STUDI ALIRAN DAYA OPTIMAL DENGAN OPTIMASI PRIMAL-DUAL BERBASIS METODE NEWTON.

(1)

Dian Anggun Trisnadi, 2013

Studi Aliran Daya Optimal Dengan Optimasi Primal Dual Bernasis Metode Newton Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

STUDI ALIRAN DAYA OPTIMAL DENGAN OPTIMASI

PRIMAL-DUAL BERBASIS METODE NEWTON

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana

Program Studi Teknik Elektro

Oleh :

DIAN ANGGUN TRISNADI

0801375

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

Studi Aliran Daya Optimal dengan

Optimasi

Primal-Dual

_Berbasis

Metode Newton

Oleh

Dian Anggun Trisnadi

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Ekonomi dan Bisnis

Maret 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

“STUDI ALIRAN DAYA OPTIMAL DENGAN OPTIMASI

PRIMAL-DUAL BERBASIS METODE NEWTON

”

Oleh :

Dian Anggun Trisnadi NIM 0801375

Menyetujui, Dosen Pembimbing I,

Dr.Ade Gaffar Abdullah, S.Pd, M.Si NIP. 19721113 199903 1 001

Pembimbing II,

Ir. H. Dadang Lukman Hakim, MT NIP. 19610604 198603 1 001

Mengetahui,

Ketua, TPS

Jurusan Pendidikan Teknik Elektro

DR.Ade Gaffar Abdullah, S.Pd, M.Si NIP. 19721113 199903 1 001

Ketua Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK UPI

(4)

i

ABSTRAK

Penelitian ini mengkaji tentang optimasi primal dual pada metode Newton untuk studi aliran daya optimal. Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis penggunaan optimasi primal dual pada metode Newton, membandingkan hasil studi penggunaan optimasi primal dual pada metode Newton dengan metode yang lainnya, dan membandingkan akurasi antara hasil studi dan penelitian sebelumnya. Melalui perhitungan dari hasil simulasi, hasil studi aliran daya dengan optimasi primal dual pada metode Newton masih kurang optimal jika dibandingkan dengan metode lain. Waktu simulasi untuk data IEEE 30 bus dilakukan dengan tempo yang lebih cepat jika dibandingkan dengan metode lain. Sehingga hasil perhitungan menyimpulkan bahwa optimasi primal dual pada metode Newton untuk studi aliran daya optimal lebih efisien dari metode lainnya dan dapat berpotensi untuk diusulkan ke perusahaan listrik.

Kata kunci : matpower, matlab, newton opf, optimal power flow, pemrograman nonlinear, primal dual.

ABSTRACT

This study investigated the optimization of the primal dual Newton method for optimal power flow studies. The purpose of this study was to analyze the use of optimization in the primal dual Newton methods, comparing the results of studies on the use of optimization primal dual Newton method with other methods, and compared the accuracy of the results of previous studies and research. Through the calculation of the results of the simulation, the results of power flow studies with primal dual optimization on Newton's method is still less than optimal when compared with other methods. Time simulation for IEEE 30 bus data is done faster than the other methods. Thus conclude that the results of calculations on the optimization primal dual Newton method for optimal power flow study is more efficient than other methods and can potentially proposed to the power company.

(5)

iv

DAFTAR ISI

2.8. Metode Algoritma genetika ... 18

BAB III METODE PENELITIAN ... 21

3.1. Sistem Interkoneksi Jawa-Bali ... 21

3.2. Definisi Operasional ... 25

3.7. Algoritma dari Primal-Dual Interior Point ... 31

3.7.1. Perumusan Masalah dan Lagrangian ... 31

3.7.2. Urutan Optimalitas Kondisi Pertama ... 32

3.7.3. Langkah-Langkah Newton... 32

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 35

4.1. Sistem Kelistrikan Standar IEEE 30 Bus ... 36

(6)

v

4.1.2. Analisis ... 40

4.2. Sistem Interkoneksi Jawa Bali 500KV ... 41

4.2.1. Hasil Simulasi ... 44

4.2.2. Analisis ... 46

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 47

5.1. Kesimpulan ... 47

5.2. Saran ... 47

(7)

vi

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Input argumen untuk MIPS ... 25

Tabel 3.2. Output argumen untuk MIPS... 26

Tabel 4.1. Daya Tiap Bus Dari Hasil Running Program

Untuk Data 30 Bus ... 38

Tabel 4.2. Injeksi Daya Tiap Branch Dari Data 30 Bus ... 39

Tabel 4.3. Hasil Simulasi Pembangkitan pada Sistem Standar

IEEE 30 Bus ... 40

Tabel 4.4. Daya Tiap Bus Dari Hasil Running Program Untuk Data 23 Bus Sistem Interkoneksi 500KV Jawa Bali... 44

Tabel 4.5. Injeksi Daya Tiap Branch Dari Data 23 Bus

Sistem Interkoneksi 500KV Jawa Bali ... 44

Tabel 4.6. Hasil Simulasi Pembangkitan pada 23 Bus

(8)

vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Penggambaran Bus Secara Umum ... 10

Gambar 2.2. Sejumlah N Unit Pembangkit Thermai Melayani Beban PD ... 14

Gambar 2.3. Ilustrasi Proses Algoritma Genetika ... 20

Gambar 3.1. Gambar Sistem Interkoneksi 500KV Jawa Bali 2013 ... 23

Gambar 3.2. Single Line Diagram Sistem Interkoneksi 500KV Jawa Bali ... 24

Gambar 4.1. Tampilan Matlab 2010a dan MatPower 4.1 ... 35

Gambar 4.2. Penulisan Syntax pada Command Windows ... 36

Gambar 4.5. Gambar Sistem Kelistrikan Standar IEEE 30 Bus ... 36

Gambar 4.6. Plot Waktu Mencapai Konvergensi 30 Bus ... 40

Gambar 4.7. Gambar Sistem Interkoneksi 500KV Jawa Bali ... 43

Gambar 4.8. Plot Waktu Mencapai Konvergensi 23 Bus ... 46

(9)

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Tabel Data

Lampiran 2 Hasil Running 30 bus metode Newton dengan Primal Dual

Lampiran 3 Hasil Running 30 bus metode Algoritma Genetika

Lampiran 4 Hasil Running 25 bus metode Newton dengan Primal Dual

(10)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Pertumbuhan kebutuhan energi listrik yang semakin meningkat menyebabkan perluasan sistem tenaga listrik semakin dibutuhkan. Perluasan sistem tenaga listrik tidak bisa dilakukan tanpa perancangan yang matang, perlu dilakukan simulasi sistem tenaga listrik terlebih dahulu untuk mengetahui apakah sistem tenaga listrik layak diperluas tanpa penambahan sumber tenaga baru atau tidak. Selain itu, simulasi sistem tenaga listrik juga dilakukan untuk mengetahui rugi-rugi daya, proteksi yang dibutuhkan, biaya pembangkitan, dan sebagainya.

Simulasi sistem tenaga listrik belakangan ini semakin kompleks jika dipecahkan dengan hitungan manual. Namun, beberapa perangkat lunak seperti Matlab, Mathcad, Mathematica dan sebagainya sudah mulai digunakan untuk memecahkan masalah simulasi sistem tenaga listrik. Dari sekian banyak bahasa pemrograman, Matlab merupakan yang paling populer karena fitur dari bahasa pemrograman Matlab berorientasi pada matriks, kemampuan plotting dan

graphical environment (Simulink), dan kontrol skema desain yang sangat

sederhana

Matlab memiliki beberapa toolbox khusus yang dibuat oleh lembaga non profit untuk edukasi dan penelitian non profit. Toolbox Matlab adalah kumpulan

M-file yang mempunyai satu kesatuan fungsi untuk memecahkan masalah

tertentu. Untuk pemecahan masalah simulasi sistem tenaga listrik seperti Optimal

Power Flow (OPF), Matlab memiliki beberapa Toolbox yang paling dikenal

diantaranya MatPower Toolbox (MPT), Power System Analysis Toolbox (PSAT) dan Voltage Stability Toolbox (VST) (Cartina, 2007).

(11)

2

dapat membantu untuk menentukan harga jual daya per MW dan biaya tambahan dari MVAr (Zimmerman, 2011).

Inspirasi dalam melakukan Penelitian ini berasal dari beberapa penelitian lain yang terkait. OPF pertama kali diperkenalkan tahun 1968 oleh Hermann W. Dommel dan William F. Tinney dalam jurnal mereka yang berjudul “Optimal Power Flow Solution”. Dalam penelitian tersebut mereka menggunakan metode Newton dengan sedikit rumus tambahan (Dommel, 1968). Da Costa dari

Department of Electrical Engineering, Escola de Engenharia de Sao Carlos, USP, Sao Carlos Brazil membuat penelitian mengenai OPF dengan judul

“Optimal Reactive Dispatch Through Primal-Dual Method”, masih dengan rumus

dasar Newton (Da Costa, 1997). Kemudian Da Costa kembali meneliti OPF dengan judul “Comparative Studies of Optimization Methods for The Optimal Power Flow Problem”. Beliau membandingkan beberapa metode optimasi OPF yang berdasar pada Newton (Da Costa, 2000). Gheorghe Cartina dan kawan-kawan membuat sebuah makalah yg dibahas di International Conference On

Electromechanical And Power System ke-6 di Republik Moldova dengan judul

“Power System Analisys Using Matlab Toolboxes” (Cartina, 2007). Ray Daniel

Zimmerman membuat sebuah jurnal dengan judul “MATPOWER: Steady-State

Operations, Planning, and Analisys Tool for Power System Research and Education” (Zimmerman, 2011). Pada tahun 2009, Buyung Baskoro dari Institut Teknologi Sepuluh November (ITS) juga meneliti studi aliran daya optimal namun metode yang digunakan berbeda dengan judul “Analisis Aliran Daya Optimal Menggunakan Algoritma Genetika Pada Sistem Interkoneksi 500 Kv Jawa Bali” (Baskoro, 2009)

1.2. Perumusan Masalah

(12)

3

daya nyata dan daya reaktif yang mengalir pada setiap saluran, serta keterangan lainnya yang diberikan oleh hasil penyelesaian dengan program komputer.

Berdasarkan latar belakang diatas rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana metode Newton yang dimodifikasi dengan metode optimasi

primal-dual untuk memecahan masalah aliran daya optimal menggunakan Matpower Toolbox Matlab.

Seperti yang telah dijelaskan diatas, maka perumusan masalah pada studi ini sebagai berikut :

1. Bagaimana kinerja metode Newton yang dimodifikasi dengan metode optimasi primal-dual dalam penyelesaian aliran daya optimal?

2. Bagaimana kondisi tegangan sistem pada setiap bus? 3. Berapa besarnya rugi-rugi daya (losess) pada tiap saluran?

4. Berapa total daya yang harus dibangkitkan oleh unit pembangkit? 5. Berapa total biaya pemenuhan beban seluruh system?

6. Bagaimana kinerja waktu komputasi metode tersebut dalam mencapai kovergensi?

1.3. Pembatasan Masalah

Jaringan listrik yang luas memiliki cakupan permasalahan yang sangat besar dan kompleks, maka penelitian ini akan dibatasi pada :

1. Sumber data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data standar IEEE 14 bus, 30 bus dan sistem interkoneksi 500KV Jawa Bali (Pernbebanan tanggal 17 Maret 2009 Pukul 19.30 W1B)

2. Data yang digunakan bekerja dalam keadaan normal 3. Proteksi dan sistem kontrol dari sistem diabaikan

4. Dalam penyelesaian masalah hanya menggunakan MatPower Toolbox (MPT)

(13)

4

6. Software pendukung untuk merancang program mengunakan Matlab ver. R2010a dari The MathWorks, Inc.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan dari studi aliran daya ini, antara lain :

1. Mengetahui kinerja metode Newton yang dimodifikasi dengan metode optimasi primal-dual dalam penyelesaian aliran daya optimal

2. Mengetahui kondisi tegangan sistem pada setiap bus 3. Mengetahui rugi-rugi daya (losess) pada tiap saluran

4. Mengetahui total daya yang harus dibangkitkan oleh unit pembangkit 5. Mengetahui biaya pemenuhan beban seluruh system

6. Membuktikan waktu komputasi metode tersebut dalam mencapai kovergensi lebih cepat dari metode lain.

1.5. Manfaat Penelitian

1. Memberikan kontribusi yang positif pada dunia pendidikan dalam pengembangan ilmu pengetahuan terutama pada bidang kelistrikan yang berbasis komputasi

2. Diharapkan dapat menjadi salah satu masukan bagi PLN bahwa metode aliran daya optimal berbasis komputasi MatPower Toolbox Matlab merupakan metode aliran daya optimal yang dapat dipertimbangkan untuk digunakan pada sistem tenaga listrik

3. Memberikan pengetahuan, pemahaman, dan keterampilan bagi penulis dalam mengaplikasikan teori-teori kelistrikan pada sistem tenaga listrik terutama dalam hal mengatasi masalah aliran daya optimal.

1.6. Struktur Organisasi Skripsi

(14)

5

pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat tugas akhir, dan sistematika penulisan. Bab kajian pustaka menjelaskan konsep analisis aliran daya optimal dengan metode primal-dual. Bab metode penelitian menjelaskan penjabaran model aliran daya optimal dengan metode Newton yang dimodifikasi dengan metode optimasi primal-dual. Bab hasil dan pembahasan berisi hasil model aliran daya optimal dengan metode Newton yang dimodifikasi dengan metode optimasi

primal-dual disimulasikan dalam MatPower Toolbox dengan beberapa input data

(15)

21

BAB III

METODE PENELITIAN

Penelitian ini menggunakan metode studi literature, observasi lapangan dan studi comparative, berujuan untuk mengetahui akurasi hasil dan waktu konvergensi analisis aliran daya optimal menggunakan metode Newton yang dimodifikasi dengan metode optimasi primal-dual dibandingkan dengan Genetic

Algorithm (GA). Data pembebanan dan transmisi yang digunakan dalam

penelitian ini adalah data standar IEEE 30 bus. Data tersebut sudah umum digunakan untuk menguji ketepatan dan keakuratan dari berbagai metode lain. Selain itu digunakan pula data sistem interkoneksi 500KV Jawa Bali (Pernbebanan tanggal 2 Januari 2013 Pukul 00.30 W1B) sebagai aplikasi pada kelistrikan Indonesia pada saat beban rendah.

3.1. Sistem Interkoneksi Jawa-Bali

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan pernbebanan tanggal 2 Januari 2013 Pukul 00.30 W1B. data ini menggambarkan beban terendah sistem dimana jam ini sudah masuk jam tidur. Data ini didapat dari hasil observasi di lapangan yaitu di PLN GITET Bandung Selatan dan ditambah beberapa data tambahan yang mengacu pada penelitian Baskoro (2009:59) dan Krisida (2011:48).

(16)

22

Jenis-jenis bus pada sistem interkoneksi 500 kV Jawa Bali diberikan sebagai berikut.

Satu buah slack bus, yaitu bus pembangkit Suralaya.

Tujuh buah generator bus, yaitu antara lain bus pembangkit Cirata, pembangkit Saguling, pembangkit Tanjungjati, pembangkit Gresik, pembangkit Paiton, dan Pembangkit Grati.

Tujuh belas buah load bus, yaitu bus Balaraja, bus Kembangan, bus Gandul, bus Cibinong, bus Cilegon, bus Depok, bus Cawang, bus Bekasi, bus Bandung Selatan, bus Cibatu, bus Madirancan, bus Tasikmalaya, bus Pedan, bus Ungaran, bus Kediri, bus Surabaya Barat dan bus Ngimbang

(17)

23

Gambar 3.1. Gambar Sistem Interkoneksi 500KV Jawa Bali 2013

(18)

24

1

(19)

25

3.2. Definisi Operasional

Analisis aliran daya merupakan analisis yang menggambarkan keadaan operasi dari sistem listrik secara keseluruhan, dimana didalamnya terdapat jaringan generator, jaringan transmisi, dan beban yang bisa mewakili daerah kecil seperti kota atau daerah besar seperti negara. Analisis aliran daya atau di industri biasa disebut analisis aliran beban, memproses data daya yang dikirim dan dari sumbernya untuk memberitahu kita bagaimana daya mengalir ke tujuannya.

Analisis aliran daya optimal adalah perhitungan untuk meminimalkan suatu

fungsi tujuan biaya pembangkitan tenaga listrik atau rugi-rugi pada saluran

transmisi dengan mengatur pembangkitan daya aktif dan daya reaktif setiap

pembangkit yang terinterkoneksi dengan memperhatikan batas-batas tertentu.

Batas yang umum dinyatakan dalam perhitungan analisis aliran daya optimal

berupa batas minimum dan maksimum untuk pembangkitan daya aktif dan reaktif

pada pembangkit.

Optimasi Primal-Dual adalah metode penyelesaian optimasi persamaan kuadrat linear dan non-linear. Penyelesaian persamaan kuadrat dilakukan dengan memotong fungsi pembatas sehingga waktu perhitungan relative lebih cepat dari metode biasa. Aplikasi Optimasi Primal-Dual untuk penyelesaian masalah aliran daya optimal pertama kali diperkenalkan pada tahun 1997 oleh G.R.M. da Costa dalam jurnal berjudul Optimal Reactive Dispatch Through Primal-Dual Method.

Metode Newton adalah suatu metode yang menggunakan uraian deret Taylor untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan dua variabel atau lebih. Metode Newton sudah lama digunakan untuk menyelesaikan masalah aliran daya dan aliran saya optimal. Penggunaan metode newton dalam penyelesaian masalah

aliran daya optimal pertama dilakukan oleh Hermann W. Dommel dan William F. Tinney pada tahun 1968 dalam jurnal mereka yang berjudul “Optimal Power Flow Solution”.

(20)

26

Metode yang digunakan dalam penelitian ini sangat rumit jika perhitungannya dilakukan secara manual, namun dengan bantuan komputer metode di atas dapat terselesaikan dengan relatif cepat. Dalam penelitian ini agar dapat menginteraksikan analisis dengan sistem komputasi dibutuhkan bahasa pemrograman yang mendukung perhitungan berbasis matriks. Bicara soal matriks maka bahasa pemrograman yang paling cocok dengan penelitian ini adalah Matlab. Matlab singkatan dari MATrix LABolatory, merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh Mathwork .Inc. Bahasa pemrograman ini banyak digunakan untuk perhitungan numerik keteknikan, komputasi simbolik, visualisasi grafis, analisis data matematis, statistika, simulasi, pemodelan dan desain GUI (Hartanto, 2003).

Matlab memiliki beberapa toolbox khusus yang dibuat oleh lembaga non profit untuk edukasi dan penelitian non profit. Toolbox Matlab adalah kumpulan

M-file yang mempunyai satu kesatuan fungsi untuk memecahkan masalah

tertentu. Untuk pemecahan masalah simulasi sistem tenaga listrik seperti optimal

power flow, Matlab memiliki beberapa Toolbox yang paling dikenal diantaranya MatPower Toolbox (MPT), Power System Analysis Toolbox (PSAT) dan Voltage Stability Toolbox (VST) (Cartina, 2007).

3.4. MatPower Toolbox

MatPower adalah paket M-file Matlab untuk memecahkan masalah aliran daya dan aliran daya optimal. Hal ini dimaksudkan sebagai alat simulasi bagi para peneliti dan pendidik yang mudah digunakan dan dimodifikasi. MatPower dirancang untuk memberikan kinerja terbaik sambil menjaga kode tetap sederhana untuk dipahami dan dimodifikasi.

(21)

27

kontribusi untuk MatPower selama bertahun-tahun dan terus dikembangkan dan dipelihara di bawah arahan Ray Zimmerman (Zimmerman, 2011)

Fungsi utama MatPower adalah untuk memecahkan masalah aliran daya dan aliran daya optimal baik AC maupun DC. MatPower sangat mudah digunakan, kita hanya harus menuliskan kode simulasi apa yang ingin kita jalankan pada

command window Matlab. Contoh, jika kita tuliskan runpf('case14'); maka Matlab

akan memanggil pemecahan aliran daya tegangan AC dengan data standar IEEE 14 bus, jika kita tuliskan runopf('case14'); maka Matlab akan memanggil pemecahan aliran daya optimal tegangan AC dengan data standar IEEE 14 bus.

Cara kerja MatPower untuk masalah OPF secara singkat adalah sebagai berikut.

1. Memuat data ke struktur data mpc

2. Mengonversi data ke penomoran internal dan menghapus bagian data yang tidak akan digunakan

3. Membangun matriks dan vektor yang diperlukan untuk merumuskan masalah OPF (Ybus, batas variabel, biaya, dll)

4. Membangun objek model OPF dengan semua variabel dan indeks informasi kendala

5. Memanggil program pemecah terpilih seperti Matlab Interior Point

Solver (MIPS), Knitro, dll. (Masing-masing memiliki algoritma

sendiri)

6. Mengemas hasil pemecahan masalah ke dalam struktur hasil

7. Mengonversi hasil pemecahan masalah kembali ke format penomoran eksternal dan menambahkan kembali bagian data yang tidak digunakan

8. Mencetak dan atau menyimpan hasil simulasi.

3.5. Matlab Interior Point Solver (MIPS)

Mulai dari versi 4, MatPower menyediakan solver baru yaitu primal-dual

(22)

28

diimplementasikan dalam pengkodean yang murni Matlab. Ide ini berasal dari penerapan algoritma Matlab EXtension (MEX) dijelaskan dalam (H. Wang, 2007).

Solver tersebut jika diterapkan dengan fungsi MIPS, dapat dipanggil sebagai berikut.

dimana input dan output argumen masing-masing dijelaskan dalam Tabel 1 dan 2. Sebagai alternatif, argumen input dapat dikemas sebagai bidang dalam struktur masalah dan disahkan sebagai argumen tunggal, di mana semua bidang kecuali

f_fcn dan x0 adalah opsional.

Syntax yg dipanggil hampir identik dengan yang digunakan oleh fmincon

dari Toolbox Optimasi Matlab. Perbedaan utama adalah kendala linier yang ditentukan dalam hal fungsi linear tunggal terbatasi ganda ( ) sebagai lawan kesetaraan terpisah dibatasi ( ) dan ( ) dibatasi atas fungsi. Secara internal, kendala kesetaraan ditangani secara eksplisit dan ditentukan pada saat bekerja berdasarkan pada nilai-nilai l dan u.

Tabel 3.1. Input argumen untuk MIPS

Nama Deskripsi

f_fcn Menangani fungsi yang mengevaluasi fungsi tujuan, gradien dan Hessian untuk nilai tertentu dari x. Syntax untuk memanggil fungsi ini:

[f, df, d2f] = f_fcn(x) x0 Nilai awal optimasi vektor x.

A, l, u Mendefinisikan kendala linear opsional . Masing-masing nilai default untuk elemen l dan u adalah -Inf dan Inf

xmin, xmax Batas bawah dan atas opsional pada variabel . Nilai defaultnya adalah

-Inf dan -Inf

gh-fcn Menangani fungsi yang mengevaluasi kendala nonlinier opsional dan gradien untuk nilai tertentu. Syntax untuk memanggil fungsi ini:

[h, g, dh, dg] = gh_fcn(x)

hess_fcn Menangani ke fungsi yang menghitung Hessian dari Lagrangian untuk nilai yang diberikan , dan , di mana dan adalah pengganda pada kendala kesetaraan dan ketidaksetaraan dan . Syntax untuk

[x, f, exitflag, output, lamda] = mips(problem); [x, f, exitflag, output, lamda] = …

(23)

29

memanggil fungsi ini:

Lxx = hess_fcn(x, lam, cost mult),

Dimana = lam.eqnolin, = lam.ineqnolin dan cost_mult adalah parameter yang digunakan untuk skala fungsi tujuan

opt struktur options pilihan dengan bidang-bidang tertentu, yang semuanya merupakan pilihan (nilai default yang ditunjukkan dalam tanda kurung).

verbose (0) Control level untuk tampilan output proses 0 - print tanpa proses info

1 - print dengan sedikit proses info 2 - print dengan banyak proses info

3 - print dengan semua proses info yang ada feastol (1e-6) Toleransi penghentian untuk kondisi kelayakan gradtol (1e-6) Toleransi penghentian untuk kondisi gradien comptol (1e-6) Toleransi penghentian untuk kondisi pelengkap costtol (1e-6) Toleransi penghentian untuk kondisi biaya max_it (150) Jumlah iterasi maksimal

step_control (0) Ganti ke variable 1 untuk mengaktifkan step control max_red (20) jumlah maksimum dari ukuran langkah pengurangan

jika step control aktif.

cost_mult (1) pengganda biaya yang digunakan untuk

meningkatkan pengkondisian skala fungsi tujuan. Catatan: Nilai ini juga harus melebihi nilai argumentasi ke-3 untuk fungsi evaluasi Hessian sehingga dengan tepat dapat meningkatkan fungsi obyektif dalam Hessian dari Lagrangian tersebut. problem struktur masukan argumen tunggal alternative dengan bidang yang

sesuai untuk argumen di atas.

Tabel 3.2. Output argumen untuk MIPS

x Vector solusi

f Nilai akhir fungsi tujuan exitflag Tanda keluar

1 Kondisi urutan pertama optimalitas memuaskan 0 jumlah maksimum iterasi mencapai

-1 gagal secara numerik output keluaran output struktur dengan bidang

iterations jumlah iterasi dilakukan

Hist Struktur array dengan lintasan sebagai berikut: feascond, gradcond, compcond, costcond, gamma, stepsize, obj, alphap, alphad

message pesan keluar

lambda Struktur yang berisi pengali Lagrange dan Kuhn-Tucker pada kendala, dengan bidang:

(24)

30

ineqnonlin Batasan ketidaksamaan nonlinear mu_l Batas terendah (kiri) kendala linear mu_u Batas tertinggu (kanan) kendala linear lower Nilai terikat terendah pada variabel optimasi upper Nilai terikat tertinggi pada variabel optimasi

3.5.1.Contoh Penggunaan MIPS

Kode berikut menunjukkan contoh sederhana menggunakan MIPS untuk memecahkan optimasi 2 dimensi tak terbatas Rosenbrock "banana" dari fungsi berikut ini.

(3.1)

Pertama, buat fungsi Matlab yang akan mengevaluasi fungsi tujuan, gradien dan Hessian, untuk nilai tertentu. Dalam kasus ini, koefisien dari suku pertama didefinisikan sebagai sebuah parameter .

Kemudian, penanganan fungsi mendefinisikan nilai dari parameter menjadi 100, atur nilai awal x, dan panggil fungsi MIPS untuk menyelesaikannya.

>> f_fcn = @(x)banana(x,100);

(25)

31

3.6. Quadratic Programming Solver

Sebuah kumpulan fungsi yang disebut qps_mips disediakan untuk memudahkan dalam mengatur dan memecahkan masalah pemrograman linear (LP) dan kuadratik pemrograman (QP) dengan bentuk berikut:

(3.2)

Tergantung pada

(3.3)

(3.4)

Alih-alih menangani fungsi, fungsi tujuan ditetapkan pada paramter H dan c dari koefisien biaya kuadratis. Secara internal, qps_mips melalui MIPS menangani fungsi yang menggunakan parameter untuk mengevaluasi fungsi tujuan, gradien dan Hessian.

Syntax untuk memanggil qps_mips mirip dengan yang digunakan oleh quadprog dari Toolbox Optimasi Matlab.

Atau, argumen input dapat dikemas sebagai bidang dalam struktur masalah dan dilewatkan sebagai argumen tunggal, di mana semua bidang kecuali , dan

adalah opsional.

Selain H dan c, semua argumen input dan output sama persis dengan argumen yang sama untuk MIPS seperti yang dijelaskan dalam Tabel 1 dan 2.

3.7. Algoritma dari Primal-Dual Interior Point

Bagian ini memberikan beberapa rincian tentang algoritma dari Primal Dual

Interior Point yang digunakan oleh MIPS dan dijelaskan dalam (Da Costa, 1997).

[x, f, exitflag, output, lamda] = qps_mips(problem);

[x, f, exitflag, output, lamda] = qps_mips(H, c, A, l, …

(26)

32

3.7.1.Perumusan Masalah dan Lagrangian

Metode Primal Dual Interior Point yang digunakan oleh MIPS memecahkan masalah dalam bentuk:

(3.5) Tergantung pada :

(3.6) (3.7) Pendekatan yang diambil melibatkan mengonversi kendala ketimpangan menjadi kendala kesetaraan menggunakan fungsi penghalang dan vektor dari slack positif variabel .

Tergantung pada :

(3.9) (3.10) (3.11) Untuk nilai tertentu, persamaan Lagrangian untuk masalah kesetaraan dibatasi di atas adalah

Jika dilakukan panurunan parsial pada tiap variable di atas, maka Hessian dari Lagrangian sehubungan dengan diberikan oleh

(3.13)

3.7.2. Uruta

(27)

33

Optimalitas urutan pertama (Karush-Kuhn-Tucker) persyaratan untuk masalah ini terpenuhi ketika turunan parsial dari Lagrangian di atas semua set ke nol, maka :

(3.14)

3.7.3. Langk

ah-Langkah Newton

Kondisi optimalitas urutan pertama diselesaikan menggunakan metode Newton. Hasil pembaruan langkah metode Newton dapat ditulis sebagai berikut:

(3.15)

(3.16)

Himpunan persamaan ini dapat disederhanakan dan direduksi menjadi satu set yang lebih kecil dari persamaan dengan memecahkan secara eksplisit untuk dalam hal dan untuk dalam hal . Mengambil baris ke-2 (3.16) dan memecahkan untuk kita mendapatkan

(3.17) Memecahkan baris ke-4 (3.16) untuk menghasilkan ΔZ

(28)

34

(3.19) Dimana

(3.20)

(3.21)

Dan

(3.22) (3.23) Menggabungkan (3.19) dan baris ke-3 (3.16) menghasilkan sistem persamaan dengan ukuran yang berkurang:

(3.24) Dengan metode Newton yg telah diupdate kemudian dapat dihitung 3 langkah berikut:

1. Mengh

itung dan dari (3.24).

2. Mengh

itung dari (3.18).

3. Mengh

itung dari (3.17)

(29)

35

primal dan variabel dengan dan , di mana faktor-faktor skala dihitung sebagai berikut:

Sehingga menghasilkan update variabel di bawah ini.

(3.27) (3.28) (3.29) (3.30) Parameter adalah skalar konstan dengan nilai sedikit kurang dari satu. Pada MIPS, diatur ke 0,99995.

Dalam metode ini, selama iterasi seperti Newton, parameter gangguan harus konvergen ke nol dalam rangka untuk memenuhi kondisi optimalitas urutan pertama dari masalah asli. MIPS menggunakan aturan berikut untuk memperbarui pada setiap iterasi, setelah memperbarui Z dan µ:

(30)

48

DAFTAR PUSTAKA

Baskoro Buyung. 2009. Analisis Aliran Daya Optimal Menggunakan Algoritma

Genetika Pada Sistem Interkoneksi 500 Kv Jawa Bali. Skripsi Institut

Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

Cartina Gheorghe, Grigoras Gheorghe, dan Bobric Elena-Crenguta. 2007. “Power System Analysis Using Matlab Toolboxes”. International Conference On Electromechanical And Power System 6th, 305-308.

D, Das. 2006. Electrical Power Systems. New Age International (P) Limited, Publishers. New Delhi.

D.I. Sun, B. Ashley, B. Brewer, B.A. Hughes, W.F. Tinney. 1984. “Optimal power ﬂow by Newton approach”. IEEE Transactions on Power Apparatus

and Systems. 103, 2864–2875.

Dommel Hermann W. dan Tinney William F. 1968. “Optimal Power Flow Solution”. IEEE Transactions On Power Apparatus And Systems. 87.

1866-1876

G.R.M. da Costa, et al. 1997. “Optimal Reactive Dispatch Through Primal–Dual

Method”. Transactions on Power Systems. 12. 669–674.

G.R.M. da Costa, et al. 2000. “Comparative studies of optimization methods for the optimal power ﬂow problem”. Electric Power Systems Research. 56. 249–254

Granville, Sergio. 1994. “Optimal Reactive Dispatch Through Interior Point

Method”. IEEE Transactions on Power System. 9. 136–146.

Hartanto, Thomas Wahyu Dwi dan Y. Wahyu Agung Prasetyo, 2003, Analisis dan

Desain Sistem Kontrol dengan MATLAB, Penerbit Andi, Yogyakarta.

J. C. Das. 2002. Power System Analysis - Short Circuit Load Flow And

Harmonics. Marcel Dekker. Inc, New York.

Krisida, Refi Aulia. 2011. "Optimisasi Pengaturan Daya Reaktif Dan Tegangan Pada Sistem Interkoneksi Jawa-Bali 500 Kv Menggunakan Quantum Behaved Particle Swarm Optimization". Skripsi Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya

Panjaitan, Lanny W. 2007. Dasar-dasar Komputasi Cerdas. Penerbit Andi. Yogyakarta.

(31)

49

Zimmerman Ray D., Carlos E. Murillo-Sánchez & Deqiang (David) Gan, 2011,

Matpower A Matlab Power System Simulation Package [online], tersedia :

http://www.pserc.cornell.edu/matpower/ (1 Desember 2012)

Zimmerman Ray D., Carlos E. Murillo-Sánchez, 2011, “MatPower 4.1 User's Manual” Power Systems Engineering Research Center (Pserc)