M odul Teo r i Tek ni k Rise t O per as ion al

(1)

Teknik Riset Operasional

STMIK TRIGUNADHARMA

AUTHORED BY: MUHAMMAD IKHSAN, ST., MKOM.

(2)

1

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Kata Pengantar

Modul Teori Teknik Riset Operasional

Teknik Riset Operasional adalah membahasa pokok-pokok dan garis besar pemodelan matematis dalam penelitian operasional, model-model dan teknik-teknik solusi masalah programa linier, masalah penugasan, masalah programa sasaran (global Programming). Memberikan ketrampilan untuk merumuskan dan memecahkan permsalahan nyata dalam disiplin Teknik Komputer dengan menggunakan model-model dan teknik-teknik solusi tersebut.

Materi Pengajaran :

Modul 01 : Riset Operasional

Modul 02 : Program Linear

Modul 03 : Permasalahan Minimasi Modul 04 : Metode Simplex

Modul 05 : Penyimpangan Penyimpangan Bentuk Standar Modul 06 : Dualitas

Modul 07 : Masalah Penugasan (Assignment Problem) Modul 08 : Metode Transportasi

Modul 09 : Optimalisasi Dengan Metode Modi

Modul 10 : Optimalisasi Dengan Metode Vam Modul 11 : Model Network

Modul 12 : CPM

Modul 13 : Lampiran Soal Latihan.

WASSALAM,

(3)

2

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-1

RISET OPERASIONAL

Pengertian Riset Operasional (RO)

Riset Operasi berasal dari Inggris yang merupakan suatu hasil studi operasi-operasi militer selama Perang Dunia II. Istilah riset operasi pertama kali digunakan pada tahun 1940 oleh Mc Closky dan Trefthen di suatu kota kecil, Bowdsey, Inggris.

Kata operasi dapat disefinisikan sebagai tindakan-tindakan yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa. Sementara riset dapat didefinisikan sebagai suatu proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan masalah atau hipotesa.

Definisi 1

RO adalah penerapan metode-metode ilmiah terhadap masalah-masalah rumit yang muncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu sistem besar manusia, mesin, bahan dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahan dan pertahanan. (Operational Research Society of Great Britain).

Definisi 2

Riset operasi berkaitan dengan menentukan pilihan secara ilmiah bagaimana merancang dan menjalankan sistem manusia-mesin secara terbaik, biasanya membutuhkan alokasi sumber daya yang langka. (Operation Research Society of America).

Definisi 3

Riset operasi adalah seni memberikan jawaban buruk terhadap masalah-masalah, yang jika tidak, memiliki jawaban yang lebih buruk. (T.L. Saaty).

Definisi 4

Riset operasi adalah pendekatan dalam pengambilan keputusan yang ditandai dengan penggunaan pengetahuan ilmiah melalui usaha kelompok antar disiplin yang bertujuan menentukan penggunaan terbaik sumber daya yang terbatas. (Hamdi A. Taha).

Definisi 5

(4)

3

Teknik R iset Ope ras io na l |A uthore d by: M uh amm ad Ik hs an, ST. , MKom .

RO Dalam Pegambilan Keputusan.

Riset operasi berusaha menetapkan arah tindakan terbaik (optimum) dari sebuah masalah keputusan dibawah pembatasan sumber daya yang terbatas. Istilah riset operasi sering kali diasosiasikan secara eksklusif dengan penggunaan teknik-teknik matematis untuk membuat model dan menganalisi masalah keputusan. Walaupun matematika dan model matematis merupakan inti dari riset operasi, pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model-model matematis. Secara spesifik, masalah keputusan biasanya mencakup factor-faktor penting yang tidak berwujud dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model matematis.

Sebuah ilustrasi yang baik dari kasus diatas adalah salah satu versi dari masalah elevator yang dikenal luas. Sebagai tanggapan terhadap keluhan para penghuni tentang lambatnya elevator disebuah bangunan perkantoran yang besar, sebuah pemecahan yang didasari oleh analisis teori jalur antrian ditemukan tidak memuaskan. Setelah mempelajari sistem tersebut lebih lanjut, ditemukan bahwa keluhan para penghuni tersebut lebih disebabkan oleh kebosanan, karena pada kenyataannya, waktu menunggu sangat singkat.

Sebuah pemecahan diajukan dimana sebuah cermin panjang dipasang ditempat masukelevator. Keluhan menghilang karena para pengguna elevator asik memandangi dirimereka sendiri dan orang lain sambil

menunggu elevator.Ilustrasi elevator ini menggarisbawahi pentingnya memandang aspek

matematisdari riset operasi dalam konteks yang lebih luas dari sebuah proses pengambilan keputusanyang unsur-unsurnya tidak dapat diwakili sepenuhnya oleh sebuah model matematis.Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, riset operasi harus dipandang sebagai ilmu danseni. Aspek ilmu terletak dalam penyediaan teknik-teknik matematis dan algoritma untukmemecahkan masalah keputusan yang tepat. Riset operasi adalah sebuah seni karenakeberhasilan dalam semua tahap yang mendahului dan melanjuti pemecahan dari sebuahmodel matematis sebagian besar bergantung pada kreativitras dan kemampuan pribadi darimereka yang menganalisis pengambilan keputusan.

Model-Model RO.

Model adalah abstraksi atau penyederhanaan realitas sistem yang kompleks dimanahanya komponen-komponen yang relevan atau faktor-faktor yang dominan dari masalahyang dianalisis diikutsertakan. Ia menunjukan hubungan-hubungan dari aksi dan reaksidalam pengertian sebab dan akibat. Salah satu alasan pembentukan model adalah untukmenemukan variabel-variabel apa yang penting. Penemuan variabel-variabel yang pentingitu berkaitan erat dengan penyelidikan hubungan yang ada diantara variabel-variabel itu.Teknik-teknik kuantitatif seperti statistic dan simulasi digunakan untuk menyelidikihubungan yang ada diantara banyak variabel dalam suatu model.

(5)

4

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

a. Iconic (Physical) Model

Iconic model adalah suatu penyajian fisik yang tampak seperti aslinya dari suatusistem nyata dengan skala yang berbeda. Contoh model ini adalah mainan anakanak,potret, histogram, maket dan lain-lain.

b. Analogue Model

Model analogue lebih abstrak disbanding model iconic, karena tak kelihatan samaantara model dengan sistem nyata. Contohnya jaringan pipa tempat air mengalirdapat digunakan dengan pengertian yang sama sebagai distribusi aliran listrik.Contoh lain adalah peta dengan bermacam-macam warna merupakan model analogdimana perbedaan warna menunjukan perbedaan cirri, misalnya biru menunjukanair, kuning menunjukan pegunungan, hijau sebagai dataran rendah, dan lain-lain.

c. Mathematic (Symbolic) Model

Model matematik sifatnya paling abstrak. Model ini menggunakan seperangkatsimbol matematik untuk menunjukan komponen-komponen (dan hubungan antarmereka) dari sistem nyata. Namun, sistem nyata tidak selalu dapat diekspresikandalam rumusan matematik. Model ini dapat dibedakan menjadi

deterministic danprobabilistic. Model deterministic dibentuk dalam situasi kepastian (certainty).Model

ini memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karenakepastian jarang terjadi. Model

(6)

5

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-2

PROGRAM LINEAR

Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untukmenyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkanfungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaianmasalah dan apa penyebab masalah tersebut.

Dua macam fungsi Program Linear:

Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah

Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

Masalah Maksimisasi

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.Contoh:

PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi keduaproduk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dantenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari,benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiapunit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabelberikut:

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kainsutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimanamenentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hariagar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

Langkah-langkah:

1. Tentukan variabel

(7)

6

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

X2=kain wol

2. Fungsi tujuan

Zmax= 40X1 + 30X2

3. Fungsi kendala / batasan

1. 2X1 + 3X2 60 (benang sutera)

2. 2X2 30 (benang wol)

3. 2X1 + X2 40 (tenaga kerja)

4. Membuat grafik

1. 2X1 + 3 X 2=60

X1=0, X2 =60/3 = 20

X2=0, X1= 60/2 = 30

2. 2X2 30

X2=15

3. 2X1 + X2 40

X1=0, X2 = 40

(8)

7

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Cara mendapatkan solusi optimal:

1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.

Titik A

X1=0, X2=0

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0

Titik B

X1=20, X2=0

Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800

Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + X2 = 40

2X2=20 X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + 3 . 10 = 60

2X1 + 30 = 60

2X1 = 30 X1 = 15

40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)

Titik D

2X2 = 30

X2 = 15

masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3 . 15 = 60

(9)

8

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

2X1 = 15 X1 = 7,5

Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750

Titik E

X2 = 15

X1 = 0

Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450

Kesimpulan :

untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900

juta.

2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.

Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).

Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + X2 = 40

2X2=20

X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + 3 . 10 = 60

2X1 + 30 = 60

2X1 = 30 <-> X1 = 15

(10)

9

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-3

Permasalahan Minimasi

Permasalahan Minimisasi

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapaipada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengantitik origin.Contoh :

Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makananyaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandungvitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jellypaling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin danprotein dalam setiap jenis makanan:

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.

Langkah – langkah:

1) Tentukan variabel

X1 = Royal Bee

X2 = Royal Jelly

2) Fungsi tujuan

Zmin = 100X1 + 80X2

3) Fungsi kendala

1) 2X1 + X2 8 (vitamin)

2) 2X1 + 3X2 12 (protein)

(11)

10

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

4) X2 1

4) Membuat grafik

1) 2X1 + X2 = 8

X1 = 0, X2 = 8

X2 = 0, X1 = 4

2) 2X1 + 3X2 = 12

X1 = 0, X2 = 4

X2 = 0, X1 = 6

3) X1 = 2

4) X2 = 1

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).

2X1 + X2 = 8

(12)

11

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

-2X2 = -4 <->X2 = 2

masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + X2 = 8

2X1 + 2 = 8

2 X1 = 6 <->X1 = 3

Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460

Kesimpulan :

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460

ribu rupiah.

SOAL LATIHAN

1. Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

Kendala :

1) 2X1 8

2) 3X2 15

3) 6X1 + 5X2 30

X10 , X2 0

2. Minimumkan Z = 5 X1 + 2X2

Kendala:

1) 6X1 + X2 6

2) 4X1 + 3X2 2

3) X1 + 2X2 4 , X1 0

3. PT BAKERY memproduksi tiga jenis roti kering, yaitu pia, bolukismis dancoklatkeju dengan

(13)

12

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

(14)

13

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-4

METODE SIMPLEX

Metode Simplex

Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untukmenyelesaikannya digunakan Metode Simplex.

Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, antara lain:

1. Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).

2. Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan –1.

3. Fungsi kendala dengan tanda “” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel

slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar.

4. Fungsi kendala dengan tanda “” diubah ke bentuk “” dengan cara mengalikan dengan –1, lalu

diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel (M).

5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).

Pembuatan Tabel Simplex

Contoh soal: Z = 3X1 + 5X2

Kendala:

1) 2X1 8

2) 3X2 15

3) 6X1 + 5X2 30

Langkah-langkah:

1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihat beberapa ketentuan yang harus diperhatikan di atas!)

Fungsi tujuan

Z = 3X1 + 5X2 => Z - 3X1 - 5X2 = 0

Fungsi kendala

1) 2X1 8 => 2X1 + X3 = 8

2) 3X2 15 => 3X2 + X4 = 15

3) 6X1 + 5X2 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30

(15)

14

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

2. _{Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel}

3. Memilih kolom kunci

Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai

negatif dengan angka terbesar.

4. Memilih baris kunci

(16)

15

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

5. Mengubah nilai-nilai baris kunci => dengan cara membaginya dengan angka kunci

Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci

sehingga tabel menjadi seperti berikut:

6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci (selain baris kunci) = 0

Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baris baru kunci)

Baris Z

Baris lama [ -3 -5 0 0 0 0 ]

NBBK -5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]

Baris baru -3 0 0 5/3 0 25

Baris X3

Baris lama [ 2 0 1 0 0 8 ]

(17)

16

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Baris baru 2 0 1 0 0 8

Baris X5

Baris lama [ 6 5 0 0 1 30 ]

NBBK 5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]

Baris baru 6 0 0 -5/3 1 5

Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi seperti berikut:

(18)

17

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Diperoleh hasil: X1 = 5/6 , X2 = 5, Zmax = 27 ½

SOAL LATIHAN

1. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex Maksimumkan Z = 400X1 + 300X2

Fungsi kendala/ batasan:

1) 4X1 + 6X2 1200

2) 4X1 + 2X2 800

3) X1 250

4) X2 300

2. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex Maksimumkan Z = 2X1 +

3X2 + X3

Dengan fungsi kendala: 1) X1 + X2 + X3 9

2) 2X1 + 3X2 25

3) X2 + 2X3 10

(19)

18

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-5

Penyimpangan Penyimpangan Bentuk Standar

PENYIMPANGAN - PENYIMPANGAN BENTUK STANDAR

1. Fungsi batasan dengan tanda sama dengan (=)

=> ditambah dengan variabel buatan

Contoh :

Fungsi kendala:

1) 2X1 8 => 2X1 +X3 = 8

2) 3X2 15 => 3X2 +X4 = 15

3) 6X1 + 5X2 = 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30

Fungsi tujuan:

Z = 3X1 + 5X2 => Z – 3X1 – 5X2 + MX5 = 0

Nilai setiap variabel dasar (X5) harus sebesar 0, sehingga fungsi tujuan harus dikurangi dengan M dikalikan dengan baris batasan yang bersangkutan (3). Nilai baris Z sebagai berikut:

[ -3 -5 0 0 M , 0 ]

M [ 6 5 0 0 1 , 30]

(-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 -30M

(20)

19

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

2. Fungsi tujuan : Minimisasi

Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengan cara mengganti tanda positif dan negatif pada fungsi tujuan.

Contoh:

Minimumkan Z = 3X1 + 5X2

Fungsi batasan: 1) 2X1 = 8

2) 3X2 15

(21)

20

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Penyelesaian:

Fungsi batasan: 1) 2X1 + X3 = 8

2) 3X2 + X4 = 15

3) 6X1 + 5X2 -X5 + X6 = 30

Fungsi tujuan menjadi:

maksimumkan (-Z) = -3X1 – 5X2 –MX3 – MX6

diubah menjadi fungsi implisit => -Z + 3X1 + 5X2 + MX3 + MX6 = 0

Nilai – nilai variabel dasar (X3 dan X6 ) harus = 0, maka:

[ 3 5 M 0 0 M , 0 ]

-M [ 2 0 1 0 0 0 , 8 ]

-M [ 6 5 0 0 -1 1 , 30 ]

(-8M+3) (-5M+5) 0 0 M 0 , -38M

(22)

21

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

(karena –Z= -18, maka Z=18)

Penyelesaian optimal: X1 = 4, X2 = 6/5 dan Zmin = 18

SOAL LATIHAN

1. Minimumkan Z = 3X1 + 2X2

Fungsi batasan : 1) X1 + 2X2 20

2) 3X1 + X2 20 , X1 0 , X2 0

2. Maksimumkan Z = 4X1 + 10X2 + 6X3

Fungsi batasan: 1) X1 + 3X2 + 3X3 6

2) 2X1 – X2 + 4X3 = 4

(23)

22

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-6

DUALITAS

Dualitas

Dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang salingberlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.BentukDual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagaiberikut:

Masalah Primal (atau Dual)

Masalah Dual (atau Primal)

Koefisien fungsi tujuan ………. Nilai kanan fungsi batasan

Maksimumkan Z (atau Y) ………. Minimumkan Y (atau Z)

Batasan i ………Variabel yi (atau xi)

Bentuk ………yi 0

Bentuk = ………..yi dihilangkan

Variabel Xj ………Batasan j

Xj 0 ………...Bentuk 

(24)

23

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Contoh 1:

Contoh 2 : Primal

Minimumkan Z = 2X1 + X2

Fungsi batasan: 1) X1 + 5X2 10

2) X1 + 3X2 6

3) 2X1 + 2X2 8

X1, X2 0

Dual

Maksimumkan Y = 10 y1 + 6y2 + 8y3

(25)

24

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

2) 5y1 + 3y2 + 2y3 1

y1, y2 0

Contoh 3: Primal

Maksimumkan Z = X1 + 3X2 – 2X3

Fungsi batasan: 1) 4X1 + 8X2 + 6X3 = 25

2) 7X1 + 5X2 + 9X3 = 30

X1, X2, X3 0

Dual

Minimumkan Y= 25y1 + 30y2

Fungsi batasan: 1) 4y1 + 7y2 1

2) 8y1 + 5y2 3

3) 6y1 + 9y2 -2

SOAL LATIHAN

1. Primal

Maksimumkan Z = 5X1 + 7X2

Fungsi batasan: 1) 2X1 + X2 8

2) X1 + 2X2 8

3) 6X1 + 7X2 42

X1, X2, X3 0

2. Primal

Maksimumkan Z = X1 + 3X2 – 2X3

Fungsi batasan: 1) 4X1 + 8X2 + 6X3 = 25

2) 7X1 + 5X2 + 9X3 = 30

(26)

25

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

3. Primal

Minimumkan Z = 3X1 + 2X2 + X3 + 2X4 + 3X5

Fungsi batasan: 1) 2X1 + 5X2 + 4 X4 + X5 6

2) 4X2 - 2X3 + 2X4 + 3X5 5

3) X1 – 6X2 + 3X3 + 7X4 + 5X5 7

X1, X2, X3, X4, X5 0

4. Primal

Minimumkan Z = X1 + 2X2 + X3

Fungsi batasan: 1) X2 + X3 = 1

2) 3X1 + X2 + 3X3 = 4

(27)

26

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-7

MASALAH PENUGASAN (ASSIGNMENT PROBLEM)

Masalah Penugasan

Salah satu metode yang digunakan untuk Penugasan adalah Metode Hungarian. Pada Metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Setiap sumber harus ditugaskan hanya untuk satu tugas. Jadi, masalah penugasan akan mencakup sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas, sehingga ada n! (n faktorial) kemungkinan. Masalah ini dapat dijelaskan dengan mudah dalam bentuk matriks segi empat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolomkolomnya menunjukkan tugas-tugas.

1. Masalah Minimisasi

Contoh: Sebuah perusahaan kecil mempunyai 4 pekerjaan yang berbeda untuk diselesaikan oleh 4 karyawan. Biaya penugasan seorang karyawan untuk pekerjaan yang berbeda adalah berbeda karena sifat pekerjaan berbeda-beda. Setiap karyawan mempunyai tingkat ketrampilan, pengalaman kerja dan latar belakang pendidikan serta latihan yang berbeda pula. Sehingga biaya penyelesaian pekerjaan yang sama oleh para karyawan yang berlainan juga berbeda. Tabel biaya sebagai berikut:

Masalahnya adalah bagaimana menugaskan keempat karyawan untuk menyelesaikan keempat pekerjaan agar total biaya pekerjaan minimum. Langkah-langkah:

1. Menyusun tabel biaya seperti tabel di atas.

2. Melakukan pengurangan baris, dengan cara:

a. memilih biaya terkecil setiap baris

(28)

27

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Sehingga menghasilkan reduced cost matrix /matrik biaya yang telah dikurangi.

3. Melakukan pengurangan kolom

Berdasarkan hasil tabel langkah 2, pilih biaya terkecil setiap kolom untuk mengurangi seluruh biaya dalam kolom-kolom tersebut. Pada contoh di atas hanya dilakukan pada kolom III karena semua kolom lainnya telah mempunyai elemen yang bernilai nol (0). Jika langkah kedua telah menghasilkan paling sedikit satu nilai nol pada setiap kolom, maka langkah ketiga dapat dihilangkan. Berikut matrix total opportunity cost, dimana setiap baris dan kolom terdapat paling sedikit satu nilai nol. Tabel total opportunity cost matrix

4. Membentuk penugasan optimum

(29)

28

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

5. Melakukan revisi tabel

a. Untuk merevisi total opportunity cost, pilih angka terkecil yang tidak terliput (dilewati) garis. (pada contoh di atas = 10)

b. Kurangkan angka yang tidak dilewati garis dengan angka terkecil (10)

c. Tambahkan angka yang terdapat pada persilangan garis dengan angka terkecil (10) yaitu (50) pada Hasan dan (10) pada Dzakwan. d. Kembali ke langkah 4

Revised matrix:

(30)

29

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

2. Jumlah Pekerjaan Tidak Sama Dengan Jumlah Karyawan

Bila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumlah karyawan, maka harus ditambahkan karyawan semu (dummy worker). Biaya semu sama dengan nol karena tidak akan terjadi biaya bila suatu pekerjaan ditugaskan ke karyawan semu. Bila jumlah karyawan lebih banyak daripada pekerjaan, maka ditambahkan pekerjaan semu (dummy job). Sebagai contoh, bila jumlah pekerjaan lebih besar dari

jumlah karyawan dapat dilihat pada tabel berikut:

Prosedur penyelesaian sama dengan langkah-langkah sebelumnya.

3. Masalah Maksimisasi

Dalam masalah maksimisasi, elemen-elemen matriks menunjukkan tingkat keuntungan. Efektivitas pelaksanaan tugas oleh karyawan diukur dengan jumlah kontribusi keuntungan.

Contoh: Tabel keuntungan

Langkah-langkah:

a. Seluruh elemen dalam setiap baris dikurangi dengan nilai maksimum dalam baris yang sama. Prosedur

(31)

30

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

b. Meminimumkan opportunity-loss dengan cara mengurangi seluruh elemen dalam setiap kolom (yang belum ada nol-nya) dengan elemen terkecil dari kolom tersebut.

Matriks total opportunity loss

Dari matriks di atas dapat dilihat bahwa seluruh elemen yang bernilai nol baru dapat diliput oleh 4 garis.

Jadi matriks harus direvisi.

c. Merevisi matriks

(32)

31

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

SOAL LATIHAN

1. Sebuah perusahaan pengecoran logam mempunyai empat jenis mesin yang diberi nama M1, M2,

M3 dan M4. Setiap mesin mempunyai kapasitas yang berbeda dalam pengoperasiannya. Dalam minggu mendatang perusahaan mendapatkan pesanan untuk menyelesaikan empat jenis pekerjaan (job) yaitu J1, J2, J3 dan J4. Biaya pengoperasian setiap pekerjaan oleh keempat mesin dapat dilihat

dalam tabel berikut:

2. Seorang pengusaha konveksi mempunyai 4 orang karyawati yang memproduksi 4 jenis produk.

Jumlah produk yang dihasilkan masing-masing karyawan tiap bulannya dapat dilihat pada tabel

berikut:

(33)

32

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-8

METODE TRANSPORTASI

Metode Transportasi

Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempattempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.

Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:

1. Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang efisien.

2. Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil dulu. Lebih efisien dibanding

metode NWC.

Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:

1. Stepping Stone (batu loncatan)

2. Modified Distribution Method (MODI)

Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).

(34)

33

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Penyelesaian:

1. Metode NWC

Biaya yang dikeluarkan :

(50 . 20) + (40 . 5) +( 60 . 20) + (10.10) + (40.19) = 3260

2. Metode biaya terkecil

(35)

34

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Mengoptimalkan tabel:

1. Metode Stepping Stone , misal tabel awal menggunakan yang NWC

Perbaikan 1 dengan cara trial and error

Setelah dihitung dengan trial and error, biaya yang dikeluarkan:

(36)

35

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Perbaikan 2

(50 . 5) + (40 . 8) + (50 . 15) + (10 . 20) + (50 . 10) = 2020

(37)

36

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

(60 . 5) + (30 . 8) + (50 . 15) + (10 .10) + (50 . 10) = 1890 (paling optimal)

Jika hasil belum optimal, lakukan perbaikan terus sampai mendapatkan hasil yang

(38)

37

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-9

OPTIMALISASI DENGAN METODE MODI

Metode MODI

Langkah-langkah:

a. Misal tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC

b. Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.

c. Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus:

Ri + Kj = Ci

baris kolom biaya

1. W-A = R1 + K1 = 20

2. W-B = R1 + K2 = 5

3. H-B = R2 + K2 = 20

4. P-B = R3 + K2 = 10

5. P-C = R3 + K3 =19

dari persamaan di atas, hitung K1 dan R1 dengan cara meng-nol-kan variable R1 atau K1, misal R1= 0

1. R1 + K1 = 20 => 0 + K1 = 20 , K1 =20

2. R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

3. R2 + K2 = 20 => R2 + 5 = 20 , R2 = 15

4. R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

5. R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

(39)

38

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

d. Hitung nilai/ index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:

Cij - Ri - Kj

1. H-A = 15 – 15 – 20 = - 20

2. P-A = 25 – 5 – 20 = 0

3. W-C = 8 – 0 – 14 = - 14

4. H-C = 10 – 15 – 14 = - 19

(optimal jika pada sel yang kosong, indek perbaikannya 0, jika belum maka pilih yang negatifnya

besar)

e. Memilih titik tolak perubahan

Pilih nilai yang negatifnya besar yaitu H-A

f. Buat jalur tertutup

(40)

39

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

g. Ulangi langkah-langkah c – f sampai indeks perbaikan bernilai _ 0

hitung sel yang berisi:

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

H-A = R2 + K1 = 15 => R2 + 0 = 15, R2 = 15

H-B = R2 + K2 = 20 => 15 + 5 = 20 ,

P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

Perbaikan indeks:

W-A = 20 – 0 – 0 = 20

W-C = 8 – 0 – 14 = - 6

H-C = 10 – 15 – 14 = - 19

(41)

40

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Biaya transportasi : (90 . 5) + (50 . 15) + (10 . 10) + (20 . 10) + (30 . 19) = 2070

Hitung sel yang berisi:

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 14 = 10 , R2 = - 4

H-A = R2 + K1 = 15 => - 4 + K1 = 15 , K1 = 19

Perbaikan indeks (sel kosong) :

W-A = 20 – 0 – 0 = 20

W-C = 8 – 0 – 14 = - 6

H-B 20 – 15 – 5 = 0

(42)

41

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Biaya transportasi :

(80 . 5) + (10 . 8) + (50 . 15) + (10 . 10) + (30 .10) + (20 . 19) = 2010

Sel berisi:

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

W-C = R1 + K3 = 8 => 0 + K3 = 8 , K3 = 8

H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 8 = 10 , R2 = 2

H-A = R2 + K1 = 15 => 2 + K1 = 15 , K1 = 13

P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

Indeks perbaikan:

W-A = 20 – 0 – 19 = 1

H-B = 20 – (-4) – 5 = 19

P-A = 25 – 5 – 19 = 1

(43)

42

(44)

43

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-10

OPTIMALISASI DENGAN METODE VAM

Metode VAM

Metode VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan.

Langkah metode VAM:

1. Cari perbedaan dua biaya terkecil, yaitu terkecil pertama dan kedua (kolom dan baris)

2. Pilih perbedaan terbesar antara baris dan kolom

3. Pilih biaya terendah

4. Isi sebanyak mungkin yang bisa dilakukan

5. Hilangkan baris / kolom yang terisi penuh

(45)

44

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Biaya transportasi :

(46)

45

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

SOAL LATIHAN

1. Perhatikan Tabel Dibawah ini :

Selesaikan dengan metode:

a. NWC

b. Biaya terkecil

c. MODI

2. Produksi pabrik A, B , C adalah sebagai berikut:

Gudang pabrik tersebut mempunyai kapasitas sebagai berikut:

(47)

46

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

a. Buat tabel awal transportasi

b. Selesaikan dengan metode biaya terkecil dan optimalkan dengan metode MODI

(48)

47

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-11

MODEL NETWORK

Mengapa mempelajari Network Model

Sebuah surve melaporkan bahwa 70% dari pemrograman matematika dapat direpresentasikan dalam model jaringan terhubung

Keterangan BAB

Definisi Network

Sebuah Network (jaringan) terdiri dari sejumlah node-node yang dihubungkan oleh arcs

Notasi untuk menggambarkan sebuah jaringan adalah (N,A) dimana N adalah set node-node dan A adalah set arc-arc

Contoh :

N = {1, 2, 3}

A = {(1,2), (2,3)}

Sebuah Arc dikatakan sebagai directed atau oriented jika mengijinkan aliran positif pada satu arah dan nol pada arah yang berlawanan

A directed network has all directed arcs.

Sebuah directed network mempunyai semua direct arcs.

Sebuah path adalah urutan arc yang menggabungkan dua node melalui node yang lain tanpa memandang arah dari tiap arc.

Sebuah path membentuk sebuah cycle jika menghubungkan sebuah node ke diri sendiri melalui node lain.

Sebuah cycle adalah directed apabila terdiri dari sebuah directed path

Network Definition

Sebuah connected network adalah adanya tiap dua node yang terhubung oleh minimal sebuah path

(49)

48

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Sebuah spanning tree adalah tree yang menghubungkansemua node-node dari network, juga tanpa cycle.

Algoritma Minimal Spanning Tree

Misal N = {1, 2, 3, …, n} adalah sebuah set node-node.

Tentukan :

Ck

Set node-node yang telah permanen terhubung pada iterasi ke k.

Node yang sudah terhubung permanen

C’k

Set node-node yang akan dihubungkan secara permanen

Node yang belum terkoneksi

Step 0:

Posisikan C0 = { } dan C’0 = N.

Step 1:

Mulai dengan sembarang node dalam set yang belum terhubung C’0.

Posisikan C1 = {i} yang mengubah C’1 = N – {i}.

Posisikan k=2.

Langkah Umum k:

Pilih sebuah node, j*, dalam set belum terhubung C’k-1 yang menyatakan arc terpendek ke sebuah node dalam set terhubung Ck-1.

Hubungkan j* secara permanen ke Ck-1 dan hilangkan dari C’k-1.

Ck = Ck-1 + {j*}

Ck = Ck-1 – {j*}

Jika set dari node belum terhubung, Ck, kosong, berhenti.

(50)

49

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Persoalan Minimal Spanning Tree

Persoalan

Perusahaan TV kabel Midwest sedang dalam proses penyambungan kabel ke lima area pembangunan perumahan baru.

Persoalan Minimal Spanning Tree

1

2

3

4

5

6 1

3

3 10

5

4

7

6

9

5

8

Persoalan Rute Terpendek

(51)

50

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Penggantian Perlengkapan

Contoh problem

Sebuah tempat persewaan mobil mengembangkan sebuah rencana penggantian untuk mobil-mobilnya untuk jangka waktu 4 tahun mendatang yang dimulai sejak 1 januari 2001 sampai 31 desember 2004.

Sebuah keputusan harus diambil untuk menentukan apakah sebuah mobil harus terus dioperasikan atau diganti. Sebuah mobil harus dioperasikan paling sedikit 1 tahun dan maksimal 3 tahun

Replacement Cost

Penyelesaian

Arcs dari node 1 hanya dapat mencapai node 2,3, dan 4 sebab sebuah mobil hanya dapat dioperasikan pada tahun pertama,kedua, dan ketiga saja

Angka pada masing-masing arcs menunjukkan biaya penggantian spare part

Rute terpendek yang didapat dengan menggunakan TORA adalah 1 -> 3 ->5

Total biaya penggantian yang dibutuhkan

$5400 + $7100 = $12500

Rute Terhandal (Most Reliable Route)

Seseorang ingin mencari rute dari rumah ke kantornya. Dia ingin mencari rute teraman yang mungkin dicapai tanpa dihentikan polisi

Angka pada tiap arcs melambangkan kemungkinan dia selamat melalui jalan itu tanpa dihentikan polisi

Kemungkinan orang itu selamat menuju kantornya tanpa dihentikan polisi adalah hasil kali dari masing-masing kemungkinan di tiap node

(52)

51

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Penyelesaian

Masalah tersebut dapat diubah menjadi rute jalan terpendek dengan menggunakan transformasi logaritma

Perkalian masing2 arcs dapat diubah menjadi jumlah dari log arcs

pk=p1 x p2 x p3 x…..x pn

= log p1 + log p2 +…..+ log pn

Dengan mengganti nilai di masing2 arcs dengan nilai log-nya,penyelesaian dapat dicari dengan menggunakan TORA, hasilnya 1->3->5->7

Peluangnya sampai kantor tanpa dihentikan oleh polisi

0.9 x 0.3 x 0.25 = 0.0675

Representasi Model Rute Terpendek

Log

Algoritma rute terpendek

Ada dua algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan mencari rute terpendek

Dijkstra’s Algorithm

Digunakan untuk mencari rute terpendek dari suatu node dengan semua node lain dalam suatu network

Floyd’s Algorithm

Digunakan untuk mencari rute terpendek antara 2 node dalam suatu network

Dijkstra’s Algorithm

Misalkan ui adalah rute terpendek dari node 1 ke node i, dan dij adalah panjang dari arcs(i,j) maka

[uj,i] = [ui + dij,i] , dij >=0

Label untuk node awal adalah [0,-] menandakan bahwa node tersebut tidak mempunyai predecessor

Label suatu node dalam algoritma dijkstra dibedakan menjadi 2

Temporary

Diubah nilainya jika rute yang lebih pendek bisa ditemukan

Permanent

(53)

52

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Langkah2 Algoritma Dijkstra

Tandai label awal dengan label permanent [0,-], set i=1

Hitung label temporary [ui+dij,i] untuk tiap node j yang dapat dicapai dari node i, beri tanda temporari

Jika node j sudah punya label [uj,k] melalui node lain k dan jika ui+dij<uj, ganti [uj,k] dengan [uj+dij,i]

Jika semua node telah mempunyai label permanen, stop. Jika tidak, pilih label [ur,s] yang mempunyai jarak terpendek(ur) dari semua label temporary. Set i=r dan ulaingi step 1

Contoh di gambar 6.3-4

Iterasi 0

Tandai node 1 dengan label permanen [0,-]

Iterasi 1

Node 2 dan 3 dapat dicapai dari node 1 dan dari 2 temporary label itu node 3 mempunyai jarak yg lebih pendek, maka node 3 menjadi label permanen

Iterasi 2

Node 4 dan 5 dapat dicapai dari node 3 dan karena node 4 mempunyai jarak yg lebih pendek, node 4 menjadi node permanen

Iterasi 3

Node 2 dan 5 dapat dicapai dari node 4. temporary label pada node 2 diganti karena rute yg lebih pendek didapat dari node 4. Node 5 mempunyai 2 label yg sama jaraknya maka nilainya tidak diganti

Iterasi 4

Node 2 hanya dapat menuju ke node 3 yang sudah mempunyai label permanen, maka node 2 diberi label permanen

(54)

53

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Modul

-12

CPM

Perhitungan yang dibutuhkan :

Durasi total yg dibutuhkan dlm penyelesaian proyek

Mengklasifikasikan aktivitas berdasarkan kritis dan non kritis

Dikatakan kritis jika tidak ada celah (“leeway”) dalam penentuan awal & akhir aktivitas

Dikatakan non-kritisjika aktivitas mengijinkan slack(waktu senggang), sehingga awal aktivitas dapat dtunda/dipercepat tanpa mempengaruhi keseluruhan jadwal proyek

Event (Node)

Pengertian : suatu titik waktu dimana suatu aktivitas diakhiri & aktivitas yang lain dimulai

Unsur-unsurnya :

1. ฀j = waktu kejadian paling awal dari event j (start)

2. Δj = waktu kejadian paling akhir dari event j (end)

3. Dij = Durasi aktivitas (i,j)

Forward Pass

Perhitungan berawal dari node 1 & secara rekursif berakhir di node n

Initial Step. ฀j=0 General Step

฀j=max{฀p+Dpj,฀q+Dqj,...,฀v+Dvj}

Forward pass diakhiri ketika ฀n telah dihitung

Sesuai definisi, ฀n adalah durasi/path terpanjang ke node j

Backward Pass

Perhitungan berawal dari node n & secara rekursif berakhir di node 1

Initial Step. Δn =฀n General Step

Δj=min{Δp-Djp, Δq-Djq,..., Δv-Djv}

(55)

54

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Syarat Kritis

Δi =฀i

Δj =฀j

Δj - Δi =฀j - ฀i = Dij

Jika tidak memenuhi, maka disebut non kritis

Aktivitas kritis harus menunjukkan path yang tidak boleh diinterupsi yg dapat mempengaruhi network dari start hingga finish

Contoh

Tentukan jalur kritis dari jaringan berikut:

Jawaban

Forward Pass

Node 1. Set □1 = 0

Node 2. □2 =□1+□12 = 0+5 = 5

Node 3. □3 = max{□1+ D13+□2+□23}= max{0+6, 5+3}= 8 Node 4._□4 = D2+□24 = 5+8 = 13

Node 5._□5 = max{□3+ D35, □4+□45} = max{8+2, 13+0}= 13 Node 6. _□6 = max{□3+ D36, □4+□46, □5 + D56}

(56)

55

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

Backward Pass Node 6. Set Δ6 = 0

Node 5. Δ6 =Δ6-Δ56 = 25-12 = 13

Node 4. Δ4 = min{Δ6-D46-Δ5-Δ45}= min{25-11, 13-0}= 13 Node 3. Δ3 = min{Δ6-D36-Δ5-Δ35}= min{25-11, 13-2}= 11 Node 2. Δ2 = min{ Δ4-D24, Δ3-Δ23} = min{13-8, 11-3}= 5 Node 1. Δ1 = min{ Δ3-D13, Δ2-Δ12} = min{11-6, 5-5}=0

Contoh

Buatlah schedule dari jalur gambar 6.54 sebelumnya

Keterangan schedule:

Kegiatan kritis (ditunjukkan dng garis tebal) harus dijadwalkan setelah yang lain memastikan project itu dilengkapi dengan durasi 25 hari yang spesifik

Kegiatan non kritis (ditunjukkan dng garis putus-putus) meliputi rentang yang lebih besar dari total durasi, karena disediakan slack di schedule dengan waktu yang dibagi.

Contoh CPM-TORA

Penentuan Float

Float adalah waktu slack yang didapatkan dengan membagi waktu dari kegiatan non kritis

Tiga perhitungan :

1. Optimistic Key, a, mengasumsikan pelaksanaan berjalan benar-benar sukses 2. Most Likely Time, m, mengasumsikan pelaksanaan berjalan dalam kondisi normal 3. Pessimistic Time, b, mengasumsikan pelaksanaan berjalan paling buruk

D = mean/rata-rata

V = varians

Rumus Probabilitas

μ = waktu pemunculan kejadian tercepat untuk kejadian i

STi = Scheduled Time

E = mean

(57)

56

Teknik

R

iset Ope

ras

io

na

l |A

uthore

d by:

M

uh

amm

ad Ik

hs

an, ST.

, MKom

.

k = kegiatan-kegiatan di sepanjang jelur terpanjang yang mengarah pada i

z = standar normal variabel random

Dual problem dari LP diatas adalah :

Min w = y6 – y1

* y2 – y1 ≥ 5(A) * y6 – y3 ≥ 11(F)

* y3 – y1 ≥ 6(B) * y5 – y4 ≥ 0(Dummy)

* y3 – y2 ≥ 3(C) * y6 – y4 ≥ 1(G)

* y4 – y2 ≥ 8(D) * y6 – y5 ≥ 12(H)

* y5 – y3 ≥ 2(E) * semua yi restricted

yi = waktu munculnya node j

y1 = 0

Dengan menggunakan TORA, didapat hasil : w=25, y1 = 0, y2 = 5, y3 = 11, y4 = 13, y5 = 13, y6 = 25

Solusi menunjukkan durasi proyek adalah 25 hari dengan path : ADDummyH