -6 3. Bentuk Eksponensial S : p = a.eax;. atau ln p = ln a. + mx. (a > 0 dan m > 0). Ln p adalah logaritma dengan bilangan dasar e. Contoh : P = 10.e1/2x. Qsx = a + bP  Hukum Penawaran Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope positif (miring ke kanan).

Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:. Qx = f (Px) Qx = -a + b Px. dimana: Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan Px = Harga produk x a dan b = parameter.  Kurva Penawaran :. Kalau kurva fungsi permintaan pad a umumnya adalah monoton turun terletak di kuadran pertama maka fungsi penawaran monoton naik (increasing) dari kiri bawah ke kanan atas. Pada kurva penawaran, diketahui bahwa pada tingkat harga tertentu tidak ada yang menawarkan barang tersebut maka titik dengan pasangan urut (0, Pmin) adalah titik terendah pada kurvanya yang terletak di sumbu tegak P. Dalam hal ini Pmindicapai kalau x = nol.  Dalam menggambarkan kurva permintaan dan kurva penawaran sebetulnva dibenarkan meletakkan variabel harga (P) pada sumbu horizontal dan variabel jumlah (Q) pada sumbu vertikal. .Jadi tidak harus variabel harga ditempatkan pada sumbu vertikal dan variabel jumlah pada sumbu horizontal, sebagaimana dicontohkan di atas. Akan tetapi terdapat semacam tradisi menempatkan P pada sumbu horizontal, dan uraian-uraian di dalam diktat ini mengikuti tradisi tersebut..

Contoh. 1. Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagram. Jawab : 1. Diketahui: P1 = 500; P2 = 700; Q1 = 60; Q2 = 100 𝑄 − 𝑄1 𝑄2 − 𝑄1 = 𝑃 − 𝑃1 𝑃2 − 𝑃1 𝑄 − 60 100 − 60 = 𝑃 − 500 700 − 500 40 𝑄 − 60 = − 𝑃 − 500 200 1 𝑄 − 60 = −100 + 𝑃 5 1. 1. 𝑄 = − 5 𝑃 + 40 ATAU 𝑄 = − 5 𝑃 − 40.

BENTUK FUNGSI DEMAND DAN SUPPLY DARI DATA YANG DIKETAHUI Jika diketahui data permintaan dan penawaran terhadap suatu jenis barang pada tingkat harga tertentu. Maka bentuk fungsinya : 1. Bentuk Linear: dari 2 data permintaan (penawaran) (x1, p1) dan (x2, p2). 𝑃 − 𝑃1 𝑥 − 𝑥1 𝑃2 − 𝑃1 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥2 − 𝑥1 ) + 𝑃1 𝑃2 − 𝑃1 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑃2 − 𝑃1 ∆𝑃 = =𝑚 𝑥2 − 𝑥1 ∆𝑥. M adalah slope atau gradien dari fungsi D atau S yang linear. Kalau nilai slope = m maka ini menunjukkan besarnya tingkat perubahan (rate of change) variabel p sebesar m kalau x naik / turun 1 unit. 2. Bentuk Nonlinear Jika data permintaan dan penawaran terhadap suatu jenis barang diketahui lebih dari 2 pasang data, perlu diselidiki terlebih dulu perbandingan harga dan ∆𝑃 perubahnnya adalah konstan / tetap atau tidak tetap. Jika ∆𝑥 tidak konstan, maka bentuknya adalah nonlinear..

MARKET EQUILIBRIUM/ KESEIMBANGAN PASAR  Adalah keadaan dimana harga barang yang ditawarkan supplier sama dengan harga yang diminta konsumen.  Keseimbangan pasar terjadi pada: Qs = Qd yaitu pada perpotongan antara kurva permintaan dan kurva penawaran.  Pada posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan jumlah keseimbangan (equilibrium quantity). D : x = a + bp S : x = m + np Market equilibrium dicapai kalau Ps = Pp, sehingga xS = sD  Rumus Keseimbangan Pasar :. Qs = Qd Dimana : Qd = Jumlah permintaan Qs = Jumlah penawaran E = Titik keseimbangan pasar Pe = Harga keseimbangan Qe = Jumlah keseimbangan pasar.

Contoh Soal : 1. Fungsi permintaan dan penawaran dari sebuah produk yang dihasilkan oleh sebuah produk sebagai berikut : Qd = 6 – 0,75 P dan Qs = -5 + 2P. a) Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar ? b) Tunjukkan secara geometri keseimbangan pasar produk tersebut !  Penyelesaian :. a) Syarat keseimbangan pasar Qd = Qs , maka : 6 – 0,75 P = -5 + 2P. -2,75P = -11 P =4.  Substitusikan nilai P = 4 ke salah satu persamaan baik permintaan atau penawaran : Q = 6 – 0,75 (4) =6–3 =3 Jadi harga dan jumlah keseimbangan E (3,4).

b) Menggambarkan grafik keseimbangan pasar Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75P Jika P = 0 , maka Q = 6 ,sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6 , 0) Jika Q = 0 , maka P = 8 , sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0 , 8) Untuk fungsi penawaran Q = -5 + 2P. Jika P = 0 , maka Q = -5 , sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5, 0) Jika Q = 0 , maka P = 2,5 , sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0 , 2,5). Grafik keseimbangan pasar ditunjukkan dengan gambar :.

Fungsi Kuadrat pada Fungsi Permintaan dan Penawaran : Fungsi Permintaan. Fungsi Penawaran. Variabel p selalu positif atau p ≤ b (b = titik puncak) Untuk setiap p ada satu nilai Q.Grafik fungsi turun.. P. 0≤. Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak) Untuk setiap p ada satu nilai Q. Grafik fungsi naik. P. Q. Q.

 Latihan :.  Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari fungsi-fungsi permintaan dan penawaran berikut: 1. Pd = -Q2 + Q + 2 dan Ps = Q2 + Q – 2 2. Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P2, gambarkanlah fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram! Jawab:. P. 1. Ps. 2. . 2. -2. -1. 1 0. -2. 2,. 2.  Q. 2 2. Pd.

2. Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (64,0) Jika Q = 0, maka 64 - 8P – 2P2 = 0 atau P = 4P – 32 = 0 (P + 8) (P – 4) = 0. P = -8 (Tidak memenuhi) P=4. Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8). a = -2 b = -8. c= 64. −𝒃 𝑫 𝑲𝒐𝒐𝒓𝒅𝒊𝒏𝒂𝒕 𝒕𝒊𝒕𝒊𝒌 𝒑𝒖𝒏𝒄𝒂𝒌 = ,− 𝟐𝒂 𝟒𝒂 −(−𝟖) −𝟓𝟕𝟔 𝒋𝒂𝒅𝒊 𝒕𝒊𝒕𝒊𝒌 𝒑𝒖𝒏𝒄𝒂𝒌 = 𝟕𝟐, −𝟐 = ,− = (−𝟐, 𝟕𝟐) −𝟒 −𝟖 Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P2 dapat digambarkan seperti di bawah..

Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta Y koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P2 dapat digambarkan seperti di bawah.. P. (0,4). Q =64 – 8P – 2P2. 4 3 2. 1. (64,0). Q -1. 8. -2. 16. 24. 32. 40. 48 56. 64 72 (72,-2). (2,0).

FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN LINIER DENGAN VARIABEL HARGA (=P) LEBIH DARI SATU VARIABEL KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK  Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang lain. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain- lain.  Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya.  Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas.  Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) harga produk lain yang saling berhubungan.  Contoh :. Untuk barang ke-1 D : x1 = 40 – 2p1 + P2 dan S : x1 = -20 + 3P1 + 3P2 Untuk barang ke-2 D : x2 = 50 – 3p2 + P1 dan S : x2 = -5 + 4P2 + 3P1.

excess suplai dan excess demand Jika pada harga tertentu :. Pada harga p1 tiap unit barang banyaknya xD > xS permintaan disebut excess demand / shortage.. maka terjadi kelebihan. excess demand = xD - xS Jika pada harga tertentu :. Pada harga p2 tiap unit barang banyaknya xS > xD penawaran disebut excess supply/ shurplus.. maka terjadi kelebihan. excess demand = xS - xD Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun. Qs. Qd.

PENGARUH BEBAN PAJAK TERHADAP FUNGSI SUPPLY  Setiap penjualan pada dasarnya dikenakan pajak oleh pemerintah, yang ditarik penjual disebut dengan pajak penjualan. Namun, pada akhirnya dibebankan kepada pembeli, yakni karena adanya perubahan fungsi supply. Penggolongan Jenis barang yang dikenakan beban pajak : 1. t satuan rupiah terhadap suatu unit barang tersebut S akan berubah menjadi St a. kalau S : p = f (x), maka St : p = f (x) + t b. kalau S : x = f (p), maka St :x = f (p - t) 2. Menurut % tertentu (= r%) terhadap harga tiap unit barang S akan berubah menjadi Sr. a.. kalau S : x = f (p), maka St :x = f (p - t) b. 3. total tax yang diterima pemerintah dari beban pajak r% Jika market equilibrium sebelum dibebani pajak 𝐸1 𝑥1 , 𝑃1 Jika market equilibrium setelah dibebani pajak 𝐸2 𝑥2 , 𝑃2 , maka :.

 Total tax yang diterima pemerintah : T = 𝑥2 .t  Jumlah beban pajak yang ditanggung konsumen : 𝑇𝑑 = 𝑥2 𝑃2 − 𝑃1  Jumlah beban pajak yang ditanggung supplier : 𝑇𝑠 = 𝑥2 𝑃2 − 𝑃1 = T - 𝑇𝑑 Sedangkan, kalau beban pajak r% untuk tiap tingkat harga barang, maka : 𝑟.  Total tax yang diterima pemerintah : T = 𝑥2 . 𝑃2 . 100+𝑟  Jumlah beban pajak yang ditanggung konsumen : 𝑇𝑑 = 𝑥2 𝑃2 − 𝑃1  Jumlah beban pajak yang ditanggung supplier : 𝑇𝑠 = 𝑥2 𝑃1 − 𝑃𝑠 = T - 𝑇𝑑 𝑟 Dimana 𝑃𝑠 =100+𝑟. 𝑃2 =F(𝑥2 ) dari fungsi supply sebelum dibebani pajak. Total tax = 𝑇𝑑 +𝑇𝑠. n.

Pengaruh Subsidi terhadap market equilibrium Berbeda dengan pengaruh beban pajak maka subsidi yang diberikan pemerintah justru akan mengubah market ekuilibrium (ME) dengan turunnya harga barang sebab fungsi supply akan bergeser ke bawah dari bentuk semula. Jika fungsi supply adalah S : p = f(x) dan beban subsidi sebesar s per unit barang maka supply baru menjadi 𝑆𝑠 : p = f(x)-s sehingga ME baru adalah D = S Akibatnya harga barang akan turun dibandingkan sebelum subsidi dan sebaliknya banyaknya barang yang dibeli akan naik. Contoh :. D : x + 2p = 1.000 dan S : x = p – 260 Jika terhadap barang ini pemerintah memberi subsidi Rp 60 / unit barang, maka :. a. Dapatkan ME sebelum subsidi b. Dapatkan ME baru. c. Hitunglah jumlah subsidi yang harus disediakan pemerintah dan berapa % dari subsidi ini yang dinikmati konsumen?.