Bab 3. Model Matematika dan Pembahasan. 3.1 Masalah Perpindahan Panas

Model Matematika dan Pembahasan

3.1 Masalah Perpindahan Panas

Beberapa model studi telah dikembangkan mengenai perolehan minyak dengan in- jeksi fluida panas atau uap. Tidak sedikit asumsi yang digunakan untuk mendukung model tersebut. Beberapa model studi yang telah dikembangkan di antaranya adalah model Marx dan Langenheim, model Wilman, dan tentunya model umum. Model terakhir ini berdasarkan pada asumsi bahwa panas ditransfer dengan dua cara yaitu pergerakan fisik fluida injeksi dan konduksi panas [6]. Adapun model yang akan dibahas berikut ini tidak terlepas dari pengaruh model umum yang ada, akan tetapi disertai dengan asumsi-asumsi yang lain.

Dalam model ini masalah perpindahan panas dikembangkan dengan pertimbangan sebagai berikut. Temperatur dari fluida yang diinjeksikan akan diestimasi sebagai fungsi dari kedalaman dan waktu dengan mengasumsikan laju injeksi fluida dan temperatur permukaan diketahui. Pertimbangan untuk panas yang dipindahkan dari fluida yang diinjeksikan ke formasi atau lingkungan mengacu pada persamaan berikut.

10

Untuk fluida yang diinjeksikan berupa liquid

T₁(Z, t) = aZ + b− aA + (T₀+ aA− b)e^−Z/A, (3.1.1) dan untuk gas

T₁(Z, t) = aZ + b− A(a + 1

778c) + [T₀+ A(a + 1

778c)− b]e^−Z/A, (3.1.2) dengan

A = W c[k + r₁U f (t)]

2πr₁U k . (3.1.3)

Perhatikan bahwa simbol-simbol pada persamaan di atas dapat dilihat pada lampi- ran A.

Persamaan-persamaan ini dikembangkan di bawah asumsi bahwa sifat fisik dan ther- mal dari bumi dan fluida tidak bergantung pada temperatur, panas akan dipin- dahkan secara radial di dalam bumi, dan perpindahan panas di sumur bor jauh lebih cepat dibandingkan dengan aliran panas di formasi atau lingkungan sehingga bisa direpresentasikan dengan solusi keadaan tunak [5].

Untuk bisa menggunakan persamaan di atas diperlukan pengetahuan tentang koe- fisien perpindahan panas keseluruhan U dan fungsi waktu konduksi panas f (t).

Secara singkat, koefisien keseluruhan U merupakan ketahanan bersih terhadap ali- ran panas yang diberikan oleh fluida dalam pipa, dinding pipa, fluida atau zat padat dalam annulus, dan dinding casing [5]. Berikut beberapa konsep tentang koefisien perpindahan panas keseluruhan yaitu:

• Ketahanan panas dari pipa atau casing sering diabaikan karena konduktivitas panas dari besi jauh lebih tinggi dibandingkan dengan material lain di sumur bor ataupun di bumi.

• Ketahanan panas dari fluida cair sering diabaikan karena koefisien lapisan perpindahan panas dari fluida cair begitu tinggi.

• Koefiesien lapisan gas dan ketahanan panas dari material penyekat di sumur bor sering menyebabkan efek terbesar pada koefien keseluruhan.

Adapun perhitungan koefisien perpindahan panas keseluruhan berdasarkan pada asumsi bahwa aliran panas mengalir secara radial dari sumur bor, perpindahan panas di sumur bor adalah tunak, sifat fisik dan thermal dianggap konstan. Se- dangkan untuk fungsi waktu f (t), bisa diestimasi dari solusi untuk konduksi panas radial dari silinder dengan panjang tak hingga dengan pertimbangan sumber yang berbentuk silinder memancarkan panas dengan fluks konstan, temperatur konstan, dan di bawah syarat batas radiasi [3].

3.2 Model Fisik

Pada bagian berikut akan dibahas sistem fisik secara keseluruhan. Model fisik ini terdiri atas tiga bagian yang dihasilkan dalam tiga pasang persamaan yang berbeda.

Ketiga bagian tersebut adalah (1) fluida yang mengalir, (2) pipa atau annulus cas- ing, dinding casing, dan semen, (3) lingkungan sekitar semen atau bumi. Model diilustrasikan seperti pada Gambar 3.1

Perpindahan panas dari dari fluida yang mengalir ke semen atau formasi dianggap dalam keadaan tunak, sedangkan perpindahan panas di lingkungan sekitar digam- barkan oleh persamaan konduksi panas tiga dimensi.

Akan tetapi pembahasan kali ini akan dikhususkan pada bagian ketiga yaitu ali- ran panas dari semen atau formasi ke bumi dengan sistem fisik hanya terdiri atas satu tubing, satu casing dan semen. Aliran panas ini digambarkan oleh persamaan konduksi panas 2D sebagai berikut

1 r

 r∂T_f

∂r



+ ∂²T_f

∂z² = 1 α

∂T_f

∂t , (3.2.1)

dengan syarat awal dan syarat batas seperti di bawah ini

1. Temperatur dari lingkungan sekitar adalah fungsi dari kedalaman.

2. Temperatur dari bumi dekat wellhead adalah fungsi dari waktu.

FLUID

Reservoir Temperature TL

conduction

Tsu

TSL Q Q

Q

Q

Q Formation

Cemen Annulus

Annulus

Casing Casing Insulation Tubing

Surface Temperature TU

Gambar 3.1: Sistem Fisik.

3. Temperatur dari bumi dekat bottomhole adalah fungsi dari waktu.

4. Fluks panas pada semen atau formasi diberikan oleh hukum Fourier tentang kon- duksi panas.

5. Temperatur di luar atau di batas tak berhingga tidak dipengaruhi oleh gangguan temperatur pada semen atau formasi.

Secara matematika syarat-syarat di atas bisa dituliskan sebagai berikut 1. T_f(0) = T_su+ βZ pada t = 0

2. T_f = T_sl pada Z = L untuk r ≥ r_Dcem dan t≥ 0 3. T_f = T_su pada Z = 0 untuk r≥ rDcem dan t > 0 4. Q =−2πrkhE∂Tf

∂r pada r = r_Dcem untuk 0 < Z < 1 dan t > 0

5. T_f berhingga ketika r→ ∞ untuk 0 < Z < 1 dan t > 0

3.3 Pembahasan

Berdasarkan model untuk masalah perpindahan panas di atas, kita peroleh tempe- ratur dari fluida yang diinjeksikan sebagai fungsi dari kedalaman dan waktu. So- lusi ini didapat dengan menyelesaikan persamaan energi total dengan faktor yang membedakan temperatur fluida cair dan gas adalah _778c¹ . Faktor ini muncul pada kesetimbangan energi untuk gas dimana enthalpy tidak bergantung pada tekanan sehingga energinya berbeda dengan kesetimbangan energi untuk fluida cair. Untuk lebih jelasnya bisa dilihat pada penurunan solusi di lampiran B.

Kemudian seperti disebutkan sebelumnya, untuk mengaplikasikan model pertama dibutuhkan evaluasi nilai dari fungsi waktu konduksi panas f (t). Hal ini dikarenakan aliran panas di formasi berubah-ubah terhadap waktu. Fungsi konduksi panas itu sendiri bisa dituliskan dari laju konduksi panas casing ke formasi sebagai berikut

f (t) = 2πk (T₂− T_s)

dq/dZ . (3.3.1)

Selain itu, banyak solusi untuk aliran panas dan fluida transient yang mungkin bisa digunakan untuk mengestimasi f (t). Sebagai contoh, solusi perpindahan panas di sumur bor, Moss and White, mengasumsikan bahwa konduksi panas transient ke bumi bisa direpresentasikan dengan panas yang hilang dari sumber garis pada fluks konstan.

Adapun untuk masalah perpindahan panas dari fluida ke formasi seperti pada model di atas, fungsi waktu konduksi panas f (t) didekati oleh solusi grafik dan analitik Carslaw and Jaeger, yaitu untuk kasus panas yang hilang dari sumber berupa tabung pada fluks konstan, temperatur konstan, dan di bawah syarat batas radiasi. Per- hatikan solusi grafik untuk fungsi konduksi panas f (t) berikut

Gambar 3.2: Konduksi Panas dalam Sistem Radial Tak Hingga [5].

Seperti terlihat pada Gambar 3.2 ketiga solusi tersebut akan konvergen ke garis yang sama, dengan waktu kekonvergenan biasanya satu minggu untuk banyak reservoir atau lebih. Waktu kekonvergenan di sini biasanya berkaitan dengan waktu injeksi.

Persamaan fungsi waktu, f (t), untuk sumber dengan waktu injeksi yang lama adalah f (t) =−ln r₂^

2√

αt− 0.290 + O(r₂^2/4αt).

Sedangkan untuk estimasi dari temperatur dengan waktu kekonvergenan kurang dari waktu di atas, f (t) didapat dari syarat batas radiasi terutama untuk nilai dari r₁U/k. Sebagai contoh, untuk waktu yang kurang dari 1000 untuk waktu tak berdimensi (αt/r₂^2 = 1000), syarat batas radiasi dicari untuk menghasilkan nilai f (t) yang dapat diterima. Syarat batas dalam radiasi adalah

−k

∂T

∂r



r=r^₂

= U₂(T₁− T2) , (3.3.2) dengan U₂ = r₁U/r^₂. Secara fisik persamaan di atas menyatakan bahwa aliran panas di daerah annular antara r₁ danr^₂ dikontrol oleh konveksi untuk keadaan tunak dan bukan oleh konduksi.

Berdasarkan solusi dari Carslaw and Jaeger fungsi waktu konduksi f (t) sepertinya

bergantung pada (r₁U/k). Akan tetapi untuk nilai (r₁U/k) mendekati tak hingga, solusi dari sumber berupa tabung dengan temperatur konstan direkomendasikan sebagai solusi untuk masalah model di atas jika ketahanan panas di dalam sumur bor diabaikan.

Berikut adalah contoh perhitungan untuk injeksi air dengan fungsi waktu konduksi f (t) didekati oleh solusi Carslaw and Jaeger. Asumsikan data lapangan sebagai berikut: laju injeksi 4790 BWPD; temperatur air permukaan 58.5^oF; ukuran casing 7 in.-23 lb(6.366-in.ID); casing shoe 6605 ft; no tubing ; temperatur panas bumi 70^o+0.00083^oF/ft; koefisien film lokal dari perpindahan panas 222 Btu/hr-sq ft-^oF dan periode injeksi kira-kira 75 hari. Persamaan koefisien panas keseluruhan untuk contoh perhitungan di atas adalah sebagai berikut

1/U = 1/h + x_c/k_c.

Hal ini dikarenakan hanya ketahanan panas dari lapisan air dan dinding casing yang terlibat, dan perbedaan daerah dalam dan luar dari dinding casing diabaikan.

Konduktivitas besi sekitar 25 Btu/hr-ft-^oF sehingga 1

U = 1

222 + (7− 6.366in)

2 (12in/f t) (25Btu/hr− ft^oF ),

= 0.00451 + 0.00106,

= 0.00557,

U = 180Btu/hr− sqft −^oF,

= 4320Btu/day− sqft^oF.

Selanjutnya akan kita hitung fungsi waktu konduksi f (t) yang diestimasi dari solusi grafik Carslaw and Jaeger seperti berikut ini. Dengan periode injeksi sekitar 75 hari, maka

αt/r₂^2

= (0.04sqf t/hr)(75days)(24hr/day) (3.5in/12in/f t)² ,

= 845,

log₁₀

αt/r₂^2

= 2.93.

dari solusi grafik yaitu pada Gambar 3.2, nilai yang bersesuaian dari log₁₀f (t) adalah 0.58 sehingga kita peroleh f (t) = 3.8. Kemudian dari persamaan A = ^{W c[k+r}_2πr^{1U f (t)]}

1U k

diperoleh A = 30400 ft. Sekarang temperatur bisa dihitung untuk berbagai keda- laman seperti pada persamaan ( 3.1.1), misalkan untuk kedalaman 6000 ft

T₁(Z, t) = aZ + b− aA + (T0+ aA− b) e^−Z/A

= (0.0083^oF/f t)(6000f t) + 70^oF − (0.0083^oF/f t)(30400f t)

+ [58.5^oF + (0.0083)(30400)^oF − 70^oF ]e−6000ft/30400ft

T₁ = 62.5^oF.

Kemudian untuk model fisik, aliran panas dari semen atau formasi ke bumi bisa digambarkan oleh persamaan konduksi panas 2D. Persamaan ini menunjukkan tem- peratur formasi sebagai fungsi dari jari-jari r, kedalaman Z dan waktu t. Syarat batas yang dilihat adalah r ≥ rDcem dan 0 ≤ Z ≥ 1. Laju panas yang hilang ke bumi bertanda negatif karena perubahan temperaturnya juga negatif sedangkan panas berpindah dari temperatur yang lebih panas ke temperatur yang dingin.

Perlu diingat bahwa tubing, casing dan semen masing-masing mempunyai keta- hanan panas sehingga panas yang dipindahkan akan mengalami hambatan yang pada akhirnya temperatur menjadi lebih dingin. Sehingga untuk r yang lebih besar bahkan menuju tak hingga, perubahan temperatur adalah konstan.

Adapun solusi dari aliran panas ini adalah sebagai berikut (T_f)_av −

T_u+ γπ 2

=− Q

π³k_hEG (t_D, ξ) , (3.3.3) dengan

G (t_D, ξ) = ∞ n=1

[1− (−1)ⁿ]²

n² Λ (t_D, n, L, ξ) . (3.3.4) Adapun untuk pertambahan waktu yang cukup kecil didekati oleh

Λ (t_D, n, L, ξ) = erf

(nξ)√ t_D

nξ .

Lebih jauh dapat dituliskan menjadi (T_f)_av−

T_u+ γπ 2

=− Q π³k_hE

∞ n=1

[1− (−1)ⁿ]² n²

erf 

(nξ)√ t_D

nξ . (3.3.5)

Solusi di atas dapat direpresentasikan seperti pada gambar () dan ()

xi 100

0.0 0.5

125

25 50 175

0.75 0.25

150

1.0 75

0

Gambar 3.3: Solusi untuk nilai t yang berbeda

atau dengan gambar 3D seperti di bawah ini

100

75

t 250

150

50 125

25

1,000 500

0 0 175

750

Gambar 3.4: Solusi untuk nilai ξ yang berbeda

1,000 0 750

1.0 500

50

0.75

t 100

xi 0.5 150

250

0.25 0

Gambar 3.5: Solusi 3D