PENDAHULUAN Rumusan Masalah

(1)

xii

orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat pada beras, sehingga digali potensi lokal yang berbasis non beras. Ada lima macam proporsi penambahan bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50% untuk masing-masing kandungan proksimat. Telah dilakukan penghitungan secara statistik dalam menentukan dan membandingkan nilai gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung dan bekatul untuk mengoptimalkan kandungan proksimat. Namun, kelemahan perhitungan secara statistik ini adalah tidak dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal yang terbentuk dari para pengoptimalnya. Oleh karena itu, dilakukan penelitian untuk mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).

Pada penelitian yang pertama dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat dan protein. Fungsi tujuan yang digunakan adalah fungsi eksponensial, dan pencarian-pencarian parameter-parameter fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil. Penelitan ini dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik” yang diselenggarakan oleh jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY tanggal 9 November 2013.

Penelitian kedua merupakan pengembangan dari penelitian yang pertama. Pada penelitian yang pertama dilakukan pengoptimalan dengan menggunakan AG pada masing-masing fungsi tujuan, sedangkan pada penelitian kedua dilakukan pengoptimalan dengan AG untuk semua fungsi tujuan.

Rumusan Masalah

Sebagai rumusan masalah dalam penelitian ini adalah

1. Bagaimana menentukan proporsi penambahan bekatul dimana kadar kabohidrat dan kadar protein optimal dengan menggunakan AG untuk setiap fungsi tujuan?

2. Bagaimana menentukan proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi penderita kolesterol dengan menggunakan AG untuk fungsi tujuan lebih dari satu?

(2)

xiii

2. Mendapatkan proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi penderita kolesterol dengan menggunakan AG dengan seluruh fungsi tujuan yang dioptimalkan secara simultan.

Batasan Masalah

Data yang digunakan adalah data sekunder dari hasil penelitian pembuatan mocorin yang dilakukan Silvia (2012).

Penelitian ini dituangkan dalam dua makalah sebagai berikut :

1.

Penggunaan Algoritma Genetik dalam Mengoptimalkan Kandungan Karbohidrat dan Protein pada Mocorin. Dipublikasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik” yang diselenggarakan oleh jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY tanggal 9 November 2013.

2.

Pencarian Proporsi Penambahan Bekatul pada Mocorin yang Baik Dikonsumsi

Oleh Penderita Kolesterol dengan Menggunakan Algoritma Genetik Multiobjective Function. Dipresentasikan pada ujian skripsi pada tanggal 29 Januari 2014.

(3)

xiv

(4)

Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”PPeenngguuaattaannPPeerraannMMaatteemmaattiikkaa ddaannPPeennddiiddiikkaann M

MaatteemmaattiikkaauunnttuukkIInnddoonneessiiaayyaannggLLeebbiihhBBaaiikk"" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

PENGGUNAAN ALGORITMA GENETIK DALAM

MENGOPTIMALKAN KANDUNGAN KARBOHIDRAT DAN

PROTEIN PADA MOCORIN

Ruth Kristianingsih 1, Hanna Arini Parhusip 2, Tundjung Mahatma 3

1

Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW

2,3

Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro No. 52-60, Salatiga

1

[email protected], [email protected],

3

[email protected]

Abstrak

Makalah ini merupakan hasil penelitian tentang pengoptimalan kandungan karbohidrat dan protein pada mocorin. Data yang digunakan adalah kandungan kadar karbohidrat terhadap massa dan absorbansi, serta kandungan kadar protein terhadap absorbansi. Selanjutnya dibuat pemodelan data dan dicari masing-masing parameter dengan metode kuadrat terkecil. Masing-masing parameter diuji dengan mengamati nilai eigen matriks Hessian residual. Setelah parameter fungsi tujuan optimal, fungsi tujuan dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG). Diperoleh kadar karbohidrat maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 12,5% dan kadar protein maksimal pada penambahan bekatul sebanyak 50%.

Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik, Metode Kuadrat Terkecil, matriks Hessian

A. PENDAHULUAN

Mocorin merupakan hasil fermentasi dari jagung dengan penambahan bekatul. Latar belakang dari pembuatan mocorin ini adalah upaya pemenuhan kebutuhan makanan pokok khususnya untuk orang Indonesia dalam mengurangi ketergantungan masyarakat pada beras, sehingga digali potensi lokal yang berbasis non beras yaitu jagung. Salah satu varietas unggul jagung yang dipilih sebagai benih adalah Bisi 2 (Silvia, 2012). Hasil penelitian Silvia dianalisa secara statistik dalam menentukan dan membandingkan nilai gizi mocorin antar berbagai perbandingan jagung kuning varietas Bisi 2 untuk mengoptimalkan kandungan proksimat (kadar karbohidrat, protein, air, abu, lemak, dan serat). Ada lima macam proporsi penambahan bekatul yang digunakan, yaitu 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50%. Namun, kelemahan perhitungan secara statistik ini adalah tidak dapat dicari nilai-nilai kadar kandungan proksimat yang optimal yang terbentuk dari para pengoptimalnya. Oleh karena itu, akan dilakukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui nilai kandungan proksimat optimal dari hasil hubungan nilai-nilai pengoptimalnya dengan menggunakan algoritma genetik (AG).

AG dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dan pemodelan pada berbagai bidang, seperti pada bidang kimia digunakan untuk mengestimasi parameter pada model kinetic (Katare, dkk., 2008) dan optimasi pada sekumpulan proses kimia (Mokeddem, 2010). Selain digunakan di bidang kimia, AG dapat digunakan di bidang ekonomi, seperti memodelkan cobweb-type (Dawid, dkk., 1998); di bidang penjadwalan telah digunakan untuk mengoptimasi masalah penjadwalan flow-shop

(5)

(Gunawan, 2003) dan optimasi penjadwalan kegiatan belajar mengajar (Nugraha, 2008); di bidang fisika diaplikasikan untuk mengatasi permasalahan pada acelerator fisika (Hofler, dkk., 2013). Oleh karena itu, AG digunakan pada penelitian ini karena algoritma ini termasuk teknik pencarian yang telah terbukti robust (tangguh), adaptif, dan efisien (Goldberg, 1989).

B. MODEL DAN ALGORITMA YANG DIGUNAKAN

Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat dan protein.

Karbohidrat

Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah fungsi eksponensial:

₍₁₎

Fungsi ini digunakan untuk menyatakan karbohidrat sebagai fungsi massa dan absorbansi dimana pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu meminimalkan :

∑ ₍₂₎

dimana adalah persamaan (1) .

Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis

R

yang diperoleh harus memenuhi kondisi 0

  R _atau T R R R R _                 = 0  (3) Persamaan (3) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu diselesaikan secara numerik. Algoritma yang digunakan adalah metode Newton (Peressini, 1988). Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kritis untuk R, sebutlah ( ). Untuk menyelidiki sifat ( ) perlu diamati sifat Hessian R di ( ) (Parhusip, 2012) , yaitu

[

]

(4)

Jika matrik semi positive definite dimana nilai eigen λ ≥ 0, maka ( ) merupakan peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik.

Protein

Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk protein adalah fungsi eksponensial :

₍₅₎

Fungsi ini digunakan untuk menyatakan protein sebagai fungsi karbohidrat dimana a dan b pada persamaan (5) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu meminimalkan :

∑ ₍₆₎

dimana adalah persamaan (5) .

Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis

R

yang diperoleh harus memenuhi kondisi 0

  R _atau T b R a R R             = 0  (7) Sama seperti persamaan (3), persamaan (7) merupakan sistem persamaan tak linier yang perlu diselesaikan secara numerik. Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian kritis untuk R, sebutlah ( ). Untuk menyelidiki sifat ( ) perlu diamati sifat Hessian R di ( ), yaitu

(6)

[

] (8) Jika matriks semi positive definite yaitu dimana nilai eigen λ pada ≥ 0, maka ( ) merupakan peminimum R (Peressini, 1988). Setelah diketahui parameter optimal, dilakukan perhitungan dengan menggunakan algoritma genetik.

Prosedur Umum Algoritma Genetik

Algoritma genetik adalah teknik pencarian dan optimasi yang meniru proses evolusi dan perubahan genetika pada struktur kromosom makhluk hidup (Goldberg, 1989). Algoritma genetik (AG) mulai bekerja pada sekumpulan solusi yang dinamakan solusi awal. Populasi awal ini dibangkitkan secara acak. Setiap individu yang ada dalam populasi awal dinamakan kromosom. Kromosom yang biasanya berbentuk bilangan biner (kode 0 dan 1), dikembangbiakkan oleh operator-operator genetik melalui beberapa generasi (iterasi). Dalam setiap generasi, masing-masing kromosom dievaluasi untuk mengukur nilai kebugaran atau nilai fitness.

Untuk mencetak generasi berikutnya, dipilih beberapa kromosom-kromosom hasil evaluasi untuk disilangkan atau dimutasikan. Kromosom-kromosom yang terpilih disebut kromosom induk (parents), sedangkan kromosom-kromosom baru yang terbentuk disebut kromosom anak (offsprings). Proses penyilangan dan mutasi dilakukan oleh operator-operator genetik, yaitu operator penyilangan (crossover) dan operator mutasi (mutation). Setelah melewati beberapa generasi, nilai fitness kromosom akan membaik menuju suatu nilai optimum. Nilai optimum inilah yang diharapkan menjadi solusi masalah yang hendak diselesaikan. AG dapat menemukan solusi optimum walaupun fungsi tujuannya sangat ekstrim dan mempunyai beberapa titik optimum lokal (Yang, 2005).

Komponen-komponen Algoritma Genetik

Berikut ini adalah komponen-komponen dari algoritma genetic.

Representasi Kromosom

Untuk dapat mengaplikasikan AG, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkodekan (encoding) calon solusi ke dalam suatu bentuk representasi kromosom. Representasi kromosom yang pertama kali diperkenalkan oleh Holland adalah representasi bilangan biner (Goldberg, 1989). Sebuah kromosom terdiri dari beberapa elemen yang disimbolkan dengan angka nol (0) dan satu (1). Jika setiap calon solusi atau variabel desain dikodekan dalam kromosom sebanyak q, maka vektor desainnya direpresentasikan dalam kromosom dengan panjang nq (Rao, 2009). Setiap untaian elemen memiliki arti khusus yang menunjukkan nilai fitness kromosom yang bersangkutan. Himpunan solusi-solusi ini disebut populasi.

Seleksi dan Reproduksi

Seleksi adalah pemilihan beberapa kromosom untuk dijadikan sebagai kromosom induk lagi bagi generasi berikutnya. Kromosom terpilih kemudian akan digandakan (direproduksi) lalu hasilnya ditempatkan di mating pool, yaitu tempat berkumpulnya kromosom-kromosom induk yang akan mengalami penyilangan maupun mutasi. Proses seleksi ini juga meniru proses seleksi alam dalam cara kerjanya, yaitu kromosom dengan nilai fitness lebih baik akan memiliki peluang bertahan hidup (survival of fittest) yang lebih baik pada generasi berikutnya, dan sebaliknya.

Penyilangan (Crossover)

Operator ini adalah operator utama atau primer dalam algoritma genetik. Operator ini bekerja pada sepasang kromosom induk untuk menghasilkan dua kromosom anak dengan cara menukarkan beberapa elemen (gen) yang dimiliki masing-masing kromsom induk. Probabilitas crossover digunakan dalam memilih kromosom induk yang akan disilangkan. Dengan demikian hanya 100%

kromosom dalam mating pool yang akan digunakan dalam operasi penyilangan, sementara itu 100% kromosom akan tetap bertahan (tidak berubah) dalam generasi baru.

Mutasi (Mutation)

Mutasi adalah operator sekunder yang berperan dalam mengubah struktur kromosom secara spontan dengan probabilitas mutasi yang kecil. Perubahan ini menyebabkan terbentuknya mutan, yaitu kromosom baru yang secara genetik berbeda dari kromosom sebelumnya. Operator ini mengubah bilangan biner 1 menjadi 0 dan sebaliknya. Dipilih bilangan acak antara 0 dan 1, jika

(7)

bilangan tersebut lebih kecil dari maka bilangan biner diubah dan sebaliknya. Dalam mencari solusi optimum, mutasi sangat diperlukan yaitu untuk : (1) mengembalikan gen-gen yang hilang pada generasi-generasi sebelummnya, dan (2) memunculkan gen-gen yang belum pernah muncul pada generasi-generasi sebelumnya.

Fungsi Fitness (Fungsi tujuan)

Fungsi fitness adalah fungsi yang mengukur tingkat kebugaran suatu kromosom dalam suatu populasi. Semakin besar nilai fitness, semakin bugar pula kromosom dalam suatu pupulasi sehingga semakin besar kemungkinan kromosom tersebut untuk tetap bertahan pada generasi berikutnya. Suatu fungsi fitness dapat sama atau hasil modifikasi terhadap fungsi tujuan masalah yang akan diselesaikan.

Secara ringkas, proses komputasi menyangkut memaksimalkan fungsi fitness

) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n

F dalam AG dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : (Rao, 2009)

1) Dipilih panjang kromosom yang tepat l = nq untuk menyatakan variabel desain sebanyak

n dari vektor desain X. Asumsikan nilai-nilai parameter : ukuran populasi m,

probabilitas crossover p_c, probabilitas mutasi p_m, nilai-nilai yang diijinkan untuk standar deviasi dari nilai-nilai fitness populasi

 

max

j

s untuk menggunakan kriteria konvergen, dan iterasi maksimum

 

i

_max .

2) Dibuat populasi acak dengan ukuran m, setiap populasi terdiri dari suatu kromosom dengan panjang l=nq. Nilai-nilai fitness Fi,i1,2...,m dengan string sebanyak m

dievaluasi. 3) Proses reproduksi.

4) Operasi crossover menggunakan probabilitas crossover p_c

5) Operasi mutasi menggunakan probabilitas mutasip_m

6) Nilai-nilai fitness F_i,i1,2...,mdari m string dari populasi yang baru dievaluasi. Dicari standard deviasi dari nilai-nilai fitness yang sebanyak m.

7) Test konvergensi dari algoritma atau proses. Jika

 

max

j j s

s  , kriteria konvergen terpenuhi dan oleh karena itu proses dapat berhenti. Sebaliknya menuju langkah 8. 8) Test untuk bilangan generasi (iterasi). Jika ii_{m ax} , komputasi telah dibentuk untuk

banyaknya generasi maksimum yang diijinkan dan oleh karena itu proses dapat dihentikan. Sebaliknya , membuat banyaknya generasi adalah i = i + 1 dan menuju langkah 3.

C. METODE PENELITIAN

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data percobaan pembuatan Mocorin yang dilakukan Silvia (2012) dengan mengukur kadar karbohidrat dan protein dengan masing-masing proporsi penambahan bekatul sebesar 0%, 12,5%, 25%, 37,5%, dan 50%. Kadar karbohidrat pada percobaan ini dipengaruhi oleh absorbansi dan massa, sedangkan protein dipengaruhi oleh absorbansi. Penelitian dilakukan untuk mengetahui proporsi dimana kadar protein dan karbohidrat maksimal dengan menggunakan AG. Oleh karena itu, pertama-tama akan dilakukan pemodelan untuk menyusun fungsi tujuan. Pencarian parameter pada fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil dengan bantuan fungsi lsqnonlin.m pada Matlab. Pada tahap selanjutnya, dilakukan analisa apakah parameter-parameter yang dicari sudah optimal dengan menyelidiki nilai eigen pada matriks Hessian residual. Setelah didapatkan bahwa parameter-parameter yang dicari optimal, fungsi tujuan diselesaikan dengan menggunakan AG dengan bantuan Matlab.

(8)

D. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka masing-masing kadar karbohidrat dan protein dioptimasi dengan tahapan sebagai berikut :

Karbohidrat

Diasumsikan bahwa kadar karbohidrat dipengaruhi oleh massa sampel dan absorbansi. Menurut persamaan (1), dicari berdasarkan data.

Sesuai persamaan (2) untuk mencari parameter maka perlu meminimalkan :

∑ (9)

Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan Matlab dengan menggunakan fungsi lsqnonlin.m.

Pada penelitian ini, dilakukan pengolahan data dengan mencari rata-rata dari masing-masing data (kasus 1) dan dibandingkan jika penelitian dilakukan dengan mengolah semua data tanpa mencari rata-rata (kasus 2). Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 1 berikut :

Tabel 1. Hasil Pencarian paremeter dengan menggunakan lsqnonlin.m

Penelitian Kasus 1 Kasus 2

Error 3,3238 % 16,2568 % Parameter =0.7883, =-0.3661, =1.2490 Fungsi Tujuan Matriks Hessian R [ ] [ ] Nilai Eigen Matriks Hessian

Dari tabel 1, dapat diketahui hasil untuk masing-masing kasus, sebagai berikut :

Kasus 1

Tabel 1 menunjukkan bahwa walaupun error untuk penelitian pada kasus 1 cukup kecil yaitu sebesar 3,3238 % yang berarti nilai kadar karbohidrat pada data tidak jauh berbeda dengan nilai kadar karbohidrat pendekatan. Namun berdasarkan dari nilai eigen matriks hessian R pada , menunjukkan bahwa matriks Hessian tidak semi positive definite, sehingga nilai parameternya tidak optimal. Oleh karena itu, kita tidak dapat menggunakan rata-rata data untuk mewakili penelitian dari semua data.

Kasus 2

Sedangkan error pada kasus 2 menunjukkan bahwa error cukup kecil yaitu 16,2568% dan nilai eigen matriks Hessian pada menunjukkan bahwa matriks Hessian residual positive definite, sehingga nilai paremeter optimal. Untuk tahap selanjutnya, dilakukan pengoptimalan kadar karbohidrat untuk kasus 2 dengan menggunakan AG.

Diperoleh hasil kadar karbohirat maksimum yaitu pada sekitar 60,5871% dengan pemaksimum massa 0,1187 dan pemaksimum absorbansi 0,6266. Dapat disimpulkan bahwa diperoleh hasil karbohidrat maksimum adalah pada penambahan bekatul 0%, yang artinya karbohidrat akan maksimum jika tidak ada penambahan bekatul. Namun, diinginkan karbohidrat maksimum dengan ditambahkannya bekatul. Oleh karena itu, selanjutnya akan dilakukan penghitungan untuk menentukan pada proporsi penambahan bekatul berapakah kandungan karbohidrat akan maksimal.

(9)

Penelitian dilakukan dengan menghilangkan data dengan penambahan bekatul 0%. Maka diperoleh nilai parameter =0,7799, =-0,2377, =1,2033 dengan error 13,4892% dan nilai eigen matriks Hessiannya adalah dimana menunjukkan bahwa matrik Hessian positive definite, sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai parameter optimal. Dengan fungsi tujuan dicari nilai kadar karbohidrat yang optimal dengan AG. Diperoleh hasil kadar karbohidrat maksimum yaitu pada sekitar 51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482. Dicari nilai eigen matriks Hessian fungsi tujuan w yaitu yang menunjukkan bahwa nilai x dan y optimal. Dapat disimpulkan karbohidrat maksimum diperoleh pada proporsi penambahan bekatul sebanyak 12,5% yang sesuai dengan hasil statistik.

Protein

Protein tergantung pada nilai absorbansi. Namun, pada penelitian ini, protein dinyatakan sebagai fungsi karbohidrat, karena keduanya tergantung pada nilai absorbansi. Data protein diinterpolasi dan diketahui hubungan antara karbohidrat dan protein, seperti ditunjukkan pada gambar 1. Proses ini menggunakan interp() pada Matlab. Dengan interpolasi fungsi tidak perlu didefinisikan secara eksplisit. Interpolasi ini bermanfaat untuk menyatakan data protein sebagai fungsi karbohidrat.

Gb.1 Hasil interpolasi karbohidrat dengan protein Selanjutnya hubungan keduanya dianggap memenuhi fungsi eksponensial :

dengan P(x) merupakan fungsi protein dan x karbohidrat, sehingga P(x) tergantung oleh karbohidrat. Gambar 2 menunjukkan grafik perbandingan data interpolasi dengan pendekatannya. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(10)

Gb. 2 Perbandingan hasil interpolasi dengan pemodelan

Diperoleh error sebesar 33,2679% dengan nilai parameter a = 22,2143, b = 11,8467, dan c = 0,3946. Untuk menguji optimalitas parameter, dicari matriks Hessian R untuk P(x) dan nilai eigen matriks Hessian, didapatkan hasil nilai eigen [0 0 2]’ yang merupakan semi positive definite sehingga parameter optimal.

Dengan menggunakan parameter tersebut, nilai optimal kadar protein dicari dengan menggunakan AG, dan diperoleh hasil nilai optimal pada nilai sekitar 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 19,9167 %. Dicari diperoleh 0,3946 yang berarti nilai bukan pemaksimal dari p. Hal inilah yang menyebabkan error cukup besar, sehingga protein yang diperoleh belum optimal. Namun diketahui bahwa nilai proporsi penambahan bekatul agar protein optimal adalah 50% yang sudah sesuai dengan hasil statistik.

E. PENUTUP

Pada makalah ini ditunjukkan optimasi karbohidrat dan protein pada mocorin dengan menggunakan AG. Tujuan untuk mendapatkan kadar karbohidrat optimal dicapai pada penambahan bekatul 12,5%. Nilai dari kadar karbohidrat optimal yaitu sebesar 51,4269% dengan pemaksimum massa 0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482. Sedangkan kadar protein optimal pada penambahan bekatul 50%. Nilai dari kadar protein optimal yaitu 38,0104% dengan pemaksimum karbohidrat sebesar 1,9167 %.

F. DAFTAR PUSTAKA

Dawid, Herbert and Kopel, Michael. 1998. On economic applications of genetic algorithm : a model of cobweb-type. J Evol Econ 8 : 297-315.

Goldberg, D.E., 1989. Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine Learning. Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Gunawan, H. 2003. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Masalah Penjadwalan Flow-Shop. Skripsi. FTP. Institut Pertanian Bogor, Bogor.

Hofler, Alicia. Terzic, Balsa. Kramer, Matthew. Zvezdin, Anton. Morozov, Vasiliy. Roblin, Yves. Lin, Fanglei and Jarvis, Colin. 2013. Innovative applications of genetic algorithms to problems in accelerator physics. Phys. Rev. ST Accel. Beams 16.

Mokeddem, D. and A. Khellaf. 2010. Multicriteria Optimization of Multiproduct Batch Chemical Process Using Genetic Algorithm. Journal of Food Process Engineering. Vol. 33 Issue 6, pages 979-991.

(11)

Nugraha, I. 2008. Aplikasi Algoritma Genetik untuk Optimasi Penjadwalan Kegiatan Belajar Mengajar. Jurnal. ITB: Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Program Studi Teknik Informatika. Bandung.

Parhusip, H.A dan Martono, Y.2012. Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science. ISSN:2252-7761,Vol1, pp91-101, GMU.

Peressini, A.L,et.all, 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer Verlag, New York, Inc.

Rao, S. S. 2009. Engineering Optimization, John Wiley & Sons, Inc, Canada.

Silvia,L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas Bisi 2 – Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.

Katare, S., A. Bhan, J. M. Caruthers, W. N. Delgass and V. Venkatasubramanian. 2004. A hybrid genetic algorithm for efficient parameter estimation of large kinetic models. Computers and chemical engineering, Vol. 28, pp. 2569–2581.

Yang, W.Y, Cao,W, Chung, T-S, Morris,J . 2005, Applied Numerical Methods Using MATLAB ®. New Jersey:John Wiley & Sons, Inc, Hoboken.

(12)

(13)

Dikonsumsi oleh Penderita Kolesterol dengan Menggunakan Algoritma

Genetik Multiobjective Function

Ruth Kristianingsih

1)

, Hanna Arini Parhusip

2)

, Tundjung Mahatma

3)

1)

Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW

2), 3)

Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

1)

[email protected],

2)

[email protected],

3)

[email protected]

Abstrak

Makalah ini mengkaji penelitian tentang pencarian proporsi penambahan bekatul pada mocorin yang baik dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Kriteria makanan yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol adalah makanan dengan protein dan lemak yang rendah, namun memiliki kandungan serat yang tinggi. Selanjutnya dibuat pemodelan data dan dicari parameter untuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan dioptimalkan dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG) multiobjective function. Diperoleh proporsi penambahan bekatul yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol adalah 25%.

Kata kunci: Mocorin, Algoritma Genetik Mutiobjective Function, SVD

PENDAHULUAN

Pada penelitian Kristianingsih dkk (2013), telah dibahas tentang penggunaan

algoritma genetik (AG) dalam pengoptimalan kadar karbohidrat dan protein pada

mocorin. Parameter fungsi tujuan karbohidrat dicari dengan menggunakan metode

kuadrat terkecil dan menghasilkan error yang cukup kecil, yaitu 13,4892%. Selanjutnya

nilai kadar karbohidrat dioptimalkan dengan menggunakan AG dan dihasilkan kadar

karbohidrat maksimum yaitu pada sekitar

51,4269% dengan pemaksimum massa

0,1230 dan pemaksimum absorbansi 0,6482 yaitu pada proporsi penambahan bekatul

sebanyak 12,5%. Namun pada penelitian pencarian nilai parameter fungsi tujuan kadar

protein, dihasilkan nilai error masih besar yaitu sebesar 33,2679% yang dimungkinkan

karena pemilihan model data yang kurang tepat. Pada pengoptimalan dengan

menggunakan AG dihasilkan nilai protein optimal 38,0104% dengan pemaksimum

karbohidrat sebesar 19,9167 % dan diketahui pada proporsi penambahan bekatul agar

protein optimal adalah 50%. Hasil ini diperoleh dimana fungsi tujuan dioptimalkan secara

terpisah.

Selanjutnya dalam makalah ini, dicari fungsi tujuan untuk protein sehingga didapat

nilai error yang cukup kecil. Sekaligus juga dicari proporsi mocorin yang baik untuk

dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Menurut hasil studi di University of Maryland

(14)

2

makanan yang memiliki kandungan serat yang tinggi, namun rendah protein dan lemak

(Kompas, 2012). Serat, protein, dan lemak akan dibuat dalam fungsi karbohidrat dan

massa. Penelitian menggunakan AG dengan multiobjective function untuk mencari

proporsi penambahan bekatul mocorin yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita

kolesterol.

DASAR TEORI

Algoritma Genetik dengan Multiobjective Function

Cukup sering, dalam tugas-tugas rekayasa, ada beberapa kriteria yang harus

dipenuhi. Seringkali masing-masing dari kriteria tersebut bertentangan dan tidak dapat

mencapai nilai optimum pada saat yang sama, sehingga pada saat meningkatnya nilai satu

kriteria dapat memperburuk nilai kriteria yang lain. Hal ini menyebabkan timbulnya

pertanyaan bagaimana menggunakan kriteria untuk menemukan solusi optimal dan

bagaimana mencari ruang parameter.

Oleh karena itu dibuat metode pemilihan yang dihitung kelompok metode Pareto.

(Popov, 2005). Hal ini sejalan dengan prinsip dimana tidak ada satu pun solusi yang

mampu memberikan hasil yang lebih optimal dari salah satu fungsi tujuan yang ada tanpa

mengorbankan fungsi tujuan lainnya (Mahmudy, dkk, 2011).

Diasumsikan ada k fungsi tujuan yang akan diminimumkan :

̅

, ̅ (1)

Dimana k ≥ 2 dan C = ̅ ̅ ̅

̅ dan ̅

merupakan fungsi kendala,

̅ merupakan vektor dari variabel keputusan,

merupakan

batas bawah dan

merupakan batas atas. Jika sebuah fungsi kendala mempunyai bentuk

̅ ≥ c maka dapat diubah menjadi – ̅ +c≤0. Konsep skalar dari nilai optimum

tidak biasa diterapkan secara langsung pada kasus multiobjective. Konsep penggantinya

adalah optimum pareto. Vektor ̅

dikatakan optimum pareto jika semua vektor ̅

yang lain mempunyai nilai yang lebih tinggi setidaknya untuk satu fungsi objektif.

Optimasi dengan mutiobjective function mendapatkan perhatian yang signifikan dari para

peneliti. Telah dilakukan penelitian dalam menyelesaikan optimasi dengan mutiobjective

function menggunakan Particle Swarm Optimization (PSO) dengan hasil ditemukan

beberapa solusi pareto-optimal secara efisien. (Xiaohui, dkk, 2002) Selain itu ada

beberapa penelitian sejenis yaitu Ant Colony Optimization (ACO) untuk menyelesaikan

(15)

3

2004) Simulated Anneling (SA) juga cukup berhasil dalam menyelesaikan berbagai

masalah optimasi dengan mutiobjective function. (Bandypadhyay, dkk, 2008)

Salah satu pengembangan dari algoritma genetik adalah untuk mencapai suatu

Multiple Objective Optimization dimana tujuan yang ingin dicapai lebih dari satu.

Pengembangan algoritma genetik ini disebut algoritma genetik pareto yang diawali

dengan suatu populasi dengan jumlah member yang banyak. Algortima genetik pareto

disini bekerja dengan dua objective function atau lebih. Algoritma genetik pareto

membutuhkan ukuran populasi yang besar untuk dapat bekerja dengan baik dalam

usahanya untuk membentuk suatu grafik pareto. (Umi P., dkk, 2011)

Pareto optimal set adalah sebuah kumpulan solusi non dominan yang

berhubungan satu sama lain ketika berpindah ke solusi pareto yang lain. Kumpulan solusi

optimal pareto seringkali mengacu kepada solusi tunggal karena dapat diaplikasikan

berdasarkan pada masalah yang terdapat dalam kehidupan nyata. Pareto optimal set

mempunyai ukuran yang bervariasi, namun ukuran pareto set bertambah seiring dengan

bertambahnya fungsi tujuan.

Model Fungsi Tujuan untuk Protein, Lemak, dan Serat

Di bawah ini adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk memodelkan fungsi tujuan

untuk protein, lemak, dan serat.

Protein dan Lemak

Pada penelitian ini, digunakan fungsi tujuan kuadratik untuk fungsi tujuan protein

dan lemak dengan parameter-parameternya dicari menggunakan Singular Value

Decomposition (SVD). Parameter-parameter fungsi tujuan yang akan dicari adalah

(2)

Persamaan (2) dalam bentuk matriks dapat ditulis:

⃑

(3)

dimana

A=

[

]

(4)

⃑

(16)

4

i

y

= data ke- i variabel 2

⃑

S_i

= data ke- i variabel 3

i = 1,2,...,n; n= banyaknya data

= parameter fungsi tujuan j = 1,2,...,4

(5)

Menurut Watkins (1991) pada persamaan (5) jika matriks Aϵ R

nxm

mempunyai

rank r, maka terdapat matriks dengan kolom-kolom dari nilai eigen

U

ϵ R

nxn

, Σ

adalah matriks diagonal dari akar nilai eigen

Σ

ϵ R

nxm

, dan V adalah matriks dengan

kolom-kolom dari vektor eigen

V

ϵ R

mxm

.

Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh:

⃑

⃑ atau

⃑

(6)

Misal ⃗

⃑ dan ⃗

⃑

, maka ⃗ ⃗ sehingga ⃗

⃗

Persamaan (3) diselesaikan dengan:

⃑

⃗

(7)

Untuk mengetahui apakah parameter sudah optimal atau belum, dapat dicari error :

Error= E =

‖ ̅ ̅ ‖

‖ ̅ ‖

. 100%

Serat

Model yang akan digunakan dalam memodelkan fungsi tujuan untuk karbohidrat adalah

fungsi eksponensial:

₍₈₎

Fungsi ini digunakan untuk menyatakan Serat sebagai fungsi karbohidrat dan massa

dimana pada persamaan (1) dicari dengan menggunakan metode kuadrat terkecil,

yaitu meminimalkan :

∑

₍₉₎

METODE PENELITIAN

Penelitian ini didasarkan pada data sekunder yang diperoleh penelitian Silvia L. (2012).

1. Data kandungan proksimat kadar protein, kadar lemak, dan kadar serat

dioptimalkan dengan menggunakan AG multiobjective function, dengan parameter

fungsi tujuan ditentukan menggunakan SVD.

2. Penyusunan dan penyelesaian model

a) Pencarian masing-masing fungsi tujuan untuk kadar protein, kadar lemak, dan

kadar serat menggunakan SVD.

(17)

5

3. Analisis hasil dan pembahasan

4. Pembuatan kesimpulan.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Sesuai dengan tujuan pada penelitian ini, maka dicari fungsi tujuan untuk

masing-masing kadar protein, lemak, dan serat sebagai berikut :

Fungsi Tujuan Protein

Dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa nilai error untuk menentukan

parameter fungsi tujuan sangat besar yaitu 33,2679%, sehingga dapat diasumsikan model

tidak terlalu cocok untuk data protein. Pada penelitian ini, akan dimodelkan kembali

fungsi tujuan untuk kadar protein dengan menggunakan persamaan kuadratik.

Diasumsikan nilai protein dipengaruhi oleh kadar karbohidrat dan massa. Menurut

persamaan (2) nilai

dicari.

Untuk

mencari parameter

perlu diselesaikan persamaan :

(10)

dengan k adalah karbohidrat dan m adalah massa. Didapatkan hasil

. Sedangkan nilai error-nya adalah 17.5005% yang

cukup kecil jika dibandingkan dengan penelitian sebelumnya. Gambar 1 berikut

menunjukkan nilai data asli dengan pendekatannya.

Gambar 1. Grafik kadar protein data asli dan hasil pendekatan fungsi SVD

Fungsi Tujuan Lemak

0 5 10 15 20 25 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 indeks fu n g s i tu ju a n hasil pendekatan

(18)

6

Maka fungsi tujuan untuk lemak dengan menggunakan SVD adalah

(11)

Dengan nilai error 6.6190% yang diasumsikan bahwa model sudah sesuai dengan

data lemak. Gambar 2 berikut menunjukkan nilai data asli dengan pendekatannya.

Gambar 2. Grafik kadar lemak data asli dan hasil pendekatan fungsi SVD

Fungsi Tujuan Serat

Diasumsikan bahwa kadar serat dipengaruhi oleh karbohidrat dan massa.

Selanjutnya, menurut persamaan (8), nilai parameter dicari agar fungsi tujuan dapat

dioptimasi.

Sesuai persamaan(9) untuk mencari parameter maka perlu meminimalkan:

∑

(12)

Pencarian parameter tersebut dilakukan dengan menggunakan fungsi Matlab

lsqnonlin.m. Dihasilkan parameter fungsi tujuan a= 1.4254, b=2.0401, dan c= -0.3639

dengan error sebesar 21.2090%.

Setelah fungsi tujuan dari masing-masing kadar dicari, ketiga fungsi tujuan dicari

dengan menggunakan AG mutiobjective function.

Pengoptimalan kadar serat, protein, dan lemak dengan menggunakan AG

multiobjective function

Telah diketahui bahwa makanan yang baik untuk dikonsumsi oleh para penderita

kolesterol adalah makanan dengan kandungan serat yang tinggi namun rendah akan

0 5 10 15 20 25 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 indeks fu n g s i tu ju a n hasil pendekatan

(19)

7

dan protein berturut-turut adalah sebagai berikut :

Min

Max

dengan 0 .

Kemudian, fungsi-fungsi tujuan tersebut diolah dengan menggunakan AG multiobjective.

Dipilih hasil yang optimal yaitu proporsi penambahan bekatul pada mocorin yang

benar-benar baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol pada penambahan

bekatul sebanyak 25%, yaitu dengan kadar karbohidrat k = 44,32321% dan massa m =

0.136 gram. Dengan kombinasi karbohidrat dan massa pada proporsi penambahan bekatul

sebesar 25% didapatkan kadar protein sebanyak P = 23.127875%, lemak sebanyak L =

7.5249%, dan serat sebanyak S = 3.83743%.

Penutup

Dalam makalah ini telah ditunjukkan bagaimana menggunakan Algoritma Genetik

multiobjective function untuk mencari proporsi penambahan bekatul pada mocorin,

sehingga baik untuk dikonsumsi oleh para penderita kolesterol. Dengan memaksimumkan

kadar serat, dan meminimumkan kadar protein serta kadar lemak, diperoleh hasil yaitu

mocorin dengan penambahan bekatul sebanyak 25%.

Daftar Pustaka

Bandypadhyay S,S. Saha, U. Maulik, and K. Deb. 2008. A Simulated Annealing-Based

Multiobjective Optimization Algorithm: AMOSA.Evolutionary Computation,

IEEE Transactions on 12(3): 269-283.

Doerner, K. Gutjahr, W. Hartl R, Strauss C, and Stummer C. 2004. Pareto Ant Colony

Optimization:

A

Metaheuristic

Approach

to

Multiobjective

Portfolio

Selection.Annals of Operations Research. 131(1): 79-99.

Kristianingsih, R. Parhusip, H.A. & Mahatma, T. 2013. Penggunaan Algoritma Genetik

dalam Mengoptimalkan Kandungan Karbohidrat dan Protein pada Mocorin.

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema

”Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang

(20)

8

Yogyakarta.

Mahmudy, W.F. Rahman, M.A. 2011. Optimasi Fungsi Multi-Obyaktif Berkendala

Menggunakan Algoritma Genetik Adaptif Dengan Pengkodean Real. Jurnal

Ilmiah ”Kursor” Vol 6 No. 1 Januari 2011. ISSN 0216-0544.

Mikail, Bramirus. 2012. 4 Makanan Sumber Kolesterol Baik. Kompas, 18 Mei 2012.

Umi P, Fitria. Santoso, T.B. Kristalina, P. 2011. Simulasi Coverage pada Wireless Sensor

Network dengan Menggunakan Algoritma Genetik Pareto. Surabaya : Institut

Teknologo Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.

Popov, Andrey. 2005. Genetics Algorithm for Optimization.Germany : Hamburg.

Silvia L., 2012. Mocorin ( Modifikasi Tepung Jagung Kuning (Zea Mays L.) Varietas

Bisi 2 – Bekatul) Ditelaah Dari Nilai Gizi Dan Uji Organoleptik, Skripsi, Fakultas

Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.

Xiaohui, H. and Eberhart R. 2002. Multiobjective Optimization Using Dynamic

Neighborhood Particle Swarm Optimization. In Proceedings of the 2002 Congress

on Evolutionary Computation, pp. 1677-1681.

Watkins, D.S. (1991). Fundamentals of Matrix Computations, John Wiley & Sons, New

York.

(21)

KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan

Berdasarkan kedua makalah tersebut dapat disimpulkan :

1. Error yang diperoleh menggunakan Singular Value Decomposition (SVD) untuk menentukan parameter-parameter fungsi tujuan lebih kecil dibandingkan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.

2. Algoritma Genetik dapat menyelesaikan berbagai permasalahan optimisasi baik dengan satu fungsi tujuan maupun banyak fungsi tujuan.

3. Pada penelitian ini, diperoleh hasil kadar karbohidrat maksimum terdapat pada proporsi penambahan bekatul sebesar 12,5%, kadar protein maksimum terdapat pada proporsi penambahan bekatul sebesar 50%, dan proporsi penambahan bekatul pada mocorin yang baik untuk dikonsumsi pada penderita kolesterol adalah sebesar 25% dengan memaksimumkan serat, dan meminimumkan protein dan lemak.

B. Saran

Berdasarkan kedua makalah yang telah dikaji, saran yang dapat diberikan adalah : 1. Untuk pengkajian lebih lanjut dapat dilakukan dengan mengganti fungsi tujuan

sehingga dapat diperoleh model yang lebih cocok dengan data.

2. Penelitian serupa dapat dilakukan dengan menggunakan optimasi-optimasi modern lainnya misalnya Ant Colony Optimization, Simulated Annealing, atau menggunakan Particle Swarm Optimization.