HUBUNGAN ANTARA MATRIKS STIRLING JENIS KEDUA DAN MATRIKS k-FIBONACCI
Mawaddaturrohmah, Sri Gemawati, M. D. H. Gamal
University of Riau, Bina Widya Campus, Pekanbaru [email protected]
Abstract. The second kind Stirling Matrix is a matrix in which each entry is the second kind Stirling number. Furthermore, the k-Fibonacci matrix is a matrix where each entry is a k- Fibonacci number. In this article the relationship between the second kind Stirling matrix and the k-Fibonacci matrix is discussed. Then from the relationship between the two matrices obtained a new matrix.
Keywords: The Second Kind Stirling Number, the k-Fibonacci Number, the Second Kind Stirling Matrix, and the k-Fibonacci Matrix.
Abstrak. Matriks Stirling jenis kedua adalah matriks yang setiap entri-entrinya merupakan bilangan Stirling jenis kedua. Selanjutnya matriks k-Fibonacci adalah matriks yang setiap entri- entrinya merupakan bilangan k-Fibonacci. Pada artikel ini dibahas hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks k-Fibonacci. Kemudian dari hubungan antara dua matriks tersebut diperoleh matriks baru.
Kata kunci: Bilangan Stirling Jenis Kedua, Bilangan k-Fibonacci, Matriks Stirling Jenis Kedua, dan Matriks k-Fibonacci.
PENDAHULUAN
Matriks Stirling merupakan matriks yang setiap entri-entrinya merupakan bilangan Stirling. Sesuai dengan namanya, bilangan ini dikemukakan oleh James Stirling sekitar abad ke-18 (1692-1770). Bilangan Stirling terbagi menjadi dua jenis yaitu bilangan Stirling jenis pertama dan bilangan Stirling jenis kedua. Artikel ini hanya membahas bilangan Stirling jenis kedua. Bona [3, h. 91] mendefinisikan bilangan Stirling jenis kedua adalah banyaknya cara menyusun partisi suatu himpunan dengan elemen ke dalam himpunan bagian yang tidak kosong yang dilambangkan dengan ( , ).
Comtet [5, h.144] mendefiniskan bilangan Stirling jenis kedua menjadi matriks Stirling jenis kedua yang dinyatakan dengan (2), ∀ ∈ dengan setiap entri-entrinya merupakan bilangan Stirling jenis kedua.
Banyak penelitian tentang matriks Stirling dan matriks Fibonacci, diantaranya Lee
Sabeth et al. [17] membahas faktorisasi matriks Tribonacci dan matriks Pascal. Mirfa et al. [13] membahas matriks Tetranacci melalui matriks Pascal, dan masih banyak penelitian lainnya.
Barisan k-Fibonacci adalah salah satu generalisasi dari barisan Fibonacci. Barisan k-Fibonacci awalnya ditemukan oleh Falcon [5] pada tahun 2007. Falcon [6] membahas barisan k-Fibonacci modulo m. Kilic [8] membahas generalisasi barisan orde k-Fibonacci- Pell. Wahyuni et al. [18] membahas beberapa identitas baru pada barisan k-Fibonacci modulo m. Selanjutnya Falcon [5] juga membahas matriks k-Fibonacci disimbolkan dengan ( )..
Dalam artikel ini membahas hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks k-Fibonacci. Ide penelitian ini berdasarkan penelitian dari Rennie dan Dobson [16] tentang bilangan Stirling jenis kedua dan daripenelitian Falcon [5] tentang matriks k-Fibonacci . Dari hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks k-Fibonacci diperoleh matriks baru. Matriks baru tersebut disimbolkan dengan , matriks Stirling jenis kedua disimbolkan dengan (2) dan matriks k-Fibonacci disimbolkan dengan ( ), sehingga hubungan ketiga matriks tersebut dapat dinyatakan oleh (2) = ( ) .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Matriks Stirling Jenis Kedua Dan Matrix K-Fibonacci
Di bagian ini akan diberikan definisi dari matriks Stirling jenis kedua dan matriks k-Fibonacci. Bilangan Stirling jenis kedua ( , ) adalah banyaknya cara menyusun partisi suatu himpunan dengan elemen ke dalam himpunan bagian yang tidak kosong [2, hal.91]. Teorema berikut diperoleh.
Teorema 1.1 Untuk setiap bilangan asli dan dimana ≥ memenuhi hubungan rekursif berikut
( , ) = { ( − 1, − 1) + ( − 1) (1)
Bukti. Bukti teorema ini dapat dilihat dalam Bona [2, hal.91].
Bilangan Stirling jenis kedua direpresentasikan ke x yaitu matriks Stirling jenis kedua ( , ). Comtet [5, h. 144]] mendefenisikan matriks Stirling jenis kedua ( , ) sebagai berikut.
Definisi 1.1 Untuk setiap bilangan asli , matriks Stirling jenis kedua x dengan setiap entri (2) = [ , ], ∀ , = 1, 2,3, … , diberikan sebagai
, = ( , ), ≥
0, untuk lainnya (2)
Mirip dengan bilangan Fibonacci, k-Fibonacci juga dinyatakan sebagai matriks persegi. Falcon [5] mendefenisikan matriks k-Fibonacci x sebagai berikut:
Definisi 1.2 Untuk setiap bilangan asli n, matriks k-Fibonacci n × n dengan setiap entrinya ( ) = [ , ] ,∀ , = 1, 2, 3, … , diberikan sebagai
, = , , jika ≥ ,
0, jika < . (3)
Dari persamaan (3) matriks ( ) adalah matriks segitiga bawah dengan diagonal utama adalah 1 dan nilai determinan (det) dari Matriks k-Fibonacci ( ) adalah hasil dari entri diagonal untuk memperoleh det ( ( )) = 1. Karena det ( ( )) ≠ 0 maka matrik ( ) memiliki invers.
Dari perhitungan, invers dari matriks k-Fibonacci ( ) diperoleh sebagai berikut:
( ) =
1 0
− 1
−1 −0 −1
0 00 0
−1 01
(4)
Berdasarkan persamaan (4) dapat disimpulkan bahwa untuk setiap entri dari invers matriks k-Fibonacci ( ) berlaku untuk setiap pola entri pada kolom ′,
bernilai 1, −k, −1, dan 0. Ini berlaku untuk matriks k-Fibonacci × di mana pola entri kolom [ ′, ] tidak akan berubah. Dengan demikian, Falcon [5] mendefinisikan invers
′, =
1, jika = ,
− , jika − 1 = ,
−1, jika − 2 = , 0, untuk lainnya
(5)
Karena matriks k-Fibonacci ( ) memiliki invers maka ( ) ( ) = = ( ) ( ) dapat diaplikasikan. Dengan demikian, matriks ( ) adalah matriks yang dapat dibalik.
Hubungan Antara Matriks Stirling Jenis Kedua dan Matriks K-Fibonacci
Di bagian ini, akan dibahas matriks Stirling jenis kedua dan matriks k-Fibonacci.
Hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks k-Fibonacci menghasilkan matriks baru. Dengan dua ide dari Lee [11] dan Falcon [5] matriks baru didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.3 Untuk setiap bilangan asli , matriks untuk x dengan = [ , ],
∀ , = 1, 2, 3, … , didefinisikan sebagai
( ), = , = ( , ) − ( , + 1) − ( , + 2) (6)
Selanjutnya dari persamaan (6) didapatkan , = 1, , = 0, ∀ ≥ 2; , = 1 − , , = 1, , = 0, ∀ ≥ 3; , = − , , = 3 − , , = 1, , = 0, ∀ ≥ 4; , = − , , = 6 − 3 , , = 6 − , , = 1, , = 0, ∀ ≥ 4 dan ∀ =
, , = 1.
Dari mendefinisikan matriks dalam persamaan (6) Teorema 1.2 berikut dapat diturunkan:
Teorema 1.2 Ada matriks , jadi untuk setiap bilangan asli dengan matriks Stirling jenis kedua (2) didefinisikan dalam persamaan (2) dan Matriks k-Fibonacci ( ) yang didefinisikan dalam persamaan (3) dapat diekspresikan (2) = ( ) .
Bukti. Untuk setiap bilangan asli n, matriks k-Fibonacci ( ) adalah matriks yang memiliki invers. Kami akan membuktikannya
( ) (2) = (7)
Memperhatikan sisi kiri persamaan (7) jika untuk setiap i = 1 dan untuk setiap j ≥2, haruslah ′, = ′ , = 0. Kemudian untuk setiap i, j = 1, diperoleh
′, , = ′ , , = 1 = ,
\
Jika untuks etiap i = 1 dan untuk setiap j≥2, maka ′ , = 0 dan S1, j= 0. Kemudian untuk setiap i=1 dan untuk setiap j ≥2, diperoleh
′, , = ′ , , = 0 = ,
Kemudian dari persamaan (5) dan (2) untuk setiap i ≥4 dan untuk setiap j≥2, diperoleh
, , = ( , ) − ( − 1, ) − ( − 2, ),
, , = (1) ( , ) + (− ) ( − 1, ) + (−1) ( − 2, ) + (0) ( − 3, ) + (0) ( − 4, ), + ⋯ + (0) ( , ),
, , = ,
Dengan demikian terbukti bahwa F−1n(k) Sn (2)= Yn.
Misalkan untuk n = 4, didapatkan entri untuk matriks Y4sebagai berikut:
( ) (2) =
1 0
− 1
−1 −0 −1
0 00 0
−1 01
1 01 1 1 31 7
0 00 0 1 06 1
=
1 0
1 − 1
− 3 −
− 6 − 3
0 0
0 0
1 0
6 − 1
(8)
Dengan demikian berdasarkan pada perkalian matriks dari persamaan (8) yang diperoleh entri untuk matriks Y4, yaitu
1 0 0 0
KESIMPULAN
Dalam tulisan ini penulis dibahas hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks k-Fibonacci. Lalu dari hubungan antara kedua matriks tersebut diperoleh formula matriks baru, matriks baru tersebut dinamakan matriks Yn. Untuk penelitian selanjutnya bisa dilakukan penelitian tentang hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks k-Triboanacci serta hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks k- Stirling.
DAFTAR PUSTAKA
M. Bona, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory, Second Editions, World Scienti_c Publishing, Singapore, 2006.
G. S. Cheon and J. S. Kim, Stirling matrix via Pascal matrix, Linear Algebra and Its Applications, 329 (2001), 49-59.
G. S. Cheon and J. S. Kim, Factorial Stirling matrix and related combinatorial sequences, Linear Algebra and Its Applications, 357 (2002), 247-258.
L. Comtet, Advanced Combinatorics, Reidel Publishing Company, Holland, 1974.
S. Falcon, The k{Fibonacci matrix and the Pascal matrix, Central European Journal of Mathematics, 9 (2011), 1403-1410.
S. Falcon and A. Plaza, k-Fibonacci Sequences Modulo m, Chaos, Solitons and Fractals, 41 (2009), 497-504.
V. E. Hoggat, Fibonacci and Lucas Numbers, Houghton-Mifflin, Palo Alto, CA., 1969.
E. Kilic, The generalized order-k FibonacciPell sequence by matrix methods, Journal of Computational and Applied Mathematics, 209 (2007), 133-145.
T. Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, Wiley Interscience, New York, 2001.
G. Y. Lee, J. S. Kim and S. G. Lee, Factorizations and eigenvalues of Fibonacci and symmetric Fibonacci matrices, Fibonacci Quarterly, 40 (2002), 203-211.
G. Y. Lee, J. S. Kim and S. H. Cho, Some combinatorial identities via Fibonacci numbers, Discrete Applied Mathematics , 130 (2003), 527-534.
P. Maltais and T. A. Gullver, Pascal matrices and Stirling Numbers, Applied Mathematical, 11 (1998), 7-11.
Mirfaturiqa, S. Gemawati and M.D.H. Gamal, Tetranacci Matrix Via Pascal's Matrix, Bulletin of Mathematics, 1 (2017), 1-7.
A. Mohr and T.D Porter, Applications of chromatic polynomials involving Stirling Numbers, Journal of Combinatorial Mathematics and Combintorial Computing, 70 (2009).
F. Rasmi, S. Gemawati, Kartini and M.D.H. Gamal, Relation Between Stirlings Number of the Second Kind and Tribonacci Matrix, Bulletin of Mathematics, 1 (2018), 33- 39.
B. C. Rennie and A. J. Dobson, (1969). On Stirling numbers of the second kind, Journal of Combinatorial Theory, 7, 116-121.
N. Sabeth,S. Gemawati and H. Saleh, A Factorization of The Tribonacci Matrix and The Pascal Matrix, AppliedMathematical Sciences, 11 (20187), 489-497.
T. Wahyuni,S. Gemawati and Syamsudhuha, On Some Identities of k-Fibonacci Sequences Modulo Ring Z6 and Z10, Applied Mathematical Sciences, 12 (2018), 441-448.
