Hidraulika Komputasi

Hidraulika Komputasi

Metoda Beda Hingga

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik Universitas Gadjah Mada

Penyelesaian Pendekatan

• Karena tidak diperoleh penyelesaian analitis,

maka digunakan penyelesaian pendekatan numeris.

• Digunakan penyelesaian pendekatan numerik dengan metoda beda hingga. • Untuk dapat menggunakan metoda beda

hingga, maka domain dari persamaan dasar

4/25/2005 Djoko Luknanto 3

Diskrit versus Kontinu

• Banyak permasalahan lapangan yang

sebenarnya kontinu, namun harus dijadikan diskrit karena kondisi lapangan:

– Q sungai adalah kontinu dari satu lokasi ke lokasi yang lain, namun

– jika kita melakukan pengukuran, maka lokasi pengukuran tidak dapat kontinu sepanjang sungai, tetapi hanya dilakukan di titik-titik tertentu, karena keterbatasan dana dan kemampuan pelaksanaan.

Diskritisasi Kondisi Alam

penyelesaian

persamaan kerja/dasar yang berlaku hanya diperoleh di lokasi-lokasi (node) yang

arah x i=1 i-1 titik hitung i i+1 i=N

4/25/2005 Djoko Luknanto 5

Kisi beda hingga

x

-

t

kondisi awal kondisi batas x

t

tn+1

titik interior Data:

Dihitung: titik tinjauan – sudah dihitung

i i+1 i-1 n i f f_in₊₁ tn

titik tinjauan – akan dihitung

1 + n i f f_i+n₁+1 i=N i=1

batas hulu batas hilir

Persamaan hidrodinamika sungai

• Pada penggal sungai normal, sungai

dimodelkan dengan persamaan matematis:

– Konservasi massa – Konservasi momentum A q t A x Q = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ f S x y gA A Q x t Q _α

4/25/2005 Djoko Luknanto 7

Aplikasi pada Kisi Beda Hingga

• Pada kisi beda hingga persamaan matematis menjadi:

– Konservasi massa untuk titik i

– Konservasi momentum untuk titik i

i i i q t A x Q A = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ i f i i S x y gA A Q x t Q α

Definisi-definisi Beda Hingga

• Metoda beda hingga akan mendefinisikan

bagaimana suku-suku dalam persamaan kerja harus ditulis:

?

=

∂

∂

i

x

Q

?

=

∂

∂

i

t

A

?

=

i

q

_A

4/25/2005 Djoko Luknanto 9 ... ) ( ! ) ( ... ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( (2) ( ) 2 ) 1 ( 1 + Δ + + Δ + Δ + = Δ + i n n i i i i f x n x x f x x f x x f x x f

Deret Taylor

• Deret Taylor digunakan untuk memprediksi/ menghitung nilai sebuah fungsi di sebuah lokasi jika nilai fungsi tersebut di lokasi yang berdekatan telah diketahui.

nilai fungsi yang dicari

nilai fungsi yang telah diketahui

nilai derivatif yang akan digunakan

x x f x x f dx df x f x x x f x x f dx df x f x x x f x x f x f i i x x i i i x x i i i i i i Δ − Δ + = ⎥⎦ ⎤ Δ − Δ − Δ + = ⎥⎦ ⎤ Δ − Δ − Δ + = = = ) ( ) ( satu derajad ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 (   

Penjabaran Skema Maju

4/25/2005 Djoko Luknanto 11

Skema Maju - Ruang

• Beda hingga terhadap ruang

x

f

f

x

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

₊₁

x

f

f

x

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

+ + +11 1 i i+1 i-1 tn+1 tn Δt Δx n i f n i f+1 1 + n i f 11 + + n i f i i

x

x

x

=

−

Δ

₊₁

Skema Maju - Waktu

• Beda hingga terhadap waktu

t

f

f

t

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

+1

t

f

f

t

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

+ ₊ + + 1 1 1 1 i i+1 i-1 t_n+1 tn Δt Δx n i f n i f₊₁ 1 + n i f 1 1 + + n i f n n

t

t

t

=

−

Δ

+1

4/25/2005 Djoko Luknanto 13

Penjabaran Skema Mundur

• Dijabarkan dari Deret Taylor

menjadi ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( (2) 2 ) 1 ( 1 i i i i f x x x f x x f x x f −Δ = − Δ + Δ x x f x f dx df x f x x x x f x f dx df x f x x x x f x f x f i i x x i i i x x i i i i i i Δ − = ⎥⎦ ⎤ Δ + Δ Δ − − = ⎥⎦ ⎤ Δ + Δ Δ − − = − = = ) ( ) ( satu derajad ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 (   

Skema Mundur - Ruang

• Beda hingga terhadap ruang

x

f

f

x

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

₋₁

x

f

f

x

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

+ − + 1 1 1 i i+1 i-1 t_n+1 tn Δt Δx n i f n i f₋₁ 1 + n i f 1 1 + − n i f 1 −

−

=

Δ

x

x

_i

x

_i

4/25/2005 Djoko Luknanto 15

Skema Mundur - Waktu

• Beda hingga terhadap waktu

t

f

f

t

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

+1

t

f

f

t

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

+ ₋ − − 1 1 1 1 n n

t

t

t

=

−

Δ

+1 i i+1 i-1 tn+1 tn Δt Δx n i f n i f−1 1 + n i f 1 1 + − n i f

Skema Tengah - Ruang

• Beda hingga terhadap ruang

x

f

f

x

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

_{+ −}

2

1 1

x

f

f

x

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

+ − + +

2

1 1 1 1 1 −

−

=

Δ

x

x

_i

x

_i i i+1 i-1 t_n+1 t_n Δt Δx fin n i f−1 1 + n i f 1 1 + − n i f 11 + +n i f n i f+1

4/25/2005 Djoko Luknanto 17

Skema Tengah - Ruang

• Beda hingga terhadap ruang derivasi kedua

untuk tn_{dan t}n+1 _menjadi

( )2 1 1 1 1 2 2 2 x f f f x x f f x f f x x f x f x x f x f i i i i i i i mundur maju i Δ + − = Δ Δ − + Δ − = Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − + − + ( )2 1 1 2 2 ₂ x f f f x f _in _in _in i Δ + − = ∂ ∂ + − ( )2 1 1 1 1 1 2 2 2 x f f f x f _in _in _in i Δ + − = ∂ ∂ + − + + +

Skema Tengah - Waktu

• Beda hingga terhadap waktu

t f f t f _in _in i Δ − = ∂ ∂ + ₋ − − 1 1 1 1 n n

t

t

t

=

−

Δ

+1 i i+1 i-1 t_n+1 tn Δt Δx fin n i f−1 1 + n i f 1 1 + − n i f 1 1 + +n i f n i f₊₁ t f f t f _in _in i Δ − = ∂ ∂ +1 t f f t f _in _in i Δ − = ∂ ∂ + ₊ + + 1 1 1 1

4/25/2005 Djoko Luknanto 19

Skema Lompat Katak

• Beda hingga terhadap ruang dan waktu

x

f

f

x

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

_{+ −}

2

1 1

t

f

f

t

f

_in _in i

Δ

−

=

∂

∂

+ −

2

1 1 i i+1 i-1 t_n+1 t_n Δt Δx 1 − n i f n i f−1 1 + n i f n i f+1 tn-1

Skema DuFort Frenkel

• Skema ini menggunakan beberapa parameter dari waktu yang lalu (tn-1_{), waktu sekarang (t}n_{) dan}

diskritisasi waktu yang akan datang (tn+1_{) dengan}

kombinasi ruang yang agak rumit.

t_n+1 t_n Δt Δx n i f−1 1 + n i f n i f+1 t

( )

2 1 1 1 1 2 2 x f f f f x f _in _in _in _in i Δ + − − = ∂ ∂ + − ₋ + f f f in n i − = ∂ +1 −1

4/25/2005 Djoko Luknanto 21

( )

⎟⎟_⎠⎞+ − ⎜⎜_⎝⎛ −

( )

_Δ + ⎟⎟_⎠⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ + − = ∂ ∂ + _{+ −} − + + + 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 ) 1 ( 2 x f f f x f f f x f in n i n i n i n i n i i θ θ

Skema Crank Nicolson

• Skema ini menggunakan teknik pembobotan untuk

diskritisasi waktu sekarang (tn_{) dan diskritisasi waktu yang}

akan datang (tn+1_{) dengan cara yang lebih fleksibel yaitu}

dengan menggunakan faktor pemberat waktu (0 ≤ θ≤ 1).

• Beda hingga terhadap waktu:

t f f t f _in _in i Δ − = ∂ ∂ +1

Skema-skema lain

• Untuk menyelesaikan permasalahan

hidrodinamika dan angkutan limbah di sungai telah banyak dikembangkan skema-skema beda hingga yang handal.

• Salah satu diantaranya adalah Skema Empat

Titik Preissmann.

• Skema beda hingga yang lain tidak dijelaskan dalam tayangan ini.

4/25/2005 Djoko Luknanto 23

Skema Empat Titik Preissmann

• Salah satu skema beda hingga yang populer untuk menyelesaikan problema sungai di lapangan adalah Skema Empat Titik

Preissmann.

• Untuk menghitung nilai suatu variabel di titik-titik hitungan sepanjang sungai Preissmann menggunakan empat buah titik untuk

menghitung setiap suku pembentuk

persamaan dasar aliran tak tunak di sungai.

Skema 4 Titik Preissmann

• Empat titik yang digunakan

• 0 ≤θ ≤ 1 disebut dengan faktor pemberat waktu (θ = 1 untuk skema implisit, sedangkan θ = 0 untuk skema i i

x

x

x

=

−

Δ

₊₁ i+1 i t_n+1 tn Δt Δx n i f fin+1 1 + n i f 1 1 + +n i f

titik tinjauan – akan dihitung

n n

t

t

t

=

−

Δ

+1 θ 1−θ

4/25/2005 Djoko Luknanto 25

Skema Preissmann

• Nilai fungsi dihitung dengan cara:

misal untuk nilai Q

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

n

)

i n i i n i n i i n i n i n i n i n i n i f f f f f f f f f f f f f t x f f i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 , + + + + + + + + + + + Δ + Δ = + − + + Δ + = + − + + = Δ + θ θ θ θ θ

( )

(

)

(

n

)

i n i i i Q Q Q Q t x Q _{1 1} 2 1 2 , =θ Δ +Δ ₊ + + ₊

Skema Preissmann

• Beda hingga terhadap ruang:

misal untuk nilai Q

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n

)

i n i n i n i n i i n i n i n i n i n i f f x i f i f x f f x i f f f f x f f x f f x x f − Δ + Δ − + Δ Δ = − Δ − + Δ − − Δ + Δ = − Δ − + Δ = ∂ ∂ + + + + + + + + − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ

(

)

(

n

)

i n i Q Q x i Q i Q x x Q ₋ Δ + Δ − + Δ Δ = ∂ ∂ +1 1 1 θ

4/25/2005 Djoko Luknanto 27

Skema Preissmann

• Nilai fungsi dihitung dengan cara:

misal untuk nilai Q

(

)

(

)

i i n i n i n i n i f t f t f f t f f t t f Δ Δ + Δ Δ = − Δ + − Δ = ∂ ∂ + + + + + 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 i i Q t Q t t Q _Δ Δ + Δ Δ = ∂ ∂ + 2 1 2 1 1

Pembobotan Waktu dan Ruang

• Ide dari skema Crank-Nicolson dengan 0 ≤θ≤ 1 sebagai

‘faktor pemberat waktu,’ dapat dikembangkan secara umum untuk ‘faktor pemberat ruang’ dengan simbol 0 ≤ ψ ≤ 1.

tn+1 tn Δt Δx 1 n i f₋ fin 1 1 n i f−+ fin1 + θ 1−θ ψ 1−ψ

4/25/2005 Djoko Luknanto 29

Contoh pembobotan Skema Mundur

• Pembobotan terhadap ruang:

• Pembobotan terhadap waktu:

(₁ ) 1 (₁ ) 1 1 11 n n _{n n n n} i i i i i i i f f f f f f f x θ x θ x θ x θ x + _{+ +} − − − − ∂ _{= −} ∂ ₊ ∂ _{= − +} ∂ ∂ ∂ Δ Δ ( ) ( ) 11 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i f f f f f f f t ψ t ψ t ψ t ψ t + + − − − − − ∂ ∂ ∂ = − + = − + ∂ ∂ ∂ Δ Δ

Skema Eksplisit-Implisit

• Untuk aplikasi pembobotan terhadap waktu

dikenal tiga jenis skema yaitu

1. Skema Eksplisit yaitu skema pembobotan ruang dengan nilai θ = 0,

2. Skema Eksplisit yaitu skema pembobotan ruang dengan nilai θ = 1,

3. Skema Eksplisit-Implisit yaitu skema pembobotan ruang dengan nilai 0 < θ < 1.

4/25/2005 Djoko Luknanto 31

Skema Mundur - Eksplisit

Persamaan angkutan limbah adveksi murni:

Penyelesaian eksplisit dengan Skema Mudur

0 C C U t x ∂ ∂ + = ∂ ∂ 1 1 ₀ n n n n i i i i C C C C U t x + − − − + = Δ Δ

(

)

(

)

1 1 1 1 (1 ) n n n n i i i i n n n i i i n n i i U t C C C C x C Cr C C Cr C CrC + − − − Δ = − − Δ = − − = − +

Skema Mundur - Implisit

Persamaan angkutan limbah adveksi murni:

Penyelesaian eksplisit dengan Skema Mudur

0 C C U t x ∂ ₊ ∂ ₌ ∂ ∂ 1 1 1 1 ₀ n n n n i i i i C C C C U t x + + + − − ₊ − ₌ Δ Δ

(

)

1 1 1 1 1 1 1 (1 ) n n n n i i i i n n n i i i U t C C C C x Cr C CrC C + + + − + + − Δ + − = Δ + − =

4/25/2005 Djoko Luknanto 33

Skema Mundur: Eksplisit-Implisit

• Persamaan angkutan limbah adveksi murni:

• Penyelesaian eksplisit dengan Skema Mudur

0 C C U t x ∂ ∂ + = ∂ ∂ 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 0 n n n n i i i i n n n n i i i i C C C C t t C C C C U x x ψ ψ θ θ + + − − + + − − ⎧ ₋ − ₊ − ⎫₊ ⎨ _{Δ Δ} ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ ₋ − ₊ − ⎫₌ ⎨ _{Δ Δ} ⎬ ⎩ ⎭