PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI

PEMBAHASAN

EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)

Program Studi Matematika

Disusun oleh : Sihwanto NIM : 003114045

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Maret 2007

Penulis

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini ku persembahkan kepada:

Kedua orang tuaku

Almamaterku

dan

wiwin

ABSTRAK

Skripsi ini membahas tentang penggunaan Teorema Taylor dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik c, dan kontinu di c dengan maka terdapat bilangan dengan sehingga

) (x f ) ( ) 1 ( x f n+ 0 ) ( ) 1 ( + _≠ c f n θ 0< θ<1 ( ) )! 1 ( ) ( ) ( ( 1 1 θh c f n h c f h c f n n ₊ + = − + + + . Apabila n gasal maka:

a. f(x) mencapai maksimum di c jika f (n+1)(c)<0 b. f(x) mencapai minimum di c jika f (n+1)(c)>0 Apabila n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.

Untuk fungsi dua variabel jika semua turunan parsialnya mulai order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka

) , (x y f ) , ( ) , ( ) , (a h b k f a b R 1 a θh b θk f + + − = _n+ + +

untuk suatu bilangan θ dengan 0< θ<1 dan

) , ( )! 1 ( 1 ) , ( 1 1 f x y y k x h n y x R n n + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + = .

Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari

) ,

(

1 a θh b θk

R_n+ + + tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan pada keadaan Rn+1(a+θh,b+θk) untuk n>1.

Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan n=1, yaitu untuk:

[

2

]

( , ) ! 2 1 ) , ( 2 2 2 a θh b θk h f hkf k f a θh b θk R + + = _xx + _xy + _yy + +

dengan tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini tanda dari ditentukan oleh tanda dari , karena pada pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinu di titik (a,b).

yy xy xx f f f , dan ) , ( 2 a θh b θk R + + R₂(a,b) ) , ( 2 x y R Jika H(a,b)= f_xx(a,b)f_yy(a,b)− f_xy2(a,b), maka :

i. Jika H(a,b)>0 dan f_xx(a,b)>0 terjadi minimum di (a,b) ii. Jika H(a,b)>0 dan f_xx(a,b)<0 terjadi maksimum di (a,b) iii. Jika H(a,b)<0 tidak terjadi ekstrem di (a,b)

iv. Jika H(a,b)=0 belum ada keputusan, mungkin terjadi atau mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).

Dalam skripsi ini dibahas penyelidikan apakah ada ekstrem atau tidak untuk kasus dengan menggunakan contoh-contoh soal.

0 ) , (a b = H vi

ABSTRACT

This thesis study concerning usage of Theorem of Taylor in investigation of value of extreme for function from one and two variabe. If function one variable have first derivative up to nth derivative the valuableness zero at point of c, and continuous at c with , hence there are number with

so that ) (x f ) ( ) 1 ( _x f n+ 0 ) ( ) 1 ( + _c ≠ f n _θ 1 0< θ< ( ) )! 1 ( ) ( ) ( ( 1 1 θh c f n h c f h c f n n ₊ + = − + + + . If n is odd then: a. f(x) achieve maximum at c if f(n+1)(c)<0. b. f(x) achieve minimum at c if f (n+1)(c)>0. if n is even then f(x)hasn’t extreme at c.

For function with two variable , if all of the partial derivatives begin to first order up to nth order the valuableness zero at point of (a,b), then

) , (x y f ) , ( ) , ( ) , (a h b k f a b R 1 a θh b θk f + + − = _n+ + +

for a number θ with 0< θ<1 and

) , ( )! 1 ( 1 ) , ( 1 1 f x y y k x h n y x R n n + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + =

Theoretically there is or inexistence extreme value at point of (a,b) can be checked if for values of h and k small enough and sign from

) ,

(

1 a θh b θk

R_n+ + + remain to or erratic. In practice do not easy to perform a to investigation in the situation Rn+1(a+θh,b+θk) ton>1.

In this thesis only studied for situation n=1, that is to

[

2

]

( , ) ! 2 1 ) , ( 2 2 2 a θh b θk h f hkf k f a θh b θk R + + = _xx + _xy + _yy + +

with not all valuable zero at point of (a,b). In this case sign from determined by sign from , because at this solution is assumed that continuous at point of (a,b).

yy xy xx f f f , and ) , ( 2 a θh b θk R + + R₂(a,b) If H(a,b)= f_xx(a,b)f_yy(a,b)− f_xy2(a,b), then:

i. If H(a,b)>0 and f_xx(a,b)>0 , f(x,y)has minimum at point of (a,b) ii. If H(a,b)>0 and f_xx(a,b)<0 , f(x,y)has maximum at point of (a,b) iii. If H(a,b)<0 , f(x,y)hasn’t extreme at point of (a,b)

iv. If there is no decision, happened possible or might not happened extreme at point of (a,b).

0 ) ,

(a b =

H

In this thesis is studied by investigation what is there extreme or not to caseH(a,b)=0 by using problem of examples.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadiran Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat kembali ke bangku kuliah untuk menyelesaikan tugas akhir ini, meskipun harus menempuh perjalanan yang cukup panjang.

Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan memberi dukungan materiil maupun spiritual selama masa perkuliahan serta penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. A. Tutoyo, M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan sangat sabar membimbing, memberi motivasi serta saran dalam penyusunan tugas akhir ini.

2. Bapak Y.G. Hartono, S. Si, M. Sc, selaku ketua program studi Matematika.

3. Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu M.V. Any Herawati, M. Si yang telah memberikan semangat dan saran dalam penyusunan tugas akhir ini. 4. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan begitu banyak ilmu

dan pengalaman yang sangat berguna sebagai bekal penulis dalam menyongsong masa depan.

5. Seluruh staf karyawan sekretariat FMIPA, bu Warni, pak Tukijo yang telah membantu penulis dalam pelayanan administrasi perkuliahan.

6. Bapak Ngadul Wiyardi beserta ibu selaku orang tua atas doa, kasih sayang, pendidikan, sarana maupun prasarana yang telah diberikan selama ini.

7. Winarti Harjo Wiyono, SE (Wiwin) atas kasih sayang , cinta serta doa. 8. Sahabat-sahabat yang selalu bersama melewati masa perkulihan: Fery,

Heru’su timbul’, Ayuk adikku, Lina, Bunga, Tatik, Vincent, Wiwid, Lissa, Mira, Tika, Dewi, Wahyu, Feliks, Willy, Pras, Toni, Sunarto, Prihanto, Andi, Susiantoro.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.

Yogyakarta, Maret 2007

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... HALAMAN PENGESAHAN ... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... HALAMAN PERSEMBAHAN ... ABSTRAK ... ABSTRACT ... KATA PENGANTAR ... DAFTAR ISI ... DAFTAR GAMBAR ... BAB I PENDAHULUAN ... A. Latar Belakang ... B. Rumusan Masalah ... C. Pembatasan Masalah ... D. Manfaat Penulisan ... E. Tujuan Penulisan ... F. Metode Penulisan ... G. Sistematika Penulisan ... BAB II EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL .. A. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Satu Variabel ... B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel ...

i ii iii iv v vi vii viii x xii 1 1 4 4 4 5 5 5 7 7 26 x

BAB III TEOREMA TAYLOR ... A. Deret Pangkat ... B. Deret Taylor ... C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel ... D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel ... BABIV PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR UNTUK MENENTUKAN EKSTREM SUATU FUNGSI ... A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus f ′′ c( )=0 ... B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus H(a,b)=0... BAB V PENUTUP ... DAFTAR PUSTAKA ... 52 52 60 62 65 70 70 73 78 80 xi

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 ... Gambar 2.2 ... Gambar 2.3 ... Gambar 2.4 ... Gambar 2.5 ... Gambar 2.6 ... Gambar 2.7 ... Gambar 2.8 ... Gambar 2.9 ... Gambar 2.10 ... Gambar 2.11 ... Gambar 2.12 ... Gambar 2.13 ... 9 10 10 11 13 14 15 16 27 33 35 48 51 xii

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Salah satu penggunaan derivatif yang menarik dan berguna adalah menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi. Banyak problema dalam teknik, sains, geometri dan ekonomi menuntut untuk memenuhi syarat-syarat perlu dan cukup supaya suatu fungsi itu mencapai nilai maksimum atau minimum. Selain menentukan daerah dimana fungsi itu mencapai nilai maksimum atau minimum juga untuk menentukan dimana suatu fungsi cekung ke atas atau ke bawah, penentuan titik belok, penentuan asimtot dan sebagainya.

Grafik sebuah fungsi yang digambar dengan ketelitian yang tinggi dapat memberikan banyak informasi mengenai kelakuan fungsi tersebut. Tetapi untuk mendapatkan gambar grafik yang cukup tepat adalah sebuah pekerjaan yang membosankan.

Di dalam penulisan ini akan dibahas tentang maksimum dan minimum fungsi satu variabel dan dua variabel yang merupakan pendalaman tentang maksimum dan minimum fungsi yang sudah diperoleh dibangku sekolah menengah maupun didalam bangku kuliah. Jadi bukan merupakan hal yang baru lagi.

Nilai maksimum dan minimum dibagi menjadi dua yaitu nilai maksimum atau minimum mutlak dan nilai maksimum atau minimum relatif. Fungsi f disebut mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu selang, jika terdapat bilangan c pada

selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) f (x) untuk setiap x pada selang. Sedangkan fungsi f disebut mencapai minimum mutlak pada suatu selang, jika terdapat bilangan c pada selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) f (x) untuk setiap x pada selang.

≥

≤

Fungsi f disebut mencapai nilai maksimum relatif di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c, pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi untuk semua x pada selang terbuka. Sedangkan fungsi f disebut mencapai minimum relatif di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi

) ( ) (c f x f ≥ ) ( ) (c f x f ≤ untuk semua x pada selang terbuka.

Suatu fungsi yang mencapai maksimum atau minimum (mutlak/relatif) disebut mencapai ekstrem (mutlak/relatif). Dalam penulisan ini yang menjadi pokok permasalahan yang akan dibahas adalah syarat-syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi dapat mencapai maksimum atau minimum.

1. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan satu variabel

Jika f ′(x)ada dalam maka syarat perlu adanya nilai ekstrem pada titik

) , ( ba

c

x= di mana c dalam interval ( ba, ) adalah f′ c( )=0. Sedangkan syarat cukup adanya nilai ekstrem pada titik x= adalahc f ′′ c( )≠0. Kemudian didapat bahwa

1. Jika f ′′ c( )>0 maka f(x)mempunyai nilai minimum di c 2. Jika f ′′ c( )<0 maka f(x)mempunyai nilai maksimum di c.

Jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam suatu interval yang memuat titik x = c dan didapat

) (x f 0 ) ( = ′′ c

digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Sebagai contoh, diberikan fungsi f (x) = x3. Didapat turunan pertama dan keduanya berturut – turut adalah

dan . Satu-satunya bilangan kritis adalah titik nol,sehingga diperoleh 2 3 ) (x x f′ = f ′′(x)=6x 0 ) 0 ( = ′′

f . Jadi uji turunan kedua tidak dapat digunakan untuk menyimpulkan soal tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel .

2. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan dua variabel

Jika suatu fungsi beserta turunan parsial pertamanya kontinu dalam cakram terbuka maka syarat perlu suatu fungsi adanya nilai

ekstrem pada titik adalah

) , (x y f ) ); , ((x0 y r B o ) , ( ) , (x y = x₀ y₀ f_x(x₀,y₀)=0dan . Titik disebut titik kritis.

0 ) , (x0 y0 = fy ) , (x₀ y₀

Jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam himpunan tersebut dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka , maka syarat cukup adanya nilai ekstrim pada titik

) , (x y f ) ); , ((x₀ y r B _o ) , ( ) , (x y = x0 y0 adalah ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x₀ y₀ f x₀ y₀ f x₀ y₀ f 2 x₀ y₀ H = _{xx yy} − _xy

Kemudian didapat bahwa

1. Jika H(x0,y0)>0dan terjadi minimum di (a,b) fxx(x0,y0)>0

2. Jika dan H(x₀,y₀)>0 f_xx(x₀,y₀)<0 terjadi maksimum di (a,b) 3. Jika H(x₀,y₀)<0tidak terjadi ekstrem di (a,b)

Selanjutnya timbul masalah jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam suatu himpunan dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka

dan didapat nilai

) , (x y f ) ); , ((x₀ y r

B _o H(x₀,y₀)=0 maka uji turunan kedua tidak dapat digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel.

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah:

1. Bagaimana Teorema Taylor digunakan untuk menjelaskan pemecahan masalah ekstrem suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel, yaitu dalam kasus f ′′ c( )=0 dan

H(x₀,y₀)= f_xx(x₀,y₀)f_yy(x₀,y₀)− f_xy2(x₀,y₀)=0 ?

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan ini pembahasan masalah hanya dibatasi tentang pembahasan masalah ekstremum fungsi dengan satu variabel dan dua variabel dengan menggunakan Teorema Taylor.

D. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang diharapkan yaitu agar kita dapat menyelesaikan masalah ekstrem fungsi dengan satu variabel dan dua variabel dengan menggunakan

bantuan turunan tingkat tinggi dan bantuan teorema Taylor, apabila dengan uji turunan kedua tidak bisa menarik suatu kesimpulan

E. TUJUAN PENULISAN

Tujuan dari penulisan ini agar kita dapat menyelesaikan permasalahan seputar maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel, misalnya :

1. Dapat mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi mencapai maksimum atau minimum.

2. Dapat menggunakan teorema Taylor dalam membahas masalah maksimum atau minimum jika syarat-syarat suatu fungsi untuk mencapai maksimum atau minimum tidak dipenuhi.

F. METODE PENULISAN

Dalam penulisan ini dilakukan dengan metode pustaka yaitu dengan menelaah buku-buku pustaka sebagai acuan untuk membuktikan teorema-teorema mengenai masalah Ekstremum dengan menggunakan Teorema Taylor, sehingga dalam penulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.

G. SISTEMATIKA PEMBAHASAN

Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini, berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.

BAB I Pendahuluan

Bab ini berisi tentang gambaran umum tentang skripsi ini yang terdiri dari latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat penulisan, tujuan penulisan dan metode penulisan.

Bab II Ekstrem Fungsi Satu Variabel dan Dua Variabel

Bab ini berisi pembahasan tentang ekstremum fungsi satu variabel dan dua variabel beserta sifat-sifatnya.

Bab III Teorema Taylor

Bab ini berisi tentang deret pangkat, deret Taylor serta Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel dan fungsi dengan dua variabel.

Bab IV Penggunaan Teorema Taylor untuk Menentukan Ekstrem suatu Fungsi

Bab ini berisi tentang penyelesaian masalah ekstremum fungsi satu variabel di mana f ′′ c( )=0 dan ekstremum fungsi dua variabel dimana

. Untuk mempermudah pemahaman dalam bab ini disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya.

0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x₀ y₀ = f x₀ y₀ f x₀ y₀ − f 2 x₀ y₀ = H _{xx yy xy} Bab V Penutup

BAB II

EKSTREM FUNGSI

SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL

Ada dua hal mendasar yang muncul ketika berbicara tentang nilai maksimum atau minimum suatu fungsi f. Pertama, apakah fungsi f mempunyai nilai maksimum atau minimum. Kedua, jika fungsi f mempunyai nilai maksimum atau minimum, di titik-titik di mana f mencapai nilai maksimum atau minimum dan berapa nilai maksimum atau minimumnya.

Dalam bab ini akan ditentukan titik tertinggi dan titik terendah dari grafik suatu fungsi.

A. Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dengan Satu Variabel

Definisi maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel diberikan sebagai berikut.

Definisi 2.1

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada titik x= jika untuk sebarang c ε >0yang diberikan akan dapat ditentukan δ >0 sedemikian hingga jika x− c <δ maka

ε < − ( ) ) (x f c f . Definisi 2. 2

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut.

) , ( ba

Definisi 2.3

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup

[ ]

a, jika f kontinu di b setiap titik dari ( ba, ) dan jika lim f(x) f(a)

a

x→ + = dan xlim→b− f(x)= f(b) atau disebut

kekontinuan kanan di titik a dan kekontinuan kiri di titik b.

Definisi 2.4

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c jika terdapat interval sedemikian hingga untuk setiap x dalam interval . Jika hubungan berlaku untuk setiap x dalam domain f, maka f disebut mempunyai nilai maksimum mutlak di c.

) , (c−δ c+δ f(c)≥ f(x) ) , (c−δ c+δ f(c)≥ f(x) Definisi 2.5

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c jika terdapat interval sedemikian hingga

) ,

(c−δ c+δ f(c)≤ f(x)untuk setiap x dalam interval . Jika hubungan

) ,

(c−δ c+δ f(c)≤ f(x) berlaku untuk setiap x dalam domain f, maka f disebut mempunyai nilai minimum mutlak di c.

Bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum relatif di c, maka dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem relatif di c dan bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum mutlak di c, maka dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem mutlak di c. Untuk lebih jelasnya perhatikan grafik di bawah ini.

a c1 c2 c3 c4 b x y y = f (x) maks multak maks relatif min multak min relatif f (c1) f (c3) f (c2) f (c4)

Gambar 2.1 Nilai-nilai maksimum dan minimum serta jenisnya dari suatu fungsi f (x) dalam interval [a, b]

Dari grafik di atas tampak bahwa:

• nilai maksimum mutlak dicapai pada x = c1

• nilai maksimum relatif dicapai pada x = c3 dan x = b

• nilai minimum mutlak dicapai pada x = c4

• nilai minimum relatif dicapai pada x = c2 dan x = a

Contoh 2.1

Tinjau fungsi f yang didefinisikan oleh . Sket dari grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.2. Karena , maka

. Akan tetapi 3 ) 1 ( ) (x = x− f 2 ) 1 ( 3 ) ( = − ′ x x f 0 ) 1 ( = ′

f f(x)<0, jika x<1 dan , jika . Jadi f tidak mempunyai ekstrem relatif di titik satu.

0 ) (x >

y

x 1

Gambar 2.2 Grafik fungsi f(x)= x( −1)3

Contoh 2.2

Misalkan diketahui fungsi f(x)=2x. Keterangan dari grafik f pada selang [1, 4) diberikan pada Gambar 2.3. Fungsi f mempunyai nilai minimum mutlak sebesar 2 pada [1, 4) tetapi tidak mempunyai nilai maksimum mutlak pada interval [1, 4) karena untuk setiap x∈[1,4)selalu ada nilai x yang memberikan nilai f(x)yang lebih besar.

1 4

2 8 y

x

Contoh 2.3

Diberikan fungsi . Sket dari grafik f pada selang (-3, 2] diperlihatkan pada Gambar 2.4. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak sebesar 0 pada selang (-3, 2]. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum mutlak pada selang (-3, 2] karena untuk setiap

2 ) (x x f =− ] 2 , 3 (− ∈

x selalu ada nilai x yang memberikan nilai f(x)yang lebih kecil.

-3 2

-4

-9

x y

Gambar 2.4 Grafik fungsi f(x)=−x2

Bagaimana dapat ditentukan di mana terjadinya ekstrem relatif suatu fungsi f ? Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai titik peralihan yang memisahkan daerah di mana grafik fungsi itu naik menjadi turun atau sebaliknya.

Teorema berikut dapat digunakan untuk melokalisir kemungkinan nilai-nilai c yang memberikan ekstrem relatif.

Teorema 2.1

Jika fungsi f kontinu pada interval

[ ]

a, dan terdeferensial pada interval b maka:

) , ( ba

1. fungsi f naik pada interval

[ ]

a, jika b f′ x( )>0 untuk semua titik dalam interval ( ba, ).

2. fungsi f turun pada interval

[ ]

a, jika b f′ x( )<0 untuk semua titik dalam interval ( ba, ).

Ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi pada titik-titik di mana fungsi f berturunan (pada titik-titik di mana garis singgung pada grafik adalah horisontal).

Definisi 2.6

Titik kritis suatu fungsi f adalah nilai x di dalam domain di mana atau f tidak berturunan. Jika c adalah suatu titik di mana

0 ) ( = ′ x f 0 ) ( = ′ c f , maka c disebut titik stasioner.

Dinamakan titik stasioner karena pada titik ini grafik fungsi f mendatar atau horisontal atau gais singgungnya mendatar.

Ekstrem relatif dapat terjadi pada titik kritis. Pertama, jika fungsi f mempunyai turunan pertama di titik ekstremnya, misal titik c, maka garis singgung di titik tersebut adalah mendatar atau f′ c( )=0. Namun titik stasioner

ini tidak selalu menjadi titik ekstrem, sebagai contoh fungsi . Dalam kasus ini , tetapi (0,0) bukan titik kritis dari grafik fungsi , seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah ini.

3 ) (x x f = 0 ) ( = ′ c f _f(x)=x3

Gambar 2.5 Grafik fungsi f(x)= x3

Keadaan di mana atau f tidak berturunan belum menjamin terjadinya ekstrem suatu fungsi. Untuk diperlukan suatu teorema yang menyatakan syarat perlu adanya ekstrem suatu fungsi.

0 ) ( = ′ x f Teorema 2.2

Jika fungsi f mempunyai ekstrem pada c, maka f′ c( )=0 atau f tidak berturunan. Bukti:

Pada kasus ini terdapat dua kemungkinan, yaitu f berturunan pada c atau f tak berturunan.

Pertama, jika f tak berturunan , maka c adalah titik kritis untuk f .

a. Jika adalah maksimum relatif dari f, maka terdapat interval sedemikian sehingga jika c + h dalam interval dengan ) (c f ] , [c−δ c+δ ] , [c−δ c+δ c≠c+h maka f(c+h)< f(c). i. Jika h>0 maka ( + )− ( ) <0 h c f h c f

ii. Jika h<0 maka ( + )− ( ) >0 h c f h c f c c + h c + h δ − c c+δ x y f(c) h > 0 h < 0 Gambar 2.6

Jika f(x) berturunan pada x = c , maka f ′(c)ada dan ) ( ) ( ) (c f c f c f₊′ = ₋′ = ′ , yaitu: 0 ) ( ) ( lim 0 ≤ − + = ′ ₊ → + h c f h c f f h dan 0 ) ( ) ( lim 0 ≥ − + = ′ − → − h c f h c f f h

b. Jika adalah minimum relatif dari f, maka terdapat interval sedemikian sehingga jika c + h dalam interval dengan ) (c f ] , [c−δ c+δ ] , [c−δ c+δ c≠c+h maka f(c+h)> f(c). i. Jika h>0 maka ( + )− ( ) >0 h c f h c f

ii. Jika h<0 maka ( + )− ( ) <0 h c f h c f

Jika f(x) berturunan pada x = c , maka f ′(c)ada dan ) ( ) ( ) (c f c f c f₊′ = ₋′ = ′ , yaitu: 0 ) ( ) ( lim 0 ≥ − + = ′ ₊ → + h c f h c f f h dan 0 ) ( ) ( lim 0 ≤ − + = ′ ₋ → − h c f h c f f h

Karena f₋′≤0 dan f₊′ ≥0, maka f′ c( )=0. ■ c c + h c + h δ − c c+δ x y f(c) h > 0 h < 0 Gambar 2.7

Sifat suatu titik kritis sering ditentukan dengan naik turunnya kurva di sekitar titik kritis.

Teorema 2.3 Teorema Nilai Rata-rata

Jika fungsi f kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada titik (a,b) maka terdapat titik c di dalam interval (a,b) sedemikian sehingga

a b a f b f c f − − = ′( ) ( ) ( ). Bukti:

Misal diberikan fungsi f(x) dan g(x) seperti gambar di bawah ini.

x y f(b) f(a) a b y = f(x) s(x) x y = g(x) Gambar 2.8

Pembuktian berdasarkan pada analisis fungsi s(x)= f(x)−g(x). Andaikan adala persamaan tali busur yang menghubungkan titik ke . Karena garis ini mempunyai kemiringan

) (x g y= (a, f(a)) )) ( , (b f b a b a f b f − − ( ) ) ( dan melalui

)) ( ,

(a f a , maka bentuk kemiringan untuk persamaannya adalah

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x a a b a f b f a f x g − − − = − atau ( ) ( ) ( )(x a) f(a) a b a f b f x g − + − − = .

Kemudian ini menghasilkan rumus untuk s(x), yaitu:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x a a b a f b f a f x f x g x f x s − − − − − = − = Tampak bahwa s(a)= bs( )=0.

Untuk setiap fungsi yang kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada interval (a,b) dan

) (x s 0 ) ( ) (a = bs =

s maka fungsi terdapat titik c di dalam interval (a,b) sedemikan sehingga

) (x s 0 ) ( ) ( ) ( ) ( = − − − ′ = ′ a b a f b f c f c s .

Jadi terbukti bahwa

a b a f b f c f − − = ′( ) ( ) ( ). ■

Teorema 2.4 Teorema Uji Turunan Pertama untuk Nilai Ekstrem Relatif

Andaikan fungsi f kontinu dan terdeferensial pada interval terbuka yang memuat titik kritis c, maka:

) , ( ba

1. f(c) adalah nilai maksimum relatif, jika f′ x( )>0 untuk semua x di dalam interval ( ca, )dan f′ x( )<0 untuk semua x di dalam interval ( bc, )

2. f(c) adalah nilai minimum relatif, jika f′ x( )<0 untuk semua x di dalam interval ( ca, )dan f′ x( )>0 untuk semua x di dalam interval ( bc, )

3. f(c)bukan nilai ekstrem relatif jika f ′(x) bertanda sama pada kedua pihak c.

Bukti:

a) Akan dibuktikan bahwa f mempunyai maksimum relatif pada c dengan memperlihatkan bahwa f(c)≥ f(x) untuk semua x di dalam (a, b)

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga

) ( ) ( ) ( ξ ′ = − − f x c x f c f atau f(c)− f(x)=(c−x)f′(ξ) 0 > − x

c karena c> dan x f′(ξ)>0 karena f ′positif dimana-mana pada interval (a, c).

Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x di

dalam interval (a, c).

0 ) ( ) (c − f x > f f(c)> f(x)

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga

) ( ) ( ) ( _{= ′ ξ} − − f c x c f x f atau f(x)− f(c)=(x−c)f′(ξ) 0 > − c

x karena x> dan c f′(ξ)<0 karena f ′negatif dimana-mana pada interval (c, b).

Jadi f(x)− f(c)<0 atau f(x)< f(c) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (c, b).

Jadi f(x)< f(c) berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b).

b) Akan dibuktikan bahwa f mempunyai minimum relatif pada c dengan memperlihatkan bahwa f(c)≥ f(x) untuk semua x di dalam (a, b)

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga

) ( ) ( ) ( _{= ′ ξ} − − f x c x f c f atau f(c)− f(x)=(c−x)f′(ξ) 0 > − x

c karena c> dan x f′(ξ)<0 karena f ′negatif dimana-mana pada interval (a, c).

Jadi f(c)− f(x)<0 atau f(c)< f(x) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (a, c).

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga

) ( ) ( ) ( _{= ′ ξ} − − f c x c f x f atau f(x)− f(c)=(x−c)f′(ξ) 0 > − c

x karena x> dan c f′(ξ)>0 karena f ′ positif dimana-mana pada interval (c, b).

Jadi f(x)− f(c)>0 atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (c, b). ) ( ) (x f c f >

Jadi f(x)> f(c) berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b).

c) Untuk membuktikan bagian ini akan ditinjau dalam dua kemungkinan, yaitu: i. Jika f′ x( )<0 untuk semua x dalam (a, c) dan f′ x( )<0 untuk semua x

dalam (c, b), maka f(c) bukan merupakan nilai ekstrem.

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga ) ( ) ( ) ( ξ ′ = − − f x c x f c f atau f(c)− f(x)=(c−x)f′(ξ) 0 > − x

c karena c> dan x f′(ξ)<0 karena negatif di mana-mana pada interval (a, c).

f ′

Jadi f(c)− f(x)<0 atau f(c)< f(x) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (a, c).

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga ) ( ) ( ) ( _{= ′ ξ} − − f c x c f x f atau f(x)− f(c)=(x−c)f′(ξ)

0 > − c

x karena x> dan c f′(ξ)<0 karena f ′ negatif di mana-mana pada interval (c, b).

Jadi f(x)− f(c)<0 atau f(x)< f(c) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (c, b).

Karena untuk setiap x di dalam interval (a, c). dan untuk setiap x di dalam interval (c, b), maka bukan merupakan nilai ekstrem relatif.

) ( ) (c f x f < ) ( ) (x f c f < f(c)

ii. Jika f′ x( )>0 untuk semua x dalam (a, c) dan f′ x( )>0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) bukan merupakan nilai ekstrem.

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga ) ( ) ( ) ( _{= ′ ξ} − − f x c x f c f atau f(c)− f(x)=(c−x)f′(ξ) 0 > − x

c karena c> dan x f′(ξ)>0 karena f ′ positif di mana-mana pada interval (a, c).

Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x

di dalam interval (a, c).

0 ) ( ) (c − f x > f f(c)> f(x)

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval . Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].

) , ( bc

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga ) ( ) ( ) ( _{= ′ ξ} − − f c x c f x f atau f(x)− f(c)=(x−c)f′(ξ) 0 > − c

x karena x> dan c f′(ξ)>0 karena f ′ positif di mana-mana pada interval (c, b).

Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x

di dalam interval (c, b). 0 ) ( ) (x − f c > f f(x)> f(c)

Karena untuk setiap x di dalam interval dan untuk setiap x di dalam interval , maka bukan

merupakan nilai ekstrem relatif.

■

) ( ) (c f x f > ( ca, ) ) ( ) (x f c f > ( bc, ) f(c)

Teorema 2.5 Teorema Uji Turunan Kedua

Andaikan f berturunan dua kali pada titik stasioner c, maka : a. Jika f ′′ c( )>0, maka f mempunyai minimum relatif pada titik c. b. Jika f ′′ c( )<0, maka f mempunyai maksimum relatif pada titik c. Bukti :

Dengan menggunakan definisi turunan dapat dituliskan :

( )

( )

_f

_{( )}

_{c x c} c x c f x fi i c x − = ≠ − → , lim '' _(2.1)

a). Menurut hipotesis _f ''(_c)_>0 sehingga dapat memilih ε _{>0 dalam definisi} limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada δ >0 sedemikian

hingga − <ε − − ) ( ) ( ) ( ' '' ' c f c x c f x f bilamana x− c <δ , x≠ atau c ε ε < + − − < − ( ) ( ) ( ) ) ( ' ' '' '' _{f c} c x c f x f c

f ,bilamana x dalam interval

(

c−δ,c+δ

)

,x≠c.

Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan diperlihatkan / ditunjukkan bahwa :

- _f'(_x)_>0, untuk semua x dalam

(

_c,c+δ

)

_. - _f'(_x)_<0, untuk semua x dalam

(

_c−δ,c

)

_.

Ini menyusul dari uji turunan pertama bahwa f memiliki minimum relatif pada c.

Apabila ε> 0 yang dipilih kurang dari _f ''(_c) maka

c x c f x f − − ( ) ) ( ' '

terletak antara dua bilangan positif, yang artinya : 0 ) ( ) ( ' ' > − − c x c f x f bilamana

(

c−δ,c+δ

)

,x≠c. Selanjutnya dapat ditulis :

0 ) ( ) ( ' ' _{x − f c >}

f atau _f'(_x)_{> f}'(_c) untuk semua x dalam

(

_c,c+δ

)

_dan atau untuk semua x dalam

(

)

0 ) ( ) ( ' ' _{x − f c <} f _f'(_x)_{< f}'(_c) _{c−δ,c .}

Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi _f'(_c)₌0. Ini berarti :

- _f'(_x)_<0 untuk semua x dalam

(

_c−δ,c

)

_.

b). Menurut hipotesis _f ''(_c)_<0 sehingga dapat memilih _{ε >0 dalam definisi} limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada δ >0 sedemikian

hingga + <ε − − ) ( ) ( ) ( ' '' ' c f c x c f x f bilamana x− c <δ , x≠ atau c ε ε <− + − − < − − ''( ) '( ) '( ) _f ''(_c) c x c f x f c

f ,bilamana x dalam interval

(

c−δ,c+δ

)

,x≠c.

Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan diperlihatkan / ditunjukkan bahwa :

- _f'(_x)_>0, untuk semua x dalam

(

_c,c+δ

)

_. - _f'(_x)_<0, untuk semua x dalam

(

_c−δ,c

)

_.

Karena ε yang dipilih merupakan bilangan positif yang sangat kecil maka

c f' x c x f − − ( ) ) ( '

terletak antara dua bilangan negatif, yang artinya :

0 ) ( ) ( ' ' > − − c x c f x f bilamana

(

c−δ,c+δ

)

,x≠c. Selanjutnya dapat ditulis :

- _f'(_x)_{− f}'(_c)_<0 atau _f'_{(x)\< f}'_(c) untuk semua x dalam

(

_c,c+δ

)

_. - _f'(_x)_{− f}'(_c)_>0 atau _f'_{(x)> f}'_(c) untuk semua x dalam

(

_c−δ,c

)

_. Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi _f'(_c)₌0.

Ini berarti :

- _f'(_x)_>0 untuk semua x dalam

(

_c−δ,c

)

_.

_■

Contoh 2.4

Periksa nilai ekstrem untuk _f(_x)_=x2 ₋6_x+5 untuk setiap x dalam ℜ ! Penyelesaian :

Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan maka untuk x = 3. Titik kritis fungsi di atas adalah

) 3 ( 2 6 2 ) ( ' _{x = x− = x−} f 0 ) ( ' _{x =} f x=3 2 ) ( '' _{x =} f maka _f ''(3)₌2_>0.

Jadi f mempunyai nilai minimum relatif dengan nilai minimum relatif adalah

4 ) 3 ( =− f Contoh 2.5 Untuk 3 4, 3 1 ) (_{x = x}3_−x2_{− x+}

f gunakan uji turunan kedua untuk mengenali

ekstrem relatif fungsi tersebut!

Penyelesaian :

Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan

) 3 )( 1 ( 3 2 ) ( 2 ' _{x =x − x− = x+ x−}

f maka untuk x = -1 dan x = 3. _f'(_x)₌0

2 2 ) (

'' _{x = x−}

f ( -1) adalah nilai maksimum relatif dan f (3) adalah nilai minimum relatif.

B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel

Dalam subbab sebelumnya telah dibahas tentang salah satu penggunaan turunan fungsi dengan satu variabel dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Dalam subbab ini, akan dibahas tentang perluasan untuk fungsi dengan dua variabel.

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada fungsi dengan satu variabel. Pada fungsi dengan dua variabel peranan interval terbuka digantikan dengan cakram terbuka dan peranan interval tertutup digantikan dengan cakram tertutup. Definisi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel diberikan sebagai berikut:

Definisi 2. 7

Misalkan adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada suatu daerah di bidang yang memuat titik . Jika terdapat suatu cakram

terbuka sedemikian sehingga yang terletak pada

cakram terbuka yang berpusat di titik dengan jari-jari r, maka fungsi f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik dengan nilai maksimum

. ) , ( yx f z= ) , ( ba ) ); , ((a b r B f(a,b)≥ f(x,y) ) , ( ba ) , ( ba ) , ( ba f

Jika hubungan berlaku untuk setiap titik yang terletak dalam daerah definisi fungsi

) , ( ) , (a b f x y f ≥ ( yx, ) ) , ( yx f

z = , maka fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di titik ( ba, ) dengan nilai maksimum f( ba, ).

Definisi 2. 8

Misalkan z= f( yx, )adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada suatu daerah di bidang yang memuat titik . Jika terdapat suatu cakram terbuka sedemikian sehingga

) , ( ba ) ); , ((a b r

B f(a,b)≤ f(x,y) yang terletak pada cakram terbuka yang berpusat di titik dengan jari-jari r, maka fungsi f dikatakan mencapai minumum relatif di titik dengan nilai minimum

. ) , ( ba ) , ( ba ) , ( ba f

Jika hubungan berlaku untuk setiap titik yang terletak dalam daerah definisi fungsi

) , ( ) , (a b f x y f ≤ ( yx, ) ) , ( yx f

z = , maka fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di titik ( ba, ) dengan nilai minimum f( ba, ).

Kedua definisi di atas dapat diperlihatkan dalam ilustrasi di bawah ini.

Dari grafik tampak bahwa fungsi z = f( yx, ) terdefinisi di dalam domainnya yaitu bidang persegi tertutup pada bidang –xy yang titik-titiknya memenuhi ketaksamaan 0≤ x≤1, 0≤ y≤1. Fungsi z= f( yx, ) mempunyai maksimum relatif di titik B dan minimum relatif di titik A dan titik C. Fungsi juga mempunyai minimum mutlak di titik A dan maksimum mutlak di titik D. ) , ( yx f z=

Jika f mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem relatif di titik dan jika mempunyai nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak di titik maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem mutlak di titik .

) , ( ba ( ba, ) ) , ( ba ) , ( ba Teorema 2.6

Misal terdefinisi pada semua titik pada cakram terbuka dan f mencapai mempunyai nilai ekstrem relatif pada titik serta turunan parsial tingkat pertama dari f ada pada titik , maka

) , ( yx f z = ) ); , ((a b r B ( ba, ) ) , ( ba f_x(a,b)=0 dan fy(a,b)=0. Bukti:

Akan dibuktikan dalam dua kasus, yaitu jika adalah nilai maksimum relatif dan adalah nilai minimum relatif.

) , ( ba f ) , ( ba f

i. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada dan ada, maka

) ,

Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f terhadap x pada titik adalah

) , ( yx f ( yx, ) ) , ( ba h b a f b h a f b a f h x ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 − + = →

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai Definisi 2.7 didapat ) , ( ba 0 ) , ( ) , (a+h b − f a b ≤ f .

Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ada di

dalam . ) , (a+h b ) ); , ((a b δ B Jika _{h→ 0}+, _h>0 maka ( + , )− ( , ) _≤0 h b a f b h a f

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0 ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 ≤ − + = → _h b a f b h a f b a f h x Jika _{h→ 0}−, _h<0 maka ( + , )− ( , ) _≥0 h b a f b h a f

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0 ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 ≥ − + = → _h b a f b h a f b a f h x

Karena dan f_x(a,b)≥0 f_x(a,b)≤0maka 0f_x(a,b)= .

Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada dan ada, maka

) ,

( ba fy( ba, ) fy(a,b)=0.

Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f terhadap y pada titik adalah

) , ( yx f ( yx, ) ) , ( ba k b a f k b a f b a f k y ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 − + = →

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai Definisi 2.7 didapat ) , ( ba 0 ) , ( ) , (a b+k − f a b ≤ f .

Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ada di

dalam . ) , (a b+k ) ); , ((a b δ B Jika _{k → 0}+, _{k >0} maka ( , + )− ( , )_≤0 k b a f k b a f

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0 ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 ≤ − + = → _k b a f k b a f b a f k y Jika _{k → 0}−, _k<0 maka ( , + )− ( , ) _≥0 k b a f k b a f

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0 ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 ≥ − + = → _k b a f k b a f b a f k y

Karena fy(a,b)≥0 dan fy(a,b)≤0maka fy(a,b)=0.

ii. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada dan ada, maka

) , ( ba ) , ( ba f_x f_x(a,b)=0.

Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f terhadap x pada titik adalah

) , ( yx f ( yx, ) ) , ( ba h b a f b h a f b a f h x ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 − + = →

Karena f mempunyai nilai minimum relatif di maka dengan memakai Definisi 2.8 didapat ) , ( ba 0 ) , ( ) , (a+h b − f a b ≥ f .

Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ada di dalam . ) , (a+h b ) ); , ((a b δ B Jika _{h→ 0}+, _h>0 maka ( + , )− ( , ) _≥0 h b a f b h a f

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0 ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 ≥ − + = → _h b a f b h a f b a f h x Jika _{h→ 0}−, _h<0 maka ( + , )− ( , ) _≤0 h b a f b h a f

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0 ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 ≤ − + = → _h b a f b h a f b a f h x

Karena dan f_x(a,b)≥0 f_x(a,b)≤0maka 0f_x(a,b)= .

Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada dan ada, maka

) , ( ba ) , ( ba fy fy(a,b)=0.

Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f terhadap y pada titik adalah

) , ( yx f ( yx, ) ) , ( ba k b a f k b a f b a f k y ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 − + = →

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai Definisi 2.8 didapat ) , ( ba 0 ) , ( ) , (a b+k − f a b ≥ f .

Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ada di

dalam . ) , (a b+k ) ); , ((a b δ B Jika _{k → 0}+, _{k >0} maka ( , + )− ( , )_≥0 k b a f k b a f

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat: 0 ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 ≥ − + = → _k b a f k b a f b a f k y Jika _{k → 0}−, _k<0 maka ( , + )− ( , ) _≤0 k b a f k b a f

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0 ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 ≤ − + = → _k b a f k b a f b a f k y

Karena fy(a,b)≥0 dan fy(a,b)≤0maka fy(a,b)=0 .

■

Definisi 2.9.

Titik disebut titik kritis dari fungsi f, jika berlaku dan . ) , ( ba f_x(a,b)=0 0 ) , (a b = fy

Teorema 2.6 mengatakan bahwa syarat perlu agar suatu fungsi dengan dua variabel mencapai nilai ekstrem relatif di suatu titik, di mana turunan parsialnya ada di titik tersebut, adalah bahwa titik tersebut merupakan titik kritis dari

. Namun hal ini belum menjamin terjadinya nilai ekstrem relatif apabila turunan parsialnya di suatu titik sama dengan nol. Keadaan ini terjadi pada suatu titik yang disebut dengan titik pelana (saddle point), yaitu titik kritis di mana fungsi tidak mempunyai nilai ekstrem. Hal ini ditunjukkan pada contoh 2.6 ) , ( yx f z= ) , ( yx f z=

Contoh 2.6

Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh persamaan

2 2 ₂ 4 6 ) , (x y x y x y f = − − −

Tentukan apakah f mencapai nilai ekstrem! Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka Teorema 2. 6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

) , ( yx x y x f_x( , )=6−2 dan fy(x,y)=−4−4y

Dari persamaan-persamaan f_x(x,y)=6−2x=0 dan fy(x,y)=−4−4y=0

didapat x = 3 dan y = -1 sebagai titik kritis fungsi.

Grafik persamaan tampak pada gambar 2.10

yaitu berupa paraboloida dengan titik puncak (3, -1, 11) dan terbuka ke bawah.

2 2 ₂ 4 6 ) , (x y x y x y f z= = − − −

Dapat disimpulkan bahwa:

) 1 , 3 ( ) , (x y < f − f untuk semua (x,y)≠(3,−1)

Menurut Definisi 2.7, maka f(3,−1)=11 merupakan nilai maksimum mutlak f.

Gambar 2.10. Grafik fungsi f(x,y)=6x−4y−x2 −2y2dengan (3,−1,11) sebagai titik puncaknya.

Contoh 2.7

Tentukan nilai ekstrem relatif dari fungsi f(xy)₌2x2 ₊y2 ₋xy₋7y! Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

) , ( yx y x y x f_x( , )= 4 − dan fy(x,y)=2y−x−7

Kemudian dengan menyelesaikan

0 4 ) , (x y = x−y = f_x fy(x,y)=2y−x−7=0

didapat x = 1 dan y = 4 sebagai titik stasionernya.

Sekarang akan dibandingkan nilai f pada (1, 4) dengan nilai f pada (1+h,4+k).

14 28 4 16 2 ) 4 , 1 ( = + − − =− f ) 4 )( 1 ( ) 4 ( ) 1 ( 2 ) 4 , 1 ( _{h k h} 2 _k 2 _{h k} f + + = + + + − + + ₌2₊4h₊2h2 ₊16₊8k₊k2 ₋4₋4h₋k₋hk₋28₋7k ₌2 2 ₊ 2 _{− −}14 hk k h

(

)

2 2 1 2 2 2 ₂ 2 ) 4 , 1 ( ) 4 , 1 ( h k f h k hk h hk k f + + − = + − = − +

(

)

0 2 2 8 9 2 4 1 + > −

= h k k untuk semua h, k di dalam ℜ . Jadi f mempunyai minimum relatif pada titik (1, 4) dengan nilai minimum relatifnya -14.

Contoh 2.8

Selidiki apakah fungsi _{f(x,y)= x}2 _−y2mempunyai nilai ekstrem relatif! Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

) , ( yx x y x f_x( , )=2 y y x fy( , )=−2

Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dan . Kemudian diperoleh titik (0,0) sebagai titik kritisnya.

0 2 ) , (x y = x= f_x 0 2 ) , (x y =− y= fy

Pada bidang , bernilai positif, dan pada bidang , bernilai negatif. Jadi titik (0,0) bukan merupakan nilai ekstrem dari

0 = y _{f(x,y)= x}2 _x=0 2 ) , (x y y f =− 2 2 ) , (x y x y

f = − . Hal ini ditunjukkan pada grafik di bawah ini.

Gambar 2.11 Grafik fungsi f(x,y)=x2 − y2 dengan titik (0,0) sebagai titik pelananya

Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel bahwa syarat belum cukup menjamin bahwa f mempunyai ekstrem pada c. Demikian pula halnya bahwa syarat

0 ) ( = ′ c f 0 ) , (x y =

f_x dan fy(x,y)=0 belum cukup menjamin

bahwa fungsi dengan dua variabel mempunyai ekstrem pada titik . Untuk itu diperlukan syarat cukup yang menjamin bahwa fungsi dengan dua variabel mempunyai ekstrem pada titik .

) , ( ba ) , ( ba Teorema 2.7

Misalkan f adalah fungsi dengan dua variabel dengan turunan-turunan parsial

tingkat dua yang kontinu pada cakram terbuka dan

. Misalkan . ) ); , ((a b r B 0 ) , ( ) , (a b = f a b = fx y ( , ) ( , ). ( , ) ( , ) 2 _{a b} f b a f b a f b a H = _{xx yy} − _xy Maka berlaku:

1. f mencapai nilai minimum relatif di titik ( ba, ) jika H(a,b)>0 dan 0

) , (a b > f_xx

2. f mencapai nilai maksimum relatif di titik ( ba, ) jika H(a,b)>0 dan 0

) , (a b < f_xx

3. f tidak mempunyai nilai ekstrem relatif di titik ( ba, ) jika H(a,b)<0

4. jika , f belum dapat disimpulkan apakah mempunyai nilai ekstrem atau tidak.

0 ) ,

(a b =

Bukti: 1. Misalkan _φ(_x,_y) _f (_x,_y)._f (_x,_y) _f 2(_x,_y). xy yy xx − =

Diketahui dan , akan dibuktikan bahwa

adalah nilai minimum relatif.

0 ) , (a b >

φ f_xx(a,b)>0 f( ba, )

Karena , dan adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada cakram terbuka , maka juga kontinu di . Akibatnya terdapat cakram terbuka

xx f fyy fxy ) ); , ((a b r B φ( yx, ) B((a,b);r) ) ); , ((a b r B′ ′ , dengan r′≤r, sedemikian

sehingga dan untuk setiap di cakram

terbuka . 0 ) , (x y > φ f_xx(x,y)>0 (x,y) ) ); , ((a b r B′ ′

Misalkan h dan k adalah konstanta-konstanta yang tidak keduanya nol, sedemikian sehingga titik (a+h,b+k) di B′((a,b);r′). Maka dua persamaan berikut :

ht a

x= + dan y=b+kt , 0≤ t≤1

mendefinisikan semua titik pada segmen garis yang menghubungkan titik dan . Misal F adalah fungsi dengan satu variabel yang didefinisikan oleh: ) , (a b (a+h,b+k) ) , ( ) (t f a ht b kt F = + + (2.2)

Dengan rumus Maclaurin untuk fungsi F dengan satu variabel didapat:

2 ! 2 ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) (t F F t F t F = + ′ + ′′ ξ (2.3) dengan 0<ξ<t