Tentukan probabilitas bahwa kartu yang terambil secara

(1)

STATISTIKA MATEMATIKA I

Disusun Oleh :

Februl Defila

(10050051)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN PENDIDIKAN

(STKIP) PGRI SUMATERA BARAT

(2)

1

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com

BAB I

PELUANG

1.1 Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah experience, disimbolkan “S”. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event. Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan kejadian dasar. Contoh :

1. Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin adalah :

S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel. 2. S = {1,2,3}

 

S 

 23 = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Dari pernyataan diatas diperoleh : {1}S

{1} 

 

S

{1}

 

S

Dimana 

 

S adalah power set atau himpunan bagian.

3. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut, diperoleh hasil eksperimen atau frekuensi kejadian sebagai berikut :

Angka 1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4 sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali. Tentukan banyaknya jumlah frekuensi jika :

a) Ada sebuah kejadian munculnya angka genap. b) Ada sebuah kejadian munculnya angka ganjil.

c) Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4. Jawab :

Untuk menjawab pertanyaan diatas, pengertian peluang dapat diterjemahkan menggunakan frekuensi relatif kejadian yang didefinisikan sebagai :

) (

) ( ) (

S f

(3)

2

Februl Defila defiladefila@gmail.com

 Dari contoh soal diatas, frekuensi relatif memiliki sifat :

 fn(0)0

 fn(S)1

 f_n(AB) f_n

 

A  f_n

 

B jika AB

 Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.

 Jika ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {Si}, maka peluang

1.2Peluang Klasik

Peluang Klasik adalah suatu kejadian yang mempunyai peluang yang sama, yaitu

(4)

3

 

) (

S n

A n A

P  , dengan sifat : P(A)0 ; P(S)1 ; P()0 dan P(AB)P(A)P(B)

jika AB

Sifat – sifat lain dari peluang, dinyatakan dalam teorema berikut : Jika A,B suatu kejadian dalam S, maka :

1. P(AB)P(A)P(B)P(AB)

2. P(A)1P(A) AAS





A

A

3. P(AB)P(A)P(AB)

4. P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+



A B C



P  

Contoh :

Dua kartu diambil secara acak satu – persatu, tentukan peluang bahwa kartu yang terambil pertama adalah kartu Jack dan kartu yang terambil kedua adalah kartu Queen!

Jawab :

Peluang dari kejadian diatas adalah :

663 4 2652

16 51

4 52

4 _ _ _

1.3 Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat suatu kejadian dengan syarat terjadinya peristiwa yang lain (sebelumnya) didefinisikan sebagai berikut :







_{ }



B P

B A P B A

(5)

4

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Secara umum, jika dua peristiwa A1 dan A2 saling asing



A1A2 



, maka :







_{ }



B P

B A A P B A A

P 1 2 |  1 2 

=



_{ }



B P

B A B A

P ₁  ₂





 



P

 

B



B A P B

P B A

P 

 

 1 2



A B

 

P A B



P ₁|  ₂ |



Sifat – sifat lain dari peluang bersyarat adalah sebagai berikut : 1. P(A|B) = P



A|B



2. P



A₁A₂|B



= P



A₁|B

 

P A₂ |B

 

P A₁A₂ |B



3. 0P



A|B



1

Contoh :

1. Empat kartu diambil secara random satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa kartu yang terambil secara berturut – turut adalah as waru hitam (AsWH), as waru merah (AsWM), as wajik (AsW), as semanggi (AsS)!

Jawab :



WH

 

WM WH

 

WJ WH WM



s WJ WM

WH As As As P As P As As P As As As

As

P(    ) | | 



Ass AsWH AsWM AsWJ



P |  

49 1 50

1 51

1 52

1 _ _ _

 = 0,079

2. Kotak A berisi 10 bola merah (MA) dan 15 bola hijau (HA). Kotak B berisi 12 bola merah

(MB) dan 17 bola hijau (HB). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian

dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau!

(6)

5



HA HB



P

  

HA P HB HA



P   |

36 , 0 30 18 . 25 15 _



1.4 Hukum Total Probabilitas

Menurut teori himpunan, telah diuraikan bahwa jika kejadian B dan kejadian Bsaling asing, maka :

1. BB 

2. BB S

3. A 

4. A  A

5. ASA

6. ASS

Hukum diatas disebut dengan Hukum Identitas.

S

A = A







A BB



= ABAB

n



A



BB



= n



AB



n



AB



, sehingga

 

A

P = P



A



BB



= P



AB



P



AB



Secara umum, jika B1,B2,..., Bk kejadian – kejadian saling asing, maka

k

B B

B

S  1  2 ... . Sehingga :



B B Bk



A B A B A Bk

A S

A   1 2 ...   1  2 ... 

Teorema :

Jika B1,B2,...,Bk himpunan kejadian saling asing, maka untuk sebarang peristiwa A berlaku :

 

  

i



k

i

i P A B

B P A

P |

1





Bukti :

(7)

6

 

A P



A B



P



A Bk



P   1 ... 

= P

  

B1 .P A|B1



...P

  

Bk .P A|Bk



=

  

i



k

i

i P A B

B

P . |

1





Contoh :

a. Terdapat 3 dos berisi barang elektronik (lampu). Dos I berisi 25 lampu dan 5 diantaranya rusak. Dos II berisi 35 lampu dan 10 diantaranya rusak. Dos III berisi 40 lampu dan 5 diantaranya rusak. Sebuah dos dipilih secara random, tentukan probabilitas bahwa produk yang terambil rusak!

Jawab:

Misal : A = lampu yang rusak B1 = dos 1

B2 = dos 2 B3 = dos 3

 

A P



A B1

 

P A B2

 

P A B3



P      

= P

  

B1 P A|B1

   

P B2 P A|B2

   

P B3 P A|B3



=

40 5 3 1 30 10 3 1 25

5 3

1_ _ _ _ _

Dari contoh di atas, dapat dikaitkan konsep aturan Bayes, sebagai berikut :

Jika diasumsikan seperti syarat pada teorema sebelumnya, maka untuk setiap j,j=1, 2, 3, ... , k berlaku :





  



  







 _k

j

j j

j

B A P B P

B A P B P A B P

1

(8)

7

1.5Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika tidak saling mempengaruhi. Secara statistik, A dan B dikatakan bebas / independent, jika :



A B



P  = P

   

A P B  Saling Bebas



A B



P   P

   

A P B  Tidak bebas / Saling tergantung

Sehingga : P



A|B



P

 

A, jika A, B bebas : P



A|B



P

 

B, jika B, A bebas Teorema :

Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas jika dan hanya jika : 7. A danB, bebas

8. A dan B, bebas 9. A dan B, bebas Bukti :

10. P



AB



= P

  

A P AB



= P

     

A P AP B

= P

 

A



1P

 

B



= P

 

B P

 

A

Secara umum, jika Ai, i, i1,2,...,k adalah peristiwa saling bebas, maka :

 

_   

 









k

i

k

i i

i P A

A P

1 1

Contoh :

Jika dua dadu dilempar satu kali secara bersamaan, tunjukkan bahwa dua kejadian dibawah ini saling bebas !

Jawab :

A : Dua dadu berjumlah tujuh.

(9)

8

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Jawab :

           



1,6, 2,5, 3,4, 4,3, 5,2, 6,1





A

           



1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, 6,6





B

Sehingga dapat diketahui bahwa :

   

6 1

 P B A

P ,

   

36 1 6 1 6 1_ _

 P B A P



 B

A , P



AB



0

(10)

9

BAB II

VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI DISTRIBUSI

2.1Variabel Random

Variabel random adalah sebuah fungsi dengan domain kecil hasil pengamatan dan kodomainnya merupakan himpunan bilangan real. Variabel random disimbolkan dengan huruf kapital ( X, Y, Z, dll ). Contoh :

1. Sebuah koin dilemparkan tiga kali, maka ruang sampelnya adalah : S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

2. Misalkan X merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya angka yang muncul, Y adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul, maka apa hubungan antara X dan Y?

Jawab :

S X Y P(X) P(Y)

AAA 3 0

8 1

AAG

AGA 2 1

8 3

GAA AGG

GAG 1 2

8 3

GGA

GGG 0 3

8 1

(11)

10

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Karena P

 

X  P

 

Y , dan X Y, maka X dan Y merupakan variabel acak identik. Selain itu, karena P



X Y



P

   

X PY X, Y independent.

Macam-macam variabel acak :

a. Variabel Acak Diskrit (Countable) b. Variabel Acak Continue (Measurable)

2.2 Variabel Acak Diskrit (pdf)

Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel random X dinamakan variabel random diskrit. Suatu fungsi dengan domain variabel acak diskrit dinamakan fungsi densitas probabilitas diskrit. Disingkat dengan pdf diskrit atau dinamakan fungsi masa probabilitas.

Teorema :

Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat: 1. f (x) > 0

2.



f

 

x 1

3. Penulisan lain f (x)  fX

 

x dengan x = nilai variabel random X

Contoh :

Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), jelas bahwa f (x) =

P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semuanya 0 dan jumlahnya = 1

2.3Fungsi Distributif Kumulatif (CDF)

CDF dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku :

 

x P



X x



F

 

x

F    _X

(12)

11

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Teorema :

Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F(x). Jika nilai-nilai dari variabel acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka :

...

3 2

1  x  x 

x

 

x1 F

 

x1

f  dan j , j>1 , berlaku f

 

xj = F

   

xj F xj1

Sedangkan untuk x < xi, maka F(x) = 0 Sehingga

 



 





x x

j

x f x

F

Sifat-sifat CDF :

a. lim

 

1 

 F x

X

b. lim

 

0

  F x

X

c. F



x h



F

 

x

h

 



0

lim

d. abF

 

a  F

 

b

Contoh :

Dari contoh pelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilemparkan tiga kali), bentuklah fungsi distribusinya!

Jawab :

8 4

8 1

8 7

1

1 2 3

 

x F

(13)

12

2.4Variabel Acak Kontinu

Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x), sedemikian hingga

CDF-nya dapat dinyatakan sebagai :

CDF

 



 

Secara khusus, jika X variabel acak kontinu, maka :

a. P



a xb



 P



axb



P



axb



P



a xb



Suatu fungsi f (x) adalah pdf untuk beberapa variabel acak kontinu X, jika memenuhi : 1. f

 

x 0, bilangan real X.

(14)

13

2.5Nilai Harapan

Apabila X adalah variabel acak diskrit dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan dari X

Dari contoh di atas (Jika X merupakan variabel acak kontinu), maka :

 

_



_









(15)

14

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu fungsi bernilai real dari variabel x, maka:

 



ag x bhx



aE



g

 

x



bE



h

 

x



E .   

Bukti :

Misalkan V variable acak kontinu, maka :

 



ag x bh x





ag

 

x bh

 

x

  

f x dx E

R







 .

.

= ag

   

x f x dx bh

   

x f x dx

R



. 

=a g

   

x f x dx b h

   

x f x dx

R





=aE



g

 

x



bE



h

 

x



Secara khusus, E



axb



aE

   

x E b

 



_

 



_

 



R R

dx x f E dx x bf b

E 1

2.6Distribusi Campuran (Mixed Distribution)

Suatu distribusi probabilitas untuk variabel random X dinamakan campuran, jika CDF-nya dapat dinyatakan sebagai berikut :

 

x F

  

x

  

F x

F  d  1 c , dengan 0x1

Contoh :

Misal X adalah variabel random yang menyatakan waktu tunggu sebuah proses dengan CDF

 

x F

 

x F

 

x

F 0,4. _d 0,6. _c , dengan F_d

 

x 1 dan

 

x

c x e

F 1  , untuk x0. Tentukan bentuk CDF campuran tersebut!

Jawab :



x t



P  = F

 

x



x t



P  = 1F

 

x



0



0,4

0  

 P x

(16)

15

(17)

16

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Contoh :

Perhatikan contoh pelemparan koin sebelumnya, dengan mean = 3₂. Tentukan varian dan simpangan bakunya!

Jawab : x = 0, 1, 2, 3

Var(x) = 



x

  

2 f x

=



 

1 3₂



.2₈



2 3₂



.3₈



3 3



.1₈ 8

1 . 2 3

0 2   2   2   2

Var(x) = 0.75

Maka,   V

 

x  0,750,8661 Teorema :

Jika X variabel acak dan a, b suatu konstanta, maka :

V(ax+b)=V(ax) sehingga V(ax+b) = a2 V(x)

Bukti :



ax b



V  E



axb



E



axb



2

= E



axb



2 



E



axb



2

= a2v

 

x

Jika X,Y dua buah variabel random, maka berlaku :



x y



V

   

x V y Cov

 

x y

V    2 ,

Jika X, Y independen dan cov (x, y) = 0, maka berlaku :

) ( ) ( )

(x y v x v y

v   

 

x y

Cov , E



xx



yy



=E

     

xy E x.E y

Jika X, Y independen, maka :

 

xy E

   

x E y

E  .

(18)

17

 

x,y 

 korelasi (x, y)

=

   

y V x V

y x, ) cov(

Secara khusus, V(x)cov(x,x)

2.8Momen

Momen ke-k di sekitar x=0 dari variabel random X didefinisikan sebagai :

 

k

k E x



Momen ke k disekitar x =, didefinisikan : _k E



x



k

Jika k=1 ₁  E



x



E(x)0 k=22 E(x)2 2

Contoh :

Misalkan ada seorang pembalap mobil yang diasumsikan waktu berkendaranya antara 20 hingga 30 menit. Jika X adalah variable acak yang menyatakan waktu dalam menit, maka tentukan momen ke k dari variable tersebut!

Jawab :

 

x  110

f_X , 20x30

10 1

 , untuk yang lain.

Momen ke k dari variable acak tersebut adalah :

 

k

k E X

m  x dx

k



30

2010

_

_

1 10

20 30 1 1

 

  

k

k k

, dimana k = 1, 2, 3, …

Sehingga diperoleh :

   

 

2 25

10 20 302 2

1 

 

m dan

   

_{ }

3 1 633 3

10 20 303 3

2 

 

(19)

18

Batas – batas probabilitas

Jika X suatu variabel random dan xfungsi bernilai real non-negatif, maka untuk sembarang konstanta positif c, berlaku :

 

Chebychev, sebagai berikut :

Teorema :

2.9Aproksimasi Mean dan Varian

(20)

19

(21)

20

2.10 Momen Generation Function (MGF)

Jika X variabel random, maka MGF dari X didefinisikan sebagai berikut :

 

tx

x t E e

M  , hth , h0 Ekspektasi ini ada nilainya, jika :

X Variabel acak diskrit

 

1

Fungsi ini penting terutama dalam mendapatkan mean dan varian. Secara khusus, jika X variabel diskrit, maka berlaku :

(22)

21

(23)

22

f dengan x=0,1... Tentukan MGF-nya!

Jawab :

deret konvergen

(24)

23

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Sifat-sifat MGF :

1. Jika y = ax+b, maka MGF-nya adalah M

 

t e Mx

 

at

bt

y 

2. yxM_y

 

t etM_x

 

t

Teorema :

Jika MGF X ada, maka

 

 r

 

0

x r

M x

E  dengan

 



 

 

 

1 !

1

r

r r

x

r t x E t

(25)

24

BAB III

HUKUM

–

HUKUM PROBABILITAS

 Distribusi Probabilitas

Terdapat dua macam distribusi probabilitas, yaitu : 1. Variabel acak diskrit

2. Variabel acak kontinu

Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak diskrit : 1. Distribusi Bernoulli

2. Distribusi Binomial 3. Distribusi Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson

5. Distribusi Uniform, dll.

Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak kontinu : 1. Distribusi Uniform

2. Distribusi Gamma 3. Distribusi Eksponensial 4. Distribusi Weibull 5. Distribusi Normal, dll.

 VARIABEL ACAK DISKRIT

3.1Distribusi Bernoulli

Suatu variabel acak X berdistribusi Bernoulli jika pdf-nya berbentuk :

,... 1 , 0 , )

( _ 1 _

x q p x

f x x

p = sukses, jika 0 < p < 1

(26)

25

Jika X Bernoulli, maka :

p x E( )

pq x v( )

Contoh :

Buktikan teorema diatas dan cari MGF-nya! Jawab :



 ( )

)

(x xf x

E _E(_x2)



_x2_f(_x)

=0.q1.p = 0.q1.p

= p = p

Sehingga, 2 2

)) ( ( ) ( )

(x E x E x

v  

= p p2

= p(1 p)

= pq

) (

)

(t pe q

M_x  t 

3.2Distribusi Binomial

Ciri-ciri :

a. Percobaan dilakukan n kali dan independen b. Peluang sukses (p) dan gagal (q)

Suatu variabel acak X berdistribusi Binomial, jika pdf-nya berbentuk :

,... 1 , 0 , )

( _ 

    

 

x q p x n x

f x n x

) , , ( )

(x b x n p

f 

(27)

26

3.3Distribusi Hipergeometris

Suatu populasi akan berdistribusi Hipergeometris apabila memenuhi : a. Berukuran M, diantaranya bersifat a (tertentu).

(28)

27

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Definisi :

Variabel random X dikatakan berdistribusi Hipergeometris, jika pdf-nya berbentuk :

n

Jika X distribusi Hipergeometris, maka :

(29)

28

Dengan cara yang sama, maka 2 2

))

Sepuluh produk diambil dari sebuah dos besar berisi 1000 produk, 400 diantaranya rusak. Sampel tersebut diambil secara random. Dari sepuluh yang diambil tadi, terdapat lima produk yang cacat.

(30)

29

3.4Distribusi Poisson

Suatu variabel random X berdistribusi Poisson jika pdf-nya berbentuk :

(31)

30

Jika X BIN(n,p), maka untuk setiap nilai x = 0,1,2,…,n dan P0 dengan np

suatu konstanta, maka

!

Buktikan teorema diatas! Jawab :

(32)

31

3.5 Distribusi Uniform Diskrit (Seragam)

Suatu variabel random X berdistribusi Uniform Diskrit, jika pdf-nya berbentuk :

N N

(33)

32

(Terbukti)

 VARIABEL ACAK KONTINU

3.6 Distribusi Uniform Kontinu

Suatu variabel acak X berdistribusi Uniform Kontinu pada interval (a,b), jika pdf-nya berbentuk :

)

(34)

33

(Terbukti)





(35)

34

3.7 Distribusi Gamma

Untuk memahami distribusi Gamma, perlu diketahui fungsi Gamma secara umum dan sifat-sifatnya. Secara umum, fungsi Gamma didefinisikan sebagai :

 

x t etdt

Sifat-sifatnya :

1. 

  

x  1

  

 x, 0

X suatu variabel acak kontinu dengan distribusi Gamma dengan parameter  positif dan

 negatif, jika pdf-nya berbentuk :

 dan merupakan parameter-parameter tertentu, merupakan parameter bentuk dan merupakan parameter skala. Karena  merupakan bentuk, maka bentuk kurva distribusi Gamma tergantung dari nilai  .

Teorema :

Jika X GAM(,), maka E(x),danv(x)2

Contoh :

(36)

35

Februl Defila defiladefila@gmail.com (Terbukti)

Akibat khusus :

CDF-nya : X GAM(,)

3.8Distribusi Eksponensial

(37)

36

Jika X berdistribusi Eksponensial, maka E(x),dan 2

) (x  v

Secara khusus, distribusi Eksponensial merupakan distribusi yang sangat penting, khususnya di bidang teori (keandalan). Pada umumnya, pada distribusi eksponensial berlaku sifat no memory, seperti pada teorema berikut :

) exp(



X , jika hanya jika : P



xat|xa



 P



xt



,a o,t 0no memory

Bukti :







_



_





a x P

a x danP t a x P a x t a x P



 

   

 |

= P



xat



= 



a t a

e e

  ( )

= P



xt



(Terbukti)

Contoh :

Masa usia sejenis komponen listrik berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 100 jam. Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut dapat digunakan 50 jam lagi dari batas yang ditentukan perusahaan!

Jawab :

P = 0,6065

3.9Distribusi Weibull

Seperti pembahasan sebelumnya, distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk mendapatkan keandalan sejenis komponen tertentu. Sama seperti distribusi Gamma maupun distribusi Eksponensial.

(38)

37

3.10 Distribusi Normal

Distribusi ini dinamakan juga distribusi Gauss dan mempunyai 2 parameter. Selain kelebihan di atas, distribusi ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa kasus / persoalan yang terkait dengan distribusi hampiran (limited distribution). Salah satu teorema yang terkenal yang terkait dengan distribusi Normal adalah CLT (Central Limited Distribution).

Definisi :

(39)

38

(40)

39

Sifat-sifat :

(41)

40

(42)

41

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com = t _z_{ }_t

M e _

=

2 2 2 1

t t

e e 

=

2 2 2 1

t t

e  

(Terbukti)

Teorema :

Jika X N(,), maka :

 

x 'x

 

0

E 

 



 



2

0 ' 0 "x x

x

(43)

42

BAB IV

JOIN DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM

4.1Join Distribusi (Distribusi Bersama)

Dalam analisis statistik, distribusi bersama umumnya distribusi yang terdiri dari k buah variabel random (berdimensi k) atau sering dinamakan vektor random.



X X X



vektoracak X  1, 2,..., _k 

Definisi :

pdf bersama dari variabel acak diskrit berdimensi k (vektor random) didefinisikan sebagai berikut :



X Xk



P



X x Xk xk



f 1,...,  1  1,..., 

= P



X1  x1...Xk  xk



Untuk semua nilai (x), X 



X1,X2,..., Xk



dari vektor random yang mungkin.

Contoh :

Sebuah dos berisi 1000 bolpen, 400 warna merah, 400 warna hitam, sisanya biru. Jika 10 bolpen diambil secara random sekaligus tanpa pengembalian, maka tentukan probabilitas banyaknya bolpen yang terambil berwarna merah, hitam, dan biru.

Jawab :





     

   

 

             



10 1000

200 400

400

, , 10 ,

1000 1 2 1 2 1 2

X X n X X X

X

f , dengan X₁ X₂ X₃ n

Distribusi bersama biasanya terkait dengan distribusi multinomial (perluasan dari binomial).

4.2Distribusi Multinomial

Misalkan terdapat k1_{kejadian yang terbatas dan saling asing, yakni}e1,e2,...,ek1 dengan e

(44)

43

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Misalkan Xi variabel acak menyatakan banyaknya kejadian Ei dari n eksperimen, maka

vektor random dikatakan berdistribusi multinomial, jika pdf-nya berbentuk :





1 1

(45)

44

X1/X2 0 1 2 3 

0 0,008 0,048 0,096 0,064 0,216  f1(0) = P(X1=0)

1 0,048 0,192 0,192 0 0,432  f1(1) = P(X1=1)

2 0,096 0,192 0 0 0,288  f1(2) = P(X1=2)

3 0,064 0 0 0 0,064  f1(3) = P(X1=3)

 0,216 0,432 0,288 0,064 1

Peluang :  harus 1  (0,4)0(0,4)0(0,2)3 = 0,008



x X



f

           

0,1 f 0,2 f 0,3 f 1,2 f 1,3 f 2,3

P       

= 0,0480,0960,0640,19200

= 0,4

Definisi :

Jika pasangan variabel acak diskrit X1, X2 mempunyai pdf f



X1,X2



, maka pdf marginal

dari X1dan X2 adalah :

 











2

2 1 1

1 ,

X

X X f X

f (X1 fixed and X2 variable)

 











1

2 1 2

2 ,

X

X X f X

f (X2fixed and X1 variable)

CDF bersama dari k variabel acak (vector random) adalah suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :



X Xk



F



X x Xk xk



F 1,...,  1  1,..., 

Teorema :

Suatu fungsi F



X₁,X₂



adalah CDF bivarian jika hanya jika berlaku : 1. lim



₁, ₂





, ₂



0, ₂

1

X X

F X X F

X    

2. lim



₁, ₂





₁,



0, ₁

2

X X

F X X F

(46)

45

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com 3. lim



₁, ₂





,



1

, 2 1

   



 F X X F

X X

4. F

     

b,d F b,c F a,d F

 

a,c 0,ab,cd

5.







1 2





1 2



1 2

0 2 1

0 , lim , , , ,

lim F X h X F X X h F X X X X

h

h      

4.3Variabel Acak Kontinu Bersama

Suatu variabel random (vektor random) dikatakan kontinu jika terdapat fungsi pdf bersama



X Xk



f 1,..., dari vector random tersebut, sedemikian sehingga CDF-nya dapat dinyatakan

sebagai berikut :









k k

X X

k

k f t t t dt dt t t

X X X F

k

,..., ,

,..., ,...,

, ... ...,

, 2 1 2 1 1

1





_{ }

  

Teorema :

pdf bersama f



X1,...,Xk



jika hanya jika memenuhi : a. f



X1,..., Xk



0

b.

 

...



1,...,



1,..., 1 

 

  

k

k dX dX

X X f

Pdf marginal : f1

 

X1



f



X1,X2



dX2

  



=



f



X₁,X₂



dX₁ 

 

Contoh :

Misalkan X1 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 1 dan X2

menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 2. Jika diasumsikan bahwa pdf

(47)

46

4.4Variabel Random Bebas Stokastik

Dalam analisis statistik (inferensi statistik), variabel random bebas stokastik merupakan pokok bahasan yang penting, karena hampir sebagian besar persoalan analisis statistic terkait dengan variabel random bebas stokastik.

(48)

47

Vektor random X bebas stokastik jika hanya jika :

CDF







 



 k i

i i

k F X

X X F

1 1,...,

pdf







 



 k i

i i

k f X

X X f

1 1,...,

Contoh :

X1/X2 0 1 2 f1(X1)

0 0,1 0,2 0,1 0,4

1 0,1 0,2 0,1 0,4

2 0,1 0,1 0 0,2

f2(X2) 0,3 0,5 0,2 1

f (1,2) = 0,1 f

 

1,1  f₁

   

1.f₂ 1

f1 (X1) = 0,4 f

 

1,2  f1

   

1.f2 2 0,20,4.0,5

f2 (X2) = 0,2 Sehingga bebas stokastik

Sehingga bukan bebas stokastik

4.5Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)

Jika X1, X2 variabel acak diskrit atau variabel acak kontinu dengan pdf bersama f



X1,X2



,

maka pdf bersyarat dari X2 dengan syarat :



|





_{ }

,



, 1

 

1 0

1 1

2 1 1

1

2   f X 

X f

X X f x X X f

Dengan cara yang sama,



|





_{ }

,



, 2

 

2 0

2 2

2 1 2

2

1   f X 

X f

X X f x X X f

(49)

48

(50)

49

Sifat –sifat probabilitas

1. Jika X vektor random yang mempunyai pdf bersama f



X1,...,Xk



_{dan jika}y u(x) merupakan fungsi dari vektor random, maka :

 Variabel acak diskrit )) ( ( )

(y E u x

E 

= ... ( ₁,..., ) ( ₁,..., )

1

k k

X X

X X f X X u

k

 

 Variabel acak kontinu ))

( ( )

(y E u x

E 

=

 

... .u(X1,...,Xk)f(X1,...,Xk)dX1,...,dXk

  

Teorema :

Jika X1, X2suatu random variabel dengan pdf bersama f



X1,X2



, maka :

) ( ) ( )

(X₁ X₂ E X₁ E X₂

E   

Bukti :

 

  

 

 ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

1 ) ( , )

(X X X X f X X dX dX

E

=



X1f(X1,X2)dX1



X2f(X1,X2)dX2

   

 



= E(X₁)(X₂)

Jadi, terbukti bahwa E(X₁ X₂)E(X₁)E(X₂)

2. Jika a_i,i 1,2,...,k_{suatu konstanta, maka :}



_

a_iX_i





_

E



a_iX_i



E

Teorema :

(51)

50

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com ))

( ( )).. ( ( )) ( ) (

(g x h y E g x E h y

E 

Secara umum, jika x vektor random saling independen dan u(x) suatu fungsi, maka : ))

( )),..., (

( )) (

(u x E u X₁ u X_k

E 

= E(u(X1)),..., E(u(Xk))

4.6 Covarian

Definisi covarian bersama antara x dan y :

 

x,y E





xx





yy





xy E

     

xy E x E y

cov

Jika x = y, maka cov

 

x,x E





xx



xx





= E



x22



_xx



_x2



= E

 

x2 



E

 

x



2

= v

 

x

=



x2

Teorema :

Jika x dan y bebas stokastik, maka :

     

x y E x E y

E ,  , sehingga cov (x, y) = 0

Apabila cov (x, y) = 0, maka tidak berlaku x dan y bebas stokastik.

Sifat – sifat covarian

1. Cov

Bukti:

=

(52)

51

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com 2.

3. 4.

Teorema :

Jika X, Y variabel random, maka :

=

= = =

Jika X, Y independen, maka:

=

(Terbukti)

Jika X vector random yakni dan suatu konstanta, maka

varian jika x saling independen,

maka :

Contoh :

=

(53)

52

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com =

= 2 + 1 + 4 + 2 = 9

4.7 Korelasi

Jika X dan Y merupakan variabel random dengan variansinya maisng-masing adalah dan kovariansinya adalah Maka korelasi X dan Y

didefinisikan

Sifat – sifat korelasi : 1.

2.

Dengan

0,jika -1,jika

3. a.



_xy 0corr

 

 

b.



_xy 0corr

 

 

c. _xy 0uncorrelated

4. Jika x,y bebas stokastik, maka tetapi tidak berlaku sebaliknya.

4.8 Ekspektasi Bersyarat

Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama f (X,Y), maka harapan Y yang diberikan X

didefinisikan sebagai :



Y X x





_

Y f



Y x



(54)

53

Misalkan diketahui pdf bersama dari variabel random Y yang diberikan X sebagai berikut :

(55)

54

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com = E

 

y

(Terbukti)

Contoh :

Dari soal sebelumnya, jika E



y x



x

4 1

|  dan

 

,0 2 2

1  x

x x

f , maka cari E

 

y !

Jawab :

 

y E



y x

  

f x dx x x dx

E .

2 . 4 .

|

2

0 1

2

0





=

0 2 4 . 2

1 3

 

x

=

3 1 24

8 _

Dari contoh-contoh di atas, ekspektasi bersyarat dapat juga digunakan untuk 2 variabel yang saling bebas stokastik. Jika x, y bebas stokastik, maka :

a. E



y|x



E

 

y

b. E

   

x|y E x

Variansi bersyarat dari y diberikan x didefinisikan sebagai :



_|





2 _|





_|



2

x y E x y E x y

v  

Teorema :

Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :

 











2



| var |

var y x E y x E

y

v  

Bukti :













2







2



| |

|

var y x EE y x E y x

E  

(56)

55

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com = E

 

y2 



E

 

y



2 



E

 

y



2 E



E



y|x



2

= var

 

y 



E



E



y|x



2 



E

 

y



2



= var

 

y var



E



y|x



4.9 MGF Bersama

MGF bersama dari vector random X jika ada, didefinisikan sebagai :

 

t E t X h t h

M

k

i i i

x   

   

 

   

 





1 1

, exp

Jika Mx,y



t1,t2



ada, maka variabel random x, y bebas jika hanya jika :



1 2



 

1

 

2 , t ,t M t .M t

(57)

56

BAB V

FUNGSI VARIABEL RANDOM

Tujuan dari subpokok bahasan ini adalah menentukan distribusi pdf dari fungsi variabel acak. Dengan syarat, variabel acak sebelumnya (x) biasanya sudah diketahui bentuk CDF-nya. Terdapat tiga metode / teknik untuk mendapatkan distribusi fungsi variabel acak. Teknik tersebut antara lain :

5.1Metode CDF.

5.2Metode transformasi variabel acak (transformasi satu-satu atau transformasi yang lain). 5.3Metode MGF.

5.1Metode CDF

Misalkan variabel acak X mempunyai CDF Fx (x). Dan misalkan y = u(x) suatu fungsi variabel acak X, maka teknik CDF ini adalah menentukan fungsi diatas dengan asumsi variabel acak X terdefinisi dengan jelas. Secara khusus, misalkan untuk setiap bilangan real y

didefinisikan Ay = {x |u(x)  y}, maka Y y  X Ay. Contoh :

A = {x | x  A  10} B = {1,2,3,…,10} C = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

Sehingga dari pengertian diatas bentuk CDF dari Y adalah : Fy (y) = P {u(x)  y}

= P {x  Ay} = P [x₁  x x₂]

= f x dx

x

x x( )

2

1



= Fy (x₂) – Fy (x₁)

Jadi, pdf = y

d d

(58)

57

1. Diketahui Fx (x) = 1 – e-3x, 0x. Tentukan pdf dari Y = ex! Jawab :

Fy (y) = P[Y  y]

= P[ex  y] = P[x  ln y] = P[Fx (hy)] = 1 – e-3ln y

= 1 – 1₂

y , 1 y

Jadi, Fy (y) = (1 1₂)

y dy

d _

= 2₃

y , 1 y

2. Jika X variabel acak kontinu. Tentukan pdf dari Y = x2! Jawab :

Fy (y) = P[Y  y]

= P[x2  y]

= P[ yx y ]

= P(x y ) – P( y x)

= Fx ( y ) – Fx (- y )

Fy (y) =

dy d

( Fx ( y) – Fx (- y))

=



 





 



dy y F d dy

y F

d x _ x 

=

 

y y f y y

f_x _x

2 1 2

1 _ _

(59)

58

(60)

59

5.2 Metode Transformasi Variabel Acak

Dalam metode transformasi ini, terdapat dua hal, yaitu :

5.2.1 Metode Transformasi Satu – Satu

Misalkan X variabel acak diskrit dengan pdf f(x) dan misalkan y = u(x) merupakan fungsi transformasi satu-satu, maka pdf dari Y dinyatakan sebagai:

) ( )

(x x w y u

y  

 

y f



w

 

y



y B

f_y  _x ,  dengan B



y fy

 

y 0



Contoh :

1. X ~ GEO (p) dengan pdf _f

 

_x _ _pqx1,_x_1,2,...

x

Dan y = x-1, tentukan pdf Y! Jawab :

x = y+1

 

y w x

 

y

fy  fx



w

 

y



= fx



y1



1 1

. 

 y

q p

,.... 1 , 0 , 

 pqy y

Misalkan X variabel acak kontinu dengan pdf f(x) diasumsikan bahwa y=u(x)

merupakan fungsi satu-satu dari himpunan A



x fy

 

x 0



,B



y fy

 

y 0



dengan

transformasi invers x=w(y). Jika turunan w’(y) kontinu dan tidak bernilai nol pada himpunan B, maka pdf dari y dapat dinyatakan sebagai

 



 



w

 

y dy

d y w f y

f_y  _x Contoh :

Misalkan CDF dari variabel random X adalah

 

x

e x

F 1 2 , maka tentukam pdf dari x

e

(61)

60

(62)

61

Transformasi untuk k buah variabel random

Secara umum, transformasi variabel random dapat diterapkan k buah variabel, y = u(x) dengan asumsi fungsi variabel tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.

(63)

62

Jika X suatu vektor random yang kontinu dengan PDF bersama:

pada himpunan A dan Y= , merupakan transformasi satu-satu yakni yi=u(xi), i=1,2,...,k dan jacobian matriks kontinu tidak nol, maka PDF dari y adalah

X= solusi tunggal dari y.

Contoh :

Misalkan x1 & x2 adalah 2 variabel random independen yang masing-masing

berdistribusi eksponensial satu.

x=1 exp(1)

Dengan pdf bersamanya :

= , x1>0, x2>0

(64)

63

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Jawab:

y1=

y2 =

= = 1

= =

=

Jadi G

 

, 2, 1

1 1 _ _

   _ _

 

  



x

(65)

64

5.3 Metode MGF

Sebagaimana metode sebelumnya, metode MGF ini juga dapat digunakan dengan mudah untuk menentukan distribusi variabel random atau jumlah fungsi variabel random.

Jika (x1,x2,...,xk) merupakan n buah variabel random yang saling independen aatau bebas dan

masing-masing punya MGF : maka jumlah n buah variabel random diatas yakni :

x,y independen

Contoh :

Misalkan variabel random berdistribusi binomial yang saling independen : dengan

(66)

65

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Jawab:

= = =(

=

BIN (

5.4 Order Statistik (yi)

Konsep order statistik merupakan konsep yang terkait variabel random yang nilai-nilai observasinya diurutkan sesuai variabel random tersebut.

Contoh :

Misalkan x variabel random yang menentukan lamanya waktu tahan hidup dari 5 macam bola lampu yang diuji hasilnya.

x1 = 5 bulan y2

x2 = 2 bulan y1

x3 = 6 bulan y3 pengurutan mulai dari yang terkecil

x4 = 10 bulan y5

x5 = 7 bulan y4

(67)

66

Jika variabel random dari suatu populasi yang kontunyu, maka PDF bersamanya dari statistik urut

Misalkan : A1 =

A2 =

A3 =

A4 =

A5 =

A6 =

B =

A1= = , ,

Dengan memperhatikan nilai-nilai jacobian diatas dan berdasarkan metode transformasi sebelumnya, maka PDF bersama dari kasus diatas merupakan perkalian dari faktor-faktor

(68)

67

1. Misalkan menyatakan sampel random dengan PDF . Tentukan PDF bersama dari statistik bersama dan PDF marginal!

Jawab :

Penurunan distribusi dari order statistik ke-k dapat juga dilakukan hubungan antara PDF dan CDF :

2. Misalkan , variabel acak kontinyu dengan PDF :

. Tentukan bentuk dari distribusi marginal dari (pengamatan yang terkecil)!

(69)

68

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com ; a< <b

Dari contoh diatas maka PDF marginal secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut :

(70)

69

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Untuk a<x<b, maka PDF order statistik ke-k (marginal) dapat dinyatakan sebagai :

dengan a< <b

Dalam praktek order statistik smallest & biggest atau minimum dan maksimum, mempunyai peran penting khusunya dalam statistik inferensi.

Oleh karena itu, terkait dengan teorema diatas, maka statistik urut minimum dan maksimum dapat dirumuskan melalui 2 macam pendekatan :

1. Variabel acak kontinyu 2. Variabel acak diskrit

Untuk variabel acak kontinyu PDF max dan PDF min dinyatakan sebagai:

= ,

CDF :

5.5 Distribusi Limit

Dalam analisis statistik (inferensi) peran dari distribusi limit merupakan bagian yang penting, karena terkait dengan model distribusi pendekatan limit dari variabel random. Dalam distribusi limit ini, akan dibicarakan konsep-konsep yang terkait dengan konvergen distribusi, konvergen stokastik, konvergen hampir pasti, theorema CLT dari sebuah variabel atau barisan random.

Jadi barisan adalah suatu fungsi dengan domain bilangan asli.

(71)

70

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Maka dikatakan konvergen dalam distibusi ke dan dinyatakan

Contoh :

Misalkan sampel random dari distribusi eksponensial dan order statistik terkecil. Maka tentukan CDF !

Jawab :

F(-∞) = 0 F(∞) = 1

Definisi :

Suatu barisan dari variabel random dikatakan konvergen stokastik pada konstanta c jika barisan tersebut mempunyai distribusi limit pada y=c.

Dari definisi tersebut, maka dapat diturunkan definisi distribusi generate.

5.6 Distribusi Generate

Fungsi G(y) adalah CDF dari distribusi generate pada nilai y=c jika :

(72)

71

5.7 Distribusi Paretto

Suatu variabel acak kontinu Xdikatakan berdistribusi paretto dengan θ>0, ɸ>0 Jika PDF-nya berbentuk :

Contoh :

Misalkan berdistribusi paretto satu-satu dan order statistik terkecil, maka tentukan CDF dari !

Jawab :

= G(Y)

5.8 Teorema Limit Pusat

Misalkan suatu barisan variabel random dengan CDF masing-masing : dan MGF masing-masing adalah

(73)

72

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Maka

Contoh :

Misalkan suatu sampel random dari distribusi bernoulli dengan Yn =

sedemikian hingga np= maka tentukan distribusi limit dengan CLT!

Jawab : M (t)

, maka Yn =

=M(t)

Dari contoh diatas, konsep distribusi limit dan CLT dan keduanya menentukan dengan pendekatan

Satu hal yang perlu diketahui, apabila bentuk CDF tidak memenuhi sifat-sifat umum, maka barisan Yn tidak mempunyai distribusi limit pendekatan.

Teorema limit pusat secara khusus :

(74)

73

Februl Defila defiladefila@gmail.com http://febroeldefila.wordpress.com Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Theorema limit Central dapat dimodifikasi berdasar konsep-konsep statistik dasar, yaitu :

1.

2. Jika , maka:

5.9 Aplikasi CLT

Untuk menerapkan dalil limit pusat dalam permasalahan sehari-hari maka theorema limit pusat dapat dimodifikasi sesuai dengan kasus. Terdapat beberapa modifikasi dalam beberapa hal :

1.

2.

Contoh :

Misalkan adalah mean sampel random berukuran 75 dari distribusi dengan PDF

Tentukan peluang P(0,45< !