Pelabelan aliran maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson telah diperkenalkan pada pertengahan 1950,

1.

. . . Pelabelan aliran maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson telah diperkenalkan pada pertengahan 1950, Merupakan algoritma untuk memaksimumkan aliran (flow) dengan kapasitas dan biaya yang terbatas pada jaringan. Algoritma Ford-Fulkerson juga merupakan metode yang dipakai untuk melakukan penambahan aliran dalam suatu jaringan. 2.

Sebuah digraph G = (V,E), yang mempunyai fungsi kapasitas pada tiap sisi (edge) disebut dengan jaringan berkapasitas Pada jaringan ini terdapat dua vertex yg berbeda, 1. Vertex s dengan in-degree 0 disebut dengan sumber 2. vertex t dengan out-degree 0 disebut dengan tujuan (sink). 3.

kapasitas 4. 12. 5. 15. 12. s= 1. 27. t= 6 6. 24. 3. 2. 8. 12 6. kapasitas tiap edge (i,j). adalah c(i,j) 0. 4.

 flow. • flow (aliran) dlm jaringan adalah nilai integer. fungsi f yg didefinisikan di tiap edge. • 0 f(i,j) c(i,j) untuk setiap edge (i,j) .. 5.

 Conservation. Condition. • Untuk setiap vertex j , dimana j bukan sumber s. atau tujuan t, maka penjumlahan aliran yg masuk ke j sama dengan aliran yang ke luar dari j.  feasible. flow.. • Aliran yang memenuhi disebut conservation. condition feasible flow.. 6.

. . Algoritma Ford-Fulkerson menentukan maximum flow pada jaringan. Jika f merupakan feasible flow dalam G. maka Edge (i,j) dikatakan :  saturasi jika f(i,j) = c(i,j)  bebas jika f(i,j) = 0  positif if 0 < f(i,j) < c(i,j).. 7.

. tiga hal penting yang perlu diperhatikan dalam kaitannya dengan metode menggunakan algoritma Ford-Fulkerson, yaitu: • • •. Residual network Flow Augmenting Path Minimum Cutset. 8.

. residual capacity (rc) dari sebuah edge (i,j) • sama dengan c(i,j) – f(i,j) ketika (i,j) adalah. forward edge, dan • sama dengan f(i,j) ketika (i,j) adalah backward edge.. 9.

flow/cap. i i. rc. j flow. Forward edge. j. flow/cap. i i. flow. j rc. j. Backward edge. 10.

11.

 Flow. Aughmenting Path merupakan suatu lintasan yang memungkinkan terjadinya suatu penambahan aliran..  Syarat. •. dilakukan Flow Aughmenting Path. ∆ = ci,j – fi,j ≠ 0. 12.

 Langkah. Flow Aughmenting Path:. • Menaikkan flow forward link sampai menuju ci,j • Menurunkan flow arah backward link sampai. menuju 0 (kapasitas terendah). 13.

14.

 augmenting. path. • Adalah urutan alternatif dari vertex dan edge . s, e1, v1, e2, v2, …, ek, t • Dengan syarat tidak ada vertex yang diulang. dan tidak ada forward edge yg saturasi dan tidak ada backward edge yg bebas. 15.

3/8. 6/7. 2/6. 4/9. s. t. 5. s. 3. 1. 6. 2. 4. 5. 4. t. 16.

 Kita. dapat meningkatkan flow pada path s ke t dengan menentukan excess flow capacity dari path ini..  Dari. kiri ke kanan, residual capacities (jumlah flow yg dapat ditingkatkan pada edge) adalah huruf pertama pada masing-masing edge. 17.

excess flow capacity dari sebuah augmenting path sama dengan minimum dari residual capacities dari setiap edge dalam path. 5. 3. 1. 6. 2. 4. 5. 4. s. t. 4. 4. 0. 7. 1. 5. s. 4. 5. t. minimum(5, 1, 2, 5) = 1. 18.

Theorema: flow dalam sebuah capacitated network adalah maximum flow jika dan hanya jika tidak terdapat augmenting path dalam jaringan Angka menunjukkan kapasitas tiap link. 3 X. W. 4. 5. 5. s 6. t Z. 4. 4 Y. 19.

0. 3. X. 0. W. 5. 5 4. 0. 0. s. t. 0. 0. 0. 6 0. Z. 4. 0. Y. 4. 20.

. . Augmenting path: s->X->W->t Excess capacity of s->X->W->t = min(4, 3, 5) = 3 0 3. 3. X. W. 2. 5 1. 3. 3. s. t. 0. 3. 0. 6 0. 4. Z. 0. Y. 4. 21.

 . Augmenting path: s->X->t Excess capacity of s->X->t = min(1, 5) = 1. 4. 0. X. 3. W. 2. 4 0. 4. 3. s. t. 1. 4. 0. 6 0. Z. 4. 0. Y. 4. 22.

. . Augmenting path: s->Z->Y->t Excess capacity of s->Z->Y->t = min(6, 4, 4) = 4 0 4. 3. X. W. 2. 4 0. 8. 3. s. t. 1. 8. 4. 2 4. 0. Z. 4. Y. 0. 23.

 At. this point, there are no remaining augmenting paths! Therefore the flow is a maximum = 8. X. 3/3. W. 4/4. 3/5 1/5. s 4/6. Z. 4/4. t Y. 4/4. 24.

 Minimum. cut-set yaitu suatu metode pemecahan jaringan menjadi beberapa subnet. Minimum cut-set akan membentuk suatu partisi (membentuk dua buah jaringan baru). 25.

26.

. algoritma Ford-Fulkerson mempunyai dua bagian, yang dinamakan Routine A dan Routine B,. . Routine A. • Yg pertama adalah proses labeling yang mencari sebuah. flow augmenting path { i.e., path dari s ke t yg mempunyai f < c untuk seluruh arah foward dan f > 0 untuk seluruh arah backward. Jika Routine A menemukan sebuah flow augmenting path,maka :. . Routine B. • Routine B mengubah flow yg sesuai. Dengan kata lain,. jika sudah tidak terdapat augmenting path , maka flow sudah dipastikan optimal, sesuai dengan teorema:. 27.

Sebuah flow f mempunyai nilai maksimum jika dan hanya jika tidak terdapat flow augmenting path. 28.

. Terdapat dua tahapan dalam melakukan algoritma FordFulkerson, yaitu:. 1.. Tahap pelabelan, terdiri atas beberapa langkah a. b.. simpul sumber dengan (0,∞) Bila i merupakan simpul yang sudah dilabelkan dengan fi,j < ci,j , maka beri label untuk simpul j dengan (i, e(j)) di mana. a.. b.. e(j) = min (e(i), ci,j - fi,j ).. Arah aliran dari i ke j. c. Bila i merupakan simpul yang sudah dilabelkan, j simpul yang belum dilabelkan dan fj,i > 0, buat label di j dengan (-i, e(j)) dengan a. e(j)= min (e(i), fj,i ) 29.

2.. Pengubahan aliran, terdiri atas beberapa tahap: a. untuk simpul-simpul yang terlabelkan dengan. prosedur 1.b, maka aliran ditambah fi,j = fi,j + e(t) b. untuk simpul-simpul yang terlabelkan dengan cara 1.c maka aliran dikurangi fj,i=fi,j – e(t) c. Setelah prosedur selesai, hapus label-label tadi. Kemudian ulangi prosedur hingga tidak ditemukan lagi aughmenting path.. 30.

 Jika. kita mulai dengan setiap feasible flow (e.g., f = 0). Secara umum, sebuah node dalam tiga kondisi berikut: • unlabeled, • labeled dan scanned, atau • labeled dan unscanned.. 31.

aliran kapasitas 7. 2. (6,3). 4. 1. 6. 3. (8,7). 7. 5. Sumber di simpul 1 dan tujuan di simpul 6 32.

1.. Labelkan simpul satu dengan (+0,∞). 2.. Pilih simpul yg SL (sudah label) tapi BS ( belum scan)simpul 1 dipilih. 3.. Simpul 1 sebagai simpul i. simpul i SL dan labelkan setiap simpul j yg BL (belum label) . Cari fij < cij, kalau tidak ada cari fji > 0.  .  4.. Jika fij < cij maka labelkan simpul j dengan (+i,(ej)) dengan e(j)=min (e(i), ci,j fi,j ). Jika fji>0, maka labelkan simpul j dgn (-i,e(j)) dimana e(j)=min (e(i),fji). Sekarang simpul i SS (sudah scan), simpul j SL dan BS. Cek apakah simpul tujuan SL. Bila SL berarti sudah ditemukan ‘jalan aliran yg diperbesar’ tambahkan fij + e, bila belum, ulangi langkah 2 & 3. 33.

Contoh pelabelan Bila i merupakan simpul yang sudah dilabelkan dan fi,j < ci,j , maka beri label untuk simpul j dengan (i, e(j)) di mana e(j) = min (e(i), ci,j fi,j ). Arah aliran dari i ke j Labelkan simpul sumber dengan (+0,∞). e(i). (+1,3). 2 7. (6,3). (+2,3). 4. (+0,∞). 1. 6. 7. (+5,2). 3. (8,7). 5 (-4,2) 34.

Contoh pelabelan (+1,3). 2 7. (6,3). (+2,3). 4. (+0,∞). 1. 6. 7. (+5,2). 3. (8,7). Bila i merupakan simpul yang sudah dilabelkan, j simpul yang belum dilabelkan dan fj,i > 0, buat label di j dengan (-i, e(j)) dengan e(j)= min (e(i), fj,i ). 5 (-4,2). 35.

•Tujuan SL (sudah label) •Tambahkan fij+e=7+2=9 (+1,3). 2 7. (6,3). (+2,3). 4. (+0,∞). 1. 6. 7. (+5,2). 3. (8,7). 5 (-4,2) 36.

Contoh penambahan aliran 2 9. (6,5). 4. 1. 6. 3. (8,7). 9. 5. Tambahkan 2 satuan ke tujuan Tambahkan 2 satuan aliran f56 Kurangkan 2 satuan aliran f54 Tambahkan 2 satuan aliran ke f24 Tambahkan 2 satuan aliran ke f12 37.

Setelah prosedur selesai, hapus label-label tadi. Kemudian ulangi prosedur hingga tidak ditemukan lagi aughmenting path.. 38.

(+1,1). 2 9. (6,5). (+2,1). 4. (+0,∞). 1. 6. 3. (8,7). 9. 5.  Tidak. bisa dilabelkan sampai tujuan, artinya aliran jaringan sudah optimal 39.

9. 4 (2,2). 2. (8,7). 1. 3.  Sumber. (8,1). 6. 9. 5. di node 1 dan tujuan di node 6 40.

41.

G:. 0 10 s. 0 10. 2. 0 4. 2 0. 0 8. 3. 0 9. 4. 60. 0 10. 5. 0 10. flow capacity. t. Flow value = 0. 42.

2. 4. 4. 2. 8. 6. 10. 3. 9. 5. 10. Gf: 10 s. 10. residual capacity. t. 43.

Gf:. 2. 4. 4. 2. 2. 8. 6. 10. 10. 3. 9. 5. 2. 8. s. t. 8. Flow value = 8. 44.

Gf:. s. 2. 4. 4. 10. 2. 8. 6. 10. 10. 3. 7. 5. 10. t. 2 Flow value = 10. 45.

2. Gf:. 4. 4. 6. s. 10. 2. 8. 6. 4. 4. 3. 1. 5. 10. 6. t. 8 Flow value = 16. 46.

2 2. Gf:. 2. 4. 8. s. 10. 2. 8. 6. 2. 2. 3. 1. 5. 10. 8. 8. t. Flow value = 18. 47.

3 2. Gf:. s. 1. 10. 2. 7. 1. 3. 9. 9. 4. 1. 9 6. 1. 5. 10. t. Flow value = 19. 48.

3 2. Gf:. s. 1. 4. 10. 2. 7. 1. 3. 9. 1. 9 6. 1. 5. 10. t. 9. Cut capacity = 19. Flow value = 19. 49.

1.. Dengan algoritma ford fulkerson, tentukan penambahan aliran yang dapat dilakukan untuk graph berikut (sumber di node 1 dan tujuan di node 6): (8). 2. (4). 4. (8). (4). (2). 1. (8). 6. (3) 3. (8). 5. (4). 50.

2.. Dengan algoritma ford fulkerson, tentukan penambahan aliran yang dapat dilakukan untuk graph berikut (sumber di node 1 dan tujuan di node 6):. (7,6) 9. 2. (8,7) (3,1). 1 (9,3). 3. 4. (2,2). (3,1). (8,1). (8,6) 6. 5. 9. (8,3). 51.