Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

oleh

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung fdg-1110

edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135. Fax: (62) (22) 2534117

BAB 13

Integral (2)

(Integral Tak Tentu)

Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.

13.1. Integral Fungsi Tetapan:

∫

adx K

ax adx= +

∫

karena dax =adx

Contoh: y=

∫

2dx=2x+K

13.2. Integral Fungsi Mononom:

∫

xndx

Karena dxn=xn−1dx dengan syarat n ≠ −1, maka K n x dx x n n ₊ + = +

∫

1 1 Contoh: y=

∫

x2dx=

∫

x2dx= x3+K 3 2 2 2

13.3. Integral Fungsi Polinom

∫

(xn +xm)dx

Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya. Karena d(xn+xm)=xndx+xmdx maka 1 , 1 syarat dengan , 1 1 ) ( 1 1 − ≠ − ≠ + + + + = + + +

∫

K n m m x n x dx x x m n m n

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ + + + − + dx x x x dx x x dx x dx x xdx dx ) 2 4 6 4 ( ; ) 4 2 ( ; ) 5 2 ( ; 4 ; 2 ; 5 2 3 1 0 2 4

13.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi:

∫

v

n

dx

Jika v adalah polinom, maka

∫

+ + = + dv K n v dv v n n 1 1 karena dv v n v d n n = + + 1 1

dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk

mencari

∫

vndx. Contoh: Hitunglah y=

∫

(2x+1)2dx Misalkan v= x2 +1 →dv=2dx→ 2 dv dx = K x x x K x x x K v dv v dx x y + + + + = + + + + = + = = + =

∫

∫

6 1 2 3 4 6 1 6 12 8 6 2 ) 1 2 ( 2 3 2 3 3 2 2

Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.

K x x x dx x x dx x y=

∫

+ =

∫

+ + = + + + ′ 2 4 3 4 ) 1 4 4 ( ) 1 2 ( 2 3 2 2

Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya, 6 / 1 + = ′ K K . Contoh: Hitunglah

∫

− = dx x x y 2 1 3 Misalkan x dv dx x dx dv v x 2 2 1 2 − = → − = → = − 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 1 3 2 / 1 2 3 2 3 2 3 1 3 y v dv v x x dv v x dx x x _{=− =− =− −} − = − =

∫

∫

−

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

(x+1)2dx; 4x+1dx;

∫

∫

∫

+ + + dx x x dx x dx x 1 2 ; ) 2 3 ( 1 ; 5 2 2 2

13.5. Integral Fungsi Berpangkat -1:

∫

v

dv

Karena v dv v d(ln )= , maka v K v dv + =

∫

ln . Integrasi ini memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi

∫

vndx.

Contoh: Carilah integral

∫

+ = dx x x y 1 2 2 Misalkan x dv dx x dx dv x v 2 2 1 2_{+ → = → =} =

∫

∫

= = + = + + + = v K x K x dv v x dx x x y ln ln( 1) 2 2 1 2 2 2

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

∫

∫

∫

2 +3;

∫

₄− 3; 2−3 ; +1; ₁₋ 2; ₄ 2₊₁ 2 x xdx x xdx x xdx x dx x dx x x dx

13.6. Integral Fungsi Eksponensial:

∫

evdv

Karena dev =evdv maka

∫

evdv=ev +K Soal-Soal:

∫

∫

∫

∫

₊ x x x x x e dx e dx e dx xe dx e 2 1 ; ; ; /3 2 2

13.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi :

∫

a

v

dv

Karena dav=avlnadv maka K a a dv a v v _{= +}

∫

ln Contoh: Carilah y=

∫

32xdx Misalkan v = 2x → 2 2 dx dv dx dv_{= → =}

∫

∫

= = + = dx dv K y x v x 3 ln 3 2 1 2 3 3 2 2

13.8. Integral Fungsi Trigonometri

Karena dsinv=cosvdv maka

∫

cosvdx=sinv+K

Karena dcosv=−sinvdx maka

∫

sinvdx=−cosv+K

Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-13.1.

Contoh: Carilah integral tak tentu y=

∫

sin2xdx

Misalkan 2 2 2 dx dv dx dv x v= → = → = 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin xdx vdv v x y=

∫

=

∫

=− =−

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

∫

sin4xdx; cos(2x+2)dx; 4cos3xdx.

∫

∫

2sinxcosxdx; sin2xcosxdx.

∫

∫

sin2xdx; cos2axdx

∫

∫

₋ dx x x xdx x 2 cos 2 2 sin ; sin cos2 .

13.9. Integral Fungsi Hiperbolik

Karena d(sinhv)=coshv maka

∫

coshvdv=sinhv+K

Karena d(coshv)=sinhvdv maka

∫

sinhvdv=coshv+K

Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-13.1.

Contoh: Carilah y=

∫

cosh(2x+1)dx

Misalkan 2 2 1 2 dx dv dx dv x v= + → = → = K x K v dv v dx x y + + = + = = + =

∫

∫

) 1 2 sinh( 2 1 sinh 2 1 ) cosh( 2 1 ) 1 2 cosh(

Soal-Soal: Carilah integral berikut

∫

∫

∫

∫

∫

dx xdx x x xdx xdx dx x x 2 4 2 _{; tanh} cosh sinh ; 2 cosh ; tanh ; sinh

13.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi

Integral fungsi-fungsi yang berbentuk

∫

− 2 1 v dv ,

∫

+ 2 1 v dv ,

∫

2_{− 1} v v dv

dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,

menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.

Contoh: Carilah

∫

− = 2 4 1 x dx y

Jika kita membuat pemisalan v=1−4x2 maka x dx dv 8 − = atau x dv dx 8 −

= . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk

x dv v 8 2 / 1 −

∫

−

yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.

Namun bentuk

∫

−₄ 2

1 x

dx _{ini dapat kita transformasi menjadi bentuk}

yang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x yang akan memberikan =2

dx dv

atau 2

dv

dx = . Persoalan integral kita menjadi

∫

∫

∫

= ₋ − = − = 2 2 2 1 2 1 1 2 4 1 v dv v dv x dx y

yang menghasilkan y= − v+K= sin−(2x)+K

2 1 sin

2

1 _{1 1}

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

∫

∫

∫

_{+ − + + −} 1 ; 4 ; 4 ; 1 ; 4 1 2 2 2 2 x2 dx x x dx x dx x dx x dx

13.9. Relasi Diferensial dan Integral

Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 dan 16, 17 yang sering kita temui.

Tabel-13.1. 1. dx dx dv dv = 1.

∫

dv=v+K 2. d(kv)=kdv _2.

_∫

_kdv=k

_∫

_dv 3. d(v+ )w =dv+dw 3.

∫

(dv+dw)=

∫

dv+

∫

dw 4. dvn =nvn−1dv 4. C n v dv v n n ₊ + = +

∫

1 1 ; n≠1 5. v dv v d(ln )= 5. v K v dv _{= +}

∫

ln 6. dev =evdv 6.

∫

evdv=ev+K 7. dav =avlnadv 7. K a a dv a v v _{= +}

∫

ln

8. d(sinv)=cosvdv 8.

∫

cosvdv=sinv+K

9. d(cosv)=−sinvdv 9.

∫

sinvdv=−cosv+K

10. d(tanv)=sec2vdv 10.

∫

sec2vdv=tanv+K

11. d(cotv)=−csc2vdv 11.

∫

csc2vdv=−cotv+K

12. d(secv)=secvtanvdv 12.

∫

sectanvdv=secv+K

13. d(cscv)=−cscvcotvdv 13.

∫

csccotvdv=−cscv+K

14. d(sinhv)=coshv 14.

∫

coshvdv=sinhv+K

15.d(coshv)=sinhvdv _15.

∫

sinh_vdv=cosh_v+_K 16.d(tanhv)=sech2vdv 16.

∫

sech2vdv=tanhv+K

17.d(cothv)=−csch2vdv 17.

∫

csch2vdv=−cothv+K

18. d(sechv)=−sechvtanhvdv _{18. v vdv=− v+K}

∫

sech tanh sech

19. d(cschv)=−cschvcothvdv _19.

_∫

_{cschvcothvdv=−coshv+K}

20. 2 1 1 ) (sin v dv v d − = − _20.

_∫

_{= +} − − K v v dv ₁ 2 sin 1 21. 2 1 1 ) (cos v dv v d − − = − 21.

_∫

=− + ′ − − K v v dv 1 2 cos 1 22. 2 1 1 tan v dv v d + = − _22.

∫

= + + − _{v K} v dv 1 2 tan 1 23. 2 1 1 cot v dv v d + − = − _23.

∫

=− + + − _{v K} v dv 1 2 cot 1 24. 1 sec 2 1 − = − v v dv v d 24.

∫

= + − − K v v v dv 1 2 sec 1 , v >0 25. 1 csc 2 1 − − = − v v dv v d _25.

∫

=

−

+

−

−

K

v

v

v

dv

1 2

csc

1

, v >0 26. 2 1

1

)

(sinh

v

dv

v

d

+

=

− _26.

_∫

₌

₊

+

−

_v

_K

v

dv

1 2

sinh

1

27. 1 ) (cosh 2 1 − = − v dv v d 27.

∫

= + − − K v v dv ₁ 2 ₁ cosh 28. 1 ₂ 1 ) (tanh v dv v d − = − _28.

_∫

_{= +} − − K v v dv ₁ 2 tanh 1 ; jika |v|<1 29. 1 ₂ 1 ) (coth v dv v d − = − 29.

∫

= + − − ; coth 1 1 2 v K v dv jika |v|>1 30. 2 1 1 ) h (sec v v dv v d − − = − _30.

∫

=− + − − _; h sec 1 1 2 v K v v dv 31. 2 1 1 ) h (csc v v dv v d + − = − _31.

∫

=− + + − _; h csc 1 1 2 v K v v dv

Catatan Tentang Isi Tabel-13.1.

Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:

Fungsi mononom dan polinom:

∫

vdv

Fungsi polinom berpangkat:

∫

∫

v dv dv vn ;

Fungsi exponensial:

∫

evdv;

∫

avdv

Fungsi trigonometri:

∫

cosvdv;

∫

sinvdv;

∫

sec2vdv;

∫

csc2vdv;

∫

sectanvdv;

∫

csccotvdv.

tetapi tidak:

∫

tanvdv;

∫

cotvdv;

∫

secvdv;

∫

cscvdv. Fungsi hiperbolik:

∫

coshvdv;

∫

sinhvdv;

∫

sech2vdv;

∫

csch2vdv;

∫

sechv tanhvdv;

∫

cschv cothvdv.

tetapi tidak:

∫

tanhvdv;

∫

cothvdv;

∫

sechvdv;

∫

cschvdv. Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti

∫

_1−v2 dv ;

∫

+ 2 1 v dv ;

∫

− 1 2 v v dv ;

∫

+ 2 1 v dv ;

∫

_v2_{− 1} dv ;

∫

− 2 1 v dv ;

∫

− 2 1 v v dv ;

∫

+ 2 1 v v dv .

tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti

∫

−

vdv

1

sin ;

∫

tan−1xdx;

∫

sinh−1vdv;

∫

tanh−1vdv

Tabel-13.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang

berbentuk

∫

∫

±

∫

− + ; ; ; dsb 2 2 2 2 2 2 a v dv v a dv v a dv

BAB 14

Integral (3)

(Integral Tentu)

14.1. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar dari integral tertentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.

Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y =

f(x), sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang

diarsir pada Gb.14.1.a.

Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan

kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian menjumlahkannya untuk memperoleh Apq.

Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqb (jumlah luas segmen bawah).

Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.c, kita akan memperoleh luas yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas).

Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan terjadinya galat (error). Antara mereka ada selisih seperti digambarkan pada Gb.14.1.d.

Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-k, yaitu

antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku

) ( ) ( ) (x f x₀ f x x f _k ≤ _k ≤ _k +∆ (14.1) Jika pertidaksamaan (14.1) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil

dan bernilai positif, maka

k k k k k k x f x x f x x x x f( )∆ ≤ ( ₀ )∆ ≤ ( +∆ )∆ (14.2)

(a)

(b)

(c)

(d)

Gb.14.1. Menghitung luas bidang di bawah kurva.

p x2 xk xk+1 xn q y x y = f(x) 0 p x2 xk xk+1 xn q y x y = f(x) 0 p x2 xk xk+1 xn q y x y = f(x) 0 p x2 xk xk+1 xn q y x y = f(x) 0

Sekarang luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (14.2) kita jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita buat), kita akan memperoleh

k n k k n k k k n k k k x f x x f x x x x f ∆ ≤

∑

∆ ≤

∑

+∆ ∆

∑

= = = 1 1 0 1 ) ( ) ( ) ( (14.3)

Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling

kanan adalah jumlah luas segmen atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah

jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah bahwa

pqa n

pqb A A

A ≤ ≤ (14.4) Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita

cari. Galat (error) yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n kita perbesar menuju tak hingga, seraya menjaga agar semua ∆xk

menuju nol, maka luas bidang yang kita cari adalah

pqa n

pqb

pq A A A

A =lim =lim =lim (14.5) Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu, dituliskan

∫

= q p pq f x dx A ( ) (14.6)

Integral tertentu (14.6) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)

]

( ) ( ) ) ( ) (x dx F x F q F p f A q q_p p pq=

∫

= = − (14.7) Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah, penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:

a. integrasi untuk memperoleh F(x)=

∫

f(x)dx; b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q); c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);

Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang bernilai positif dalam rentang

p

≤

x

≤

q

, namun pembahasan itu berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang

p

≤

x

≤

q

sempat bernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang disebut dengan Apx

dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan berlaku umum, yaitu

Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y ==== f(x) dan sumbu-x

dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 14.2.

Gb.14.2. Kurva y====x3−−−−12x

Kita akan menghitung luas antara y=x3−12x dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.14.2

Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas

75 , 33 ) 54 25 , 20 ( 0 6 4 ) 12 ( 0 3 2 4 0 3 3 = − − − =     − = − = − −

∫

x xdx x x Aa

Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan

75 , 33 ) 0 ( 54 25 , 20 6 4 ) 12 ( 3 0 2 4 3 0 3 − = − − =     − = − =

∫

x xdx x x A_b -20 -10 0 10 20 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x y=x3−12x

Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x

dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x 5 , 67 ) 755 , 33 ( 75 , 33 − − = = − = _{a b} pq A A A

Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai

Apx, formulasi

( )

) ) ( ) (x dx F q F p f A q p = − =

∫

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x.

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.14.3. kita dapatkan 4 3 2 1 A A A A A_pq=− + − +

yang kita peroleh dari

( )

) ) ( ) (xdx F q F p f A q p pq =

∫

= −

Gb.14.3. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.

p q y x A4 A1 A2 A3 y = f(x)

14.2. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva y =₁ f₁(x) dan

) ( 2

2 f x

y = pada batas antara x = p dan x = q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam rentang p≤x≤q. Kita tetapkan bahwa kurva y =₁ f₁(x) berada di atas y =₂ f₂(x) meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.14.4.

Rentang p≤x≤q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya diperlihatkan pada Gb.14.4. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x), dimana ∆x=( −q p)/n.

Gb.14.4. Menghitung luas bidang antara dua kurva. Luas segmen dapat didekati dengan

{

f x f x

}

x

Asegmen= 1( )− 2( )∆ (14.8)

yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh

{

}

∑

∑

= −∆ = ∆ − = x q x p x n segmen f x f x x A ₁( ) ₂( ) 1 (14.9)

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit

{

}

∫

∑

= − = ∞ → _q p n segmen pq A f x f x dx A lim ₁( ) ₂( ) 1 (14.10)

Kita akan melihat beberapa contoh

Contoh 1: Jika

y

₁

=

4

dan

y

₂

=

−

2

berapakah luas bidang antara y1

dan y2 dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.

{

4 ( 2)

}

6

]

18 ( 12) 30 ( 3₂ 3 2 − − = = − − = = + +₋ −

∫

dx x A_pq p q y x 0 y1 y2 x x+∆x ∆Apx

Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y₁− y₂=6

dan panjang x₂− x₁=5.

Contoh 2: Jika

y =

₁

x

2 dan

y

₂

=

4

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.

2 , 2 4 2 1 2 2 1 = = − = = ⇒ = → = q x p x x y y

Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak

minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada

di di bawah y2 = 4. 3 32 3 16 3 16 3 8 8 3 8 8 3 4 ) 4 ( 2 2 -3 2 2 2 = − − =       − − − −       ₋             − == − =

∫

− x x dx x A_pq

Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan

melakukan kesalahan: 0 3 16 3 16 8 3 8 8 3 8 4 3 ) 4 ( * 2 2 -3 2 2 2 = + − − =      − ₊ −       ₋             − = − =

∫

− x x dx x A_pq

Contoh 3: Jika y₁= x− 2+2 dan y₂=−x berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y1

adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis lurus melalui

titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka bagian kurva y1

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva. 2 2 8 1 1 ; 1 2 8 1 1 0 2 atau 2 2 2 2 1 2 2 2 1 = − + − − = = − = − + + − = = = + + − − = + − → = q x p x x x x x y y 5 , 4 2 2 1 3 1 4 2 3 8 2 2 3 ) 2 ( 2 1 2 3 2 1 2 =       − _{+ −} − −      _{− + +} =             + + − = + + − = − −

∫

x x dx x x x A_pq 14.3. Penerapan Integral

Pembahasan di atas terfokus pada penghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Demikian juga di bab sebelumnya. Hal tersebut dilakukan untuk memudahkan visualisasi. Dalam praktek kita tidak selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat pula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian

seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh

dalam kelistrikan.

Contoh 1: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan

200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka

dt dw

p = yang memberikan w= pdt

∫

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah [kWh] hour Watt kilo 8 , 0 [Wh] r Watt.hou 800 100 100 8₀ 8 0 8 0 = = = = =

∫

pdt

∫

dt t w

Contoh 2: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu

sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

dt dq

i = sehingga q= idt

∫

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

coulomb 625 , 0 2 25 , 1 2 05 , 0 05 , 0 5 0 5 0 2 5 0 = = = = =

∫

idt

∫

tdt t q 14.4. Pendekatan 5umerik

Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:

1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar, ∆x.

2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai

∑

∫

= → ∆ ∆ = n k k k x q pf xdx f x x 1 0 ( ) lim ) (

dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang besarnya akan

sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen ∆xk jika ∆x

menuju nol.

Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai

terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih rendah

ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.

Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi oleh kurva y=x3−12x dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Lauas

ini telah dihitung dan menghasilkan A_pq=67,5. Kali ini kita melakukan perhitungan pendekatan secara numerik dengan bantuan komputer.

∫

− − = 3 3 3 _{12 )} (x xdx A_pq

Karena yang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x = 0,15 maka rentang −−−−3≤≤≤≤x≤≤≤≤3 akan terbagi dalam 40 segmen. Perhitungan menghasilkan

4 , 67 39875 , 67 ) 12 ( 40 1 3_{− = ≈} =

∑

= k k k pq x x A

Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.

Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3≤x≤3 akan terbagi dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan

5 , 67 48875 , 67 ) 12 ( 120 1 3_{− = ≈} =

∑

= k k k pq x x A

Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.

Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%, maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.

Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas setiap segmen menjadi

(

f(x min) f(x )

)

x/2

Asegmen= k + kmaks ×∆ (14.13) Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010. 5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.