Statik Hesaplar

T.C.

MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI

MEGEP

(MESLEKİ EĞİTİM VE ÖĞTERİM SİSTEMİNİN

GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ)

STATİK HESAPLAR

İÇİNDEKİLER

İÇİNDEKİLER... i

AÇIKLAMALAR... ii

GİRİŞ... 1

ÖĞRENME FAALİYETİ - 1...2

1. ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA...2

1.1. Basit Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi... 3

1.2. Birleşik Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi...5

UYGULAMA FAALİYETİ...11

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...19

DEĞERLENDİRME...31

ÖĞRENME FAALİYETİ - 2...31

2. MUKAVEMET (DAYANIM) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA... 31

2.1. Mukavemet (Dayanım) Momenti...31

2.1.1. Eğilme Momenti ...31

2.1.2. Eğilme Gerilmesi...32

2.1.3. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramlarının Çizilmesi... 32

2.1.4. Mukavemet Momenti... 34 UYGULAMA FAALİYETİ...37 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...45 CEVAP ANAHTARI...47 DEĞERLENDİRME...61 MODÜL DEĞERLENDİRME... 62 KAYNAKLAR...64

AÇIKLAMALAR

İÇİNDEKİLER

AÇIKLAMALAR

KOD 582İNŞ009

ALAN İnşaat Teknolojisi

DAL/MESLEK Meslek Hesapları

MODÜLÜN ADI Statik Hesaplar

MODÜLÜN TANIMI Atalet ve mukavemet momentlerinin tanımı, çeşitleri, _{birimleri ve hesap uygulamaları.}

SÜRE 40/32

ÖN KOŞUL Fiziksel dayanımlar modülünü başarmış olmak.

YETERLİK Gerekli ortam sağlandığında atalet ve mukavemet momenti _{hesapları yapabilmek.}

MODÜLÜN AMACI

Genel Amaç

: Bu modül ile gerekli ortam sağlandığında

atalet ve mukavemet hesaplarını doğru olarak yapabileceksiniz.

Amaçlar: Bu modül ile A

1- Atalet momentinin tanımını doğru olarak yapabileceksiniz.

2- Atalet momentinin çeşitlerini eksiksiz öğrenebileceksiniz.

3- Atalet momentinin birimini doğru olarak öğrenebileceksiniz.

4- Atalet momenti hesaplarını verilen formüllere ve verilere göre doğru olarak çözebileceksiniz.

B

1- Mukavemet momentinin tanımını doğru olarak yapabileceksiniz.

2- Mukavemet momentinin çeşitlerini eksiksiz öğrenebileceksiniz.

3- Mukavemet momentinin birimini doğru olarak öğrenebileceksiniz.

4- Mukavemet momenti hesaplarını verilen formüllere ve verilere göre doğru olarak çözebileceksiniz.

EĞİTİM ÖĞRETİM ORTAMLARI VE DONANIMLARI

Ortam: Sınıf, atölye, laboratuvar ve kütüphane, ev gibi

öğrencinin kendi kendine veya grupla çalışabileceği tüm ortamlar.

Donanım: Sınıf, kütüphane tepegöz, projeksiyon, bilgisayar

ve donanımları,öğretim gereçleri vb.

ÖLÇME VE

DEĞERLENDİRME

Öğrenciler modülün içinde yer alan her faaliyetten sonra verilen ölçme araçları ile kazandıkları bilgi ve becerileri ölçerek kendi kendilerini değerlendireceklerdir.

Öğretmen, modül sonunda öğrencilere ölçme aracı uygulayarak modül uygulamaları ile kazandıkları bilgi ve becerileri ölçerek değerlendirecektir.

GİRİŞ

Sevgili Öğrenci,

İnşaat teknolojisi alanının geçmişi, ilk insanların barınma ihtiyaçlarını karşılamak için yaptıkları geleneksel yapılara kadar dayanmaktadır. Mukavemet alanındaki ciddi çalışmalar ve araştırmalar Rönesans devri ile başlamıştır. Leonar Da Vinci (1452-1519) ve Galileo (1564-1642) yapı malzemelerinin mekanik özellikleri ve kirişlerin mukavemetleri ile ilgili incelemeler yapmışlardır.

İnşaat sektörü, günümüzde hızla gelişen teknoloji sayesinde çok gelişmiştir. Elle çizilen ve hesaplanan projeler artık bilgisayarla yapılmaktadır.

İnşaat teknolojisi çok geniş bir alandır. Birçok önemli bölümleri vardır. Statik hesaplamalar da bunlardan biridir.

Mühendislik yapısı, bir bina veya bir köprü, bir makine, bir uçak, bir gemi veya bir otomobil olsun, bunların taşıyıcı sistemlerini oluşturan elemanların boyutları, dış kuvvetlerden kaynaklanan iç kuvvetlere dayanabilecek biçim ve büyüklükte olmalıdır. Bunun tersi de söz konusu olabilir.Yani boyutları bilinen bir elemanın taşıyabileceği dış yükün bulunması ya da gerilmelerin kontrol edilmesi gerekebilir.

Bu modülde dış kuvvetlerin etkisine dayanabilecek kirişlerin boyutlarını hesaplayabilmek için seçilen kiriş kesitinin atalet (eylemsizlik) ve mukavemet (dayanım) momentlerinin nasıl yapılacağı uygulamalı olarak anlatılmıştır.

ÖĞRENME FAALİYETİ - 1

Bu öğrenme faaliyeti ile öğrenci, gerekli ortam sağlandığında atalet momenti hesabı yapabilecektir.

Bu faaliyeti tam olarak kavrayabilmek için ağırlık merkezi ve moment konusunu

öğrenmeniz gerekmektedir. Burada size kısa bilgi verilecektir. Ancak bu konuyla ilgili araştırma yapmanız gerekecektir.

Eğilme dayanım problemlerinin çözümü için; 1- Kiriş kesitlerinin atalet momentlerinin, 2- Kirişlerin dayanım momentlerinin,

3- Kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizilmesi ile ilgili kaynak araştırması yaparak bilgi edininiz.

1. ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ

HESAPLARI YAPMA

a- Tanım

1.Ağırlık Merkezi: Bir cismi meydana getiren küçük parçacıklara etki eden yerçekimi

kuvvetlerinin bileşkesinin, cisim üzerindeki uygulama noktasına o cismin ağırlık merkezi denir.(cm, dm, m.) Herhangi bir yüzey veya eğri alalım. Aşağıdaki şekli sonsuz derecede df parçalarına bölelim. Yüzeyi bir koordinat sistemine oturtalım. En küçük alandan koordinat sistemine bir paralel çizelim. Her minimum alan için aynı şeyleri tekrar ettiğimizde paralellerin kesiştiği nokta, o yüzeyin ağırlık merkezidir.

dF

0

y

y

xg

x

_yg

G

F

x

F

dF

0

x

y

y

xg

x

_yg

G

Şekil 1.1

ÖĞRENME FAALİYETİ-1

AMAÇ

ARAŞTIRMA

1.1. Basit Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi

1) Dairenin ağırlık merkezi kendi merkezidir.

M

G

Ş

ekil 1. 2

2) Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenarlarda ağırlık merkezi köşelerinin kesiştiği noktalardır. M G M G

Ş

ekil 1.3

3) Üçgenin ağırlık merkezi kenar ortaylarının kesişme noktasıdır. Bu nokta yüksekliğin 3/1’inden geçer. C _B A a a/2 a/2 c/2 b/2 _c/2 b/2 b h/2 c G Şekil 1. 4

4) Yamuğun ağırlık merkezini hesaplarken alt kenarı üst kenara, üst kenarı ters yönde alt kenara ekleyelim, köşegenleri birleştirelim. Köşegenlerin kesişme noktası ağırlık merkezidir.

G IABI ICDI A D C B Şekil 1.5

5) Herhangi bir dörtgenin ağırlık merkezi, köşegenlerinin birleştirilmesinden ortaya çıkan 4 üçgenin ağırlık merkezlerinin karşılıklı birleştirilmesiyle oluşan köşegenlerin kesiştiği noktadır. D A B C Şekil 1.6

6) Yarım dairenin ağırlık merkezi geometrik merkezinden

π

3

4r

kadar uzaktadır

.

M G 4r 3 Şekil 1. 7

7) Çeyrek dairenin ağırlık merkezi kendi ağırlık merkezinden

.

π

3

2

4r

_{kadar uzaktadır}

M y x Şekil 1.8

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

r=4 cm r=4 cm x y x _y

M

G

G

G

G

15 x y x _y 16 4 6 6 1 8 2 64

x

y

F

1 4 1,69 25,12

x

y

F

1 6 5 90

x

y

F

1 2,4 2,4 12,56

x

y

F

69

,

1

14 , 3 34 4

=

=

_xx

y

G

=

(

2

,

4

x

2

,

40

)

2 2 r

F

₌

π

_xy

_cm

x x x

₂

_,

₄₀

14 , 3 3 41 , 1 4 4

₌

=

Şekil 1. 9

1.2. Birleşik Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi

1) Verilen birleşik yüzey koordinat düzlemine oturtulur. 2) Birleşik yüzey, bilinen basit yüzeylere ayrılır.

3) Her basit yüzeyin ağırlık merkezi bulunur.

4) Her basit yüzeyin ağırlık merkezinden koordinat eksenlerine dikler inilir. 5) Her basit yüzeyin alanları tespit edilir.

6) x ve y mesafeleri hesaplanır. 7) gx ve gy bulunur.

a.2. Atalet Momenti:

Herhangi bir yüzeyin sonsuz derecede küçük alan parçasının herhangi bir x eksenine mesafesi karesi ile çarpımının toplamına o alanın x eksenine gelen atalet momenti denir. Atalet momenti ,”J” ile gösterilir.

y x 0 F dF y x 2 2

SdFx

Jy

SdFy

Jx

=

=

Şekil 1. 10

a.3. Atalet Yarıçapı

: Kendi ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet yarıçapı aynı eksene göre alınan atalet momentinin kesit alanına bölümünün kareköküne eşittir. “Ix” ile gösterilir. Atalet yarıçapının birimi “cm , dm” olur.

cm

İx

=

Jx_F

_İy

_cm

F Jy

=

Burada: Ix : Atalet yarıçapı

Jx : x eksenine göre atalet momenti F : Şeklin (kesitin) alanı

b- Çeşitleri:

b.1. Basit kesitlerin atalet (eylemsizlik) momenti

b.2. Birleşik kesitlerin atalet (eylemsizlik) momenti

b.1. Basit Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti

: En çok kullanılan

kesitlerin ağırlık merkezinden geçen tarafsız eksenlerine göre( x-x ve y-y eksenleri ) atalet momentleri aşağıda maddeler halinde verilmiştir.

Örneğin; X-X eksenine göre atalet momenti JX ; Y-Y eksenine göre atalet momenti JY

ile gösterilmiştir.

a) Kare (kendi ağırlık merkezine göre)

G y x b=h h b 4 124

,

J

cm

J

h y x

=

Şekil 1. 11 b) Dikdörtgen

G y x h b 4 12 4 12 3 3

cm

Jx

cm

Jx

hb bh

=

=

Şekil 1. 12 c) Üçgen b h 4 36 3

cm

Jx

=

bh Şekil 1. 13 d) Daire NORMAL DAİRE ₄ 64 4

cm

Jy

Jx

₌

₌

πD Şekil 1. 14 Dı D DELİKLİ DAİRE 4 64 ) ( 4 ₁4

cm

Jy

Jx

₌

₌

π D −D

Şekil 1. 15 e) Yarım daire

4 4

00686

,

0

D

cm

Jy

Jx

=

=

Şekil 1. 16 f) Çeyrek daire 4 4

00344

,

0

D

cm

Jy

Jx

=

=

Şekil 1. 17 g) Parabol G a b x 4 4 4 4 3 3

cm

Jy

cm

Jx

a b b a × ×

=

=

π π Şekil 1. 18

b.2. Bileşik Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti:

Herhangi bir yüzeyin kendi ağırlık merkezine göre bulunan atalet momenti ile yüzey alanının ağırlık merkezi ve eksen arasındaki mesafenin karesiyle çarpımının toplamına eşittir.

1.

2 1 0 2 1 G x y e2 e1

çapý

yarý

atalet

Ý

mukavemet

W

atalet

Fe

Jy

J

Fe

Jx

J

F J e J 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 − −

=

=

+

=

+

=

− − − Şekil 1. 19

2 1 02 1 G x y 14 12 16

cm

İx

cm

W

cm

x

J

J

x x x x

37

,

16

2814

4502

)

16

)(

12

14

(

2016

168 4502 3 16 4502 1 1 4 2 1212 14 1 1 1213 14 3 3

=

=

=

=

=

+

=

=

=

− − −

Şekil 1. 20

3.

1

40 c m INP 320

1

2

2

cm

İ

cm

W

cm

x

J

tablodan

cm

F

tablodan

cm

J

J J X

42

1

75

,

3420

830

,

136

40

7

,

77

12510

7

,

77

12510

7 , 77 830 , 136 7 , 77 3 40 830 , 136 40 1 1 4 2 1 1 4 4 1 1 1 1

=

=

=

=

=

=

=

+

=

→

=

→

=

− − − −

Şekil 1. 21

Not: Kaynak için INP profil tablolarına bakınız.

Basit kesitlerin atalet momentinde verilen formüller, kesitlerin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleridir. Bir kesitin kendi ağırlık merkezinin dışından geçen eksenlere göre atalet momentini de hesaplamak gerekebilir. Böyle durumlarda paralel eksen teoreminden yararlanılır.

Paralel Eksen (Steiner) Teoremi: Bir kesitin, aynı düzlem içinde bulunan bir

eksene göre atalet momenti tarafsız eksene göre atalet momentine, kesitin alanı ile paralel iki eksen arasındaki uzaklığın karesinin çarpımı eklenerek bulunur.

JXN = JX + F X e12 ……….. cm4

Xn yn e1 y x G 0 e2

Şekil 1. 22

Birleşik kesitlerin atalet momentleri,

S

teiner teoreminden yararlanarak bulunur.

Birleşik kesitlerin atalet momentini bulmak için;

1- Verilen kesit, basit geometrik şekillere bölünmelidir. 2- Her şekil numaralanı teker teker alanları bulunmalıdır.

3- Birleşik kesitin (tarafsız eksenin geçtiği) ağırlık merkezi bulunmalıdır.

4- Steiner teoremine göre her kesitin atalet momenti bulunarak cebirsel toplam yapılmalıdır.

c- Birimi: Atalet momentinin birimi cm

4_,dm4

UYGULAMA FAALİYETİ

ATALET MOMENTİ HESAP UYGULAMALARI

1.

Aşağıda verilen bileşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yolu ile bulunuz.

y

x

0

18 10 6 Gı G2 xı yı x2 y2 12 6 16 36 15 36 8 192 2 1 F y x

Şekil 1. 23

1. Verilen birleşik yüzey koordinat düzlemine oturtulur. 2. Birleşik yüzey, bilinen basit yüzeylere ayrılır. 3. Her basit yüzeyin ağırlık merkezi bulunur.

4. Her basit yüzeyin ağırlık merkezinden koordinat eksenlerine dikler inilir. 5. Her basit yüzeyin alanları tespit edilir.

6. x ve y mesafeleri hesaplanır. 7. gx ve gy bulunur.

n n n F F F x F x F x F

Gx

=

+_{+ +}+_......₊+ 2 1 2 2 1 1

_»

Gx

x x

7

,

42

cm

36 192 36 15 192 6

=

=

+₊

_nn n F F F y F y F y F

Gy

=

+_{+ +}+...₊+ ... 2 1 2 2 1 1

_»

Gy

x x

7

,

210

cm

36 192 3 36 192 8

=

=

₊+

UYGULAMA FAALİYETİ

2.

Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yolu ile bulunuz.

y

x

0

x2 x1 y1 x3 y3 y2 G3 G2 G1 8 6 10 2 4 8 1 6 240 19 12 3 48 11 204 12192 2 1 F y x Şekil 1. 24

cm

x

G

x x x

₁₂

_,

₂

240 48 1924 48 11 240 19 192 1

=

++ ++

=

cm

y

G

x x x

₁₂

_,

₈

240 48 19248 20 240 12 12 192 1

=

++ ++

=

3.

Aşağıda verilen basit yüzeyin (kesitin) atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız. G y x ₁₂ 10 6

cm

İy

cm

İx

cm

Jy

cm

Jx

F Jy F Jx x hb x bh

88

,

2

46

,

3

1000

1440

120 1000 120 1440 4 1210 12 12 4 1212 10 12 3 3 3 3

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Şekil 1. 25

20 cm

44 cm

cm

İx

cm

Jx

F Jx x bh

5

,

107

,

47324

440 44 , 47324 4 12 44 20 12 3 3

=

=

=

=

=

=

Şekil 1. 26

5.

Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız. Birimleri “cm” olarak alınız.

Şek il 1. 27

y

x

0

Gı G2 G e1y e2y e2x e1x 36 15 36 8 192 2 1 x y F Şekil 1. 28

5.1.Kesiti basit şekillere ayırarak alanları teker teker hesaplayınız. Birleşik kesitin

ağırlık merkezinin yerini bulunuz.

5.2. e1x , e2x , e1y , e2y uzunlukları bulunuz.

5.3. J1X , J2X , J1Y , J2Y hesaplayınız.

5.4. Steiner teoremini uygulayınız. 5.5. Atalet yarıçapını bulunuz.

y

x

0

18 10 6 Gı Gz xı yı x2 y2 12 6 16 36 15 36 8 192 2 1 F y x

ÇÖZÜM:

5.1,

F1=16x12 = 192 cm2 F2= 6x6 = 36 cm2 ∑F= F1+F2 =192+36 = 228 cm2

X ve Y eksenlerine göre F1 ve F2 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları

X1= 6 cm X2= 15 cm Y1= 8 cm Y2= 3 cm. n n n F F F x F x F x F

Gx

=

+_{+ +}+_......₊+ 2 1 2 2 1 1 _»

_Gx

x x

₇

_,

₄₂

_cm

36 19215 36 192 6

=

=

+₊ n n n F F F y F y F y F

Gy

=

+_{+ +}+...₊+ ... 2 1 2 2 1 1 »

Gy

=

8x192₁₉₂+₊₃₆3x36

=

7

,

210

cm

Gx

=

7

,

42

cm

Gy

=

7

,

21

cm ağırlık merkezinin yeri

5.2,

e1x = (y1-gy) = 8 – 7,21 = 0,79 cm. e2x = (gy-y2 ) =7,21-3 = 4,21 cm

e1y = (gx-x1) = 7,42 - 6 = 1,42 cm. e2y = (x2-gx ) =15-7,42 = 7,58 cm

Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz.

5.3, 4 1216 12 3

₄₀₉₆

cm

Jx

=

x

=

4 12 64

₁₀₈

_cm

Jx

=

=

4 1212 16 3

₁₄₄

cm

Jy

=

x

=

4 126

108

4

cm

Jy

=

=

5.4, JX-X = ( J1X + F1 . e1y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 ) JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 ) 4 4 126 1216 12

₁₉₂

₀

_,

₆₂

₎

₍

₃₆

₁₇

_,

₇₂

₎

₄₉₆₀

_,

₂

(

3

cm

x

Jx

x

x

x

Jx

−

=

x

+

+

+

⇒

−

=

4 126 1212 16

₁₉₂

₂

_,

₀₁

₎

₍

₃₆

₅₇

_,

₄₅

₎

₄₈₆₄

_,

₃₂

(

3 4

cm

y

Jy

x

x

y

Jy

−

=

x

+

+

+

⇒

−

=

5.5,

cm

x

İx

₋

₌

4960₂₂₈,2

₌

4

,

6

_İy

_y

₄

_,

₆

_cm

228 32 , 4864

₌

=

−

6.

Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

no x y F ex ey ex2 _ey2

1 6 8 192 0,79 1,42 0,62 2,016 2 15 3 36 4,21 7,58 17,72 57,45

24 6 16 10 8 8 Şekil 1. 29

y

x

0

x2

x1

y1

x3

y3

y2

G3

G2

G1

8

6

10

24

8

16

240

19 12

3

48

11 20

4

12

192

2

1

F

y

x

Şekil 1. 30

6.1.Kesit basit şekillere ayırarak alanları teker teker hesaplayınız. Bileşik kesitin

ağırlık merkezinin yerini bulunuz.

6.2. e1x , e2x , e3x , e1y , e2y , e3y uzunlukları bulunuz.

6.3. J1X , J2X , J3X, , J1Y , J2Y J3y hesaplayınız.

6.4. Steiner teoremini uygulayınız ÇÖZÜM:

6.1. F1= 8x24 = 192 cm2 F2= 6x8 = 48cm2 F3= 10x24 =240 cm2

∑F= F1+F2 + F3 = 192+48+240 = 480 cm2

X ve Y eksenlerine göre F1 , F2 ve F3 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları

X1= 4 cm X2= 11 cm X3= 19 cm Y1=12 cm Y2= 20 cm Y3= 12 cm

cm

x

G

x x x

₁₂

_,

₂

240 48 1924 48 11 240 19 192 1

=

++ ++

=

G

1

y

=

192x12192+48+48x20+240+240x12

=

12

,

8

cm

e1x = (gy- y1 ) =12,8 – 12 = 0,8 cm e1y = (gx-x1) =12,2 – 4 = 8,2 cm

e2x = (y2 - gy ) =20-12,8 = 7,2 cm e2y = (gx-x2) =12,2 - 11= 1,2 cm

e3x = (gy- y1 ) =12,8 – 12 = 0,8 cm e3y = (x3-gx ) =19–12,2 = 7,58 cm

Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz.

No x y F ex ey ex2 _ey2 1 4 12 192 0,8 8,2 0,64 67,24 2 11 20 48 7,2 1,2 51,84 1,44 3 19 12 240 0,8 6,8 0,64 46,24 6.3. 4 1224 8 1

9216

3

cm

Jx

=

x

=

4 128 6 2

96

3

cm

Jx

=

x

=

4 1224 10 3

11520

3

cm

Jx

=

x

=

4 128 24 1

1024

3

cm

Jy

=

x

=

4 126 8 2

144

3

cm

Jy

=

x

=

4 1210 24 3

2000

3

cm

Jy

=

x

=

6.4. JX-X = ( J1X + F1 . e1y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 ) JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 ) 4 12 24 10 12 8 6 12 24 8

7

,

23756

64

,

0

240

84

,

51

45

64

,

0

192

3 3 3

cm

x

Jx

x

x

x

x

Jx

x x x

=

−

⇒

+

+

+

+

+

=

−

cm

x

İx

₋

₌

23756₄₈₀,7

₌

7

4 12 10 24 12 6 8 12 8 24

72

,

2744

24

,

46

240

44

,

1

48

24

,

67

192

3 3 3

cm

y

Jy

x

x

x

y

Jy

x x x

=

−

⇒

+

+

+

+

+

=

−

cm

y

İy

₋

₌

27244₄₆₀,72

₌

7

,

53

y

x

0

x1

y1

x2

_y2

x3

y3

G3

G2

G1

G

Gx

Gy

12

4

9

20

6

14

8,

86

7,86

27

19 4

3

24

14 3

10

240

6

2

1

F

y

x

Şekil 1. 31

cm

Gx

x x x

₇

_,

₈₆

27 24 24024 14 27 19 6 240

=

=

+ _{+ +}+

cm

Gy

x x x

₈

_,

₈₆

27 24 24010 24 3 27 4 240

=

=

+_{+ +}+ x y F ex ey ex2 _ey2 1 6 10 240 1,14 1,86 1,29 3,45 2 14 3 24 5,86 6,14 34,3 37,6 3 19 4 27 6,86 11,14 47 124 4 12 6 9 12 6 4 12 20 12

8

,

10527

47

27

3

,

34

24

29

,

1

240

3 3 3

cm

x

Jx

x

x

x

x

Jx

x x x

=

−

⇒

+

+

+

+

+

=

−

cm

x

İx

₋

₌

10527₂₉₁,8

₌

6

4 12 4 6 12 12 20

4

,

7990

27

124

0

6

,

37

24

45

,

3

240

3 3

cm

y

Jy

x

x

x

y

Jy

x x

=

−

⇒

+

+

+

+

+

=

−

cm

y

İy

₋

₌

7990₂₉₁,4

₌

5

,

2

8.

Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

y

x

0

x1

y1

x2

y2

Gı

4,1

2,1 2,9

4

6

18

1,9

2,6

10,9

9

Şekil 1. 32

cm

Gx

x x

₄

_,

₁

54 722 54 7 72

=

=

₊+

cm

Gy

x x

₁₀

_,

₉

54 72 5 , 13 54 9 72

₌

=

+₊ 4 12 18 4 12 1

1944

3 3

cm

Jx

=

bh

=

x

=

4 129 6 12 2

365

3 3

cm

Jx

=

bh

=

x

=

4 2 2

₎

₍

₃₆₅

₅₄

₂

_,

₆

₎

₂₉₃₄

9

,

1

72

1944

(

x

x

cm

x

Jx

−

=

+

+

+

=

cm

İx

Jx _Fx

₄

_,

₈

721542934

=

=

∑

=

− 4 124 18 12 1

96

3 3

cm

Jy

=

hb

=

x

=

4 126 9 12 2

162

3 3

cm

Jy

=

hb

=

x

=

4 2 2

₎

₍

₁₆₂

₅₄

₂

_,

₉

₎

₁₀₃₀

1

,

2

72

96

(

x

x

cm

y

Jy

−

=

+

+

+

=

no x y F ex Ey 1 2 9 73 1,9 2,1 2 7 13,5 54 2,6 2,9

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME

Bu faaliyet kapsamında kazandığınız bilgileri aşağıdaki soruları cevaplayarak değerlendireceksiniz.

1. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yol ile bulunuz.

12 4 9

20

6

14

Şekil 1. 33

2. Çapı 20 cm olan dairenin atalet momentini ve atalet yarıçapını bulunuz.

3. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

12 4 8 4 4 6 4 Şekil 1. 34

4. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

20 16 20 8 20 16 14

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME

Şekil 1. 35

5. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

16 10 18 10 10 24 12 13 Şekil 1. 36

6. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

r=3

5

10

18

Şekil 1. 37

7. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

y

1,8 1,2 0,8

3

1

Şekil 1. 38

8. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

14

16

20 10 16

Şekil 1. 39

9. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

y 8 22 10 20 10 6 4 32 4 10 Şekil 1. 40

10. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

36 20 10 10 16 16 30 23 23 20

Şekil 1. 41

CEVAP ANAHTARI

1.

y

x

0

x1 y1 x2 _y2 x3 y3 G3 G2 G1 G Gx Gy 12 4 9 20 6 14 8,86 7,86 27 19 4 3 24 14 36 10240 2 1 x y F

Şekil 1. 42

Gx

=

240x₂₄₀6+24₊₂₄x14₊+₂₇27x19

=

7

,

86

cm

Gy

=

240x₂₄₀10+₊24₂₄x₊3₂₇+27x4

=

8

,

86

cm

2. r =10 cm Şekil 1. 43

cm

İy

İx

cm

Jy

Jx

F

Jx

x

D

5

7850

314

7850

4

64

20

14

,

3

64

3 4

=

=

=

=

=

=

=

=

π

3.

y

x

0

x1

y1

x2

x3

y3

y2

G3

G2

G1

0, 24 4,24 4,41 0,59 6,41 4 6 4 4 12 4 8 4 9,7 6 5,59 G Şekil 1. 44 no x y F ex Ey 1 2 8 64 1,76 4,41 2 7 14 24 4,24 0,59 3 12 10 48 0,24 5,59

cm

Gx

x x x

₆

_,

₄₁

48 24 6424 7 48 12 2 64

=

=

+_{+ +}+

cm

Gx

x x x

₉

_,

₇₆

48 24 64 10 48 14 24 8 64

=

=

+ _{+ +}+ 4 1212 4 12 1

1365

,

3

3 3

cm

Jx

=

bh

=

x

=

4 3 2

32

12

4

6

cm

x

Jx

=

=

Jx

₃

=

bh₁₂3

=

6₁₂x43

=

576

cm

4 4 2 2 2

₎

₍

₃₂

₂₄

₄

_,

₂₄

₎

₍

₅₇₆

₄₈

₀

_.

₂₄

₎

₂₆₀₅

_,

₇₇

76

,

1

64

3

,

1365

(

x

x

x

cm

x

Jx

−

=

+

+

+

+

+

=

cm

İx

Jx_Fx

₄

_,

₃₇

48 24 64 77 , 2605

₌

=

∑

=

− _{+ +} 4 12 4 16 12 1

85

,

33

3 3

cm

Jy

₌

hb

₌

x

₌

4 126 4 12 2

72

3 3

cm

Jy

=

hb

=

x

=

4 124 12 12 3

64

3 3

cm

Jy

=

hb

=

x

=

4 2 2 2

₎

₍

₇₂

₂₄

₀

_,

₅₉

₎

₍

₆₄

₄₈

₅

_,

₅₉

₎

₂₉₇₄

_,

₂₇

41

,

4

64

33

,

85

(

x

x

x

cm

y

Jy

−

=

+

+

+

+

+

=

cm

İy

Jy _Fy

₄

_,

₆₇

48 24 64 27 , 2974

₌

=

∑

=

− _{+ +} 4.

y

x

0

y1

x1

x3

y3

x2

y2

G2

G1

G3

G

ey1

ey3

ey2

ex1

ex2

ex

3

20,22

8

14

20

20

16

16

20

Şekil 1. 45 No x y F ex ey ex2 _ey2 1 4 8 128 5,65 16,22 31,92 263 2 15 18 504 4,35 5,22 18,92 27,24 3 32 10 400 3,65 11,78 13,32 138,76

cm

Gx

x x x

₂₀

_,

₂₂

400 504 128 32 400 15 504 4 128

=

=

+ _{+ +}+

cm

Gx

x x x

₁₃

_,

₆₅

400 504 128504 18 400 10 8 128

=

=

+ _{+ +}+ 4 12 20 1236 14 1216 8

43

,

89445

33

,

18661

68

,

6396

42

,

6816

32

,

13

400

92

,

18

504

92

,

31

128

3 4 3

cm

x

Jx

x

x

x

x

Jx

x x

=

+

+

=

−

+

+

+

+

+

=

−

cm

İ

Jx_Fx x x 1032

9

,

3

43 , 89445

₌

=

∑

=

− −

4 12 20 12 14 36 12 8 16 12

8

,

125144

76

,

138

400

24

,

27

504

263

128

3 4 3 3

cm

x

x

x

J

hb x x y y

=

+

+

+

+

+

=

=

−

cm

İy

Jy _Fy

₌

125144₁₀₃₂,8

₌

11

∑

=

− 5. x 0 y y4 y3 x5 x4 y5 y2 x2 x3 x1 y1 16 10 18 29, 6 10 10 24 12 13 18 G 56 Şekil 1. 46 no x y F ex ey ex2 _ey2 1 13 61,5 265,4 31,82 5,1 1012,5 26 2 13 28 1456 1,68 5,1 2,82 26 3 32 28 216 1,68 13,9 2,82 193,2 4 35 10 360 19,6 16,9 387,3 285,6 5 21 15 100 14,6 2,9 215,5 9,41

cm

Gx

x x x x x

₁₈

_,

₁₀

100 360 216 1456 4 , 265 21 100 35 360 32 216 13 1456 13 46 , 265

₌

=

+ ₊ +_{+ +} + ₋ −

cm

Gy

x x x x x

₂₉

_,

₆₈

100 360 216 1456 4 , 265 15 100 10 360 28 216 28 1456 5 , 61 46 , 265

₌

=

+ ₊ +_{+ +} +₋ − 4 1210 10 1220 18 3624 18 1256 26 4

7

,

793100

5

,

215

100

3

,

387

360

82

,

2

216

82

,

2

1456

5

,

1012

46

,

265

00686

,

0

3 3 3 3

cm

x

Jx

x

x

x

x

x

D

x

Jx

x x x x

=

−

+

−

+

+

+

+

+

+

+

=

−

cm

İ

Jx_Fx x x 2197,46

18

,

9

7 , 793100

₌

=

∑

=

− −

4 3 1218 20 1226 56 4

4

,

282405

41

,

9

100

10

10

6

,

285

360

2

,

193

216

26

1456

26

4

,

265

00686

,

0

3 3

cm

J

x

x

x

x

x

x

D

J

y y x x y y

=

→

+

−

+

+

+

+

+

=

− −

cm

İ

F y Jy y y 2197,46

11

,

33

4 , 282405

₌

=

∑

=

− − 6. x 0 y y1 y2 r=3 x2 x1 G 10,11 18 5 10 Şekil 1. 47 No x y F ex ey ex2 _ey2 1 9 5 180 0 1,11 0 1,23 2 3 5 28,2 0 7,11 0 50,5

F

2

=π.r

2

= 3,14.3

2

=28,2cm

2

Jx

₌

Jy

₌

π₆₄D4

cm

4

₌

4

₆₃

_,

₆₁

4

64

6

.

14

,

3

cm

=

cm

Gx

x x

₁₀

_,

₁₁

2 , 28 180 3 2 , 28 9 180

₌

=

₋−

_Gy

x x

₅

_cm

2 , 28 180 5 2 , 28 5 180

₌

=

₋− 4 1210 18

70

,

1401

)

23

,

1

2

,

28

61

,

63

(

)

0

180

(

3

cm

x

Jx

x

x

x

Jx

x

=

−

→

+

−

+

=

−

cm

İ

Jx _Fx x x 151,8

3

7 , 1401

₌

=

∑

=

− − 4 1218 10

69

,

3593

)

5

,

50

2

,

28

61

,

63

(

)

23

,

1

180

(

3

cm

x

Jx

x

x

y

Jy

x

=

−

→

+

−

+

=

−

cm

İ

_{y y} Jy _Fy

₌

3593_151,8,6

₌

4

,

86

∑

=

− − 7. x 0 y G 1 2 1,2 0,8 3 1 2,37 0,8 1,4 G1 G2 Şekil 1. 48 No x y F ex ey ex2 _ey2 1 1,4 3,5 2,8 1,13 0 1,276 0 2 1,4 1,5 3,6 0,87 0 0,756 0

cm

Gx

x x

₁

_,

₄

6 , 3 8 , 2 4 , 1 6 , 3 7 , 1 8 , 2

₌

=

₊+

cm

Gy

x x

₂

_,

₃₇

6 , 3 8 , 2 5 , 1 6 , 3 5 , 3 8 , 2

₌

=

₊+ 4 12 3 2 , 1 12 1 8 , 2 3

₂

_,

₈

₁

_,

₂₇₆

3

₃

_,

₆

₀

_,

₇₅₆

₉

_,

₂₂

cm

x

x

x

Jx

₋

₌

x

₊

₊

x

₊

₌

cm

İ

F x Jx x x 6,4

1

,

2

22 , 9

₌

=

∑

=

− − 4 12 2 , 1 3 12 8 , 2 1 3

₂

_,

₈

₀

3

₃

_,

₆

₀

₄

_,

₀₉₀

cm

x

x

y

Jy

₋

₌

x

₊

₊

x

₊

₌

cm

İ

Jy _Fy y y 6,4

0

,

79

09 , 4

₌

=

∑

=

− −

8.

x

0

y

10

16

20

G

2

1

23,96

16

,55

14

16

Şekil 1. 49 No x y F ex ey ex2 _ey2 1 5 15 300 1,55 18,96 2,40 359,4 2 18 22 256 5,45 5,96 29,70 35,32 3 36 15 600 1,55 12,04 2,40 144,9

cm

Gx

x x x

₂₃

_,

₉₆

600 256 300256 18 600 36 5 300

=

=

+ _{+ +}+

cm

Gy

x x x

₁₆

_,

₅₅

600 256 300256 22 600 15 15 300

=

=

+_{+ +}+ 4 1230 20 1216 16 1230 10

53

,

82724

40

,

2

600

70

,

29

256

40

,

2

300

3 3 3

cm

x

x

x

x

Jx

x x x

=

+

+

+

+

+

=

−

cm

İ

Jx _Fx x x 1156

8

,

45

53 , 82724

₌

=

∑

=

− −

4 1220 30 1216 16 1210 30

45

,

231850

96

,

144

600

52

,

35

256

4

,

359

300

3 3 3

cm

x

x

x

y

Jy

x x x

=

+

+

+

+

+

=

−

cm

İ

Jy _Fy y y 1156

14

,

16

45 , 231850

₌

=

∑

=

− − 9.

x

0

y

G

1

2

3

8

22

10

6

4

32

4

10

20

10

Şekil 1. 50

cm

Gx

x x x

₂₃

_,

₄₁

200 704 184023 704 19 200 35 1840

=

=

−_{− −}−

cm

Gy

x x x

₂₀

200 704 184020 704 20 200 20 1840

=

=

−_{− −}− No x y F ex ey ex2 _ey2 1 23 20 1840 0 0,4 0 0,16 2 19 20 704 0 4,4 0 19,36 3 35 20 200 0 11,3 0 134,5 4 1220 10 1232 22 1240 46

178592

0

200

0

704

0

1840

3 3 3

cm

x

x

x

x

Jx

x x x

=

−

−

−

+

=

−

cm

İ

F x Jx x x 936

13

,

81

, 178592

₌

=

∑

=

− −

4 12 10 20 12 22 32 12 46 40

284749

5

,

134

200

36

,

19

704

16

,

0

1840

3 3 3

cm

x

x

x

y

Jy

x x x

=

−

−

−

−

+

=

−

cm

İ

F y Jy y y

=

∑

=

284749936

=

17

,

44

− − 10. x 0 y G 20 36 10 20 10 16 16 30 23 23 1 2 3 4 Şekil 51

24

,

4

6

,

1097

00686

,

0

,

310 4 34 4

=

=

=

=

π πr x

D

Jy

Jx

No x y F ex ey ex2 _ey2 1 20 31 1200 8,4 7,8 70,5 60,8 2 30 8 320 14,6 2,2 213,1 4,84 3 48 11,5 368 11,1 20,2 123,2 40,84 4 20 40,24 157,7 17,6 7,8 311,1 60,84

cm

Gx

x x x x x x

₂₇

_,

₈₀

7 , 157 368 320 1200 35 200 19 20 7 , 157 48 368 30 320 20 1200

₌

=

+ +_{+ +} − ₋ −

cm

Gy

x x x x

₂₁

_,

₇

200 704 1840 24 , 40 7 , 157 5 , 11 368 8 320 21 1200

₌

=

+ +_{− −} − 4 1223 16 1216 20 1230 40

6

,

256730

1

,

311

7

,

157

6

,

1097

2

,

123

368

1

,

213

320

5

,

70

1200

3 3 3

cm

x

x

x

x

x

Jx

x x x

=

−

−

+

+

+

−

+

=

−

cm

İ

Jx_Fx x x 1730,3

12

,

18

6 , 256730

₌

=

∑

=

− − 4 12 16 23 12 20 16 12 40 30

6

,

394807

84

,

60

7

,

157

6

,

1097

4

,

408

368

8

,

4

320

8

,

60

1200

3 3 3

cm

x

x

x

x

y

Jy

x x x

=

+

−

+

+

+

+

+

=

−

cm

İ

Jy _Fy y y 1730,3

15

6 , 394807

₌

=

∑

=

− −

DEĞERLENDİRME

Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız ve doğru cevap sayınızı belirleyerek kendinizi değerlendiriniz.

Hatalı cevaplar için faaliyeti tekrarlayınız. Tüm cevaplarınız doğru ise diğer faaliyete geçiniz.

ÖĞRENME FAALİYETİ - 2

Bu öğrenme faaliyeti ile öğrenci, gerekli ortam sağlandığında mukavemet momenti hesabı yapabilecektir.

Bu faaliyeti tam olarak kavrayabilmeniz için ağırlık merkezi ve moment konusunu

öğrenmeniz gerekmektedir. Burada kısa bilgi verilecektir ancak bu konuda araştırma yapmanız gerekecektir.

Eğilme dayanım problemlerinin çözümü için; 1- Kiriş kesitlerinin atalet momentlerinin,

2- Kirişlerin dayanım momentlerinin,

3- Kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizilmesini bilmemiz gerekir.

2. MUKAVEMET (DAYANIM) MOMENTİ

HESAPLARI YAPMA

2.1. Mukavemet (Dayanım) Momenti

a-Tanım

2.1.1. Eğilme Momenti

Bir kirişin kesitinde, dış kuvvetlerin etkisiyle (kiriş tarafsız ekseninden geçen bir düzlem içerisinde) kuvvet çifti doğuyorsa, buna basit eğilme adı verilir.

Kuvvet çiftinin belirttiği düzleme eğilme düzlemi denir.

Kuvvet çiftinin momentine ise eğilme momenti denir ve (Mb) ile gösterilir. Mb=

σ

x W‘dir.

Eğilen kiriş kesitinin bir tarafında çekme, öteki tarafında basınç gerilmeleri doğar. Çubuğun çekme tarafında lifler uzar, basınç tarafında kısalır. Bu nedenle çekme tarafında kopma, basınç tarafında ezilme olabilir.

Tarafsız eksende uzama ve kısalma yoktur. Eğilme momenti birimi tm, tcm, kgm,

kgcm ile gösterilir.

ÖĞRENME FAALİYETİ-2

AMAÇ

Tarafsız eksen L B A b ç Şekil 2.1 2.1.2. Eğilme Gerilmesi

Eğilmeye zorlanan cisimlerin en dış noktalarında meydana gelen çekme ve basınç gerilmelere denir.

σ

(sigma) sembolü ile gösterilir. Birimi kg/cm2 _{ile ifade edilir. Basit}

kirişlerde yükleme durumuna göre eğilme (fleş) miktarını veren formüller vardır.

2.1.3. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramlarının Çizilmesi

B' A' +1600 cm2 -1600 cm2 1200 800400 1600 Mmax 20 cm 80 cm A B P=100 kg A'' B'' RB Şekil 2.2

Kuvvet diyagramında alanlar bulunur.(+;-) (işaretler ne için kullanılmış ?)

Moment diyagramı alanlara göre çizilir.

cm

kg

M

x x L Pxdxd

.

1600

10080 20 100 max

=

1

=

=

Önce mesnetlere gelen kuvvetleri buluruz.

kg

R

kg

R

x L Px B x L Px A

20

80

10020 100 20 10080 100 80

=

=

=

=

=

=

Daha sonra kirişe paralel olan A’B’ noktasından RA kadar yukarı çıkılır.RA ‘nınbitim

yerindenA’B’ eksenine paralel olarak P kuvvetinin uzantı çizgisine kadar gidilir. P ‘yi kesen noktadan P istikametinde ve P şiddeti kadar inilir. P şiddetinin bittiği noktadan A’B’ eksenine paralel RB şiddeti kadar çıkılır. Böylece kesme kuvvetleri diyagramı çizilir ve

kirişteki en tehlikeli nokta görülür.

A’B’ çizgisine paralel A’’B’’ çizgisi çizilir.

L Pxdxd

M

1 max

=

formülünden

cm

kg

M

x x L Pxdxd

₁₆₀₀

_.

10080 20 100 max

=

1

=

=

bulunur.

Bu sonuç bize en büyük eğilme momentini verir.

Şekillerde çeşitli yüklemelere göre kirişlerin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları görülüyor. RB RB B' A' A B P1 P2 L/3 2L/4 L En tehlikeli kesit Mmax Şekil 2.3 RB RB B' A' A B En tehlikeli kesit Mmax q kg/m q 1000 Şekil 2. 4

kg

R

qxL x B A−

=

2

=

10002 1

=

500

kgcm

kgm

M

M

qxl x

12500

125

8 1 1000 8 max 2 2

=

=

=

=

2.1.4. Mukavemet Momenti

Herhangi bir kesitin kendi ağırlık merkezinden gelen mukavemet momenti, aynı eksene göre alınan atalet momentinin tarafsız eksen ile yüzeyden uzak mesafenin atalet momentine bölümü o yüzeyin mukavemet momentini verir.”W” ile gösterilir.

b- Çeşitleri

 Basit kesitlerin mukavemet (dayanım) momenti

 Birleşik kesitlerin mukavemet (dayanım) momenti

Basit Kesitlerin Mukavemet (Dayanım) Momenti

En çok kullanılan kesitlerin ağırlık merkezinden geçen tarafsız eksenlerine göre( x-x ve y-y eksenleri ) mukavemet momentleri aşağıdaki maddeler halinde verilmiştir.

Örneğin, X-X eksenine göre atalet momenti WX , Y-Y eksenine göre atalet momenti

WY ile gösterilmiştir. a) Dikdörtgen G y x h b h/ 2 b/2 _{6 6} 3 3 6 2 12 2 2 2 12 3 2 3 2 12 3

cm

Wy

cm

Wx

bh hb bh h bh h hb h bh

=

=

=

=

×

=

=

Şekil 2. 5 b) Kare G y x b=h h b 3 6 3

cm

Wx

=

h Şekil 2. 6

c) Üçgen G h/2 3 12 3 1 3 24 3 2 2 2

cm

h

cm

h

bh bh

=

=

Şekil 2. 7 d) Daire NORMAL DAİRE ₃ 32 3

cm

Wy

Wx

₌

₌

πD Şekil 2.8 e) Yarım daire

3 3

0323

,

0

D

cm

Wx

=

Şekil 2.9 f) Boru Dı D DELİKLİ DAİRE 3 32 ) ( 4 14

cm

Wy

Wx

₌

₌

π D −_DD Şekil 2.10 g) Çeyrek daire e1 e2 G 3 2 3 1

012

,

0

0162

,

0

D

W

D

W

=

=

Şekil 2.11 h) Parabol

G a b x y 4 4 2 2 ba ab

Wy

Wx

π π

=

=

Şekil 2.12

Birleşik Kesitlerin Mukavemet (Dayanım) Momenti

Atalet momentini (J) tarafsız eksenden kirişin üst kenarına olan uzaklığa (e) bölerek (W) dayanım momenti bulunur.

Aşağıdaki formüle dikkat ediniz. e

J

W ₌ X _{e : Tarafsız eksene olan kirişin en uzak noktası}

1. 2 1 021 G x y e2 e1

yarýçapý

atalet

Ý

mukavemet

W

atalet

Fe

Jy

J

Fe

Jx

J

F J e J 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 − −

=

=

+

=

+

=

− − − Şekil 2.13 2. 2 1 0 2 1 G x y 14 12 16

cm

İx

cm

W

cm

x

J

J

x x x x

37

,

16

2814

4502

)

16

)(

12

14

(

2016

168 4502 3 16 4502 1 1 4 2 1212 14 1 1 1213 14 3 3

=

=

=

=

=

+

=

=

=

− − − Şekil 2.14 3.

1 40 cm INP 320 1 2 2

cm

İ

cm

W

cm

x

J

tablodan

cm

F

tablodan

cm

J

J J X

42

1

75

,

3420

830

,

136

40

7

,

77

12510

7

,

77

12510

7 , 77 830 , 136 7 , 77 3 40 830 , 136 40 1 1 4 2 1 1 4 4 1 1 1 1

=

=

=

=

=

=

=

+

=

→

=

→

=

− − − − Şekil 2.15

Birimi : Mukavemet momentinin birimi ‘cm3_{, dm}3 ‘ _tür.

MUKAVEMET MOMENTİ HESABI UYGULAMALARI

1.Aşağıda verilen basit yüzeyin (kesitin) atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.

G y x ₁₂ 10 6 3 1210 12 12 3 1212 10 12 4 1210 12 12 4 1212 10 12

200

240

1000

1440

2 2 2 2 3 3 3 3

cm

Wy

cm

Wx

cm

Jy

cm

Jx

x hb x bh x hb x bh

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Şekil 2.16

2.Aşağıda verilen şeklin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.

20 cm 44 cm 3 12 44 20 12 3 24 44 20 24 4 12 44 20 12

63

,

3226

33

,

1613

44

,

47324

2 2 2 2 3 3

cm

Wx

cm

Wx

cm

Jx

x bh x bh x bh

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Şekil 2.17

3.Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız. Birimleri

cm alınız.

x

0

18 10 6 Gı Gz xı yı x2 y2 12 6 x y F 1 2 156 8 1923 36 16

Şekil 2.18

x

0

Gı G2 G e1y e2y e2x e1x 36 15 36 8 192 2 1 F y x Şekil 2.19

3.1.Kesit basit şekillere ayrılarak teker teker alanları hesaplayınız. Birleşik kesitin ağırlık merkezinin yeri bulunuz.

3.2. e1x , e2x , e1y , e2y uzunluklarını bulunuz.

3.3. J1X , J2X , J1Y , J2Y hesaplayınız.

3.4. Steiner teoremini uygulayınız.

3.5. Mukavemet momentini hesap ediniz. ÇÖZÜM:

3.1. F1 = 16x12 = 192 cm2 F2 = 6x6 = 36 cm2

∑F= F1+F2 = 192+36 = 228 cm2

X ve Y eksenlerine göre F1 ve F2 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları

X1 = 6 cm X2 = 15 cm Y1 = 8 cm. Y2 = 3 cm n n n F F F x F x F x F

Gx

=

+_{+ +}+_......₊+ 2 1 2 2 1 1 _»

_Gx

x x

₇

_,

₄₂

_cm

36 19215 36 192 6

=

=

+₊ n n n F F F y F y F y F

Gy

=

+_{+ +}+_......₊+ 2 1 2 2 1 1 »

Gy

=

8x192₁₉₂+₊₃₆3x36

=

7

,

210

cm

Gx

=

7

,

42

cm Gy =7,21cm ağırlık merkezinin yeri

3.2.

e1x = (y1-gy) = 8 – 7,21 = 0,79 cm e2x = (gy-y2 ) = 7,21-3 = 4,21 cm

Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz 3.3. 4 1216 12 3

₄₀₉₆

_cm

Jx

=

x

=

4 12 64

₁₀₈

_cm

Jx

=

=

4 1212 16 3

₁₄₄

_cm

Jy

=

x

=

4 126

108

4

cm

Jy

=

=

3.4. JX-X = ( J1X + F1 . e1y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 ) JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 ) 4 4 126 1216 12

₁₉₂

₀

_,

₆₂

₎

₍

₃₆

₁₇

_,

₇₂

₎

₄₉₆₀

_,

₂

(

3

cm

x

Jx

x

x

x

Jx

−

=

x

+

+

+

⇒

−

=

4 126 1212 16

₁₉₂

₂

_,

₀₁

₎

₍

₃₆

₅₇

_,

₄₅

₎

₄₈₆₄

_,

₃₂

(

3 4

cm

y

Jy

x

x

y

Jy

−

=

x

+

+

+

⇒

−

=

3.5.

3

,

564

73 , 8 2 , 4960

₌

=

−

x

Wx

Wy

−

y

=

4864_10,58,32

=

459

,

76

4. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.

24

6

16

10

8

8

Şekil 2.20 no x y F ex ey ex2 _ey2 1 6 8 192 0,79 1,42 0,62 2,016 2 15 3 36 4,21 7,58 17,72 57,45