PENDETEKSIAN OUTLIER PADA CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) MENGGUNAKAN LEAST TRIMMED SQUARES (LTS) Elis Ratna Wulan 1, Enung Nurhayati 2

65 PENDETEKSIAN OUTLIER PADA CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM)

MENGGUNAKAN LEAST TRIMMED SQUARES (LTS) Elis Ratna Wulan¹, Enung Nurhayati²

1, 2Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati, Bandung, Indonesia.

1Email: elisrwulan@yahoo.com

2Email: enungnurhayati91@gmail.com

Abstract.

An outlier in the Capital Asset Pricing Model (CAPM) is detected using Least Trimmed Squares (LTS), in order to obtain a robust estimation against outliers without discarding existing data, so it can be considered by investors to make informed decisions in determining the allocation of capital and investment in a company. To detect outlier on the Capital Asset Pricing Model (CAPM) using the Least Trimmed Squares (LTS), Capital Asset Pricing Model (CAPM) to be transformed into a simple linear regression equation.

Keywords: Outliers, Asset Pricing Model (CAPM), the Least Trimmed Squares (LTS), a simple linear regression.

1. PENDAHULUAN

Hampir semua analisis empiris pada CAPM menggunakan cara klasik, biasanya risiko sistematis di estimasi dengan metode kuadrat terkecil.

Penggunaan metode kuadrat terkecil memelurkan beberapa asumsi klasik yang harus dipenuhi oleh komponen residu atau sisaan dalam model yang dihasilkan.

Beberapa asumsi itu antara lain bahwa sisaan harus memenuhi asumsi kenormalan, kehomogenan ragam dan tidak terjadi autokorelasi. Apabila asumsi itu terpenuhi, maka penduga parameter yang diperoleh besifat best linier unbiased estimator (BLUE).[5]

Dalam berbagai kasus tidak jarang ditemui hal-hal yang menyebabkan tidak terpenuhinya asumsi-asumsi tersebut.

Salah satu penyebabnya adalah adanya outlier (pencilan). Saat ada asumsi yang tidak terpenuhi, maka akan memberikan kesimpulan yang kurang baik terhadap hasil analisis CAPM. Seperti terjadinya risiko sistematis yang seharusnya signifikan menjadi tidak signifikan, karena metode kuadrat terkecil sangat sensitif dengan adanya outlier. maka dalam penelitian ini digunakan salah satu metode regresi yang robust terhadap kehadiran outlier yaitu Least Trimmed Squares (LTS) . Least Trimmed Squares (LTS) memiliki kelebihan yang lebih baik

66 dibandingkan dengan metode-metode

lainnya karena mampu mengatasi outlier (pencilan) yang disebabkan baik oleh variabel bebasnya maupun variabel terikatnya.[6]

2. LANDASAN TEORI

2.1 Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Capital Asset Pricing Model (CAPM) merupakan model untuk menentukan harga suatu asset. Model ini didasarkan pada kondisi ekuilibrium tinggkat keuangan yang disyaratkan oleh pemodal untuk suatu saham akan dipengaruhi oleh risiko sistematis yang diukur dengan beta, karena risiko tidak sistematis dapat dihilangkan dengan diverifikasi[3].

2.2 Outlier (Pencilan)

Outlier (Pencilan) merupakan nilai ekstrim dari suatu pengamatan. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi pencilan adalah dengan melihat nilai mutlak residu (sisaan) antara peubah tak bebas dengan dugaannya, apabila nilai mutlak residu tersebut lebih dari dua maka disebut pencilan.[1]

2.3 Least Trimmed Squares (LTS) Metode Least Trimmed Squares (LTS) merupakan metode yang robust terhadap outlier. Metode ini akan memangkas (memberi bobot nol) pada

residu (sisaan) yang terbesar pada saat meminimumkan jumlah kuadrat residu.

Metode ini menduga koefisien regresi dengan meminimumkan jumlah ℎ kuadrat residu (fungsi objektif).[7]

𝑚𝑖𝑛 ∑^ℎ_𝑖=1𝑟_𝑖²

(1)

Dengan ℎ = [^𝑛₂] + [^𝑝+1₂ ]

Keterangan:

𝑟_𝑖² : kuadrat residu yang di urutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar

(𝑟₍₁₎² ≤ 𝑟₍₂₎² ≤ 𝑟₍₃₎² ≤ ⋯ ≤ 𝑟_𝑖² ≤ ⋯ ≤ 𝑟_ℎ² ≤ ⋯ ≤ 𝑟_(𝑛)² )

𝑛 : banyaknya pengamatan 𝑝 : banyaknya parameter regresi h : fungsi objektif

Jumlah h menunjukkan sejumlah subset data dengan kuadrat fungsi

objektif terkecil. Nilai h pada persamaan (1) akan membangun breakdown point yang besar sebanding dengan 50%.

Langkah-langkah pendeteksian outlier dengan metode Least Trimmed Squares (LTS) pada Regresi Robust meliputi beberapa tahap,yaitu:[4]

67 1. Menghitung estimasi

parameter 𝑏₀ dari persamaan 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑋

2. Menentukan n residual 𝑟_𝑖² = (𝑦̂ − 𝑋_{𝑖 𝑖}𝑏_𝑜)² yang bersesuaian dengan (𝑏₀) kemudian menghitung sejumlah ℎ₀ = (𝑛 + 𝑝 + 1)/2 pengamatan dengan nilai 𝑒_(𝑖)² terkecil

3. Menghitung ∑^ℎ_𝑖=1⁰ 𝑟_(𝑖)² , dimana 𝑟_𝑖² diurutkan dari terkecil ke terbesar

4. Melakukan estimasi parameter 𝑏_𝑛𝑒𝑤 dari ℎ₀ pengamatan.

5. Menentukan n kuadrat residual 𝑟_𝑖² = (𝑦̂ − 𝑋_{𝑖 𝑖}𝑏_𝑛𝑒𝑤)² yang bersesuaian dengan (𝑏_𝑛𝑒𝑤) kemudian menghitung sejumlah ℎ_𝑛𝑒𝑤 pengamatan dengan nilai 𝑒_(𝑖)² terkecil 6. Menghitung ∑^ℎ_𝑖=1^𝑛𝑒𝑤𝑟_(𝑖)² ,

dimana 𝑟_𝑖² diurutkan dari terkecil ke terbesar

7. Melakukan C-steps yaitu tahap 4 sampai 6 untuk mendapatkan fungsi objektif (ℎ = [^𝑛₂] + [^𝑝+1₂ ]) yang kecil dan konvergen.

3. PEMBAHASAN

3.1 Mencari persamaaan capital asset pricing model.

Untuk mencari persamaan capital asset pricing model (CAPM), dapat menggunakan garis pasar sekuritas, yaitu:

Gambar 1: Security Market Line (SML)

Persamaan garis lurus pada gambar 2.1 adalah:

𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 dimana: 𝑌 = 𝐸(𝑅_𝑖) dan 𝑋 = 𝛽_𝑖

Maka persamaan garis lurus di atas menjadi:

𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑎 + 𝑏. 𝛽_𝑖 (2)

Persamaan garis lurus tersebut dapat di bentuk dari dua titik, yaitu:

1) Titik pertama adalah titik 𝛽_𝑖 = 0 dengan 𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑅_𝑓

Substitusikan nilai 𝛽_𝑖 = 0 dan 𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑅_𝑓 ke dalam persamaan (2)

68 𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑎 + 𝑏. 𝛽_𝑖

𝑅_𝑓= 𝑎 + 𝑏. (0) 𝑅_𝑓= 𝑎

𝑎 = 𝑅_𝑓

(3)

2) Titik kedua adalah titik 𝑀, yaitu 𝛽_𝑖 = 1 dan 𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑅_𝑀

Substitusikan nilai 𝛽_𝑖 = 1 dan 𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑅_𝑀 ke dalam persamaan (2)

𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑎 + 𝑏. 𝛽_𝑖 𝐸(𝑅_𝑀) = 𝑎 + 𝑏. (1) 𝐸(𝑅_𝑀) = 𝑎 + 𝑏 𝑏 = 𝐸(𝑅_𝑀) − 𝑎

(4)

Substitusikan nilai a dan b pada persamaan (3) dan (4) ke dalam persamaan (2).

𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑎 + 𝑏. 𝛽_𝑖

𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑅_𝑓+ (𝐸(𝑅_𝑀) − 𝑎). 𝛽_𝑖 𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑅_𝑓+ (𝐸(𝑅_𝑀) − 𝑅_𝑓). 𝛽_𝑖 𝐸(𝑅_𝑖) = 𝑅_𝑓+ 𝛽_𝑖(𝐸(𝑅_𝑀) − 𝑅_𝑓)

(5)

3.2 Mengubah Model CAPM untuk Return Ekspektasian Kedalam Bentuk Model Historis.

Model CAPM pada persamaan (5) merupakan model untuk return ekspektasian, model ini harus di ubah ke dalam bentuk model historis, karena ekspektasi adalah nilai yang belum terjadi sehingga belum dapat di observasi,

sedangkan nilai yang sudah terjadi adalah historis. Oleh karena itu model CAPM dirubah menjadi model historis sebagai berikut[2]:

𝑅_𝑖,𝑡 = 𝑅_𝑓,𝑡+ 𝛽_𝑖(𝑅_𝑀,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡) + 𝑒_𝑖,𝑡 (6)

3.3 Mentransformasikan Model CAPM kedalam Bentuk Regresi Linier.

Untuk mengaplikasikan model CAPM pada persamaan (6) maka 𝑅_𝑓,𝑡 perlu dipindahkan dari sebelah kanan ke sebelah kiri persamaan sehingga di dapat:

𝑅_𝑖,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡 = 𝛽_𝑖(𝑅_𝑀,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡) + 𝑒_𝑖,𝑡 (7)

Kemudian beta diestimasi dengan meregresikan (𝑅_𝑖,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡) dan (𝑅_𝑀,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡) . Regresi tersebut akan menghasilkan 𝛼_𝑖 yang merupakan ukuran return sekuritas-i yang tidak terkait dengan pasar[8].seperti yang terlihat pada gambar 2:

(𝑅_𝑖,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡)

69 Gambar 2: Estimasi Beta

Dengan demikian persamaan regresi menjadi:

𝑅_𝑖,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡 = 𝛼_𝑖 + 𝛽_𝑖. (𝑅_𝑀,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡) + 𝑒_𝑖,𝑡 (8)

Variabel dependen persamaan regresi di atas adalah sebesar (𝑅_𝑖,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡) dengan variabel independennya adalah (𝑅_𝑀,𝑡− 𝑅_𝑓,𝑡), sehingga persamaan (8) dapat ditulis kembali sebagai berikut:

𝑦_𝑖,𝑡 = 𝛼_𝑖+ 𝛽_𝑖. 𝑥_𝑡+ 𝑒_𝑖,𝑡 (9)

Karena model capital asset pricing model (CAPM) pada persamaan (9) sudah berbentuk persamaan regresi linier sederhana, maka outlier pada capital asset pricing model (CAPM) dapat di deteksi menggunakan least trimmed square (LTS).

4. Contoh Kasus

Return-return sekuritas I (𝑅_𝑖), return-return pasar (𝑅_𝑀) dan return-return bebas resikonya (𝑅_𝑓) dalam persen selama sepuluh minggu tampak pada tabel berikut:

Tabel 1: nilai return-return saham

No (𝑹_𝒊) (𝑹_𝑴) (𝑹_𝒇)

1 7,5 4,0 2,0

2 8,0 4,5 2,0

3 9,0 4,5 2,1

4 10,0 5,5 2,05

5 10,5 6,0 2,0

6 11,5 7,0 2,2

7 11,0 6,0 2,5

8 12,0 6,5 4,0

9 12,0 7,5 5,0

10 14,0 8,0 5,5

Untuk mendeteksi outlier

menggunakan Least Trimmed Squares (LTS), di lakukan dengan beberapa iterasi.

Iterasi satu.

a. Menghitung estimasi parameter 𝑏₀ dan 𝑎₀dari persamaan 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑋

Pada penyelesaian dengan menggunakan metode Internal Studenization di dapatkan persamaan regresi sebagai berikut:

ŷ = 4,712 + 0,996𝑋 dengan b₀ = 0,996

b. Menentukan n residual 𝑟² = (𝑦̂ − 𝑋𝑏_𝑜)² yang bersesuaian dengan (𝑏₀)

70 kemudian menghitung sejumlah ℎ₀ =

(𝑛 + 𝑝 + 1)/2 pengamatan dengan nilai 𝑒² terkecil.

a) Menghitung nilai 𝑟_𝑖² sebagai berikut:

Tabel 2 Nilai 𝒓^𝟐

No X 𝒀̂ 𝐗. 𝐛_𝟎 𝒓 = 𝒀̂ − 𝐗. 𝐛_𝟎 𝒓^𝟐

1 2 6,704 1,992 4,712 22,20294

2 2,5 7,202 2,49 4,712 22,20294

3 2,4 7,1024 2,3904 4,712 22,20294

4 3,45 8,1482 3,4362 4,712 22,20294

5 4 8,696 3,984 4,712 22,20294

6 4,8 9,4928 4,7808 4,712 22,20294

7 3,5 8,198 3,486 4,712 22,20294

8 2,5 7,202 2,49 4,712 22,20294

9 2,5 7,202 2,49 4,712 22,20294

10 2,5 7,202 2,49 4,712 22,20294

b) Menentukan coverage (h)

ℎ = [𝑛

2] + [𝑝 + 1 2 ] ℎ = [10

2] + [2 + 1 2 ] ℎ = 6,5~7

c) Mengurutkan nilai kuadrat residu dari yang terkecil sampai ke yang terbesar 𝑟₍₁₎² ≤ 𝑟₍₂₎² ≤ 𝑟₍₃₎² ≤ ⋯ ≤ 𝑟_𝑖² ≤ ⋯ ≤ 𝑟_ℎ² ≤ ⋯ ≤ 𝑟_(𝑛)²

Dari tabel 2 dapat diurutkan nilai kuadrat residu dari yang terkecil sampai yang terbesar sebagai berikut:

22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294

Karena h =7, maka nilai kuadrat residu yang digunakan dari urutan yang terkecil sampai yang terbesar ke-7,yakni:

22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294 ≤ 22,20294

71 c. Menghitung ∑^ℎ_𝑖=1⁰ 𝑟_(𝑖)²

∑^ℎ_𝑖=1⁰ 𝑟_(𝑖)² = 3450,795

Dengan cara yang sama dapat dilakukan untuk iterasi seterusnya. Proses iterasi dihentikan pada iterasi keempat, karena nilai coverage(h) atau fungsi objektif pada iterasi empat sama dengan nilai coverage pada iterasi tiga,sehingga fungsi objektif tersebut sudah mencapai nilai yang konvergen. Dari proses iterasi tersebut dapat dilihat bahwa nilai ∑^ℎ_𝑖=1⁰ 𝑟_(𝑖)² yang terkecil terdapat pada iterasi kedua, yaitu: ∑^ℎ_𝑖=1⁰ 𝑟_(𝑖)² = 111,0147. Dengan

demikian, dengan menggunakan metode LTS di dapatkan model yang fit sebagai berikut:

ŷ = 4,712 + 0,996𝑋 Langkah selanjutnya adalah mencari residu robust dari persamaan rergresi yang sudah di dapatkan, untuk mengetahui apakah pada model tersebut terdapat outlier atau tidak. Titik outlier dikatakan 0 jika |𝑟| ≤ 2 dan 1 untuk lainnya. Nilai residualnya dapat dilihat pada tabel 3 berikut ini:

Tabel 3 Nilai Residual dari Regresi Robust

No 𝑿 𝒀 𝒀̂ 𝒓 = 𝒀 − 𝒀̂ |r|

1 2,0 5,5 6,704 -1,204 1,204

2 2,5 6,0 7,202 -1,202 1,202

3 2,4 6,9 7,1024 -0,2024 0,2024

4 3,45 7,95 8,1482 -0,1982 0,1982

5 4,0 8,5 8,696 -0,196 0,196

6 4,8 9,3 9,4928 -0,1928 0,1928

7 3,5 8,5 8,198 0,302 0,302

8 2,5 8,0 7,202 -0,798 0,798

9 2,5 7,0 7,202 -0,202 0,202

10 2,5 9,5 7,202 2,298 2,298

Dari tabel 3 dapat dilihat bahwa nilai |𝑟| ≤ 2 hanya ada pada data ke sepuluh, berarti data kesepuluh merupakan outlier. Tetapi karena regesi robust merupakan regresi yang robust terhadap outlier, sehingga model yang telah didapatkan dengan menggunakan LTS tersebut merupakan model yang robust terhadap outlier. Karena itu model

tersebut dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan para investor dalam mengambil keputusan penanaman saham atau modal.

5. KESIMPULAN

Dari contoh kasus dapat terlihat bahwa pendeteksian outlier dengan menggunakan Least Trimmed Squares

72 outlier pada data, tetapi dapat juga

menghasilkan model yang robust terhadap pencilan.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Draffer, NR dan Smith, H. 1992.

Analisis Regresi Terapan Edisi ke 2.

Sumantri B, penejemah. Jakarta:

Gramedia Pustaka Utama: Terjemahan dari: Applied Regeression Analysis.

[2] Jogiyanto,H. 2010. Teori Portofolio dan Analisis Investasi. Edisi Ketujuh. Yogyakarta : BPFE – Yogyakarta

[3] Husnan,S. 2005. Dasar-dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas.

Yogyakarta: Unit Penerbit dan Percetakan AMP YKPN.

[4] Mardhilah,I. 2011. Mengatasi Outlier Dengan Metode Least Ttrimmed Squares (LTS) Pada Regresi

Matematika, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Utara. Tersedia pada:

http://repository.usu.ac.id/bitstrea m/123456789/28901/3/Chapter%20 II.pdf [23-11-2012].

[5] Myers, R. H. 1990. Classical and Modern Regression with Aplication.

Boston: PWS-KENT.

[6] Rousseeuw, PJ dan Leroy, AM. R.

1987. Robust Regression and Outlier Detection. New York : John Wiley and Sons.

[7] Rousseeuw, PJ dan Van Driessen.

1999. A Fast Algorithm For Minimum Covariance Determinant Estimator. Tersedia pada : http://citeseerx.ist.psu.edu[25-11- 2012].

[8] Tandelin, E. 2001. Analisis Investasi dan Manajemen Portofolio Edisi Pertama. Yogyakarta : BPFE