Pembuktian dengan Induksi Matematik

Pembuktian dengan Induksi Matematik

Contoh Soal

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

Dengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

(1 2) + 2 22 + 3 23 + + (n 2n) = (n 1)2n+1+2.

Jawab

De…nisikan semesta dan predikat berikut: S =N,

P(n):_{(1 2) + 2 2}2 _{+ + (n 2}n_{) = (n 1)2}n+1₊₂.

Basis induksi: untukn =1 berlaku

P(1):_{1 2}1 _{= (1 1)2}1+1_+2,P(1):₂₌₂.

P(1)benar.

Hipotesis induksi: untuk k 1,anggapP(k)benar, yaitu berlaku

Buktikan n3 n habis dibagi 3 untuk setiapn bilangan asli.

Misalkan P(n):_n3 _{n habis dibagi 3}.Akan dibuktikan bahwa:

(₈n₂N_)P(n).

Basis induksi: untukn =1 diperoleh 13 _{1=0 habis dibagi 3.P(1)}

benar.

Hipotesis induksi: untuk n=k dank 1 andaikan P(k)benar, yaitu berlaku

k3 k habis dibagi 3_,k3 k =3m, m₂Z.

Langkah induksi: untukn =k+1 akan dibuktikanP(k+1)benar, yaitu

Bukti

(k+1)3 (k+1) = k3+3k2+3k+1 (k+1)

= (k3 k) +3k2+3k

= 3m+3(k2+k)

= 3(m+k2+k)

= 3r, r :_=m+k2_+k.

Misalkan x 1.Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa

(1+x)n 1+nx,

untuk setiap bilangan asli n.

Jawab

De…nisikan semesta dan predikat berikut: S =N_,

P(n):_(1+x)n _1+nx, x 1.

Basis induksi: untukn =1 berlaku

Ruas kiri: 1+x

Ruas kanan: 1+x Benar bahwa 1+x 1+x

Dengan demikian P(1) benar.

Hipotesis induksi: untuk k 1,anggapP(k)benar, yaitu berlaku

Langkah induksi: akan dibuktikan P(k+1) benar, yaitu berlaku

(1+x)k+1 1+ (k+1)x.

Bukti _{Dari hipotesis induksi dan karenax 1 maka}

(1+x)k 1+kx _, (1+x)k(1+x) (1+kx) (1+x)

, (1+x)k(1+x) 1+x+kx+kx2.

Karena k bilangan asli, maka kx2 0,sehingga

1+x+kx+kx2 1+x+kx.

Ini berarti

(1+x)k(1+x) 1+x+kx _,(1+x)k+1 1+ (k+1)x.

Diberikan barisan bilangan real x1,x2,x3,. . .yang dide…nisikan oleh

x1 = 2,

xn+1 = 2 1

xn

, n=1,2,3,. . ..

Dengan pembuktian induksi matematik, buktikan bahwa

xn = n+1

Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa

Basis induksi: untukn =2,dari de…nisi diperoleh

Di lain pihak, dari rumus analitik diperoleh

x2 =

2+1

2 =

3

2 (benar).

Hipotesis induksi: untuk n=k andaikan benar bahwa

xk =

k+1

k .

Langkah induksi: untuk n =k+1 akan dibuktikan bahwa

xk+1=

(k+1) +1

k+1 =

Example

Gobang adalah mata uang resmi Negeri Artamaya dengan

pecahan-pecahan yang berlaku adalah suku (=2 gobang), benggol (=5

gobang), ketip (=7 gobang), dan kawung (=10 gobang). Di suatu

kejadian aneh, seorang penjual barang kelontong yang hanya memiliki sejumlah pecahan benggol sebagai uang kembalian kedatangan seorang pembeli yang hanya memiliki sejumlah pecahan ketip. Buktikan bahwa

setiap transaksi atas barang kelontong seharga n gobang, dengann 25

dan n bilangan asli, selalu dapat dilakukan dengan hanya menggunakan

pecahan-pecahan benggol dan ketip tanpa menimbulkan utang-piutang

antara penjual dan pembeli. Ilustrasi: Jika harga barang 50 gobang maka

pembeli membayar dengan 10 keping uang ketip dan mendapat kembalian 4 keping uang benggol.

Masalah di atas ekuivalen dengan masalah berikut: dengan induksi

matematik, buktikan bahwa setiap bilangan asli n, dengann 25, selalu

dapat dituliskan sebagai

n

harga=bayar7x _kembalian5y ,

denganx dany adalah bilangan-bilangan bulat positif.

Basis induksi: untukn =25 diperoleh

25=7 5 5 2

sehingga diperoleh x =5 dany = 2 (Benar).

Hipotesis induksi: untuk n=k anggap benar bahwa

k = 7a 5b

Langkah induksi: untuk n =k+1 akan dibuktikan bahwa

k+1=7p 5q

denganp danq suatu bilangan bulat positif.

Bukti

k+1 = (7a 5b) +1 (dari hipotesis induksi)

= 7a 5b+ (7 3 5 4)

= 7(a+3) 5(b+4)

= 7p 5q, denganp :_{=a+3 dan q} :_=b+4.

Karena adanb bilangan bulat positif maka p :_{=a+3 dan q} :_=b+4

Buktikan untuk setiap bilangan asli n berlaku

12+22+ + (n 1)2 < n

3

3 .

Jawab

Dide…nisikan predikat:

P(n):₁2₊₂2_{+ + (n 1)}2< n

3

3 .

Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa

Basis induksi: untukn =1 diperolehP(1):_{(1 1)}2 < 13

3 ,0< 13.

P(1)benar.

Example

Buktikan untuk setiap bilangan asli n 10 berlaku

2n >_n3.

Jawab

Dide…nisikan predikat:

P(n):₂n >_n3.

Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa

Basis induksi: untukn =10 diperoleh

P(10):₂10 >₁₀3 _,1024>₁₀₀₀.P(10)benar.

Hipotesis induksi: untuk n=k dank 10 andaikan P(k) benar, yaitu berlaku

2k >_k3.

Langkah induksi: untukn =k+1 akan dibuktikanP(k+1)benar, yaitu

Bukti:

2k+1 = 2 2k

> _{2 k}3

= k3+k3

k3+10k2 (k 10 _,k3 10k2)

= k3+3k2+7k2

k3+3k2+70k (k 10_,k2 10k _,7k2 70k)

> _k3_+3k2_+3k+1

Dide…nisikan barisan bilangan a1,a2,a3,. . .dengan

a1 = 1,

a2 = 1+1₂,

a3 = 1+1₂ +1₃,

.. .

an = 1+1₂ + +1_n, untuk semua bilangan asli n.

Buktikan untuk semua bilangan asli n berlaku

Problem

Diketahui barisan bilangan y1,y2,y3,. . .dengan

y1 = 1,

yn+1 = 1₄(2yn+3), untuk n=1,2,. . ..

Dengan menggunakan induksi matematik, tunjukkan bahwa yn 2untuk

setiap bilangan asli n.

Problem

Dengan menggunakan induksi matematik buktikan bahwa xn xn+1

Diketahui barisan bilangan bulat x1,x2,x3,. . .yang dide…nisikan oleh

x1 = 2,

xn = xn 1+2n, (untuk n 2).

Tunjukkan dengan induksi matematik bahwa untuk semua bilangan asli n, berlaku:

xn =n(n+1).

Problem

Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan bahwa

13+23+33+ +n3 > n

4

4 .

adalah benar untuk setiap bilangan asli n. (Diketahui:

Problem

Dengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk bilangan asli n berlaku

42n+1+3n+2 habis dibagi 13.

Problem

Dengan menggunakan induksi matematik buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

3+11+ + (8n 5) =4n2 n.

Problem

Misalkan a bilangan real dan a ₆=1. Dengan induksi matematik, tunjukkan bahwa

1+a+a2+ +an 1 = 1 a

n

1 a

Perhatikan deret berikut:

Sn = n

∑

i=1

i

(i+1)!.

1 Hitung S₁, S₂, dan S₃. Dengan memerhatikan pola yang terbentuk,

tebaklah bentuk dari Sn.