BAB I PENDAHULUAN. Globalisasi telah menjadi fenomena yang tidak dapat dihindari dalam

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Globalisasi telah menjadi fenomena yang tidak dapat dihindari dalam dunia bisnis. Perekonomian dunia semakin terbuka dan mengarah pada suatu kesatuan global sehingga barang dan jasa yang diproduksi tidak hanya dikonsumsi oleh negara tersebut, namun sudah dikonsumsi oleh negara-negara lain. Globalisasi dapat didefinisikan sebagai suatu kondisi saling tergantung dalam jaringan internasional meliputi transportasi, distribusi, komunikasi, dan ekonomi yang melampaui garis batas teritorial negara (Kismono, 2001:31).

Globalisasi ekonomi membuat proses produksi dan konsumsi barang dan jasa menjadi suatu kerja internasional yang melibatkan banyak negara. Hal itu akan menyebabkan kompetisi bisnis yang semakin ketat. Berbagai macam produk dan jasa yang ditawarkan produsen kepada konsumen dan semakin banyak dijumpai di pasaran dengan berbagai macam variasinya. Variasi tersebut dapat berupa harga, bentuk, kualitas maupun pelayanan tambahan yang ditawarkan pada produk tersebut. Produsen menciptakan variasi tersebut untuk memenuhi kepuasan pelanggannya agar tetap menggunakan produk yang ditawarkan secara berkelanjutan. Langkah tersebut diambil oleh produsen supaya para pelanggannya tidak direbut oleh pesaing atau kompetitor lain yang memproduksi barang dengan

kualitas yang hampir sama ataupun lebih unggul. Oleh karena itu perusahaan harus menguasai konsep pemasaran (marketing concept) yang menjadi faktor penentu sukses atau tidaknya suatu perusahaan menjalankan usahanya.

Kegiatan pemasaran harus dilaksanakan berdasarkan konsep pemasaran yang efisien dan bertanggung jawab sosial. Konsep managerial yang dilakukan hendaknya berorientasi pada konsumen untuk mencapai tujuan jangka panjang. Untuk itu perusahaan harus mengetahui kebutuhan dan keinginan konsumen, mengembangkan kualitas produk untuk kepuasan konsumen, menciptakan produk yang mudah didapatkan oleh konsumen pada harga yang pantas dan menyediakan pelayanan pasca penjualan (after sales service).

Setiap perusahaan harus mempunyai strategi untuk mendapatkan konsumen melalui tawaran yang lebih menarik dan mempertahankan konsumennya melalui suatu jaminan kepuasan. Salah satu strategi yang dapat ditempuh perusahaan untuk mencapai tujuan tersebut adalah dengan memberikan layanan purna jual (after sales) pada konsumen yang salah satu bentuknya adalah penawaran garansi (warranty), untuk pembelian jenis produk tertentu.

Layanan purna jual adalah jasa yang ditawarkan oleh produsen kepada konsumen setelah transaksi penjualan dilakukan sebagai jaminan mutu untuk produk yang ditawarkannya. Garansi merupakan salah satu layanan purna jual. Garansi didefinisikan sebagai suatu kesepakatan kontrak yang mengharuskan produsen melakukan perbaikan (rectification) terhadap produk yang mengalami kegagalan fungsional (kegagalan yang disebabkan oleh kerusakan produksi)

dalam periode tertentu. Dengan adanya garansi akan diberikan jaminan kepada konsumen bahwa produk yang dibeli akan berfungsi sebagaimana yang dijanjikan selama periode waktu tertentu.

Kegagalan suatu produk biasanya disebabkan karena adanya kesalahan prosedur dalam proses pembuatan ataupun kesalahan sistem terhadap produk yang dipasarkan. Reliabilitas sebagai ukuran keandalan suatu produk sangat berperan dalam mencapai kepuasan pelanggan disamping ukuran lain seperti biaya pembelian produk, biaya operasional, biaya perbaikan dan sebagainya. Menjual produk dengan garansi berarti memberikan biaya tambahan bagi produsen. Biaya garansi ini merupakan bagian dari biaya penjualan produk. Besarnya estimasi biaya garansi yang tinggi akan membuat harga jual dari suatu produk menjadi tinggi sehingga harga produk menjadi tidak kompetitif, sebaliknya jika estimasi biaya garansi lebih rendah dari aktualnya maka akan mengurangi keuntungan perusahaan. Hal tersebut dikarenakan perusahaan harus menanggung beban klaim yang lebih besar. Oleh karena itu penerapan biaya garansi produk merupakan hal yang menarik untuk dipelajari, terutama bagi produsen untuk mendapatkan estimasi biaya garansi yang tepat, terutama dengan kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty. Hal itu dikarenakan kebijakan tersebut banyak dilakukan oleh perusahaan modern dan telah dikenal luas oleh masyarakat.

Kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty berarti perusahaan diharuskan melakukan perbaikan atau pergantian produk tanpa pungutan biaya apapun kepada konsumen, apabila konsumen mengajukan klaim akibat adanya kegagalan produk pada periode garansi. Pada kebijakan tersebut, setiap produk

akan memperoleh masa garansi sesuai periode yang telah ditetapkan, dengan tidak adanya pembaharuan garansi setelah terjadinya servis klaim.

Secara umum, garansi dikategorikan menjadi garansi satu dimensi dan garansi dua dimensi (Blischke & Murthy, 1994:131). Karakteristik garansi satu dimensi dinyatakan dalam suatu interval (masa garansi) yang menggambarkan variabel tunggal (umur produk). Contoh garansi jenis ini adalah garansi satu tahun untuk pembelian monitor, garansi enam bulan untuk pembelian handphone dan sebagainya. Sedangkan karakteristik garansi dua dimensi dinyatakan dalam suatu daerah kartesius dengan axis berupa variabel waktu (umur produk) dan ordinat berupa tingkat pemakaian (usage) produk atau sebaliknya. Contoh garansi jenis ini adalah garansi mesin 3 tahun atau pemakaian maksimal 45.000 km (salah satu tercapai terlebih dahulu) untuk pembelian produk sepeda motor.

Salah satu sifat produk adalah daya hidup yang semakin menurun sehingga akan terjadi kegagalan fungsional. Kegagalan fungsional akan semakin meningkat seiring dengan lamanya waktu dan pemakaian produk tersebut. Suatu perusahaan akan memberikan garansi apabila terjadi kegagalan fungsional dalam periode tertentu. Hal tersebut yang menjadi alasan distribusi bivariat pareto digunakan untuk analisis garansi ini.

Keberadaan garansi (warranty) produk, merupakan suatu fenomena menarik untuk dipelajari terutama mengenai estimasi biaya garansinya. Namun dalam menentukan biaya garansi membutuhkan persyaratan (asumsi) dari konsumen dan produsen tentang kegagalan suatu produk sehingga estimasi biaya

garansi dapat dimodelkan. Hal tersebut diharapkan dapat membantu manajemen perusahaan yang memanfaatkan layanan tersebut sebagai salah satu strategi pemasaran serta usaha untuk menarik perhatian konsumen terhadap keunggulan produknya.

B. Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam skripsi ini, terbatas pada masalah model ekspektasi biaya garansi untuk kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty dengan pendekatan dua dimensi. Pendekatan dua dimensi berarti melibatkan dua faktor untuk memodelkan garansi yaitu waktu dan pemakaian. Hal itu dikarenakan kebijakan tersebut banyak dilakukan oleh perusahaan modern dan telah dikenal luas oleh masyarakat.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, dapat dirumuskan permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini yaitu:

1. Bagaimana prosedur mendapatkan model ekspektasi biaya garansi produk dengan kebijakan non-renewing Free Replacement Warranty ?

2. Bagaimana penerapan analisis hasil perhitungan biaya garansi dengan kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty pada data klaim garansi ?

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah:

1. Menjelaskan prosedur mendapatkan model ekspektasi biaya garansi produk untuk kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty.

2. Menjelaskan analisis hasil perhitungan biaya garansi dengan kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty pada data klaim garansi.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini antara lain:

1. Bagi penulis

Bagi penulis sendiri, penulisan skripsi ini dapat memperdalam serta mengetahui penerapan ilmu peluang yang pernah didapat selama perkuliahan teori peluang dan statistika terapan.

2. Bagi para pembaca

Bagi para pembaca, skripsi ini dapat menambah wawasan para pembaca terutama mengenai model ekspektasi biaya garansi dan juga bermanfaat dalam hal menambah referensi serta sumber belajar bagi mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika.

BAB II

DASAR TEORI

Pada bagian dasar teori ini akan dibahas beberapa teori pendukung yang diperlukan untuk pemodelan ekspektasi jumlah klaim dan ekspektasi biaya garansi. Untuk dapat menganalisis dan menyelesaikan permasalahan dengan baik perlu dilakukan pengkajian beberapa teori pendukung. Materi yang akan dibahas dalam bab ini antara lain mengenai definisi dan kebijakan garansi, beberapa peubah acak kontinu berikut sifat-sifat peluangnya seperti fungsi peluang, fungsi distribusi kumulatif, nilai harapan dan variansinya. Fungsi reliabilitas, nilai kegagalan dan proses stokastik juga diperlukan dalam menganalisis dan menyelesaikan permasalahan dalam model analisis garansi (warranty).

A. Studi Garansi

Dalam penulisan skripsi ini materi paling mendasar yang akan dibahas adalah masalah studi garansi. Studi garansi ini meliputi definisi garansi, taksonomi kebijakan garansi, kegagalan produk, klaim yang diajukan konsumen, serta tipe perbaikan item penyusun produk. Adapun ulasan materinya adalah sebagai berikut:

2.1.1 Definisi Garansi

Terdapat beberapa definisi mengenai garansi, tetapi pada dasarnya memiliki ide yang sama, yaitu garansi didefinisikan sebagai suatu kesepakatan kontrak antara produsen dan konsumen, yang mengharuskan produsen melakukan perbaikan (rectification) terhadap produk yang mengalami kegagalan fungsional (kegagalan yang disebabkan oleh kerusakan produksi) dalam periode tertentu. Garansi memberikan jaminan bahwa produsen akan melakukan perbaikan jika produk mengalami kegagalan fungsional di dalam masa garansi yang telah ditentukan. (Blischke & Murthy, 1994:2).

Garansi secara tidak langsung memberikan informasi kepada konsumen mengenai kualitas produk. Bagi produsen penawaran garansi merupakan salah satu strategi marketing yang cukup handal, yaitu sebagai salah alat promosi dan alat proteksi. Bentuk promosi tersebut berupa penawaran garansi yang diharapkan dapat membantu meningkatkan penjualan suatu produk. Sebagai alat proteksi, garansi didesain sedemikian rupa sehingga dapat melindungi perusahaan dari klaim yang tidak layak.

2.1.2 Taksonomi Kebijakan Garansi

Blischke & Murthy (1994) menyusun suatu taksonomi kebijakan garansi yang bertujuan untuk memberikan kerangka bagi pengaturan berbagai kebijakan garansi yang selama ini diterapkan. Taksonomi garansi dapat dilihat pada gambar 1.

Kebijakan

pertimbangan apakah kebijakan tersebut melibatkan adanya faktor pengembangan produk setelah penjualan ataukah tidak.

Kebijakan garansi diklasifikasikan sebagai berikut:

Kebijakan yang melibat

diterapkan untuk peralatan dengan masa hidup yang relatif lama seperti peralatan militer dan pesawat terbang. Perusahaan diharuskan melakukan pengembangan produk jika perfomansi produk terseb

standar yang ditentukan dalam periode tertentu.

Nonrenewing

Sederhana (A1) Kombinasi (A2)

garansi dibedakan menjadi dua kelompok berdasarkan pertimbangan apakah kebijakan tersebut melibatkan adanya faktor pengembangan produk setelah penjualan ataukah tidak.

Kebijakan garansi diklasifikasikan sebagai berikut:

Kebijakan yang melibatkan pengembangan produk (C) biasanya diterapkan untuk peralatan dengan masa hidup yang relatif lama seperti peralatan militer dan pesawat terbang. Perusahaan diharuskan melakukan pengembangan produk jika perfomansi produk tersebut gagal memenuhi standar yang ditentukan dalam periode tertentu.

Kebijakan Garansi

Tidak Melibatkan Pengembangan

Produk

Item Tunggal (A)

Kombinasi (A2)

Renewing

Sederhana (A3) Kombinasi (A4)

Grup Item (B)

Sederhana (B1) Melibatkan Pengembangan

Produk (C)

Gambar . 1 Taksonomi Kebijakan Garansi i dua kelompok berdasarkan pertimbangan apakah kebijakan tersebut melibatkan adanya faktor

kan pengembangan produk (C) biasanya diterapkan untuk peralatan dengan masa hidup yang relatif lama seperti peralatan militer dan pesawat terbang. Perusahaan diharuskan melakukan ut gagal memenuhi Grup Item (B) Kombinasi (B2) Melibatkan Pengembangan Produk (C)

Kebijakan garansi item tunggal (A) diterapkan untuk produk yang dijual secara tunggal seperti motor, televisi dan sebagainya. Sedangkan kebijakan garansi untuk grup item (B) diterapkan jika produk yang dijual berupa unit yang terdiri dari sejumlah (misal n) item sehingga garansi berlaku untuk keseluruhan item dalam unit tersebut (dengan batas masa garansi nW dan nU). Kebijakan garansi untuk grup item diterapkan pada peralatan kemiliteran dan peralatan penerbangan komersil yang dibeli dalam jumlah banyak. Contohnya modul elektronik pada pesawat kemersial dan bor keping pada industri pertambangan.

Kebijakan garansi item tunggal dibedakan menjadi kebijakan item tunggal renewing dan nonrenewing. Perbedaan keduanya terletak pada ada tidaknya pembaharuan garansi setelah terjadinya servis klaim. Misalkan W dan U adalah batas masa garansi yang berturut-turut menyatakan umur dan pemakaian produk. Pada kebijakan renewing, jika produk gagal pada saat umur dan pemakaian produk masing-masing mencapai x dan y dalam daerah garansi [0,W)×[0,U), maka produk telah menempuh servis klaim akan memperoleh masa garansi yang sama seperti pada saat pembelian yaitu [x,x+W)×[y,y+U). Pada kebijakan nonrenewing, produk yang telah menempuh servis klaim akan memperoleh masa garansi dengan periode [x,W)×[y,U), yaitu sisa masa garansi awal.

Kebijakan renewing dan nonrenewing masing-masing dikelompokkan menjadi dua, yaitu kebijakan sederhana (A1 dan A3) dan kombinasi (A2 dan A4). Kebijakan renewing dan nonrenewing sederhana meliputi

kebijakan Free Replacement Warranty (FRW) dan Pro Rata Warranty (PRW). Kebijakan kombinasi merupakan kebijakan sederhana dengan beberapa keistimewaan atau dapat diartikan sebagai bentuk kombinasi dari dua atau lebih kebijakan sederhana.

Kebijakan Free Replacement Warranty berarti perusahaan diharuskan melakukan perbaikan atau pergantian produk tanpa pungutan biaya apapun kepada konsumen, apabila konsumen mengajukan klaim akibat adanya kegagalan produk pada periode garansi. Sedangkan kebijakan Pro Rata Warranty berarti perusahaan diharuskan membayar sejumlah uang kepada konsumen jika terjadi kegagalan produk dalam periode garansi.

Jika terjadi kegagalan fungsional produk dalam interval waktu [0,W)×[0,U), penerapan FRW mengharuskan perusahaan melakukan perbaikan atau pergantian produk tanpa pungutan biaya pada konsumen. Dengan penerapan PRW, perusahaan diharuskan membayar sejumlah uang kepada konsumen jika terjadi kegagalan dalam periode garansi. Besarnya uang pengembalian tergantung pada nilai umur dan pemakaian produk yang bersangkutan.

Semua kebijakan tersebut diatas secara umum, garansi dikategorikan menjadi garansi satu dimensi dan garansi dua dimensi (Blischke & Murthy, 1994:131). Karakteristik garansi satu dimensi dinyatakan dalam suatu interval (masa garansi) yang menggambarkan variabel tunggal (waktu atau tingkat pemakaian). Contoh garansi jenis ini adalah garansi

satu tahun untuk pembelian monitor, garansi enam bulan untuk pembelian handphone dan sebagainya. Karakteristik garansi dua dimensi dinyatakan dalam suatu daerah kartesius dengan axis berupa variabel waktu (umur produk) dan ordinat berupa tingkat pemakaian (usage) produk atau sebaliknya. Contoh garansi jenis ini adalah garansi mesin 3 tahun atau pemakaian maksimal 45.000 km (salah satu tercapai terlebih dahulu) untuk pembelian produk sepeda motor.

2.1.3 Biaya Garansi

Setiap terjadi pengajuan klaim yang dikarenakan kualitas produk tidak memuaskan atau tidak sesuai yang dipersyaratkan, maka produsen akan mengeluarkan biaya garansi. Jika klaim yang diajukan tidak valid, biaya yang dikeluarkan hanyalah biaya administrasi. Klaim dikatakan tidak layak jika masa garansinya telah habis (expired) atau kegagalan terjadi akibat kesalahan konsumen. Jika klaim yang diajukan valid, ada beberapa biaya tambahan yang harus dikeluarkan produsen. Biaya tambahan tersebut meliputi biaya tenaga kerja (labor cost) dan biaya pergantian komponen (replacement cost). Untuk kasus FRW (Free Replacement Warranty), produsen menyediakan pergantian tanpa adanya biaya pergantian yang dipungut dari konsumen.

Secara umum total biaya garansi yang harus dikeluarkan produsen untuk setiap unit penjualan tidak dapat diperkirakan (unpredictable). Hal

ini disebabkan kegagalan produk bersifat acak dan cara pemakaian produk oleh masing-masing konsumen berbeda secara signifikan.

Biaya garansi sangat penting bagi produsen untuk beberapa alasan. Pertama, biaya garansi merupakan bagian dari harga jual (dimasukkan ke dalam harga jual), oleh karena itu diperlukan estimasi yang akurat. Kedua, pengetahuan mengenai biaya garansi membantu produsen untuk membandingkan dan kemudian memilih kebijakan garansi yang terbaik.

2.1.4 Tipe Perbaikan Item

Jika suatu produk repairable gagal, maka perusahaan akan melakukan perbaikan sampai produk perbaikan sampai produk tersebut dapat berfungsi kembali sebagaimana mestinya. Kondisi produk setelah perbaikan akan berbeda, tergantung pada jenis perbaikan yang dilakukan. Beberapa tipe perbaikan yang biasa dilakukan oleh perusahaan antara lain adalah:

1. Good As New (Barang seperti baru)

Kondisi produk setelah diperbaiki diasumsikan sebaik kondisi produk baru (pada saat pembelian). Dengan kata lain, distribusi waktu kegagalan produk yang telah diperbaiki akan sama dengan distribusi waktu kegagalan produk baru.

2. Minimal Repair (Perbaikan Minimal)

Jenis rektifikasi ini cocok diterapkan untuk yang terdiri dari beberapa (misalkan n) komponen. Jika komponen yang gagal telah diperbaiki, maka produk (secara keseluruhan) dapat berfungsi kembali. Karena umur komponen penyusun produk sesaat sebelum gagal adalah sama, misal Xi=x(i=1,n), maka produk yang telah diperbaiki secara keseluruhan juga akan berumur x. Oleh sebab itu dengan minimal repair, failure rate produk yang telah diperbaiki akan sama dengan failure rate produk yang baru.

3. Different from New (Berbeda dengan yang baru)

Jika suatu produk gagal, maka akan dilakukan pemeriksaan pada keseluruhan komponen secara teliti. Akibatnya, tidak hanya komponen gagal saja yang diperbaiki, tetapi juga komponen lain yang mengalami penurunan kualitas fungsional akibat kegagalan produk secara keseluruhan. Hal ini menyebabkan distribusi waktu kegagalan produk yang telah diperbaiki F1(x) akan berbeda dengan distribusi waktu kegagalan produk awal F(x).

B. Peubah Acak dan Sifat-Sifat Peluangnya

Dalam penulisan skripsi ini, untuk memodelkan ekspektasi biaya garansi, diperlukan pula beberapa materi mengenai peubah acak dan sifat-sifatnya. Adapun ulasan materinya adalah sebagai berikut:

2.2.1 Peubah Acak (Variabel Random)

Untuk keperluan statistik, seringkali hasil suatu percobaan dinyatakan dalam bilangan riil. Hasil percobaan ini dapat dinyatakan ke dalam bilangan riil dengan menggunakan suatu fungsi yang disebut sebagai peubah acak. Dalam ilmu peluang, peubah acak seringkali dilambangkan dengan huruf besar seperti X, adapun nilai-nilai yang ada dalam X dilambangkan dengan huruf kecil misalkan x.

Definisi 2.2.1 Peubah Acak/ Random

Variabel acak X adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada ruang sampel yang menghubungkan bilangan real X(e) = x dengan setiap elemen dalam ruang sampel (Bain & Englehardth, 1992 : 65).

Dalam ilmu peluang, peubah acak dibedakan menjadi 2 macam, yakni peubah acak diskret dan peubah acak kontinu. Jika nilai suatu peubah acak berhingga atau tidak berhingga akan tetapi nilainya sama dengan suatu bilangan cacah maka peubah acak tersebut disebut sebagai peubah acak diskret, sedangkan jika nilai peubah acak tersebut berupa bilangan yang tak terhingga banyaknya akan tetapi sama banyak dengan banyaknya titik-titik pada sebuah ruas garis maka peubah acak tersebut disebut sebagai peubah acak kontinu (Bain &Engelhardt, 1992: 53). Untuk pembahasan masalah garansi ini digunakan variabel acak kontinu. Hal ini dikarenakan analisis garansi ini menggunakan peubah acak yang merepresentasikan waktu dan pemakain produk dan nilai dari peubah acak tersebut berupa

bilangan yang tak terhingga banyaknya akan tetapi sama banyak dengan banyaknya titik-titik pada sebuah ruas garis.

2.2.2 Fungsi Padat Peluang

Untuk menghitung nilai peluang dari suatu peubah acak, seringkali digunakan sebuah tabel atau rumus tertentu. Fungsi peluang dari peubah acak diskret disebut sebagai fungsi peluang diskret, sedangkan fungsi peluang pada peubah acak kontinu disebut fungsi padat peluang (Walpole, 1995: 116).

Jika X merupakan peubah acak kontinu, maka f(x) disebut fungsi padat peluang dari peubah acak X, jika memenuhi

a. f(x)
0, untuk semua x  R b.   1  ∞ c.       _

(Walpole & Myers, 1995 : 60).

Selain fungsi peluang dan fungsi padat peluang ada juga yang disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif, yakni fungsi F(x) dari suatu peubah acak X dengan definisi berikut:

Definisi 2.2.2 Fungsi Distribusi Kumulatif

Untuk      , untuk setiap xX dan X adalah suatu peubah acak, maka fungsi distribusi kumulatif didefinisikan sebagai berikut:

Jika f(x) merupakan fungsi padat peluang dari X peubah acak kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif (FDK) dari X dapat dinyatakan sebagai

  

∞ 2.2.1 (Bain &Engelhardt, 1992: 64).

Dalam ilmu peluang, misalkan X adalah suatu peubah acak, maka rata-rata dari X disebut sebagai Nilai Harapan atau Ekspektasi dari X dan dilambangkan dengan E(X).

Definisi 2.2.3 : Ekspektasi Variabel Acak

Jika X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi padat peluang f(x), maka nilai ekspektasi dari X, E(X), didefinisikan sebagai

  ∞ ∞

(Bain &Engelhardt, 1992:67).

Jika X variabel acak dengan fungsi padat peluang f(x), a dan b suatu konstanta, g(x) dan f(x) fungsi riil dengan domain elemen dari X, maka

   !     !∞ ∞        ∞ ∞ ∞ ∞ !   ! 2.2.2

Selain nilai harapan, sifat peluang berikutnya adalah variansi. Sifat peluang ini menjelaskan tingkat keragaman nilai dari peubah acak yang diteliti. Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema untuk menghitung nilai variansi dari suatu peubah acak.

Definisi 2.2.4 : Variansi Peubah Acak

Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan Nilai Harapan " maka variansi dari peubah acak  didefinisikan sebagai:

#$ _{ % "}$_!

Teorema 2.2.4 (Walpole & Myers, 1995:97)

Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan nilai harapan ", maka variansi dari peubah acak X akan memenuhi persamaan berikut : #$ _$_{% "}$_!

$_{ % }$

Bukti:

Menurut Definisi 2.2.4, variansi dari suatu peubah acak X adalah #$_{, dengan :} #$ _{ % "}$_! $_{% 2"  "}$ _! $_{ % 2"  "}$ $_{ % 2"}$_"$ _$_{ % "}$ $_{ % }$

Definisi 2.2.4 Distribusi Bersyarat

Jika X dan Y adalah variabel acak dengan fungsi padat peluang masing-masing f(x) dan g(y), maka fungsi padat peluang bersyarat X jika diketahui Y,sdidefinisikanssebagai,

|- , -_{- , - . 0 2.2.3}

(Bain &Engelhardt, 1992:153).

Jika 1  , --_∞∞ dan 2-  , -_∞∞ berturut-turut menyatakan fungsi padat peluang marjinal dari X dan Y, maka 34| 5dapat dinyatakan dengan

 4| 1   --|1 -      -, -_ 1  -     -, --     -2-- 4   Sehingga dapat disimpulkan bahwa

C. Distribusi Pareto

Menurut Blisckhe & Murthy (1994:76) untuk untuk merumuskan kegagalan suatu produk biasanya akan mengikuti beberapa distribusi tertentu salah satunya adalah distribusi Pareto.

Salah satu sifat produk adalah daya hidup yang semakin menurun sehingga akan terjadi kegagalan fungsional. Kegagalan fungsional akan semakin meningkat seiring dengan lamanya penggunaan produk tersebut. Suatu perusahaan akan memberikan garansi apabila terjadi kegagalan fungsional dalam periode tertentu. Hal tersebut yang menjadi alasan distribusi pareto digunakan untuk analisis garansi ini.

Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi Pareto dengan parameter 7 8 0 dan  8 0, (Bain & Engelhardt, 1992:76) jika memiliki fungsi densitas peluang,

; 7;  :7 1 7  ;<,  8 0

0,  yang lain @ 2.3.1 dengan

 _{ % 1 ,  8 1 dan}7

AB _{ % 1}7$_$_{ % 2 ,  8 2}

Untuk pengujian data apakah data mengikuti distribusi tertentu atau tidak, dalam hal ini yang dimaksud adalah distribusi pareto, Kolmogorov-Smirnov

test dapat digunakan untuk mengujinya. Tes Kolmogorov-Smirnov adalah suatu tes goodness of fit, artinya yang diperhatikan adalah tingkat kesesuaian antara distribusi serangkaian harga sampel dengan suatu distribusi teoritis tertentu. Adapun hipotesisnya sebagai berikut:

1. Hipotesis

Ho : data mengikuti distribusi pareto

Ha : data tidak mengikuti distribusi pareto

2. Taraf signifikansi C

C dapat kita pilih 0,05, 0,025 ataupun 0,01

3. Statistik Uji

Tes Kolmogorov-Smirnov, tes ini mengikuti distribusi normal. Statistik ujinya adalah,

D max_<GHGI|JH % H|

Dengan J_H adalah fungsi distribusi frekuensi kumulatif sampel dan H adalah fungsi distribusi frekuensi kumulatif pareto serta n adalah banyaknya data.

4. Kriteria keputusan

Ho ditolak apabila nilai D lebih besar daripada nilai kritis tabel Kolmogorov-Smirnov pada ukuran sampel n dan α atau nilai p-value < α. Untuk langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov akan disajikan pada lampiran 12.

2.3.2 Distribusi Bivariat Pareto

Salah satu sifat produk adalah daya hidup yang semakin menurun sehingga akan terjadi kegagalan fungsional. Kegagalan fungsional akan semakin meningkat seiring dengan lamanya waktu dan pemakaian produk tersebut. Suatu perusahaan akan memberikan garansi apabila terjadi kegagalan fungsional dalam periode tertentu. Hal tersebut yang menjadi alasan distribusi bivariat pareto digunakan untuk analisis garansi ini.

Analisis garansi dua dimensi menggunakan dua variabel yang masing-masing berperan untuk merepresentasikan waktu dan penggunaan. Untuk itu perlu dibahas distribusi bivariat pareto. Adapun ulasannya sebagai berikut:

Fungsi padat peluang f(x,y) pada peubah acak X, Y dengan X,Y saling bebas adalah, , -   1₇ < 7$ K 1 7<  1 7$- % 1L ;$ 2.3.2 dengan a >1, x >0, 7_<>0, y >0 dan 7_$>0. Fungsi padat peluang marjinal dari X adalah:

1  , -- M   1₇ < 7$ K 1 7<  1 7$- % 1L ;$ - M %₇ < K 1 7<  1 7$- % 1L ;< N∞ 0@ ₇ < K 1 7< % 1L ;<

Sehingga Ekspektasi X adalah

  

M 1 %1 7<

 % 1 ,  8 1 2.3.3

dan fungsi padat peluang marjinal dari Y adalah:

2-  , - M   1₇ < 7$ K 1 7<  1 7$- % 1L ;$  M

Sehingga Ekspektasi Y adalah

4  -

M 2--

%1 7$

 % 1 ,  8 1 2.3.4

Maka fungsi padat peluang bersyarat X jika diketahui Y adalah,

-| , -_ 1   1 71 72 P 1 71  172- % 1Q %2  71 P 1 71 % 1Q %1   1 P 1 71  172- % 1Q %2 7$P₇1₁ % 1Q %1

Dengan demikian ekspektasi bersyaratnya adalah, 4|   --|- M    1 P 1 71  172- % 1Q %2 7$P₇1₁ % 1Q %1 M - 4|  7_{ K}$ ₇1 < % 1L 2.3.5 (Blischke & Murthy, 1994: 76).

D. Transformasi Laplace

Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan dalam proses renewal dan ekspektasi jumlah kegagalan produk dalam kasus garansi dua dimensi maka diperlukan transformasi laplace.

Definisi 2.4.1 Transformasi Laplace

Misalkan F(t) adalah suatu fungsi dari t yang tertentu untuk t>0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinyatakan sebagai,

STU J

 V WX_

M 2.4.1 (Silaban & Waspakrik, 1999: 1).

dan jika STU J atau transformasi Laplace suatu fungsi  adalah J, maka F(t) disebut transformasi Laplace Invers dari f(s) yang dinyatakan sebagai,

 S< _{TJU 2.4.2} (Silaban & Waspakrik, 1999:42).

Definisi 2.4.2 Fungsi Kontinu Sebagian-Sebagian

Suatu fungsi dikatakan kontinu secara sebagian-sebagian dalam sutu selang α ≤ t ≤ β, jika selang tersebut dapat dibagi-bagi kedalam sejumlah berhingga selang, dalam setiap selang ini fungsinya kontinu (Silaban & Waspakrik, 1999:2).

Jika F(t) adalah kontinu sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0 ≤ t ≤ N dan eksponensial berorde γ, maka transformasi Laplace-nya ada untuk semua s > γ. (Syarat Cukup Transformasi Laplace).

Definisi 2.4.3 Integral Konvolusi

Jika f(t) dan g(t) merupakan dua buah fungsi yang kontinu dalam interval [0,∞), maka integral konvolusi dari kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai,

 Y    % ZZZ  [ % [[X M

X

M 2.4.3

Sifat Konvolusi Laplace

Jika STU J dan ST\U \J, maka

ST Y \U J Y \J 2.4.4 (Silaban & Waspakrik, 1999: 45).

Definisi 2.4.4 Integral Jenis Konvolusi

4    ] % [4[[_MX adalah persamaan integral pada konvolusi dan dapat dituliskan sebagai 4   ] Y 4.

Penyelesaian persamaan tersebut dapat dilakukan dengan mengambil transformasi Laplace kedua ruas dengan menganggap STU J dan ST]U ]J sedemikian sehingga diperoleh,

ST4U S T  ] Y 4U

^ 4J J  ]J4J

^ 4J _{1 % ]J} J

^ 4 S < _{T4JU 2.4.5}

E. Pemodelan Waktu Kegagalan Awal Item

Untuk mendapatkan estimasi biaya garansi yang baik dibutuhkan model yang dapat merepresentasikan kegagalan item dengan baik. Kegagalan awal item (first time to failure) mempunyai andil yang cukup mendasar sehingga analisis garansi dapat dilakukan.

Definisi 2.5.1 Perumusan untuk Kegagalan Satu Dimensi

Misalkan peubah acak _< menyatakan umur item pada saat terjadi kegagalan awal (first time to failure). _< dimodelkan sebagai variabel acak dengan fungsi distribusi tertentu.

Fungsi reliabilitas suatu item (peluang suatu item tetap bekerja dengan baik selama waktu x) dapat dinyatakan dengan,

_ ` 1 %  _< 8   

 2.5.1 dengan  _<  adalah fungsi distribusi kumulatif waktu kegagalan awal (Blischke & Murthy, 1994: 75).

Definisi 2.5.2 Reliabilitas Bersyarat

Reliabilitas dari suatu item dapat digunakan untuk menggambarkan seberapa besar peluang item tersebut untuk tetap berfungsi baik pada saat t atau minimal pada saat t.

_| `| `  <sub>` ,</sub> ` 8 0

Probabilitas item gagal dalam interval waktu [x,x+t), jika diketahui item tersebut tidak gagal pada saat x adalah:

| 1 % `|    % <sub>`</sub> 2.5.2

(Blischke & Murthy, 1994: 66).

Definisi 2.5.3 Fungsi Hazard

Fungsi hazard dari suatu item dapat diinterpretasikan sebagai besarnya laju/kecepatan suatu item mengalami kegagalan pada saat t. Fungsi hazard adalah probabilitas bersyarat bahwa suatu benda akan mati pada interval ,   ∆.

Fungsi hazard /  yang bersesuaian dengan  didefinisikan sebagai,

 lim_IbM|_

lim_IbM   % _`

 _`

_{_} %__{_ 2.5.3}c

Hubungan antara , ,  dan d dengan, d merupakan simbol dari fungsi hazard kumulatif, dapat dinyatakan dalam persamaan berikut, d   M   % %__{_ }c M  M d %ln _ % ln _0! d %ln _ % ln 1! %d ln _ _ Ve Dengan demikian _ Vf g%   M h  1 % Vf g%   M h 2.5.4  _{ Vf g%  } M h 2.5.5

F. Perumusan untuk Kegagalan Dua Dimensi

Perumusan kegagalan item untuk garansi dua dimensi pada dasarnya sama dengan perumusan untuk garansi satu dimensi, hanya saja variabel yang berperan adalah variabel umur  dan pemakaian 4.

Misal , - menyatakan umur dan usage (penggunaan) item pada saat terjadi kegagalan awal _< dan 4_< dimodelkan sebagai variabel acak nonnegatif dengan fungsi distribusi bersama , -.

Fungsi reliabilitas suatu item dapat dinyatakan dengan, _, - `, - 1 % , - 1 %   J, J  i    J, J  i 2.6.9 dengan `, - _< 8 , 4_< 8 - adalah fungsi distribusi kumulatif bersama kegagalan awal.

Berdasarkan persamaan (2.5.3) maka fungsi hazard / nilai kegagalan (hazard rate) yang bersesuaian dengan , - didefinisikan sebagai,

, - _{`, -}, -

hubungan antara , -, , -, , - dan d dapat dinyatakan dalam persamaan berikut: d, -   [, Z[Z M i M   [, Z[Z %  __{_[, Z [Z}c[, Z M i M  M i M d, - % ln _, - _, - Ve,i Dengan demikian, _, - exp g%   [, Z[Z M i M h 2.6.11 , - 1 % exp g%   [, Z[Z M i M h 2.6.12 , - $_{- , - exp g%   [, Z[Z}, -  M i M h 2.6.13

Karena untuk menganalisis tentang garansi dengan distribusi pareto maka akan ditentukan fungsi hazard dari distribusi bivariat Pareto

, -   1₇ < 7$ K 1 7<  1 7$- % 1L ;$ dengan a >1, x >0, 7_<>0, y >0 dan 7_$>0.

, -   ₇  1 1 72 K 1 71[  1 72Z % 1L %2   i  [Z  m%₇ $K 1 71[  1 72Z % 1L %2 N  %∞@n i  Z  %   7$K 1 71  1 72Z % 1L %2 Z , - K₇1 1  1 72Z % 1L % o -%∞@ K₇1 1  1 72- % 1L % % lim_pb K₇1 1  1 72Z % 1L % K₇1 1  1 72- % 1L % % 0 K₇1 1  1 72- % 1L % 2.6.14 _, - `, - 1 % , - 1 % K<sub>7</sub>1 1  1 72- % 1L % , - <sub>`, -</sub>, -   1 71 72 P 1 71  172- % 1Q %2 1 % P₇1 1  172- % 1Q % 2.6.15

G. Proses Stokastik untuk Pemodelan Garansi

Dalam penulisan skripsi ini, selain materi peluang, transformasi laplace diperlukan pula beberapa materi mengenai proses stokastik. Adapun ulasan materinya adalah sebagai berikut:

Definisi 2.7.1 Proses Stokastik

Proses stokastik dapat dipandang sebagai kumpulan variabel acak berindeks {Xt}, t Є T, dengan T adalah himpunan indeks. Untuk setiap t Є T,

{Xt} adalah suatu variabel acak yang menyatakan keadaan suatu proses pada

saat t. Suatu proses stokastik {Xt}, t Є T disebut proses stokastik diskret jika T

(Blischke & Murthy, 1994: 94).

Definisi 2.7.2 Point Processes

Point Processes merupakan proses stokastik kontinu yang dinyatakan oleh kejadian yang muncul secara acak selama waktu (kontinu) tertentu (Blischke & Murthy, 1994: 94).

Definisi 2.7.3 Proses Berhitung (Counting Processes)

Suatu Point Processes r, 

_≥

0 disebut Counting Processe atau proses berhitung, jika r menyatakan jumlah kejadian yang terjadi sampai waktu t. Beberapa sifat penting r sebagai berikut,

a. r ≥ 0 (diasumsikan untuk  0, r0 0) b. r bernilai integer

c. Jika J  , maka rJ  r

d. Untuk J  , r % rJ merupakan banyaknya kejadian dalam interval waktu [s,t].

(Blischke & Murthy, 1994: 94).

H. Renewal Processes / Proses Renewal

Proses Renewal dalam analisis garansi ini sangat berguna untuk memodelkan kegiatan perbaikan terhadap suatu item yang dapat mempengaruhi performa sistem penyusun produk secara keseluruhan.

Definisi 2.8.1 Ordinary Renewal Processes

Kegiatan mengamati jumlah peristiwa yang terjadi selama [0,t) disebut Counting Processes. Counting Processes (N(t), t

≥

0) adalah suatu Ordinary Renewal Processes jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

a) r0) 0

b) Interval waktu antar kejadian ke-(j-1) dan kejadian ke-j merupakan suatu urutan variabel acak yang independen dan berdistribusi identik dengan fungsi distribusi )

c) r) sup Tu: wu  U, dengan w_I adalah waktu terjadinya renewal ke-n

S0 = 0 dan wI ∑ IHyM H, u
1

Jika kegagalan awal terjadi pada saat Xt = x, maka secara matematis ekspektasi jumlah renewal, dilambangkan 3r)5 atau z) dalam interval [0,t) dapat dituliskan sebagai:

3r|X )5 {_{1  3r  )5,   }0 ,  8  @ (Blischke & Murthy, 1994: 102).

Dengan penurunan persamaan (2.2.4) tentang sifat probabilitas bersyarat maka diperoleh 3r)5  P3r|X )5Q 3r)5 z)  3r|X )5) X M  P1  3r % )5Q )X M )   z % ))X M z) )   z % ))X M 2.8.1) Persamaan di atas disebut sebagai persamaan renewal yang merupakan integral jenis konvolusi pada persamaan (2.4.5) dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut:

z) )   z % ))X M

)   z % ))X M

)  z) Y )

STz)U ST)U  STz) Y )U

zJ) J)  zJ)J)

zJ) _{1 % J)}J)

Sehingga diperoleh

zJ) S<_{TzJ)U 2.8.2)}

Ekspektasi kuadrat dari jumlah renewal dinyatakan sebagai, 3r$_{)5 z}$₎  3r$_| < )5) X M  P1  23r % )5Q  3r % )5)X M )  2  z % ))   zX M X M  % ) $_) z$_{) )  2z)}Y_{)  z}$_{)) 2.8.3)}

zJ$_{) J)  2zJ)J)  zJ}$_)J) 31 % J)5zJ) J)  2zJ)J) zJ$₎ J)  2zJ)J) 1 % J) J)  2 J)_{1 % J)}1 % J) J) zJ$₎ J) % J)J)  2J)J) 31 % J)5$ sehingga diperoleh z$_{) S}<_TzJ$_{)U 2.8.4)}

I. Ekspektasi Jumlah Renewal

Selain proses renewal, dalam penulisan skripsi ini juga dibahas tentang ekspektasi jumlah renewal. Adapun ulasan materinya adalah sebagai berikut:

Definisi 2.9.1 Ordinary Renewal Dua Dimensi

Counting process Tr, -), , -)U  __;$ adalah suatu ordinary renewal process dua dimensi. Dengan __;$ adalah bilangan riil positif dalam kuadran positif bidang dua dimensi, jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

2. T_<, 4_<), }
1U adalah urutan variabel acak yang independen dan berdistribusi identik dengan fungsi distribusi bersama , -), dengan , -) <  , 4<  -).

3. r, -) max~u: w_I  , w_I  -€ , dengan w_M 0, w_I ∑ I_{Hy< <} dan wI ∑ 4IHy< <.

(Blische & Murthy, 1994:117).

Ekspektasi jumlah renewal pada garansi dua dimensi z, - pada dasarnya sama dengan penurunan z pada persamaan (2.8.2). Jika X dan Y berturut-turut menyatakan variabel acak untuk umur dan pemakaian produk, maka z, - adalah ekspektasi jumlah renewal yang terjadi pada daerah 0,  ‚0, 4. Jika kegagalan awal terjadi pada saat _< [ dan 4< Z maka dengan sifat probabilitas bersyarat (persamaan (2.2.4)) maka ekspektasi jumlah renewal dinyatakan sebagai :

3r, -|[, Z5 g1  3r % [, - % Z5, [  , Z  - _{0 , [ 8 , Z 8 -} @

(Blischke & Murthy, 1994: 120). Maka, z, - 3r, -|[, Z5   3r, -|[, Z5i M  M [, Z   P1  3r % [, - % Z5Qi M  M [, Z

z, -) , -)    z % [, - % Z)[, Z) 2.9.1)i M

 M

z, -) dikenal sebagai fungsi renewal dua dimensi yang nantinya akan sangat berperan penting dalam analisis biaya garansi.

J. Metode Penduga Kemungkinan Maksimum

Dalam pembahasan skripsi ini metode penduga maksimum/maximum likelihood estimator (MLE) akan digunakan untuk mengestimasi parameter yang bersesuaian dengan fungsi kegagalan. Metode MLE ini akan digunakan model ekspektasi biaya garansi.

Definisi 2.10.1 Maksimum Likelihood Estimator

Misal ƒ7) _<, _$, … , _I, 7) 7…Ω merupakan fungsi densitas peluang bersama dari _<, _$, … , _I. Untuk sampel acak _<, _$, … , _I, nilai 7† pada Ω yang memaksimumkan ƒ7) disebut Maximum Likelihood Estimator (MLE) dari θ. Jadi 7† adalah nilai dari θ yang memenuhi :

<, $, … , I; θ) max_‡ˆΩ <, $, … , I; θ 2.10.1

(Bain & Engelhandt, 1992: 293).

Jika Ω suatu interval terbuka dan jika ƒ7 mempunyai turunan dan diasumsikan mempunyai nilai maksimum pada Ω.

ƒ37†5 ‰ 3H|7†5 I

Hy<

maka MLE adalah penyelesaian dari persamaan ƒ37†5 7< ƒ37†5 7$ Š ƒ37†5 7I 0 2.10.2) ƒ7†) adalah fungsi monoton naik, jika 7† memaksimumkan fungsi likelihood, ƒ7), maka 7† juga akan memaksimumkan fungsi log-likelihood, ‹u Pƒ37† 5Q. Sehingga diperoleh :

 ‹u Pƒ37†5Q 7<  ‹u Pƒ37†5Q 7$ Š  ‹u Pƒ37†5Q 7I 0 2.10.3) dengan syarat cukup:

d Œ    Ž $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<$  $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<7$ … .    $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<7‘ … …  $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<7‘  $_{‹u Pƒ37†5Q} 7‘$ ’ “ “ “ ”

merupakan matrik definit negatif untuk 7†. Untuk menentukan syarat cukup fungsi log-lilelihood digunakan definisi marik definit negatif. Adapun definisinya sebagai berikut,

Definisi 2.10.2 Matrik definit negatif

Matrik simetrik A dan bentuk kuadrat •–—• disebut matrik definit negatif jika •–—•  0 untuk • . 0 dan hasil kali tiap submatrik utamanya adalah negatif (Anton,1987:320).

BAB III

PEMBAHASAN

A. Garansi dengan kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty

Kebijakan garansi yang banyak diterapkan oleh perusahaan modern adalah kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty. Kebijakan garansi ini sebenarnya cukup dikenal oleh masyarakat luas, tetapi sedikit sekali yang mengetahui akan pendefinisian salah satu layanan purna jual ini. Penerapan Free Replacement Warranty (FRW) yang banyak diketahui oleh konsumen seperti, pembelian printer dengan garansi enam bulan, garansi 3 tahun atau pemakaian 45.000 km untuk pembelian sepeda motor, garansi 1 tahun untuk pembelian handphone dan sebagainya.

Kebijakan nonrenewing Free Replacement Warranty mengharuskan suatu perusahaan melakukan rektifikasi berupa perbaikan (reparation) atau penggantian produk (replacement) tanpa adanya pungutan biaya yang dikeluarkan oleh konsumen. Biaya yang ditanggung oleh perusahaan meliputi biaya tenaga kerja (labor cost), biaya pergantian komponen (replacement cost) dan biaya garansi itu sendiri.

Rektifikasi komponen dari suatu produk dalam kebijakan garansi ini akan dilakukan dengan kebijakan polis minimum. Polis minimum merupakan polis standar yang banyak digunakan oleh perusahaan untuk penawaran garansi. Polis

ini dilakukan dengan syarat jika terjadi kegagalan fungsional (klaim) sampai batas waktu W (umur produk) atau pemakaian U yang telah ditetapkan (mana yang terpenuhi lebih dahulu). Dewasa ini, perusahaan mulai menerapkan polis maksimum yang merupakan pengembangan dari polis minimum. Polis maksimum dilakukan dengan syarat jika terjadi kegagalan fungsional (klaim) sampai batas waktu maksimum W (umur produk) dan pemakaian maksimum U.

Kebijakan Free Replacement Warranty (FRW), pada polis maksimum konsumen memperoleh tawaran garansi dengan batas waktu maksimum W dan pemakaian maksimum U. Konsumen akan lebih diuntungkan dengan polis maksimum karena garansi suatu produk akan berakhir pada saat umur produk telah mencapai W dan pemakaian item telah mencapai U (garansi berakhir sampai kedua syarat terpenuhi). Sedangkan perusahaan akan lebih diuntungkan dengan polis minimum, karena garansi yang diberikan ke konsumen akan berakhir apabila salah satu syarat (waktu atau penggunaan) telah terpenuhi.

Penentuan tindakan yang dilakukan oleh perusahaaan mengenai produk/komponen yang mengalami kegagalan fungsional akan diperbaiki (repairment) ataupun diganti dengan yang baru (replacement), tergantung dari sifat produk/komponen yang bersangkutan. Sifat dari suatu produk dikategorikan menjadi dua yaitu dapat diperbaiki (repaireable) dan tidak dapat diperbaiki (nonrepaireable).

Pada kebijakan garansi yang tidak melibatkan pengembangan produk pada item tunggal terdapat kebijakan nonrenewing. Hal itu berarti produk yang telah

menempuh servis klaim akan memperoleh masa garansi dengan periode [x,W)×[y,U), yaitu sisa masa garansi awal. Sifat kebijakan nonrenewing dilakukan apabila produk mengalami kegagalan fungsional pertama kali pada saat mencapai umur x dan pemakaian y, maka produk yang telah direktifikasi akan memperoleh garansi baru sampai batas umur produk (W-x) dan pemakaian (U-y), yaitu sisa masa garansi saat pembelian. Berikut adalah gambar daerah garansi dua dimensi,

Setiap terjadi pengajuan klaim yang dikarenakan perfomansi produk tidak memuaskan atau tidak sesuai yang dipersyaratkan, jika klaim valid maka produsen akan mengeluarkan biaya garansi. Selain biaya garansi, produsen harus mengeluarkan biaya tambahan berupa biaya penggantian komponen (replacement cost) atau biaya tenaga kerja (labor cost) untuk perbaikan item. Secara umum total biaya garansi yang harus dikeluarkan produsen untuk setiap unit penjualan tidak dapat diperkirakan (unpredictable). Hal ini disebabkan kegagalan produk bersifat acak dan cara pemakaian produk oleh masing-masing konsumen berbeda secara signifikan.

W1 W

U

U1

Daerah Garansi

Gambar 2 Daerah Garansi Dua Dimensi untuk Polis Maksimum

Daerah garansi

W U

B. Asumsi dalam Analisis Garansi

Beberapa asumsi yang digunakan untuk produk kompleks atau banyak komponen yang gagal dikarenakan satu/sedikit komponen yang gagal diantaranya:

1. Pengajuan klaim hanya dapat diterima untuk kegagalan komponen pertama kali (perbaikan dilakukan sedemikian sehingga kemungkinan terjadinya kegagalan fungsional kedua dan seterusnya sangat kecil/instantaneously)

2. Kegagalan yang terjadi menyebabkan adanya klaim garansi 3. Semua kegagalan adalah valid

4. Waktu perbaikan yang relatif pendek dibandingkan dengan rata-rata antar kegagalan (mean time between failure) diasumsikan kecil atau dapat diabaikan.

Sedangkan beberapa asumsi untuk menentukan ekspektasi biaya garansi pada penelitian ini diantaranya:

1. Servis klaim dilakukan dengan segera (instantaneously) setelah terjadinya kegagalan.

2. Komponen yang memiliki kerusakan diganti dengan komponen yang baru (replacement), jika tidak bisa diperbaiki.

3. Biaya selain biaya tenaga kerja (labor cost) dan biaya pergantian (replacement cost) tidak termasuk dalam komponen pemodelan biaya garansi.

5. Pemodelan kegagalan didasarkan pada data historis tanpa mempertimbangkan beberapa faktor penyebab kegagalan.

C. Pemodelan Kegagalan Item dengan Pendekatan Dua Dimensi

Estimasi biaya garansi selalu diperlukan oleh perusahaan untuk menentukan harga jual produk. Hal itu dikarenakan biaya garansi merupakan bagian dari harga jual. Untuk mendapatkan estimasi biaya garansi dibutuhkan suatu model yang dapat merepresentasikan kegagalan item dengan baik. Kegagalan suatu item dipengaruhi oleh umur (X), dan pemakaian (Y) dari suatu produk. Kedua faktor ini akan digunakan dalam analisis biaya garansi. Selanjutnya keterlibatan dua faktor diperlukan untuk mendapatkan pemodelan kegagalan item yang akurat.

Pemodelan kegagalan item dalam garansi dua dimensi dimodelkan melalui dua metode. Pertama, memodelkan kegagalan suatu item dengan pendekatan satu faktor, yaitu memandang suatu kegagalan item pada berdasarkan dimensi waktu saja. Sedangkan faktor penggunaan (usage) diasumsikan berbanding lurus dengan waktu pemakaian. Kedua, model garansi dengan melibatkan dua faktor yakni, memandang suatu kegagalan item sebagai titik pandang dua dimensi, yaitu umur dan pemakaian (usage). Pendekatan dua dimensi dengan melibatkan kedua faktor ini yang selanjutnya akan diterapkan dalam analisa berikutnya.

Misalkan , -) menyatakan umur dan pemakaian item pada saat terjadi kegagalan awal. X dan Y dimodelkan sebagai variabel random non negatif dengan fungsi distribusi bersama F(x,y) yang didefinisikan sebagai , -) ,  , 4,  -).

Pada analisis garansi bentuk distribusi yang sering digunakan adalah distribusi eksponensial, pareto, weibull, beta dan gamma. Fungsi distribusi yang akan digunakan dalam analisis garansi (warranty) adalah distribusi bivariat pareto, sebagaimana yang dikemukakan oleh Blischke & Murthy (1994:118). Suatu variabel acak kontinu X dan Y dengan X,Y saling bebas dikatakan berdistribusi bivariat pareto dengan parameter 7_< , 7_$ 8 0 dan a > 0, jika memiliki fungsi padat peluang,

, -)   1)₇ < 7$ K 1 7<  1 7$- % 1L ;$) dengan a >1, x >0, 7_<>0, y >0 dan 7_$>0.

Pada skripsi ini, akan digunakan fungsi hazard untuk menentukan besarnya laju kegagalan suatu item pada saat t pada tiap komponen penyusun produk dari persamaan 2.6.15, yaitu nilai kegagalan (hazard rate) dari distribusi bivariat pareto.

, -) _{`, -)}, -)   1) 71 72 P 1 71  172- % 1Q %2) 1 % P₇1 1  172- % 1Q % 3.2.1)

Sedangkan fungsi hazard kumulatif dari distribusi bivariat pareto adalah: d[, ˜)   , -)-™ M š M     1) 71 72 P 1 71  172- % 1Q %2) 1 % P₇1 1  172- % 1Q % š M ™ M

D. Estimasi Parameter dengan Metode Maximum Likelihood Estimator

Metode penduga maksimum/maximum likelihood estimator (MLE) akan digunakan untuk mengestimasi parameter yang bersesuaian dengan fungsi kegagalan. Berdasarkan persamaan (2.6.11) maka fungsi reliabilitas untuk komponen ke-1 __<˜, [) yang bersesuaian dengan fungsi hazard (3.2.1) adalah _˜, [) Ve,i) _<˜, [) exp g%   <, -)-™ M š M h exp › œ  %     1) 71 72 P 1 71  172- % 1Q %2) 1 % P₇1₁  1₇ 2- % 1Q % -™ M š M ž Ÿ   exp {ln ¡1 % K₇1 1˜  1 72[ % 1L % ¢£

1 % K₇1 1˜ 

1

72[ % 1L %

Sehingga fungsi densitas kegagalan berdasarkan persamaan (2.6.10) dan persamaan (2.6.13) tentang hubungan fungsi densitas kegagalan, nilai kegagalan dan fungsi reliabilitas adalah:

<˜, [) _{_}<˜, [) <˜, [) <˜, [) <˜, [) x _<˜, [)   1) 71 72 P 1 71˜  172[ % 1Q %2) 1 % P₇1 1˜  172[ % 1Q %  K1 % K₇1 1˜  1 72[ % 1L % L ₇  1) 1 72 K 1 71˜  1 72[ % 1L %2) 3.4.2)

Dengan demikian, fungsi distribusi kegagalan dan fungsi reliabilitas yang bersesuaian dengan persamaan (2.5.1) dapat dinyatakan sebagai

< 1 % _<˜, [) 1 % K1 % K₇1 1˜  1 72[ % 1L % L K₇1 1˜  1 72[ % 1L %

Estimasi parameter didasarkan pada data dan n unit produk, maka fungsi likelihood untuk komponen ke-i yang bersesuaian dengan model kegagalan (3.2.1) diatas adalah

ƒ37†5 ‰ H˜; [) I

Hy<

Vuu 7† , 7†<, 7†$

Substitusikan ke dalam persamaan (3.4.2) sehingga

ƒ<37†5 ‰ I Hy< m  1)₇ < 7$ K 1 7<˜H 1 7$[H% 1L ;$) n 3.4.4)

Dengan w dan u berturut-turut menyatakan umur dan pemakaian komponen ke-1 untuk produk ke-i. Bentuk logaritma persamaan (3.4.4) adalah ‹u ƒ17†) ¤ u } 1 ‹um₇  1) 1 72 K 1 71˜} 1 72[}% 1L %2) n 3.4.5)

Estimasi parameter , 7†_<, 7†_$ diperoleh dengan cara memaksimalkan nilai dari persamaan (3.4.5), sebagai berikut:

 ‹u Pƒ<37†5Q 7<   2 7<$ ¤ I Hy< ˜H P 1₇ <˜H 17$[H% 1Q %₇u < 3.4.6)  ‹u Pƒ<37†5Q 7$   2 7$$ ¤ I Hy< [H P 1₇ <˜H 17$[H% 1Q %₇u $ 3.4.7) Sehingga

 ‹u Pƒ37†5Q 7<  ‹u Pƒ37†5Q 7$ 0   2) ¤ I Hy< ˜H P 1_7<˜H 1_7$[H% 1Q % u7<   2) ¤ I Hy< [H P 1_7<˜H 1_7$[H% 1Q % u7$ 0   2) ¤ I Hy< ˜H% [H P 1₇ <˜H 17$[H% 1Q % u7<% 7$) 0

Syarat cukup memaksimalkan fungsi likelihood

ln 

ƒ₁



7

†)

) adalah

d Œ   Ž $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<$  $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<7$  $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<7$  $_{‹u Pƒ37†5Q} 7$$ ’ “ “ ”

merupakan matrik definit negatif untuk 7†, dengan

 $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<$   2 7<¦ ¤ I Hy< ˜H$ P 1_7<§H 1_7$¨H% 1Q $%₇u <$ 3.4.8)  $_{‹u Pƒ37†5Q} 7$$   2 7$¦ ¤ I Hy< [H$ P 1₇ <˜H 17$[H% 1Q $%₇u $$ 3.4.9)  $_{‹u Pƒ37†5Q} 7<7$   2 7<$7$$¤ I Hy< ˜H[H P 1_7<˜H 1_7$[H% 1Q $ 3.4.10)

Dalam skripsi ini akan digunakan software MATLAB untuk mencari estimasi dengan pendekatan komputasional. Nilai dari pendekatan ini akan digunakan untuk perhitungan ekspetasi biaya garansi dalam bab selanjutnya.

E. Model Garansi Dua Dimensi

Pada analisis model garansi ini, akan dibahas mengenai ekspektasi jumlah klaim, variansi jumlah klaim dan ekspektasi biaya garansi. Adapun ulasannya sebagai berikut.

E.1. Ekspektasi Jumlah Klaim (Renewal)

Setiap terjadi pengajuan klaim yang dikarenakan perfomansi produk tidak memuaskan atau tidak sesuai yang dipersyaratkan, maka produsen akan mengeluarkan biaya garansi. Oleh karena itu akan dibahas mengenai ekspektasi jumlah klaim dari suatu produk jika klaim masih dinyatakan valid.

Misal (Xi,Yi) menyatakan umur dan pemakaian item pada saat terjadi kegagalan dengan fungsi distribusi bersama

, -) H  , 4H  -) diberikan wI<) ¤ } u } 1 dan wI$ ¤ 4} u } 1

Dengan Sn adalah waktu terjadinya renewal ke-n. Dan T}; }
1U adalah variabel acak dengan fungsi distribusi ₁ , ∞, yaitu fungsi distribusi marjinal dari X. Sedangkan {Yi; i ≥ 1}didefinisikan sebagai proses renewal (perbaikan) yang lain dengan fungsi distribusi ₂- ∞, -, yaitu fungsi distribusi marjinal dari Y.

a. Ekspektasi jumlah klaim polis minimum

Misalkan N(x,y) merupakan jumlah renewal (perbaikan) yang berakhir pada [0,x)×[0,y) dalam masa garansi polis minimum, dinyatakan dengan

r, -) min ©r1),r-2)ª 3.5.1)

denganr_<) max~u: w_I<€ dan r_i$ max~u: w_I$€

Hal tersebut dikarenakan polis minimum dilakukan dengan syarat jika terjadi kegagalan fungsional (klaim) sampai batas waktu w (umur produk) atau pemakaian u yang telah ditetapkan (mana yang terpenuhi lebih dahulu).

Pada analisis garansi dua dimensi, misalkan x = w dan y = u maka jumlah renewal polis minimum dilambangkan dengan r§, ¨.

Penurunan rumus (2.8.1) dengan x = w dan y = u, diperoleh ekspektasi jumlah renewal sebagai berikut;

r z˜, [ dengan z˜, [ diperoleh dari

z˜, [ ˜, [    z˜ % J, [ % J, š M

™

M 3.5.2

Dalam analisis garansi ini telah dipilih distribusi bivariat Pareto untuk membahasnya, maka ekspektasi jumlah renewal dalam daerah garansi adalah:

dengan menggunakan penyelesaian integral jenis konvolusi pada persamaan (2.8.2) , transformasi laplace pada persamaan (2.4.1) dan penurunan rumus pada lampiran 11 diperoleh

r) S%1TzJ, )U S%1g_{1 % J, )}J, ) h S%1 › « œ «  J Œ  Ž 0∞V%J%-K711   172- % 1L % -1 %∞V %J%-0   1)7₁7₂ K71₁  17₂- % 1L %1) -’ “ ” ž « Ÿ «   S%1 › œ  J Œ Ž%1)% 71J % 1)72 % 1) 72 % 1)71J J71J % 1)72 % 1) 1 %   1)%1)_7 % 1J % 1)72 % 1) ’ ” ž Ÿ   S<_g 7<J  7$ % 1)  7<J % 1)7$ % 1) J37<J % 1)7$ % 1) % %1)  1)5h 3.5.3)

b. Ekspektasi jumlah klaim polis maksimum

Dengan mengembangkan rumus r, -) pada polis minimum, maka jumlah renewal dalam masa garansi pada polis maksimum dilambangkan dengan r¬§, ¨) yang merupakan hubungan antara proses perbaikan univariat

r

_<)

dan

r

_i$)

dan dapat dinyatakan dengan:

r¬ max ©r1, r-2ª 3.5.4

max ©r1, r-2ª r1 r-2% min©r1, r-2ª

r1 r-2% r, -

Hal tersebut dikarenakan polis maksimum dilakukan dengan syarat jika terjadi kegagalan fungsional (klaim) sampai batas waktu w (umur produk) dan pemakaian u yang telah ditetapkan (garansi berakhir sampai kedua syarat terpenuhi).

Sehingga persamaan (3.5.3) dapat ditulis dalam bentuk

r¬ r1 r-2% r, - 3.5.5

Dengan x = w dan y = u dan penurunan rumus pada persamaan (2.8.1) diperoleh ekspektasi jumlah kegagalan dalam masa garansi polis maksimum sebagai berikut:

3r¬5 z˜  z[ % z˜, [

dimana z˜, z[ dan z˜, [ diperoleh dari: z˜ ˜   z˜ % JJ ™ M 3.5.6 z[ [   z[ %  š M 3.5.7 z˜, [ ˜, [    z˜ % J, [ % J, š M ™ M 3.5.8

Dalam analisis garansi ini telah dipilih distribusi bivariat Pareto untuk membahasnya, maka ekspektasi jumlah kegagalan dalam daerah garansi adalah:

3r¬5 z˜)  z[) % z˜, [) ,

Dengan menggunakan penyelesaian integral jenis konvolusi pada persamaan (2.8.2), transformasi laplace pada persamaan (2.4.1) dan penurunan rumus pada lampiran 11 diperoleh

3r¬5 S%1TzJ)U S%1Tz)U% S%1TzJ, )U S%1_g J) 1 % J)h S%1g1 % ))h% S%1g1 % J, J, ) )h S%1 › « œ «  J Œ  Ž 0∞V%JK71₁ % 1L %  1 %∞V%J 0 7₁K71₁ % 1L %1)  ’ “ ” ž « Ÿ «    S< › œ  J Œ Ž  VXi M P 17_$- % 1Q  -1 %  V Xi M 7_<P 17_$- % 1Q ;<) -’ ” ž Ÿ   %S< › œ  J Œ Ž  VWXi M P 17_<  17_$- % 1Q  -1 %  V WXXi M   1)7_<7_$ P 17_<  17_$- % 1Q ;<) -’ ” ž Ÿ   S<_{­J ®}%1) ;<7<J % 1)   J7<J % 1) 1 % %1)₇ ;< <J % 1 ¯°

S<_{­J ®}%1) ;<7$ % 1)   7$ % 1) 1 % %1)₇ ;< $ % 1 ¯° %S<_{­J ®}%1) 7<J % 1)7$ % 1)  7$ % 1)7<J J7<J % 1)7$ % 1) 1 %   1)%1)_{7<J % 1)7}  $ % 1) ¯° S%1g_J771J % 1)  1J % 1  %1)%h S %1_g 72 % 1)  72 % 1  %1)%h %S<_g 7<J  7$ % 1)  7<J % 1)7$ % 1) J37<J % 1)7$ % 1) % %1)  1)5h 3.5.9)

E.2. Variansi Jumlah Klaim

Setelah memodelkan ekspektasi jumlah klaim, selanjutnya akan dimodelkan variansi jumlah klaim.

a. Variansi jumlah klaim pada garansi polis minimum

Dari nilai N pada persamaan (3.5.1) diperoleh N2 sebagai berikut,

r$ _{3r, -)5}$

r$_{)  P3r, -)5}$_Q

z˜, [)$

Dengan menggunakan penyelesaian integral jenis konvolusi pada pada persamaan (2.8.2) dan (2.8.4) r2) serta penurunan rumus pada lampiran 11 diperoleh

r$_{) z˜, [)}$ r$_{) S}%1_:J, ) J, )J, ) 31 % J, )52 ± r$_{) S}< Œ      Ž %1)_37 <J % 1)7$ % 1)  7$ % 1)  7<J5 J7<J % 1)7$ % 1)  37<J % 1)7$ % 1)  7$ % 1)  7<5  1) J7<J % 1)7$ % 1) K1 %   1)%1)_7  <J % 1)7$ % 1)L $ ’ “ “ “ “ “ ” 3.5.10)

Variansi diperoleh dengan cara memasukkan nilai r) pada persamaan (3.5.3) dan r$) pada persamaan (3.5.10) ke dalam rumus variansi sebagai berikut: AB r) r2)%3r)52 3.5.11) AB r) S< Œ      Ž %1)_37 <J % 1)7$ % 1)  7$ % 1)  7<J5 J7<J % 1)7$ % 1)  37<J % 1)7$ % 1)  7$ % 1)  7<5  1) J7<J % 1)7$ % 1) K1 %   1)%1)_7  <J % 1)7$ % 1)L $ ’ “ “ “ “ “ ” % mS<_g 7<J  7$ % 1)  7<J % 1)7$ % 1) J37<J % 1)7$ % 1) % %1)  1)5hn $

b. Variansi jumlah klaim pada garansi polis maksimum

Dari nilai r¬ pada persamaan (3.5.5) diperoleh r¬$ sebagai berikut r¬$ _KPr

1) r-2)% r, -)QL $

3r<) ri$)5$% 23r<) ri$)5r, -)  r, -))$ 3r<)5$ 2r<)ri$) 3ri$)5$% 23r<) ri$)5r, -)   r, -))$ _3.5.12)  Pr¬2Q P3r<)5$ 2r<)ri$) 3ri$)5$% 23r<) ri$)5r, -)  r, -))$_Q z˜$_{)  2z˜)z[)  z[}$_{) % 23z˜)  z[)5z˜, [)}  z˜, [)$ _3.5.13)

Dengan menggunakan penyelesaian integral jenis konvolusi pada pada persamaan (2.8.2) dan (2.8.4) 3r¬$5 serta penurunan rumus pada lampiran 11 diperoleh 3r¬$_{5 z˜}$_{)  2z˜)z[)  z[}$_{) % 23z˜)  z[)5z˜, [)}  z˜, [)$ 3r²25 S%1:J) J)J) 31 % J)52 ± 2S %1_g J) 1 % J)hS%1g1 % ))h S<_:)  )) 31 % )5$ ± % 2S<g J) 1 % J)h S<g1 % J, )hJ, ) %2S<_g ) 1 % )h S<g1 % J, )hJ, )

S<_:J, )  J, )J, ) 31 % J, )5$ ± 3.5.14) 3r²25 S%1³%%1)P712J2% 27_J7 1J  1  71J % Q% 71J   % 2 1J%1)%%1) )2 ´ 2S<_m 7<J % 1)   J7<J % 1 % %1);<)n S <_m 7$ % 1)   7$ % 1 % %1);<)n S<_m%%1)37$$$% 27$  1  7$ % 5 % 7$   % $ 7$%1)% %1) )$ n %2 mS<_m 7<J % 1)   J7_<J % 1 % %1);<_)n@ @S<_m7<J  7$ % 1)  7<J % 1)7$ % 1) J37<J % 1)7$ % 1) % %1)  1)5n´ %2 mS<_m 7< % 1)   7< % 1 % %1);<)n@ @ S<_m7<J  7$ % 1)  7<J % 1)7$ % 1) J37<J % 1)7$ % 1) % %1)  1)5n´ S< Œ      Ž %1)_37 <J % 1)7$ % 1)  7$ % 1)  7<J5 J7<J % 1)7$ % 1)  37<J % 1)7$ % 1)  7$ % 1)  7<5  1) J7<J % 1)7$ % 1) K1 %   1)%1)_7  <J % 1)7$ % 1)L $ ’ “ “ “ “ “ ” 3.5.15)