KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

(1)

1

Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

HADI SUTRISNO

Pendidikan Matematika

STKIP PGRI Bangkalan

(2)

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. Sistem Bilangan Real

Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya.

Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, ... Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi,

N = {1, 2, 3, 4, …}

Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan dengan nol, maka diperoleh bilangan cacah, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, … Himpunan semua bilangan cacah biasa disimbolkan dengan C. Jadi,

C = { 0, 1, 2, 3, 4, …}

Jika di dalam himpunan semua bilangan cacah kita tambahkan semua negatifnya, maka diperoleh bilangan bulat, yaitu …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi,

Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

Selanjutnya himpunan bilangan yang lebih besar adalah bilangan rasional. Bilangan Rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis

b a

dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Himpunan semua

bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Jadi,

      _ _ _  , a Z, b Z, b 0 b a Q

Lawan dari bilangan rasional adalah bilangan irrasional. Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan dengan

b a

(3)

3

Himpunan semua bilangan irrasional biasa dinotasikan dengan I.

Bilangan irrasional antara lain 2, 3, 5,



dan e.

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatif dan nol disebut bilangan real. Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan

R. Hubungan kelima himpunan N, C, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan N ⊂ C ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

B. Operasi Bilangan

Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x

dan y bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian

x dan y ditulis x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada R adalah sebagai berikut:

1. Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx.

2. Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z.

3. Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz.

4. Elemen-elemen identitas:

Elemen identitas penjumlahan adalah 0 sebab x + 0 = x.

Elemen identitas perkalian adalah 1 sebab x.1 = x.

5. Invers (kebalikan):

Setiap bilangan real x mempunyai invers penjumlahan yaitu –x yang memenuhi x + –x = 0 dan setiap bilangan real x yang tidak nol mempunyai invers perkalian yaitu

x 1 yang memenuhi 1 1 .  x x . C. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, ≤ atau ≥. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yang biasanya

(4)

4

merupakan interval atau gabungan interval- interval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = { a < x < b }.

2. Interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi

[a,b] = { a ≤ x ≤ b }.

Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.

Penulisan Interval Penulisan Himpunan Garis bilangan

(a , b) { x | a < x < b } [a , b] { x | a  x  b } (a , b] { x | a < x  b } [a , b) { x | a  x < b } (- , b) { x | x < b } (- , b] { x | x  b } (a , ) { x | a < x } [a , ) { x | a  x } (- , ) { x | x  R } Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2.

Jawab 2x – 7 < 4x – 2 – 7 + 2 < 4x – 2x – 5 < 2x − 5 2< 𝑥 HP = { x | x >

−

5 2 } a _b a _b a _b a _b b b a a

(5)

5

Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 – x – 6 < 0. Jawab x2 – x – 6 < 0 x2 – x – 6 = 0 (x – 3)(x + 2) = 0 x = 3 V x = - 2 HP = { x | - 2 < x < 3 } Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2𝑥−5

𝑥−2 ≤ 1 Jawab 2𝑥 − 5 𝑥 − 2 ≤ 1 2𝑥 − 5 𝑥 − 2 − 1 ≤ 0 2𝑥 − 5 𝑥 − 2 – 𝑥 − 2 𝑥 − 2≤ 0 2𝑥 − 5 − (𝑥 − 2) 𝑥 − 2 ≤ 0 𝑥 − 3 𝑥 − 2 ≤ 0 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 3 = 0 𝑉 𝑥 − 2 ≠ 0 𝑥 = 3 𝑉 𝑥 ≠ 2 HP = { x | 2 < x < 3 } D. Nilai Mutlak

Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam

(6)

6

kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak.

1. Definisi nilai mutlak

Nilai mutlak bilangan real x, ditulis |x| didefinisikan dengan |x|  x , jika x ≥ 0

 - x , jika x < 0

2. Sifat-sifat nilai mutlak a. |a.b| = |a|.|b| b. 𝑎 𝑏

=

𝑎 𝑏 c. |a + b|  |a| + |b| d. |a - b|  |a| - |b|

3. Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut:

a. |x| < a  –a < x < a b. |x| > a  x < –a atau x > a. Contoh 1 c. Tentukan penyelesaian |x| < 3 Jawab

Nilai x yang memenuhi –3 < x < 3 merupakan penyelesaian pertidaksamaan |x| < 3. Jadi, HP = { x | -3 < x < 3 }

Contoh 2

(7)

7

Jawab |x - 2| < 3  –3 < x - 2 < 3 –3 + 2 < x < 3 + 2 –1 < x < 5 Jadi, HP = { x | -1 < x < 5 } Contoh 3 Tentukan penyelesaian |3x - 5|  1 Jawab |3x - 5|  1  3x – 5 ≤ –1 V 3x – 5 ≥ 1 3x ≤ 4 V 3x ≥ 6 x ≤ 4 2 V x ≥ 2 Jadi, HP = { x | x ≤ 4 2 V x ≥ 2} SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan

gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan. 1. 4x – 7 < 3x – 5 2. 6x – 10 ≥ 5x – 16 3. x2 + x – 12 < 0 4. 2x2 + 7x – 15 ≥ 0 5. 𝑥−2 𝑥+4 < 2 6. 2𝑥−1 𝑥−3 ≥ 1 7. |3x + 4| < 8 8. |2 – 4x|  10 9. |4x +2|  10 10.

2 +

5 𝑥

> 1

(8)

8

BAB II FUNGSI

A. Definisi Fungsi

Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Perhatikan diagram panah berikut:

A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil).

Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real.

Contoh 1

Relasi manakah yang merupakan fungsi dari diagram panah berikut?

1 2 3 2 4 6 8 A B

(9)

9

a. c. b. d. Jawab C dan D Contoh 2

Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 1

𝑥−3 ! Jawab

Df = { x | x  R, x  3 }

Rf = { x | x  R } Contoh 3

(10)

10

Jawab

Df = { x | x  9 }

Rf = { x | x  0 } B. Fungsi Komposisi

Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g o f, didefinisikan sebagai (g o f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x  Dg. Contoh 1

Jika f(x) = 2x3 dan g(x) = x + 3, tentukan (g o f)(x)!

Jawab

(g o f)(x) = g [f (x)] = f(x) + 3 = 2x3 + 3 Contoh 2

Jika g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x2 + 2x + 5, tentukan (h o g)(x)!

Jawab (h o g)(x) = h[g(x)] = [g(x)]2 + 2[g(x)] + 5 = (2x + 4)2 + 2(2x + 4) + 5 = 4x2 + 16x + 16 + 4x + 8 + 5 = 4x2 + 20x + 29 Contoh 3

Jika g(x) = x2 - x + 3 dan (f o g)(x) = 3x2 - 3x + 4, tentukan f(x)!

Jawab g(x) = x2 – x + 3 (f o g) (x) = 3x2 – 3x + 4 f(g(x)) = 3(x2 – x + 3) – 5 f(g(x)) = 3[g(x)] – 5 f (x) = 3x – 5

Adapun sifat-sifat fungsi komposisi sebagai berikut:

(11)

11

Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif [f o (g o h)](x) = [(f o g) o h](x)

3. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x sehingga

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x) C. Fungsi Invers

Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan

daerah hasil Rf. Fungsi invers ( fungsi balikan ) f adalah f –1

jika dan hanya jika

(f –1o f)(x) = x untuk setiap x di dalam Df dan (f –1o f)(x) = x untuk setiap x

di dalam Rf. Contoh 1

Tentukan invers dari fungsi y = f(x) = 5x – 7

Jawab y = 5x – 7  5x = y + 7 𝑥 = 𝑦+7 5 𝑥 = 𝑓−1(𝑥) = 𝑦 + 7 5

Jadi, fungsi invers dari y = 5x – 7 adalah

𝑦 =

𝑥+7

5

Contoh 2

Tentukan invers dari fungsi 𝑦 = 3𝑥+4

2𝑥−1 Jawab 𝑦 = 3𝑥 + 4 2𝑥 − 1  𝑦 2𝑥 − 1 = 3𝑥 + 4 2𝑥𝑦 − 𝑦 = 3𝑥 + 4 2𝑥𝑦 − 3𝑥 = 𝑦 + 4

(12)

12

𝑥(2𝑦 − 3) = 𝑦 + 4 𝑥 = 𝑦 + 4

2𝑦 − 3

Jadi, fungsi invers dari

𝑦 =

3𝑥+4

2𝑥−1 adalah

𝑦 =

𝑥+4 2𝑥−3

Contoh 3

Tentukan invers dari fungsi 𝑦 = 3𝑥2 + 4

Jawab 𝑦 = 3𝑥2 + 4 3x2 = y – 4 𝑥2 = 𝑦 − 4 3 𝑥 = 𝑦 − 4 3

Jadi, fungsi invers dari 𝑦 = 3𝑥2 + 4 adalah 𝑦 = 𝑥−4 3

Soal

1. Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 3

𝑥2−2𝑥−3 !

𝑥−4 !

𝑥2 !

4. Tentukan f o g(x) dan g o f (x) dari fungsi f(x) = 3 – 4x dan g(x) = 2x3

+ 2 !

5. Jika f (x) = 2x2 + 7 dan f o g (x) = 3(3 – 2x), tentukanlah g(x) ! 6. Jika g(x) = 2 (x – 1) dan g o f (x) = 2x (x – 5), tentukanlah f(x) ! 7. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut

(13)

13

a. f(x) = 2 – x2 b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

c.

𝑓 𝑥 =

2

3𝑥−2 d. 𝑓 𝑥 = 5𝑥2 _{− 6}

(14)

14

BAB III LIMIT FUNGSI

A. Definisi Limit

Definisi yang tepat tentang limit pertama kali diperkenalkan oleh Cauchy. Cauchy adalah seorang mahaguru di Ecole Polytechnique, Sarbone, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya sangat cemerlang sehingga semua buku ajar moderen mengikuti penjelasan kalkulus yang terperinci oleh Cauchy.

Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Notasi limit adalah

lim

𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐿

dijabarkan sebagai "limit fungsi f(x) pada saat x mendekati a sama dengan L". Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan lim_𝑥→𝑎−𝑓 𝑥 .

Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan lim_𝑥→𝑎+𝑓 𝑥 .

B. Limit Fungsi Aljabar

Beberapa cara dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

1. Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung

Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut.

Contoh 1

(15)

15

Jawab

lim_𝑥→−4(𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6) = −4 3 + 4 −4 2 − 4 − 6 = - 64 + 64 – 4 – 6

= - 10 Contoh 2

Tentukan limit fungsi

lim

_𝑥→0𝑥 3₊₁ 𝑥+1 Jawab

lim

_𝑥→0𝑥3+1 𝑥+1

=

03+1 0+1

= 1 1 = 1

2. Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu

Jika dengan cara substitusi langsung pada

lim

_𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

diperoleh bentuk 0

0 (bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoran terlebih

dahulu terhadap f(x) dan g(x). Kemudian, sederhanakan ke bentuk paling sederhana.

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→2𝑥2−4

𝑥−2 Jawab

lim

_𝑥→2𝑥2−4 𝑥−2

= lim

𝑥→2 𝑥+2 (𝑥−2) 𝑥−2

=

lim

_𝑥→2

(𝑥 + 2)

= 2 + 2 = 4

(16)

16

lim

_𝑥→−3 𝑥+3

𝑥+3 Jawab

lim

_𝑥→−3 𝑥+3 𝑥+3

= lim

𝑥→−3 𝑥+3 𝑥+3 𝑥+3

=

lim

_𝑥→−3

_{𝑥 + 3}

= −3 + 3 = 0 = 0 Contoh 3

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→0 3𝑥2+3

2𝑥2−8𝑥 Jawab

lim

_𝑥→0 3𝑥2+3 2𝑥2−8𝑥

= lim

𝑥→0 3𝑥(𝑥+1) 2𝑥(𝑥−4)

= lim_𝑥→03(𝑥+1) 2(𝑥−4) = 3(0+1) 2(0−4) = 3 −8 =−3 8

3. Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan

Jika pada

lim

_𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)diperoleh bentuk tak tentu 0

0 untuk x = a

dan sulit untuk memfaktorkan f(x) dan g(x), lakukan perkalian dengan faktor sekawan dari g(x) atau f(x). Agar lebih jelas, pelajari contoh berikut.

(17)

17

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→03− 9−9𝑥

3𝑥 Jawab

lim

_𝑥→03− 9−9𝑥 3𝑥

= lim

𝑥→0 3− 9−9𝑥 3𝑥

.

3+ 9−9𝑥 3+ 9−9𝑥

=

lim

_𝑥→0 9−(9−9𝑥) 3𝑥 (3+ 9−9𝑥) =

lim

_𝑥→0 9𝑥 3𝑥 (3+ 9−9𝑥) =

lim

_𝑥→0 3 (3+ 9−9𝑥) = 3 3+ 9−9.0 = 3 3+ 9 = 3 3+3 =1 2 Contoh 2

lim

_𝑥→1 3𝑥−1− 𝑥+1

2𝑥−1− 𝑥 Jawab

lim

_𝑥→1 3𝑥−1− 𝑥+1 2𝑥−1− 𝑥

= lim

𝑥→1 3𝑥−1− 𝑥+1 2𝑥−1− 𝑥

.

3𝑥−1 + 𝑥+1 3𝑥−1 + 𝑥+1

.

2𝑥−1 + 𝑥 2𝑥−1 + 𝑥

=

lim

_𝑥→12𝑥−2 𝑥−1

.

2𝑥−1 + 𝑥 3𝑥−1 + 𝑥+1 =

lim

_𝑥→12(𝑥−1) 𝑥−1

.

2𝑥−1 + 𝑥 3𝑥−1 + 𝑥+1

= lim

_𝑥→1 2 2𝑥−1 + 𝑥 3𝑥−1 + 𝑥+1

= 2 2.1−1 + 1 3.1−1 + 1+1 = 2 2−1 + 1 3−1 + 2 = 2.2 2 2 = 2 2

(18)

18

Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan C. Limit Tak Hingga

Lambang  (dibaca: tak hingga) digunakan untuk menyatakan nilai bilangan yang semakin besar. Jadi,  bukan merupakan lambang bilangan dan tidak dapat dioperasikan secara aljabar sehingga tidak benar  –  = 0 atau 



= 1.

Beberapa cara menyelesaikan limit tak hingga antara lain dengan membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan sekawan.

1. Menentukan Limit dengan Membagi dengan Pangkat Tertinggi

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→∞ 6𝑥 + 1

2𝑥 + 10 Jawab

lim

_𝑥→∞ 6𝑥+1 2𝑥+10

= lim

𝑥→∞ 6𝑥 + 1 𝑥 2𝑥 + 10 𝑥

=

lim

_𝑥→∞ 6 + 1 𝑥 2 + 10 𝑥 = 6 + 1 ∞ 2 + 10 ∞ = 6 + 0 2 + 0 = 3 Contoh 2

lim

_𝑥→∞ 8𝑥 + 100

3𝑥2−5𝑥 + 10 Jawab

(19)

19

lim

_𝑥→∞ 8𝑥 + 100 3𝑥2−5𝑥 + 10

= lim

𝑥→∞ 8𝑥 + 100 𝑥 2 3𝑥 2−5𝑥 + 10 𝑥 2

= lim_𝑥→∞ 8 𝑥+ 100 𝑥 2 3 −5 𝑥 + 10 𝑥 2

= 8 ∞+ 100 ∞ 2 3 −5 ∞ + 10 ∞ 2 = 0 + 0 3 − 0 + 0 = 0 3 = 0 Contoh 3

lim

_𝑥→∞ 𝑥

𝑥2− 𝑥−1 Jawab

lim

_𝑥→∞ 𝑥 𝑥2− 𝑥−1

= lim

𝑥→∞ 𝑥 𝑥2 𝑥 2− 𝑥 −1 𝑥 2

= lim_𝑥→∞ 𝑥 𝑥 1 − 1 𝑥− 1 𝑥 2 =

lim

_𝑥→∞ 1 1 − 1 𝑥− 1 𝑥 2 = 1 1 − 1 ∞− 1 ∞ 2 = 1 1 − 0− 0 = 1 1 = 1

(20)

20

2. Menentukan Limit dengan Mengalikan dengan Sekawan

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→∞( 𝑥 + 1 − 𝑥)

Jawab

lim

_𝑥→∞

( 𝑥 + 1 − 𝑥) = lim

𝑥→∞

𝑥 + 1 − 𝑥 .

𝑥+1+ 𝑥 𝑥+1+ 𝑥

=

lim

_𝑥→∞ ( 𝑥+1) 2_{–( 𝑥)}2 𝑥+1+ 𝑥 =

lim

_𝑥→∞ 1 𝑥+1+ 𝑥 =

lim

_𝑥→∞ 1 𝑥 𝑥 +1 𝑥 + 𝑥 𝑥 =

lim

_𝑥→∞ 1 𝑥 1+1 𝑥+ 1 = 1 ∞ 1+_∞1+ 1 = 0 1+0+ 1 = 0 2 = 0 Contoh 2

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→∞( 𝑥2 _{− 1 − 𝑥}2 _{+ 1)}

Jawab

lim

_𝑥→∞( 𝑥2 _{− 1 −} _𝑥2 _{+ 1)}

₌

lim

_𝑥→∞( 𝑥2 _{− 1 −} _𝑥2 _{+ 1)}

_.

( 𝑥2−1+ 𝑥2+1) ( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

= lim

_𝑥→∞ 𝑥2−1 2 − 𝑥2₊₁ 2 ( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

(21)

21

= lim

_𝑥→∞ 𝑥2−1 − 𝑥2+1 ( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

= lim

_𝑥→∞ 𝑥2−1−𝑥2−1 ( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

= lim

_𝑥→∞ −2 ( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)

= lim

_𝑥→∞ −2 𝑥2 𝑥2 𝑥2− 1 𝑥2+ 𝑥2 𝑥2+ 1 𝑥2

= lim

_𝑥→∞ −2 𝑥 1−1 𝑥 2+ 1+ 1 𝑥 2

= −2 ∞ 1− 1 ∞ 2+ 1+ 1 ∞ 2 = 0 1−0+ 1+0 = 0 1+1 = 0

D. Limit Fungsi Trigonometri

Pada Subbab sebelumnya telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali ini akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini dengan mempelajari sifat berikut.

1. lim_𝑥→0sin 𝑥 = sin 0 = 0 2. lim_𝑥→𝜋 cos 𝑥 = cos 𝜋 = −1 3.

lim

_𝑡→0sin 𝑡 𝑡

= 1

4.

lim

_𝑡→0 𝑡 sin 𝑡

= 1

5.

lim

_𝑡→0tan 𝑡 𝑡

= 1

6.

lim

_𝑡→0 𝑡 tan 𝑡

= 1

(22)

22

Setelah Anda memahami rumus limit fungsi trigonometri, pelajari cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut. Dalam beberapa hal, cara menghitung limit fungsi trigonometri sama dengan cara menghitung limit fungsi aljabar. Oleh karena itu, teorema limit utama pada Subbab sebelumnya berlaku juga untuk limit fungsi trigonometri.

Contoh 1

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→0 2𝑥

sin 2𝑥

Jawab

lim

_𝑥→0 2𝑥

sin 2𝑥

= 1

Contoh 2

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→05𝑥−sin 𝑥

𝑥

Jawab

lim

_𝑥→05𝑥−sin 𝑥 𝑥

= lim

𝑥→0 5𝑥 𝑥

− lim

𝑥→0 sin 𝑥 𝑥

=

lim

_𝑥→0

5 − lim

_𝑥→0sin 𝑥

𝑥

= 5 – 1 = 4

Contoh 3

Tentukan limit fungsi lim_𝑥→0 sin 3𝑥

tan 2𝑥

Jawab

lim

_𝑥→0 sin 3𝑥 tan 2𝑥

= lim

𝑥→0 sin 3𝑥 tan 2𝑥

.

2𝑥 3𝑥

.

3 2

= lim

_𝑥→0 2𝑥 tan 2𝑥

.

sin 3𝑥 3𝑥

.

3 2

=

3 2

. lim

_𝑥→0

2𝑥 tan 2𝑥

.

sin 3𝑥 3𝑥

=

3 2

.1 .1 =

3 2

(23)

23

Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan Soal

Tentukan limit fungsi berikut 1.

lim

_𝑥→1 𝑥−1 𝑥−1

2.

lim

_𝑥→22− 𝑥+2 𝑥−2

3.

lim

_𝑥→∞ 𝑥 𝑥2_−2𝑥−1

4.

lim

_𝑥→∞ 3𝑥 2_−2𝑥+1 𝑥+100

5.

lim

_𝑥→∞ 4𝑥+2 2 4𝑥2₊₉

6. lim_𝑥→∞ 𝑥 + 1 − 𝑥 − 1 7. lim_𝑥→0 3𝑥 sin 5𝑥 8. lim_𝑥→𝜋 4 2(sin 𝑥−cos 𝑥) 1−sin 2𝑥

(24)

24

BAB IV

TURUNAN (DIFERENSIAL)

A. Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi f’ yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah 𝑓′ 𝑥 = lim_𝑕→0 𝑓 𝑐+𝑕 − 𝑓(𝑐)

𝑕 jika limitnya ada. Notasi turunan menggunakan f’ atau 𝑑𝑦

𝑑𝑥. B. Teorema-Teorema Turunan 1. 𝑦 = 𝑘 → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 dengan k konstanta 2. 𝑦 = 𝑥 → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 3. 𝑦 = 𝑥𝑛 → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑛𝑥

𝑛−1 _dengan_n_{bilangan rasional} 4. 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑛𝑥

𝑛−1_dengan_n_{bilangan rasional}

5. 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 + 𝑕′ 𝑥 6. 𝑦 = 𝑢. 𝑣 → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑢 ′_{. 𝑣 + 𝑣}′_{. 𝑢} 7.

𝑦 =

𝑢 𝑣

→

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑢′.𝑣−𝑣′.𝑢 𝑣2

8. 𝑦 = sin 𝑥 → 𝑦′ = cos 𝑥 9. 𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦′ = −sin 𝑥 10. 𝑦 = tg 𝑥 → 𝑦′ = sec2𝑥 11. 𝑦 = cotg 𝑥 → 𝑦′ = −cosec2𝑥 12. 𝑦 = sin 𝑕(𝑥) → 𝑦′ = cos 𝑕 𝑥 . 𝑕′(𝑥) 13. 𝑦 = cos 𝑕(𝑥) → 𝑦′ = −sin 𝑕 𝑥 . 𝑕′(𝑥) 14. 𝑦 = tg 𝑕(𝑥) → 𝑦′ = sec2𝑕 𝑥 . 𝑕′(𝑥) 15. 𝑦 = cotg 𝑕(𝑥) → 𝑦′ = −cosec2𝑕 𝑥 . 𝑕′(𝑥) 16. 𝑦 = ln 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑓′_(𝑥) 17. 𝑦 = 𝑒𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑓 𝑥 _{. 𝑓}′_(𝑥)

(25)

25

18. 𝑦 = arc sin 𝑥 → 𝑦′ = 1 1−𝑥2

19. 𝑦 = arc tg 𝑥 → 𝑦′ = 1 1+𝑥2

C. Turunan Tingkat Dua dan Turunan Tingkat Tiga

𝑦 → 𝑦′ → 𝑦′′ → 𝑦′′′ Atau 𝑦 → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 → 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 → 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 Contoh 1

𝑦 = cos 𝑥 , tentukan 8y’’’ + 4y’’ + 2y’ + y

Jawab

𝑦 = cos 𝑥 𝑦′ = − sin 𝑥 𝑦′′ = − cos 𝑥

𝑦′′′ = − − sin 𝑥 = sin 𝑥

8y’’’ + 4y’’ + 2y’ + y = 8 sin x + 4 (-cos x) + 2 (-sin x) + cos x = 8 sin x - 4 cos x - 2 sin x + cos x

= 6 sin x - 3 cos x

SOAL

Tentukan turunan fungsi berikut

1. 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑥 2.

𝑦 =

𝑥 9

+

9 𝑥

3. 𝑦 = 𝑥4 𝑥 − 5 4. 𝑦 = 2 + 3𝑥2 9 5. 𝑦 = 5 + 2𝑥 3 + 2𝑥 + 1

(26)

26

6. 𝑦 = tg 𝑥3 − 5𝑥 7. 𝑦 = 𝑥2sin 𝑥 8. 𝑦 = 4𝑥3cos −6𝑥 9.

𝑦 =

𝑥 3 4𝑥+1

10.

𝑦 =

𝑥 3 𝑥2₊₅

(27)

27

BAB V

APLIKASI TURUNAN

A. Persamaan Garis Singgung

Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva

y = f(x) di titik A [a, f(a)] adalah m. Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1) dengan gradien m adalah

y – y1 = m(x – x1)

Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A [a, f(a)] pada kurva adalah

y – f(a) = f '(a)(x – a)

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4)

Jawab

f(x) = x2  f ’ (x) = 2x

m = f ’ (-2) = 2(-2) = -4

persamaan garis singgungnya adalah

y – f(a) = f '(a)(x – a) y – 4 = f '(-2)(x – (-2)) y – 4 = (-4)(x + 2) y – 4 = -4x - 8 y = -4x – 8 + 4 y = -4x – 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = -4x – 4

B. Nilai Ekstrem atau Nilai Puncak

Fungsi f dengan domain D yang memuat titik a dikatakan bahwa

1. f(a) adalah nilai maksimum fungsi f jika f(a) > f(x) untuk semua x dalam

(28)

28

2. f(a) adalah nilai minimum fungsi f jika f(a) < f(x) untuk semua x dalam

D syarat nilai minimum adalah f’(a) = 0 dan f’’(a) > 0

Contoh 1

Carilah dan tentukan titik puncak pada kurva y = 2x2 - x Jawab y = 2x2 – x y’ = 4x – 1 4x – 1 = 0 𝑥 = 1 4  y = 2x 2_{– x} y = 2 1 4 2 - 1 4 y = 2 16 - 1 4 = 1 8 - 1 4 = -1 8 y’ = 4x – 1

y’’ = 4 (y’’ > 0)  nilai minimum

Jadi, titik puncak adalah 1 4, −

1

8 dan merupakan titik maksimum

SOAL

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva-kurva berikut

a. f(x) = x2 – 3x – 7 di x = 4 b. f(x) = 1 − 1

2𝑥

2_{di titik (2,–1)}

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2 – 3x yang sejajar garis

y = x.

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x + 5 yang tegak lurus y = –2x + 3.

4. Carilah dan tentukan titik puncak pada kurva f(x) = x3 – 6x2 + 9x

5. Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000 cm3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.

(29)

29

6. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8. Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum.

7. Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi x unit barang jenis A sebesar 2x3 – 4.000x2 + 6.000.000x rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya minimum.