Dalam MINITAB 14
Dalam MINITAB 14
(ANALYSIS of VARIANCE – ANOVA – ) (ANALYSIS of VARIANCE – ANOVA – )Materi ANOVA yang diberikan dalam MINITAB 14 melingkupi beberapa materi Materi ANOVA yang diberikan dalam MINITAB 14 melingkupi beberapa materi analisis statistik seperti dalam Gambar 1 di bawah ini.
analisis statistik seperti dalam Gambar 1 di bawah ini.
Gambar 1.
Gambar 1. Cakupan pembahasan ANOVA dalam MINITAB 14Cakupan pembahasan ANOVA dalam MINITAB 14
0. Overview
0. Overview
Analysis of variance (ANOVA) mirip dengan pemodelan di dalam regresi. Pemodelan-nya Analysis of variance (ANOVA) mirip dengan pemodelan di dalam regresi. Pemodelan-nya menggunakan hubungan antara respon (dependent variable) dan prediktor (independent menggunakan hubungan antara respon (dependent variable) dan prediktor (independent variable). Tetapi ANOVA mempunyai dua prinsip beda dengan regresi, yaitu:
variable). Tetapi ANOVA mempunyai dua prinsip beda dengan regresi, yaitu: -- independindependent vent variaariableble-nya -nya adaladalah quah qualitalitatiative (cve (cateategorgoricalical), da), dann
-- titidadak k didikekenanal l adadananya ya asasumumsi si dadalalam m huhububungngan an anantatara ra rerespspon on dadan n prprededikiktotor r (model tidak memasukkan coefficient dari variabel).
(model tidak memasukkan coefficient dari variabel).
Akibatnya ANOVA hanya melakukan testing hipotesis secara umum saja, yaitu: Akibatnya ANOVA hanya melakukan testing hipotesis secara umum saja, yaitu:
Ho : Semua mean sama Ho : Semua mean sama
H1 : tidak semua mean sama. H1 : tidak semua mean sama. Perintah
Perintah menu drivenmenu drivendalam MINITAB adalahdalam MINITAB adalah Stat > ANOVA
Stat > ANOVA
yang mempunyai tampilan seperti dalam Gambar 2. yang mempunyai tampilan seperti dalam Gambar 2.
Gambar 2.
Gambar 2. Tampilan ANOVA dalam menu driven di MINITAB 14Tampilan ANOVA dalam menu driven di MINITAB 14
Dimana masing-masing fasilitas mempunyai fungsi dan kemampuan sebagai berikut: Dimana masing-masing fasilitas mempunyai fungsi dan kemampuan sebagai berikut: One-Way
One-Way −−digunakadigunakan n untuk menganalisuntuk menganalisis model is model ANOVANOVA satu A satu arah, dimana struktur dataarah, dimana struktur data respon dituliskan dalam sebuah kolom (
respon dituliskan dalam sebuah kolom ( stacked stacked ) dan satu kolom lain sebagai) dan satu kolom lain sebagai sub- sub- script
script dari masing-masing treatment.dari masing-masing treatment. One-Way (Unstacked)
One-Way (Unstacked) −−digunakan untuk menganalisis model ANOVA satu arah, dimanadigunakan untuk menganalisis model ANOVA satu arah, dimana st
struruktktur ur datdata a rerespospon n sesetitiap ap trtreaeatmtment ent diditultulisiskan kan dadalalam m kolkolom om yanyang g teterpirpisasahh ((unstacked unstacked ))
Two-way
Two-way −− digunakadigunakan n untuk menganalisis modeluntuk menganalisis model balanced ANOVAbalanced ANOVA dua dua araarah, h, dimdimanaana struktur datanya seperti dalam One-Way.
struktur datanya seperti dalam One-Way. Analysis of Means
Analysis of Means −−digunakan untuk menampilkan chart dari Analisis Means untuk datadigunakan untuk menampilkan chart dari Analisis Means untuk data yang berdistribusi normal, binomial, atau Poisson
Balance
Balanced d ANOVANOVAA −− digudigunakanakan n untuntuk uk memengananganalislisis is modmodel el balabalanced nced ANANOVA OVA dengdenganan struktur crossed atau nested dengan faktor fixed atau random.
struktur crossed atau nested dengan faktor fixed atau random. General Linear Model
General Linear Model −−digunakan untuk menganalisis modeldigunakan untuk menganalisis model balanced balanced atauatau unbalanced unbalanced ANOVA
ANOVA dengan dengan struktstruktur ur crossed crossed atauatau nested nested dengan faktor dengan faktor fixed fixed atau random.atau random. Dis
Disini ini dapadapat t dimdimasuasukkankkan covariatescovariates sehingga sehingga dapadapat t melmelakukakukan an perperbandbandinginganan serentak dari beberapa mean.
serentak dari beberapa mean. Fully Nested ANOVA
Fully Nested ANOVA −−digunakan untuk menganalisis modeldigunakan untuk menganalisis model fully fully nested nested ANOVAANOVA dandan mengestimasi
mengestimasivariance componentsvariance components Balanced MANOVA
Balanced MANOVA −−digunakan untuk menganalisis model balanced MANOVA dengandigunakan untuk menganalisis model balanced MANOVA dengan struktur
struktur crossed crossed atauataunested nested dengan faktor dengan faktor fixed fixed atau randomatau random Gener
General al MANMANOVAOVA −− digunakan untuk menganadigunakan untuk menganalisis modellisis model balanced balanced atauatau unbalanced unbalanced MANO
MANOVAVA dengan struktur crossed atau nested dengan faktor dengan struktur crossed atau nested dengan faktor fixed fixed atau random.atau random. Disini juga dapat dimasukkan
Disini juga dapat dimasukkancovariatescovariates-nya.-nya. Test for Equal Variances
Test for Equal Variances −−digunakan untuk melakukan pengetesan Bartlett dan Levenedigunakan untuk melakukan pengetesan Bartlett dan Levene untuk membedakan besaran dan kesamaan beberapa variance
untuk membedakan besaran dan kesamaan beberapa variance Interval Plot
Interval Plot −−digunakan untuk menampilkan grafik yang menunjukkan variasi dari suatudigunakan untuk menampilkan grafik yang menunjukkan variasi dari suatu gru
grup p ratrata-ra-rata ata datdata a dengdengan an menmenggaggambambarkan rkan stastandarndard d errerror or bar bar ataatau u confconfideidencence interval
interval Main Effects Plot
Main Effects Plot −−digunakan untuk menampilkan plot dari respon dari beberapa maindigunakan untuk menampilkan plot dari respon dari beberapa main effect
effect Interactions Plot
Interactions Plot −−digunakan untuk menampilkan plot interaksi antar faktor (atau matrik digunakan untuk menampilkan plot interaksi antar faktor (atau matrik dari beberapa plot interaksi)
dari beberapa plot interaksi)
Dari uraian fasilitas di atas, MINITAB memberikan tiga skop bahasan yang berbeda yaitu: Dari uraian fasilitas di atas, MINITAB memberikan tiga skop bahasan yang berbeda yaitu: ii.. PPeemmooddeellaan n OOnnee--WWaay y ddaan n TTwwoo--WWaay y AANNOOVVAA
•• One-way ANOVAOne-way ANOVA melakukan pengujian kesamaan mean dari beberapa populasimelakukan pengujian kesamaan mean dari beberapa populasi yang diklasifikasikan sesuai dengan variabel atau factor-faktornya. Setiap variabel atau yang diklasifikasikan sesuai dengan variabel atau factor-faktornya. Setiap variabel atau faktor biasanya mempunyai level (
faktor biasanya mempunyai level (treatment treatment ) sebanyak 3 atau lebih. One-Way ANOVA) sebanyak 3 atau lebih. One-Way ANOVA dengan 2 level adalah sama dengan t-test. Setiap level merepresentasikan treatment. dengan 2 level adalah sama dengan t-test. Setiap level merepresentasikan treatment. •• Two-way ANOVATwo-way ANOVA melakukan ANOVA untuk pengujian kesamaan mean populasimelakukan ANOVA untuk pengujian kesamaan mean populasi dengan klasifikasi
dengan klasifikasi treatment treatment -nya dipisahkan dalam dua variabel atau faktor. Dalam-nya dipisahkan dalam dua variabel atau faktor. Dalam two-way ANOVA, data harus
two-way ANOVA, data harus balancebalance (banyaknya observasi di setiap sel harus sama)(banyaknya observasi di setiap sel harus sama) dan semua faktor-nya harus
dan semua faktor-nya harus fixed fixed ..
Jika diinginkan suatu faktor-nya random, gunakan
Jika diinginkan suatu faktor-nya random, gunakan Balanced ANOVABalanced ANOVA jika jika memangmemang datanya adalah
datanya adalahbalanced balanced ; dan gunakan; dan gunakan General Linear ModelsGeneral Linear Modelsjika datanyajika datanyaunbalanced unbalanced atau jika diinginkan untuk membandingkan mean-nya secara serentak.
atau jika diinginkan untuk membandingkan mean-nya secara serentak. iiii.. PPeemmooddeellaan n yyaanng g lleebbiih h kkoommpplleekkss
MINITAB memberikan pilihan atas tiga prosedur dalam pembentukan sebuah model MINITAB memberikan pilihan atas tiga prosedur dalam pembentukan sebuah model berdasa
berdasarkan rkan pada pada jenis disain jenis disain yang yang lebih kompleks, lebih kompleks, lebih lebih complicomplicated cated dari dari pada pada one- one-way
prosedur yang umum dalam pemodelan dengan ANOVA. Tiga prosedur tersebut adalah
• Balanced ANOVA melakukan ANOVA univariate (satu respon) dengan data harus dalam balanced design. Faktor-faktor yang ada dapat di-crossed atau di-nested, dianggap fixed atau dianggap random. Data dengan disain Balanced ANOVA ini dapat dianalisis dengan General Linear Models sesuai dengan unbalanced design. • General linear model (GLM) memodelkan general linear model untuk univariate
respons. Dalam notasi matrix GLM akan membentuk model Y = XB + E, dengan Y adalah response vector, X terdiri predictors, B mengandung parameters yang di-estimate, dan E merepresentasikan errors yang dianggap berdistribusi normal dengan mean vector 0 and varianceσ. Dengan menggunakan general linear model, kita dapat memodelkan ANOVA univariate dengan balanced dan unbalanced design, analysis of covariance (ANACOVA), dan analisis regresi. GLM juga memfasilitasi pengujian perbedaan antara beberapa means menggunakan multiple comparisons.
• Fully nested ANOVA memodelkan sebuah ANOVA yang fully nested (hierarchical) dan mampu meng-estimate variance components. Semua faktor secara implisit dianggap random.
iii. Penampilan hasil analisis dengan Grafik
• Test for equal variances melakukan testing hipotesis Bartlett's (F-test jika terdapat 2 levels) dan melakukan Levene's untuk pengujian kesamaan varian atau homogeneity of variances. Banyak prosedur statistika, termasuk ANOVA, didasarkan pada asumsi bahwa sample-sample yang digunakan adalah berasal dari populasi yang berbeda namun masih mempunyai varian yang sama.
• Interval plot akan membuat sebuah plot dari means atau sebuah confidence intervals jika datanya adalah dalam bentuk one-way design.
• Main effects plot akan membuat sebuah main effects plot untuk data pengamatan atau data prediksi ( fitted values) hasil pemodelan. Titik-titik dalam plot adalah nilai rata-rata pada beberapa level di setiap factor dengan referensi perbedaan garis penghubung. Gunakan main effects plot ini untuk membandingkan besarnya
marginal means.
• Interactions plot membuat single interaction plot jika dua faktor saja yang dimasukkan sebagai data input, atau membuat sebuah matrik interaction plots jika ada 3 sampai 9 faktor yang dimasukkan sebagai input. Plot interaksi ini menggambarkan plot rata-rata setiap level dari suatu faktor dengan menganggap faktor yang lain konstan. Interaction plot sangat berguna dalam memutuskan ada/tidaknya interaksi antar factor dalam menghasilkan respon. Garis paralel dalam sebuah interaction plot menunjukkan tidak adanya interaksi. Semakin besar perbedaan arah dua garis dari arah parallel, maka semakin kuat adanya indikasi
interaksi. Gunakan perintah Factorial Plots untuk membuat main effects plots dan interaction plot, khususnya untuk 2-level factorial design.
Perintah ini digunakan untuk ANOVA satu arah dengan struktur data respon dituliskan dalam sebuah kolom ( stacked ) dan kolom yang lain sebagai sub-script dari masing-masing treatment. Jika masing-masing grup data (treatment/faktor) berada dalam kolom-nya masing-masing, maka gunakan Stat > ANOVA > One-Way (Unstacked). Dalam ANOVA One-Way ini kita juga dapat melakukan multiple comparisons dan menampilkan gafik datanya. Menu isian One-Way ANOVA ini dapat dilihat dalam Gambar 3, dengan keterangan dialog box-nya adalah sebagai berikut:
Response: masukkan kolom data yang memuat data respon Factor: masukkan kolom data yang memuat data level factor.
Store Residuals: aktifkan dengan men-Check-nya untuk menyimpan residuals di kolom yang kosong berikutnya di dalam worksheet minitab .
Store fits: aktifkan dengan men-Check-nya untuk menyimpan fitted values di kolom yang kosong berikutnya di dalam worksheet minitab .
Confidence level: masukkan nilai confidence level yang akan digunakan. Contoh, masukkan 90 untuk 90%. Nilai default-nya adalah 95%.
Gambar 3. Tampilan Dialog-Box untuk One-Way ANOVA
I.1. Stat > ANOVA > One-Way > Comparisons
Pilihan comparisons ini memberikan tampilan confidence interval untuk perbedaan antar mean, dengan menggunakan 4 metode yang berbeda: Tukey, Fisher, Dunnett, and Hsu's MCB ( Multiple Comparisons with the Best ). Tukey and Fisher menyajikan confidence interval untuk pasangan perbedaan antara beberapa level mean. Dunnett memberikan confidence interval untuk perbedaan antar beberapa mean treatment terhadap control mean. Hsu's MCB menyajikan confidence interval untuk perbedaan antara setiap level mean dengan level mean yang dianggap terbaik (the best of the other level means). Pengujian
dengan Tukey, Dunnett dan Hsu's MCB menggunakan family error rate , sementara itu Fisher's LSD menggunakan individual error rate . Fasilitas ini dapat dilihat dalam dialog boxpada Gambar 4, dengan keterangannya sebagai-berikut:
Gambar 4. Tampilan Dialog-Box untuk Comparison
Tukey's, family error rate: pilih bagian ini untuk mendapatkan confidence interval level mean dari semua pasangan yang mungkin dihitung dengan metode Tukey's, dan masukkan nilai family error rate antara 0.5 dan 0.001. Apabila nilai yang dimasukkan adalah lebih dari atau sama dengan 1.0, maka diartikan sebagai angka percentase. Nilai default untuk error rate adalah 0.05.
Fisher's, individual error rate: pilih bagian ini untuk mendapatkan confidence intervals level mean dari semua pasangan yang mungkin yang dihitung dengan metode Fisher's LSD, dan masukkan nilai family error rate antara 0.5 dan 0.001. Apabila nilai yang dimasukkan adalah lebih dari atau sama dengan 1.0, maka diartikan sebagai angka percentase. Nilai default untuk error rate adalah 0.05. Dunnett's family error rate: pilih bagian ini untuk mendapatkan confidence intervals
dari perbedaan antara setiap treatment mean dengan control mean, dan masukkan nilai family error rate antara 0.5 dan 0.001. Apabila nilai yang dimasukkan adalah lebih dari atau sama dengan 1.0, maka diartikan sebagai angka percentase. Nilai default untuk error rate adalah 0.05.
Control group level: masukkan banyaknya level faktor control grup. (Untuk variabel yang memuat data text, tuliskan dengan didahului dan diakhiri oleh double quotes.)
Hsu's MCB, family error rate: pilih bagian ini untuk mendapatkan confidence interval selisih antara setiap level mean dan the best level mean. Ada dua pemilihan untuk "best level mean". Jika mean terkecil dianggap sebagai nilai terbaik (the best), maka set K = −1; jika mean terbesar dianggap sebagai terbaik (the best), maka set K = 1. Masukkan nilai family error rate antara 0.5 dan 0.001. Apabila nilai yang dimasukkan adalah lebih dari atau sama dengan 1.0, maka diartikan sebagai angka percentase. Nilai default untuk error rate adalah 0.05.
Largest is best: pilih bagian ini untuk mendefinisikan nilai mean terbesar adalah sebagai nilai terbaik (the best).
Smallest is best: pilih bagian ini untuk mendefinisikan nilai mean terkecil adalah sebagai nilai terbaik (the best).
I.2. Stat > ANOVA > One-way > Graphs
Fasilitas ini mampu menampilkan individual value plot, boxplot, dan residual plots. Dialog box untuk keperluan penampilan grafik ini dapat dilihat pada Gambar 5, dengan keterangan
sebagai berikut:
Individual value plot: aktifkan pilihan ini untuk menampilkan individual value plot dari setiap sampel .
Boxplots of data: aktifkan pilihan ini untuk menampilkan boxplot setiap sampel . Residual Plots
Individual plots: aktifkan untuk menampilkan satu atau lebih plot.
Histogram of residuals: aktifkan untuk menampilkan histogram dari residuals. Normal plot of residuals: aktifkan pilihan ini untuk menampilkan normal
probability plot dari residuals.
Residuals versus fits: aktifkan pilihan ini untuk menampilkan plot residuals versus fitted values.
Residuals versus order: aktifkan pilihan ini untuk menampilkan plot residuals versus order data.
Four in one: aktifkan pilihan ini untuk menampilkan layout dari histogram residuals, normal plot residuals, plot residuals versus fits, dan plot residuals versus order.
Residuals versus the variables: masukkan satu atau lebih kolom data yang memuat variabel untuk di plot melawan residuals.
Gambar 5. Tampilan Dialog-Box untuk Graphs I.3. Contoh:
Data dalam MINITAB (EXH_AOV.MTW) digunakan sebagai contoh untuk memban-dingkan mean durasi karpet pada 4 rumah setelah 60 hari. Perintahnya adalah sbb.
1 Buka file worksheet EXH_AOV.MTW. 2 Pilih Stat > ANOVA > One-Way.
3 Pada button Response, masukkan Durability. Pada button Factor, masukkan Carpet .
4 Click Comparisons. Pilih Tukey's, family error rate. Pilih Hsu's MCB, family error rate dan masukkan10.
5 Click buttonOK pada dialog box. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut One-way ANOVA: Durability versus Carpet Source DF SS MS F P
Carpet 3 146.4 48.8 3.58 0.047 Error 12 163.5 13.6
Total 15 309.9
S = 3.691 R-Sq = 47.24% R-Sq(adj) = 34.05%
Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev
Level N Mean StDev ---+---+---+---+ 1 4 14.483 3.157 (---*---) 2 4 9.735 3.566 (---*---) 3 4 12.808 1.506 (---*---) 4 4 18.115 5.435 (---*---) ---+---+---+---+ 10.0 15.0 20.0 25.0 Pooled StDev = 3.691
Hsu's MCB (Multiple Comparisons with the Best) Family error rate = 0.1
Critical value = 1.87
Intervals for level mean minus largest of other level means
Level Lower Center Upper --+---+---+---+---1 -8.511 -3.632 1.246 (---*---) 2 -13.258 -8.380 0.000 (---*---) 3 -10.186 -5.308 0.000 (---*---) 4 -1.246 3.632 8.511 (---*---) --+---+---+---+---12.0 -6.0 0.0 6.0 Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons among Levels of Carpet Individual confidence level = 98.83%
Carpet = 1 subtracted from:
Carpet Lower Center Upper ---+---+---+---+---2 -12.498 -4.748 3.003 (---*---)
3 -9.426 -1.675 6.076 (---*---) 4 -4.118 3.632 11.383 (---*---)
---+---+---+---+----10 0 10 20
Carpet = 2 subtracted from:
Carpet Lower Center Upper ---+---+---+---+---3 -4.678 3.073 10.823 (---*---)
4 0.629 8.380 16.131 (---*---)
---+---+---+---+----10 0 10 20
Carpet = 3 subtracted from:
Carpet Lower Center Upper ---+---+---+---+---4 -2.443 5.308 13.058 (---*---)
---+---+---+---+----10 0 10 20
I.4. Interpretasi hasil
Dari tabel ANOVA diperoleh p-value = 0.047 dan dengan menggunakan alpha = 0.05, untuk faktor perbedaan karpet, menunjukkan bahwa disana ada bukti yang cukup untuk mengatakan bahwa setiap karpet akan mempunyai mean yang tidak sama (p_value < alpha). Hal ini didasarkan pada hipotesis yang digunakan adalah
Ho: semua mean sama
H1: ada satu mean yang tidak sama
Hsu's MCB comparisons
Hsu's MCB ( Multiple Comparisons with the Best ) membandingkan setiap mean dengan the best (largest) mean. MINITAB membandingkan means karpet 1, 2, dan 3 dengan mean
karpet 4, karena mean karpet 4 adalah terbesar. Hasilnya karpet 1 atau 4 mungkin sebagai karpet yang terbaik jika dilihat dari confidence intervalnya yang mengandung nilai positif, sementara karpet 2 dan 3 batas atasnya hanya sampai batas 0. Jadi tidak ada bukti yang kuat untuk mengatakan bahwa karpet 2 atau 3 adalah karpet yang terbaik.
Tukey's comparisons
• Mean karpet 1 (sebagai variabel kontrol) sebagai pengurang mean karpet 2, 3, dan 4: apakah ada perbedaan, dilihat dari interval tersebut mengandung nilai nol atau tidak. Jika memuat nol, maka dianggap tidak ada perbedaan, dan berlaku sebaliknya. Tampak semuanya memuat angka nol, jadi tidak ada perbedaan antara mean karpet 1 dengan yang lainnya.
• Mean karpet 2 (sebagai variabel kontrol) sebagai pengurang mean karpet 3 dan 4: mean carpets 2 dan 4 secara statistik dinyatakan berbeda karena dalam intervalnya tidak memuat angka nol. Sementara karpet 2 dan karpet 3 masih bisa dianggap sama.
• Mean karpet 3 (sebagai variabel kontrol) sebagai pengurang mean karpet 4: mean karpet 3 dan 4 secara statistic tidak dianggap berbeda, karena dalam confidence interval-nya mengandung 0.
II. Stat > ANOVA > One-Way (Unstacked)
Digunakan untuk memproses ANOVA satu arah dengan struktur data respon dari setiap treatment dituliskan dalam kolom yang terpisah. Jika data respon-nya tersimpan dengan struktur stacked dalam satu kolom sedangkan kolom yang lain menyimpan level yang mengidentifikasikan populasinya, maka gunakan Stat > ANOVA > One-Way. Menu driven untuk perintah ini adalah seperti dalam Gambar 6, sedangkan keterangannya adalah sebagai berikut:
Gambar 6. Tampilan Dialog-Box untuk One-Way ANOVA (Unstacked)
Responses [in separate columns]: masukkan beberapa data kolom yang memuat respon untuk masing-masing populasi yang akan dibandingkan mean-nya
Store residuals: aktifkan button ini untuk menyimpan data residuals di kolom berikutnya yang masih kosong. Banyaknya data residual akan sama dengan banyaknya kolom respon.
Store fits: aktifkan button ini untuk menyimpan data prediksi (fitted value) di kolom berikutnya yang masih kosong.
Confidence level: masukkan confidence level yang diinginkan. Contoh, tuliskan 90 untuk confidence level 90%. Nilai default-nya adalah 95%.
<Comparisons> : button untuk mengaktifkan pilihan pembandingan mean antar populasi
<Graphs>: button untuk mengaktifkan pilihan penggambaran grafik pembandingan mean antar populasi
II.1. Stat > ANOVA > One-Way (Unstacked) > Comparisons
Digunakan untuk membuat confidence intervals perbedaan mean. MINITAB memberikan 4 metode yang berbeda: Tukey's, Fisher's, Dunnett's, and Hsu's MCB. Metode Tukey's dan Fisher's memberikan confidence intervals untuk perbedaan mean secara berpasangan (pairwise differences). Metode Dunnett's memberikan confidence interval untuk perbedaan setiap treatment mean terhadap control mean. Metode Hsu's MCB memberikan confidence interval untuk perbedaan setiap level mean terhadap the best level mean. Tukey's, Dunnett's, dan Hsu's MCB test menggunakan a family error rate , sedangkan prosedur Fisher's LSD menggunakan individual error rate .
Penggunaan dan pemilihan multiple comparison test sangat tergantung pada kepentingannya dalam inference. Penggunaan Tukey's dalam all-pairwise comparison tidak akan lebih efisien dibandingkan dengan penggunaan Dunnett's atau Hsu's MCB, karena Tukey mempunyai confidence intervals yang lebih lebar dan hypothesis testing-nya kurang powerful untuk suatu family error rate. Dengan alas an yang sama, Hsu's MCB lebih superior dari pada Dunnett's jika diinginkan untuk mengeliminasi level mean yang bukan the best dan untuk mengidentifikasi suatu level mean adalah thebest atau close to the best. Pemilihan antara Tukey's dan Fisher's sangat tergantung pada error rate yang digunakan, family atau individual.
Tampilan menu driven dari perintah ini sama dengan Gambar 4.
II.2. Stat > ANOVA > One-Way (Unstacked) > Graphs
Tampilan menu driven dan fungsinya adalah sama dengan Gambar 5.
Multiple comparisons lebih tampak dipresentasikan sebagai kumpulan confidence interval dari pada sebagai kumpulan hypothesis testing. Hal ini memberikan keleluasaan pada kita untuk secara mudah dan praktis berfikir dalam membedakan antar perbedaan beberapa mean. Seperti biasanya bahwa keputusan suatu null hypothesis tidak akan ditolak
(tidak ada beda antar mean) jika nilai nol termuat dalam suatu confidence interval.
Individual error rates akan tertentu pada semua kasus. Family error rates akan tertentu untuk suatu grup yang berukuran sama. Jika ukuran grup-nya tidak sama, nilai family error rate yang benar untuk Tukey, Fisher, dan MCB akan sedikit lebih kecil dari
pada yang diberikan dalam confidence intervals yang dihasilkan[4,22]. Dunnett family error rates akan tertentu untuk ukuran sample yang tidak sama.
Hasil penghitungan one-way F-test d an multiple comparisons dapat bertentangan. Contoh, mungkin suatu F-test akan menolak null hypothesis, tetapi hasil perhitungan Tukey pairwise confidence interval memuat nilai nol. Sebaliknya dapat terjadi pula bahwa F-test gagal menolak null hypothesis, sedangkan satu atau lebih dari perhitungan Tukey pairwise confidence intervals tidak memuat nilai nol.
III. Stat > ANOVA > Two-Way
Two-way ANOVA menguji kesamaan mean populasi yang treatment-nya diklasifikasikan kedalam dua variable atau faktor. Penggunaan prosedur ini menuntut bahwa data harus balance dan faktor adalah fixed. Untuk menampilkan mean dan standar deviasi gunakan pilihan Cross Tabulation and Square dalam Stat > Tables > Cross Tabulation and
Chi-Square. Jika diinginkan salah satu factornya akan diposisikan menjadi random, maka gunakan Balanced ANOVA (asal datany abalance). Gunakan General Linear Model jika datanya unbalanced. Tampilan menu driven untuk two-way ANOVA dapat dilihat dalam Gambar 7 dengan keterangan setiap button-nya adalah sebagai berikut:
Gambar 7. Tampilan Dialog-Box untuk Two-Way ANOVA
Response: masukkan kolom yang memuat data response variable. Row Factor: masukkan satu dari data kolom faktor.
Display means: aktifkan button ini untuk menghitung marginal means dan confidence intervals untuk masing-masing level dalam row factor.
Display means: aktifkan button ini untuk menghitung marginal means dan confidence intervals untuk masing-masing level dalam column factor. Store residuals: aktifkan button ini untuk menyimpan nilai residuals .
Store fits: aktifkan button ini untuk menyimpan nilai fitted value setiap group. Confidence level: masukkan level confidence intervals untuk individual means.
Misal, masukkan 90 untuk 90% confidence interval. Nilai default adalah 95%. Fit additive model: aktifkan button ini untuk pembentukan model dengan tanpa
adanya factor interaksi.
<Graphs> : akan menampilan menu penampilan grafik.
III.1. Data
Data respon harus numeric dan dituliskan dalam satu kolom. Dalam worksheet tersebut harus memuat data kolom dari dua faktor yang digunakan. Kolom faktor ini datanya dapat berupa numerik, text, atau date/time. Datanya harus dalam disain balance.
III.2. Stat > ANOVA > Two-Way > Graphs
Menu ini menampilkan residual plots. Namun kita tidak perlu menyimpan data residul-nya ke suatu kolom dalam worksheet untuk mem-plot polanya. Tampilan menu untuk grafik ini seperti dalam Gambar 5.
III.2. Contoh.
Seorang ahli biologi sedang mempelajari kehidupan zooplankton di dalam dua danau. Dua belas tangki digunakan untuk eksperimen dalam laboratorium, 6 tangki diisi air dari salah satu danau dan sisanya diisi air danau yang lain. Tiga macam suplemen nutrient ditambahkan dalam setiap tangki, dan setelah 30 hari dihitung jumlah zooplankton-nya dalam satuan volume yang sama. Dengan two-way ANOVA akan di-test apakah population means-nya sama, atau equivalently, dan apakah ada factor interaksi dan main effects yang signifikan.
Untuk melihat hasil dari contoh ini lakukan urutan kerja sbb. 1 Buka file worksheet EXH_AOV.MTW.
2 Pilih perintah dalam menuStat > ANOVA > Two-Way. 3 Dalam button Response, masukkan Zooplankton.
4 Dalam button Row factor, masukkanSupplement . AktifkanDisplay means. 5 Dalam button Column factor, masukkan Lake. Aktifkan Display means.
Hasil yang akan ditampakkan oleh MINITAB adalah sebagai berikut: Two-way ANOVA: Zooplankton versus Supplement, Lake
Source DF SS MS F P Supplement 2 1918.50 959.250 9.25 0.015 Lake 1 21.33 21.333 0.21 0.666 Interaction 2 561.17 280.583 2.71 0.145 Error 6 622.00 103.667 Total 11 3123.00 S = 10.18 R-Sq = 80.08% R-Sq(adj) = 63.49% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Supplement Mean --+---+---+---+---1 43.50 (---*---) 2 68.25 (---*---) 3 39.75 (---*---) --+---+---+---+---30 45 60 75
Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Lake Mean ---+---+---+---+----Dennison 51.8333 (---*---) Rose 49.1667 (---*---) ---+---+---+---+----42.0 48.0 54.0 60.0
III.3. Interpretasi hasil
Default output untuk two-way ANOVA adalah berupa table ANOVA. Dalam data zooplankton tersebut tidak ada bukti adanya komponen interaksi supplement∗lake dan lake main effect, karena nilai p_value-nya lebih besar dari 0.05. Tetapi disana terdapat bukti yang kuat bahwa supplement main effects cukup signifikan, terlihat dari F-test p-value-nya sebesar 0.015. Seperti dalam tampilan individual 95% confidence intervals, supplement 2 tampak memberikan pertambahan plankton growth yang cukup tinggi dalam experiment ini.
IV. ANALYSIS OF MEANS
Analysis of Means (ANOM) adalah tampilan grafik yang analog dengan ANOVA dan pengujian kesamaan population means. ANOM [16] dikembangkan untuk menguji main
effects dalam suatu experiment dengan semua factor-nya adalah fixed. MINITAB mendisain ANOM Effects (ANOME) [24] untuk menguji signifikansi dari mean treatment effects untuk dua factor.
Pada banyak kasus, ANOVA dan ANOM akan memberi hasil yang sama apabila datanya berdistribusi normal dan desain-nya adalah one-way atau two-way. Tetapi ANOM dapat pula digunakan untuk data yang berdistribusi binomial atau Poisson.
IV.1. Stat > ANOVA > Analysis of Means
Memberikan gambar Analysis of Means chart (ANOM) untuk data normal , binomial , dan Poisson . Dialog box ditunjukkan dalam Gambar 8 dengan keterangan komponen di dalamnya adalah sebagai berikut:
Gambar 8. Diaolog box untuk Analisis Mean
Response: masukkan kolom data response.
Distribution of Data:
Normal: pilih button ini jika datanya berdistribusi normal (measurement data).
Factor 1: masukkan kolom yang memuat level factor pertama. Jika hanya
satu factor yang adimasukkan, maka Analysis of Means memberikan single plot yang menunjukkan mean untuk setiap level dalam factor tersebut.
Factor 2 (optional): masukkan kolom yang lain sebagai factor ke dua. Jika
factor kedu aini diisi, maka Analysis of Means akan memberikan 3 plot− plot interaksi, plot main efek factor pertama, dan plot main
Binomial: pilih button ini jika datanya berdistribusi binomial. Sample size harus diisi dengan konstanta (balanced design), dan sample size harus diisi dengan angka yang besar untuk menjamin validitas pendekatan normal pada data tersebut. Hal yang sering digunakan sebagai rujukan adalah np
> 5 dan n (1− p) > 5, dengan p adalah proportion of defects.
Sample size: masukkan suatu angka yang menyatakan ukuran sampel.
Poisson: pilih button ini jika datanya berdistribusi Poisson. Distribusi Poisson dapat diapproximasi oleh normal jika mean poisson-nya paling tidak 5. Jadi, jika mean poisson-nya semakin besar akan semakin valid metode ini untuk digunakan.
Alpha level: masukkan nilai untuk error rate, atau alpha-level. Nilai yang dimasukkan harus antara 0 dan 1.
Title:ketikkan judul plot yang akan digunakan.
IV.2. Data (Normal)
Respon data dapat berupa numeric atau date/time dan dimasukkan dalam satu kolom. Factor column dapat berupa numeric, text, atau date/time. Respon dan factor harus mempunyai banyak baris (data) yang sama. One-way designs mungkin berbentuk balanced atau unbalanced dengan maksimum 100 level. Two-way design harus balanced dan maksimum 50 level untuk setiap factor.
IV.3. Data (Binomial)
Respon data menggambarkan banyaknya cacat (defects) dalam suatu sampel, dengan maksimum 500 sampel. Data ini harus dimasukkan dalam satu kolom. Sample dengan missing response value (∗) secara otomatis akan diabaikan dalam analysis.
IV.4. Data (Poisson)
Respon data menggambarkan banyaknya cacat yang teramati pada suatu sample, dengan maksimum 500 sampel. Data ini harus dimasukkan dalam satu kolom. Sample dengan missing response value (∗) secara otomatis akan diabaikan dalam analysis.
IV.5. Cara penggunaan menu dalam Analisis mean
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1 Pilih Stat > ANOVA > Analysis of Means.
2 Dalam Response, masukkan data kolom yang memuat response variable. 3 Dalam Distribution of Data, pilih Normal,Binomial, atau Poisson.
• Jika dipilih Normal, analisis yang dapat digunakan adalah one-way atau two-way design. Untuk one-two-way design, masukkan kolom factor pada Factor 1.
Untuk two-way design, masukkan kolom factor pertama ke dalam Factor 1
dan kolom factor kedua ke dalamFactor 2.
• Jika dipilihBinomial, ketikkan suatu bilangan positif integer keSample size. 4 Klik OK .
IV.6. Contoh two-way analysis of means dengan normal data
Gunakan data sampel yang diberikan oleh MINITAB dalam EXH_AOV.MTW, dengan urutan kerja sebagai berikut:
1 Buka file worksheet EXH_AOV.MTW. 2 Pilih Stat > ANOVA > Analysis of Means. 3 PadaResponse, masukkan Density.
4 Pilih Normal.
5 Pada Factor 1, masukkan Minutes. Pada Factor 2, masukkan Strength. Click
OK .
Graph window output menyatakan hasil analisisnya sebagai berikut
Gambar 9. Grafik output analisis mean Normal
Interpretasi hasil
Minitab menampilkan 3plot: interaction effects, main effects untuk factor pertama dan kedua. ANOM menyajikan center line dan decision limits. Jika titik mean jatuh di luar decision limits, maka berarti disana terdapat bukti yang signifikan bahwa mean sangat berbeda dengan grand mean. Dalam two-way ANOM, jika interaction effects menunjukkan bukti yang signifikan, maka besaran main effects tidak akan memberi arti yang signifikan,
Pada contoh ini, interaction effects semuany ada dalam batas decision limits, berarti tidak ada efek interaksi. Dua plot dibawah menunjukkan bukti adanya main effect yang cukup berbeda dengan grand mean dan center line.
IV.7. Contoh two-way analysis of means with Binomial Respon data
Dengan data yang ada di dalam file yang sama dengan normal di atas, dan menututi urutan perintah di bawah ini akan didapatkan latihan untuk analysis mean pada binomial data.
Langkah-langkah tersebut adalah
1 Buka file worksheet EXH_AOV.MTW. 2 Pilih Stat > ANOVA > Analysis of Means. 3 PadaResponse, masukkanWeldRejects.
4 Pilih Binomial dan ketikkan80pada Sample size. Kemudian klick OK. Graph window output menunjukkan hasil sebagai berikut
Gambar 10. Grafik output analisis mean Binomial Interpretasi hasil
Plot menunjukkan proporsi cacat setiap sampel, center line merepresentasikan average proportion, dan upper dan lower decision limits. Pada contoh ini, proporsi cacat tidak
terkendali karena data sample yang ke-empat jatuh berada di luar decision limit.
IV.8. Contoh two-way analysis of means with Poisson respon data
Gunakan data contoh MINITAB dalam file TOYS.MTW. Production manager sebuah toy manufacturing company ingin memonitor banyaknya cacat per sample dari motorized toy
cars. Telah diamati 20 sampel toy cars, lakukan analysis of means untuk menguji banyaknya cacat di setiap sampel. Urutan kerjanya adalah sbb:
1 Buka file worksheet TOYS.MTW.
2 PilihStat > ANOVA > Analysis of Means. 3 PadaResponse, masukkan Defects.
4 PilihPoisson, dan kemudian click OK . Graph window output menunjukkan hasilnya sbb:
Gambar 11. Grafik output analisis mean Poisson
Interpretasi hasil
Plot ini menunjukkan banyaknya cacat di setiap sampel, center line yang merepresentasikan rata-rata cacat, dan upper dan lower decision limits. Pada contoh ini, banyaknya motorized toy cars yang cacat dalam sampel ke 5 dan ke 6 teridentifikasi keluar batas decision limits sehingga mean setiap sample tidak sama dengan grand mean.
V. BALANCED ANOVA
Balanced ANOVA dan general linear model (GLM) adalah prosedur ANOVA untuk menganalisis berbagai jenis experimental designs. Penggunaannya sangat dipengaruhi oleh disain dan ketersediaan data yang digunakan. Kedua procedur ini dapat digunakan untuk memodelkan univariate (balance) hingga 31 factor. Beberapa pilihan yang disediakan adalah sbb:
Balanced ANOVA GLM
Can fit unbalanced data no Yes
Can specify factors as random and obtain expected means squares
yes Yes
Fits covariates no Yes
Performs multiple comparisons no Yes
Fits restricted/unrestricted forms of mixed model
yes unrestricted only
Balanced ANOVA dapat digunakan untuk menganalsiis balanced designs. GLM juga dapat digunakan untuk tujuan ini. Klasifikasi variable akan memberikan sifat suatu factor, yaitu:
• crossed atau nested • fixed atau random • covariates
V.1. Stat > ANOVA > Balanced ANOVA
Gunakan Balanced ANOVA untuk melakukan ANOVA univariate. Disain datanya harus balanced. Balanced berarti semua kombinasi treatment (cells) harus mempunyai banyak
observasi yang sama. Factor dapat berupa crossed or nested , fixed or random . Kemampuan MINITAB adalah dengan maksimum 50 respon dan 31 factor. Dialog box untuk Balanced ANOVA diperlihatkan pada Gambar 12 dengan keterangan setiap button-nya adalah sbb
Responses: masukkan kolom data response variabel. Model:masukkan definisi model yang diinginkan.
Random factors: masukkan sembarang kolom yang diposisikan sebagai random factor.
<Options> : memberi fasilitas pilihan dalam dialog box-nya <Graphs> : memberi fasilitas grafik dalam dialog box-nya
<Results> : memberi fasilitas tampilan hasil dalam dialog box-nya
Gambar 12. Dialog box untuk Balanced ANOVA
V.2. Stat > ANOVA > Balanced ANOVA > Options
Digunakan untuk mendefinisikan beberapa model yang tertentu (restricted model). Dialog box-nya diberikan dalam Gambar 13 dengan keterangan sbb:
Use the restricted form of the model: aktifkan button ini untuk pemodelan yang restricted (restricted model) , dengan mixed interaction terms-nya tidak diberi nilai (nol). Jika tidak diaktifkan MINITAB akan memodelakannya dengan unrestricted model.
Gambar 13. Dialog box untuk restricted model
V.3. Stat > ANOVA > Balanced ANOVA > Graphs
Menampilkan residual plots, tetapi kita tidak perlu harus menyimpan data residualnya terlebih dahulu untuk tujuan ploting residual ini. Dialog box-nya diberikan dalam Gambar 5.
V.4. Stat > ANOVA > Balanced ANOVA > Results
Button ini digunakan untuk mengatur keluaran dalam Session window output. Dialog box untuk kepentingan ini diberikan dalam Gambar 14 dengan keterangan setiap button-nya adalah sbb:
Display expected mean squares and variance components: aktifkan ini untuk menampilkan table expected mean squares, estimated variance components , dan error term (denominator) yang digunakan dalam setiap F-test .
Display means corresponding to the terms: masukkan komponen model yang akan ditampilkan sample sizes dan mean-nya.
Gambar 14. Dialog box untuk pengaturan tampilan hasil Balanced ANOVA
V.5. Data
Data yang disyaratkan dalam pemodelan ini adalah satu kolom untuk response variable dan satu kolom untuk setiap factor, dimana setiap baris merepresentasikan satu pengamatan. Dengan mengesampingkan apakah factor-faktor tersebut adalah crossed atau
nested, gunakan form yang sama untuk data-nya. Kolom factor dapat berupa numeric, text, atau date/time. Kapasitas maksimum adalah 50 respon variable dengan maksimum 31 factor.
Balanced data diperlukan kecuali untuk one-way design. Persyaratan balanced data ini diperlukan hingga pada disain nested factors. Anggap bahwa factor A mempunyai 3 level, dan B nested di dalam A. Jika B mempunyai 4 level diantara level pertama A, B harus mempunyai 4 level diantara level ke-dua dan ke-tiga dari A. Minitab akan memberitahu kita jika data kita adalah unbalanced nesting. Sebagai tambahan, subscripts digunakan untuk menunjukkan 4 level dalam B diantara setiap level dalam A yang harus sama. Sehingga 4 level dari B tidak dapat (1 2 3 4) dalam level 1 dari A, (5 6 7 8) dalam level 2 dari A, dan (9 10 11 12) dalam level 3 dari A.
Jika beberapa kolom respon atau factor mengandung missing data, maka baris observation (row) diabaikan dari perhitungan. Persyaratan bahwa data harus balanced harus dipenuhi setelah pengabaian missing data-nya.
V.6. Penggunaan Menu Balanced ANOVA
Dalam pengaktifan perintah balanced ANOVA dapat diikuti urutan kerja berikut: 1 Pilih Stat > ANOVA > Balanced ANOVA.
2 Pada Responses, masukkan kolom data numeric dengan maksimum 50 kolom response variables.
3 PadaModel, ketikkan model yang akan digunakan.
4 Klik dialog box option jik aingin digunakan kelengkapan pemodelan yang lain, kemudian click OK .
V.7. Balanced Design
Balanced design memberikan syarat yang harus dipenuhi adalah design data harus balance untuk dapat menggunakan balanced ANOVA, kecuali untuk one-way design. Suatu balanced design adalah desain dimana setiap kombinasi antar treatment level terdapat data yang banyaknya sama. Pengecekan cepat unruk memutuskan disain tersebut balance atau tidak adalah dengan menggunakan fasilitas Stat > Tables > Cross Tabulation and Chi-Square. Masukkan klasifikasi variabelnya dan lihat report banyaknya data dalam setiap sel-nya, jika sama maka balance.
V.8. Restricted and unrestricted form of mixed models
Suatu mixed model adalah model yang memuat dua macam factor yaitu fixed dan random. Terdapat dua bentuk model: pertama model dengan bentuk crossed (mixed terms to sum to zero over subscripts corresponding to fixed effects –this is called the restricted model—), dan kedua tidak dalam bentuk crossed. Banyak buku menggunakan restricted model. Kebanyakan statistics programs menggunakan unrestricted model. MINITAB memodelkan unrestricted model sebagai default, tetapi MINITAB dapat memodelkan bentuk restricted jika dikehendaki. Model yang kita definisikan tidak banyak berpengaruh pada sums of
squares, degrees of freedom, mean squares, atau marginal dan cell means. Tetapi hal ini akan mempunyai pengaruh besar pada expected mean squares, error terms untuk F-tests, dan estimated variance components.
V.9. Specifying a model
Cara menspesifikasikan model dalam Model text box dengan menggunakan bentuk Y = expression. DenganY tidak perlu dituliskan dalam Model text box. Perintah dalam Calc >
Make Patterned Data > Simple Set of Numbers dapat membantu kita dalam memasukkan banyaknya level dari suatu factor.
Rules for Expression Models
1 ∗ menunjukan interaction term. Contoh, A∗B berarti interaction antara factors A dan B.
2 ( ) menunjukkan nesting. Jika B nested di dalam A, tuliskan B(A). Jika C nested di dalam A dan B, tuliskan C(A B). Komponen (term) dalam kurung adalah selalu factor yang ada di dalam model dan dituliskan dengan pemisah spasi antara factor satu dengan yang lainnya.
3 Singkatan suatu penulisan model digunakan tanda | atau ! untuk menunjukkan crossed factors dan tanda−untuk menghapus suatu term.
Models with many terms take a long time to compute.
Beberapa contoh dalam penulisan model dalam Model text box Two factors crossed: A B A∗B
Three factors crossed: A B C A∗B A∗C B∗C A∗B∗C Three factors nested: A B(A) C(A B)
Crossed and nested (B nested within A, and both crossed with C): A B(A) C A∗C B∗C(A)
When a term contains both crossing and nesting, put the∗ (or crossed factor) first, as in C∗B(A), not B(A)∗C
Contoh pemasukan banyaknya level suatu data set
Contoh inimemberikan cara mudah untuk memasukan banyaknya level untuk three-way crossed design dengan a, b, dan c adalah banyaknya level dari factor A, B, dan C, dengan n observasi per cell:
1 Pilih Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers, dan tekan <F3> untuk ke kondisi defaults. Masukan A pada Store patterned data in. Masukkan 1 pada From first value. Masukkan banyaknya level pada A dalamTo last value.
Masukkan perkalian bcn padaList the whole sequence. Click OK .
2 Pilih Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers, dan tekan <F3> untuk ke kondisi defaults. Masukan B pada Store patterned data in. Masukkan 1 pada From first value. Masukan banyaknya level pada B dalam To last value. Masukan banyaknya level pada A dalam List each value. Masukkan perkalian cn padaList the whole sequence. Click OK .
3 Pilih Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers, dan tekan <F3> untuk kembali ke defaults. Masukan C pada Store patterned data in. masukan 1 pada From first value. Masukan banyaknya level pada C dalam To last value. Masukan perkalian ab pada List each value. Masukan ukuran sample n pada List the whole sequence. Click OK .
V.10. Specifying the model terms
Kita harus mendefinisikan model term pada Model box. Model yang dituliskan adalah berupa singkatan model dalam textbooks yang biasanya digunakan. Karena response variables harus dimasukkan ke dalam Responses, dan dalam Model hatus diisi dengan variables atau perkalian variables yang bersesuaian dengan terms dalam statistical model yang diharapkan. Beberapa contoh penulisan statistical model ke dalam model box diberikan di bawah ini. A, B, dan C merepresentasikan factor.
Case Statistical model Terms in model
Factors A, B crossed yijk =µ+ ai+ b j+ abij + ek(ij) A B A∗ B
Factors A, B, C crossed yijkl =µ+ ai+ b j+ ck + abij+ acik +
bc jk + abcijk + el(ijk)
A B C A∗B A∗ C B∗C A∗ B∗C
3 factors nested (B within A,
C within A and B)
yijkl =µ+ ai+ b j(i)+ ck(ij) + el(ijk) A B(A) C(AB)
Crossed and nested (B nested within A, both crossed with C)
yijkl =µ+ ai+ b j(i)+ ck + acik + bc jk(i)
+ el(ijk)
A B (A) C A∗C B∗C
Dalam model Minitab kita harus abaikan subscripts, µ, e, and tanda + yang muncul dalam model di textbook. Tanda ∗ digunakan untuk merepresentasikan term interaksi dan tanda kurung digunakan untuk nesting. Contoh, jika B adalah nested diantara A, ketikan dengan B (A), dan jika C adalah nested diantara A dan B, ketikan C (A B). Masukkan B(A) C(B) untuk mendefinisikan keadaan dimana 3 nested factor terjadi secara sekuensial. Term di dalam kurung selalu factors yang ada di dalam model dan dituliskan berurutan dengan yang lain dipisahkan oleh spasi. Sehingga, D ∗ F (A B E) adalah benar, tetapi D∗ F (A ∗ B E) dan D (A ∗ B∗ C) adalah salah. Juga, sepasang kurung buka dan tutup tidak dapat nerada dalam pasangan kurung yang lain. Contoh, C (A B) adalah penulisan yang benar, tetapi C (A B (A)) adalah salah. Penulisan term interaksi antara nested factor dan factor yang nested didalamnya adalah invalid.
V.11. Specifying reduced models
Sebuah reduced models dapat digunakan dalam model MINITAB. Contoh, anggap 3 faktor digunakan dalam disain ini, A, B, dan C. Full model akan memasukkan semua term: A, B, C, semua interaksi dua-factor: A∗ B, A∗ C, B∗ C, dan interaksi tiga-factor: A∗ B∗ C. Dengan mengabaikan beberapa term akan diperoleh reduced model. Reduce model biasanya dilakukan dengan mengabaikan term yang tidak signifikan. Dari contoh di atas
Salah satu aturan untuk reduced model adalah harus mengandung unsure hirarki, yaitu order rendah dalam reduced model harus tetap masuk dalam model. Contoh, anggap model dengan 4 faktor: A, B, C, dan D. Jika term A∗ B∗ C haru smasuk model, maka term A B C A ∗ B A ∗ C B ∗ C harus ada di dalam model, walaupun term D tidak masuk dalam model. Aturan struktur hierarchical ini pun harus dipenuhi oleh nesting. Jika B (A) ada dalam model, maka A harus ada dalam model pula.
Long form Short form
A B C A∗ B A∗ C B∗ C A∗ B∗ C A | B | C A B C A∗ B A∗ C B∗ C A| B| C−A∗ B∗ C A B C B∗ C E A B | C E A B C D A ∗ B A ∗ C A ∗ D B ∗ C B ∗ D C∗ D A∗ B∗ D A∗ C∗ D B∗ C ∗ D A | B | C | D −A ∗ B ∗ C −A ∗ B ∗ C ∗ D A B (A) C A∗ C B∗ C A | B (A) | C
V.12. Contoh ANOVA dengan 2-crossed faktor
Suatu eksperimen dilakukan untuk men-test lama waktu penyelesaian masalah dengan menggunakan kalkulator model lama dan baru. Data diambil dari contoh MINITAB dalam file EXH_AOV.MTW. Enam engineers yang masing-masing bekerja dalam dua permasalahan: statistical problem dan engineering problem, menggunakan model kalkulator tertentu dan lama waktu penyelesaian maslaahnya dicatat. Engineers dapat dianggap sebagai block. Disana ada dua faktor − type of problem, dan jenis kalculator − masing-masing mempunyai dua level. Data ini diambil dari Neter, Wasserman, dan Kutner [19], hal 936. dengan menggunakan urutan kerja sbb akan diperoleh hasil analisisnya.
1 Buka file worksheet EXH_AOV.MTW. 2 Pilih Stat > ANOVA > Balanced ANOVA. 3 Pada Responses, masukkanSolveTime.
4 Pada Model, tuliskan Engineer ProbType | Calculator . 5 Pada Random Factors, masukkan Engineer .
6 Click Results. Pada Display means corresponding to the terms, tuliskan ProbType | Calculator . Click OK di setiap dialog box.
Session window output
ANOVA: SolveTime versus Engineer, ProbType, Calculator Factor Type Levels Values
Engineer random 6 Adams, Dixon, Erickson, Jones, Maynes, Williams ProbType fixed 2 Eng, Stat
Analysis of Variance for SolveTime Source DF SS MS F P Engineer 5 1.053 0.211 3.13 0.039 ProbType 1 16.667 16.667 247.52 0.000 Calculator 1 72.107 72.107 1070.89 0.000 ProbType*Calculator 1 3.682 3.682 54.68 0.000 Error 15 1.010 0.067 Total 23 94.518 S = 0.259487 R-Sq = 98.93% R-Sq(adj) = 98.36% Means ProbType N SolveTime Eng 12 3.8250 Stat 12 5.4917 Calculator N SolveTime New 12 2.9250 Old 12 6.3917
ProbType Calculator N SolveTime Eng New 6 2.4833 Eng Old 6 5.1667 Stat New 6 3.3667 Stat Old 6 7.6167
V.14. Contoh Mixed model ANOVA
Data diambil dari contoh di MINITAB dalam file EXH_AOV.MTW. Permasalahannya adalah suatu perusahaan ingin menguji pengaruh ketebalan suatu coating substance yang diproduksinya. Experiment dijalankan dalam dua waktu yang berbeda, pagi hari dan siang hari. Tiga operator dipilih. Prose produksi di set dalam 3 macam settings, 35, 44, dan 52. pengukuran thickness dilakukan oleh setiap operator di setiap saat dan setting. Sehingga,
ada 3 factors crossed. Satu factor, operator, adalah random; dan dua factor yang lain, time dan setting, adalah fixed.
Model statistiknya adalah sebagai berikut
Yijkl =µ+ Ti+ O j+ Sk + TOij + TSik + OS jk + TOSijk + eijkl,
Dengan Ti adalah pengaruh waktu, O j adalah pengaruh operator, dan Sk adalah pengaruh perbedaan setting, serta TOij, TSik , OS jk , dan TOSijk adalah pengaruh interaksi. Operator,
semua term interaksi dengan operator, dan error adalah random. Sedangkan random terms-nya adalah
O jTOijOS jk TOSijk eijkl
Langkah pemodelannya adalah sbb:
Step 1: Fit the restricted form of the model
1 Open the worksheet EXH_AOV.MTW.
2 ChooseStat > ANOVA > Balanced ANOVA. 3 InResponses, enter Thickness.
4 InModel, enter Time | Operator | Setting . 5 InRandom Factors, enter Operator .
6 Click Options. Check Use the restricted form of the mixed model. Click OK .
7 Click Results. Check Display expected mean squares and variance components.
8 Click OK in each dialog box. Step 2: Fit the unrestricted form of the model
1 Repeat steps 1-8 above except that, in 6, uncheck Use the restricted form of the mixed model.
Session window output for restricted case
ANOVA: Thickness versus Time, Operator, Setting Factor Type Levels Values
Time fixed 2 1, 2 Operator random 3 1, 2, 3 Setting fixed 3 35, 44, 52
Analysis of Variance for Thickness
Source DF SS MS F P Time 1 9.0 9.0 0.29 0.644 Operator 2 1120.9 560.4 165.38 0.000 Setting 2 15676.4 7838.2 73.18 0.001 Time*Operator 2 62.0 31.0 9.15 0.002 Time*Setting 2 114.5 57.3 2.39 0.208 Operator*Setting 4 428.4 107.1 31.61 0.000 Time*Operator*Setting 4 96.0 24.0 7.08 0.001 Error 18 61.0 3.4 Total 35 17568.2 S = 1.84089 R-Sq = 99.65% R-Sq(adj) = 99.32%
Expected Mean Square Variance Error for Each Term (using
Source component term restricted model)
1 Time 4 (8) + 6 (4) + 18 Q[1] 2 Operator 46.421 8 (8) + 12 (2) 3 Setting 6 (8) + 4 (6) + 12 Q[3] 4 Time*Operator 4.602 8 (8) + 6 (4) 5 Time*Setting 7 (8) + 2 (7) + 6 Q[5] 6 Operator*Setting 25.931 8 (8) + 4 (6) 7 Time*Operator*Setting 10.306 8 (8) + 2 (7) 8 Error 3.389 (8)
Session window output for unrestricted case
ANOVA: Thickness versus Time, Operator, Setting Factor Type Levels Values
Time fixed 2 1, 2
Operator random 3 1, 2, 3 Setting fixed 3 35, 44, 52 Analysis of Variance for Thickness
Source DF SS MS F P Time 1 9.0 9.0 0.29 0.644 Operator 2 1120.9 560.4 4.91 0.090 x Setting 2 15676.4 7838.2 73.18 0.001 Time*Operator 2 62.0 31.0 1.29 0.369 Time*Setting 2 114.5 57.3 2.39 0.208 Operator*Setting 4 428.4 107.1 4.46 0.088 Time*Operator*Setting 4 96.0 24.0 7.08 0.001 Error 18 61.0 3.4 Total 35 17568.2
x Not an exact F-test.
Variance Error Expected Mean Square for Each Source component term Term (using unrestricted model) 1 Time 4 (8) + 2 (7) + 6 (4) + Q[1,5] 2 Operator 37.194 * (8) + 2 (7) + 4 (6) + 6 (4) + 12 (2) 3 Setting 6 (8) + 2 (7) + 4 (6) + Q[3,5] 4 Time*Operator 1.167 7 (8) + 2 (7) + 6 (4) 5 Time*Setting 7 (8) + 2 (7) + Q[5] 6 Operator*Setting 20.778 7 (8) + 2 (7) + 4 (6) 7 Time*Operator*Setting 10.306 8 (8) + 2 (7) 8 Error 3.389 (8) * Synthesized Test.
Error Terms for Synthesized Tests Synthesis of
Source Error DF Error MS Error MS 2 Operator 3.73 114.1 (4) + (6) - (7)
VI. Plot Interaksi
Perintahnya ada dalam pilihan
Stat > ANOVA > Interactions Plot
Contoh plot interaksi dengan dua factor
Sebuah eksperimen dilakukan untuk menguji pengaruh temperature dan glass type terhadap light output suatu oscilloscope (contoh data diperoleh dari [13], hal 252). Tiga glass digunakan dengan tiga set perbedaan temperature 100, 125, dan 150 oF. Langkah yang dilakukan adalah sbb:
1 Buka file worksheet EXH_AOV.MTW 2 Pilih Stat > ANOVA > Interactions Plot. 3 Pada Responses, masukkan LightOutput .
4 Pada Factors, masukkanGlassType Temperature. Click OK . Graph window output
Interpretasi hasil
Plot ini menunjukkan adanya interaksi antara mean light output versus temperature untuk masing-masing tipe glass. Hal ini dikarenakan garis yang terbentuk menunjukkan adanya ketidak-paralelan. Implikasinya adalah bahwa effect dari temperature terhadap light output tergantung pada glass type. Gunakan GLM untuk membuktikan pernyataan ini.
Contoh Plot Interaksi dengan lebih dari dua faktor
Dalam pembuatan Plywood akan diukur pengaruh besarnya Torque oleh perbedaan diameter bahan kayu, penetrasi jarak antara chuck dan bahan kayu, dan suhu bahan kayu. Data yang diambil dari contoh dalam MINITAB ini akan diuji apakah ada factor interaksi dalam beberapa faktor secara bersama. Langkah-langkah analisisnya adalah sbb.
1 Buka file worksheet PLYWOOD.MTW. 2 Pilih Stat > ANOVA > Interactions Plot. 3 PadaResponses, masukkanTorque.
4 Pada Factors, masukkan Diameter-Temp. Kemudian klik OK . Grafik interaksinya dapat dilihat dalam Gambar berikut
Interpretasi hasil
Plot diameter vs penetration dan diameter vs temperatur menunjukkan adanya garis yang tidak parallel. Hal ini menunjukkan adanya interaksi antar variabelnya. Walaupun keberadaan interaksi ini terdeteksi secara deskriptif dari plot tersebut, namun pengambilan keputusan signifikansi interaksinya tidak mudah untuk dilakukan. Dengan menggunakan GLM kesulitan ini akan dapat diatasi dengan jelas, mana yang mempunyai interaksi yang signifikan.
DAFTAR PUSTAKA
[1] R.E. Bechhofer dan C.W. Dunnett (1988). "Percentage points of multivariate Student t distributions," Selected Tables in Mathematical Studies, Vol.11. American Mathematical Society.
[2] M.B. Brown dan A.B. Forsythe (1974). "Robust Tests for the Equality of Variance," Journal of the American Statistical Association, 69, 364−367.
[3] H.L. Harter (1970). Order Statistics and Their Uses in Testing and Estimation, Vol.1. U.S. Government Printing Office.
[4] A.J. Hayter (1984). "A proof of the conjecture that the Tukey-Kramer multiple comparisons procedure is conservative," Annals of Statistics, 12, 61−75.
[5] D.L. Heck (1960). "Charts of Some Upper Percentage Points of the Distribution of the Largest Characteristic Root,"The Annals of Statistics, 625−642.
[6] C.R. Hicks (1982). Fundamental Concepts in the Design of Experiments, Third Edition. CBC College Publishing.
[7] Y. Hochberg dan A.C. Tamhane (1987). Multiple Comparison Procedures. John Wiley & Sons.
[8] J.C. Hsu (1984). "Constrained Two-Sided Simultaneous Confidence Intervals for Multiple Comparisons with the Best," Annals of Statistics, 12, 1136−1144.
