APLIKASI BARISAN

APLIKASI BARISAN DAN DERET APLIKASI BARISAN DAN DERET 1.

1. PERTUMBUHANPERTUMBUHAN Contoh 1

Contoh 1

Seorang peneliti mengamati perkembangan koloni bakteri yang terbentuk setiap jam. Apabila Seorang peneliti mengamati perkembangan koloni bakteri yang terbentuk setiap jam. Apabila  jumlah

 jumlah koloni koloni bakteri bakteri mula-mula mula-mula 100 100 dan dan setiap setiap bakteri bakteri membelah membelah menjadi menjadi dua dua setiap setiap jamnya.jamnya. Peneliti ingin mengetahui jumlah koloni bakteri yang terbentuk dalam waktu 50 jam, buatlah Peneliti ingin mengetahui jumlah koloni bakteri yang terbentuk dalam waktu 50 jam, buatlah model persamaan yang ditemukan!

model persamaan yang ditemukan! Penyelesaian:

Penyelesaian: Misalkan: Misalkan: K(0)

K(0) = = jumlah jumlah koloni koloni bakteri bakteri mula-mula mula-mula = = 100100 K(50)

K(50) = jumlah = jumlah koloni koloni bakteri setelah bakteri setelah 50 jam50 jam K(

K(nn) ) = = jumlah jumlah koloni koloni bakteri bakteri setelahsetelahnn jam jam n

n = lamanya waktu berkembang= lamanya waktu berkembang

Karena bakteri membelah menjadi dua maka untuk waktu 50 jam maka dapat dibuat tabel

Karena bakteri membelah menjadi dua maka untuk waktu 50 jam maka dapat dibuat tabel yaitu:yaitu: Waktu

Waktu (jam) (jam) Jumlah Jumlah koloni koloni bakteri bakteri Pola Pola bilanganbilangan 1 1 200 200 100x2 100x2 = = 100 100 x x 2211 2 2 400 400 100x2x2 100x2x2 = = 100 100 x x 2222 3 3 800 800 100 100 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 2 = = 100 100 x x 2233 … … …… …… n n ……….………. ……….……….

Maka dapat disimpulkan bahwa hubungan antara pertumbuhan jumlah bakteri (K) yang terbentuk Maka dapat disimpulkan bahwa hubungan antara pertumbuhan jumlah bakteri (K) yang terbentuk terhadap perubahan waktu (

terhadap perubahan waktu (nn) dengan model matematika yaitu ……….) dengan model matematika yaitu ………. Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran  jumlah

 jumlah penduduk. penduduk. Sebagaimana Sebagaimana pernah pernah dinyatakan dinyatakan oleh oleh Malthus, Malthus, penduduk penduduk dunia dunia tumbuhtumbuh mengikuti pola deret ukur.

mengikuti pola deret ukur. Contoh 2

Contoh 2

Penduduk suatu kota tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2010. Diperkirakan menjadi 4,5 juta jiwa Penduduk suatu kota tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2010. Diperkirakan menjadi 4,5 juta jiwa  pada

 pada tahun tahun 2015. 2015. Jika Jika tahun tahun 2010 2010 dianggap dianggap tahun tahun dasar, dasar, berapa berapa persen persen pertumbuhanpertumbuhan  pendudukny

 penduduknya? Berapa jumlah penduduknya pada tahun 2a? Berapa jumlah penduduknya pada tahun 2017?017? Penyelesaian:

Penyelesaian:

Persentase pertumbuhan penduduk Persentase pertumbuhan penduduk P Pnn = = Po(1+i)Po(1+i)nn 4,5 4,5 = = 3,25(1+i)3,25(1+i)2015-20102015-2010

4,5

4,5

3,5

3,5

= = (1+i)(1+i)55 1,3846 = (1+i) 1,3846 = (1+i)55 (1,3846) (1,3846)1/51/5 = = 1+i1+i i i = = 1,38461,38461/51/5 –  –  1 1 i i = = 0,06730,0673 i i = = 6,73%6,73%

 jadi persentase pertumbuhan pendudukny

 jadi persentase pertumbuhan penduduknya 6,73%a 6,73% P P20172017 = P= P20102010(1+i)(1+i)2017-20102017-2010 = 3,25(1+6,73%) = 3,25(1+6,73%)77 = 3,25(1,577632) = 3,25(1,577632) = 5,13 = 5,13

Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2017 sebanyak 5,13 juta jiwa. Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2017 sebanyak 5,13 juta jiwa.

2. PELURUHAN

Peluruhan atau penurunan adalah suatu kondisi penurunan jumlah suatu objek dengan persentase  penurunan yang tetap. Kondisi peluruhan atau penurunan dapat ditemui dalam berbagai masalah

seperti masalah menurunnya omset penjualan, menurunnya jumlah bakteri jahat dalam tubuh setelah diberikan obat, dll. Masalah ini adalah kebalikan dari masalah pertumbuhan di mana formula untuk menghitung besar peluruhan adalah

Un = U0

( 





)



Contoh 1

Suatu neutron dapat pecah mendadak menjadi suatu proton dan electron. Ini terjadi sedemikian sehingga jika kita memiliki 1.000.000 neutron, kira-kira 5% dari neutron akan berubah pada akhir satu menit. Berapa neutron yang masih ada setelah n menit dan 10 menit?

Penyelesaian:

Misalkan banyak neutron = M

Persentase peluruhan (penyusutan = sebesar p% tiap menit Banyak neutron semula = M

Banyak neutron setelah 1 menit = M – 







= M (1 – 





)

Banyak neutron setelah 2 menit = M (1 – 





) – 







(1 – 





) = M

(1 





)



Banyak neutron setelah 3 menit = M

(1 





)



 – 





M

(1 





)



= M

(1 





)

3

…

Banyak neutron setelah n menit = M

(1 





)



Banyak neutron setiap menitnya membentuk barisan geometri M, M (1 – 





), M

(1 





)



, M

(1 





)

3

, …, M

(1 





)



Un = M

(1 





)



Un =

(1 





)

Un-1, dengan

(1 





)

 dinamakan faktor peluruhan

Un = U0

(1 





)



Dalam kasus ini, M = 1.000.000  p = 5%, maka Un = 1.000.000

(1 

5



)



= 1.000.000 (0,95)n U10 = 1.000.000 (0,95)10

Log U10 = log 1.000.000 _ 10 log 0,95

= 6 + 10 (0,97777 –  1) Log U10 = 5,777

U10 = 598.412

Jadi, neutron yang masih ada setelah n menit adalah 1.000.000 (0,95)ndan neutron yang masih ada setelah 10 menit adalah 598.412.

Contoh 2

Suatu mobil dibeli dengan harga Rp100.000.000 pada tahun 2015. Jika diasumsikan harga mobil akan turun sebesar 2% dari tahun sebelumnya. Hitunglah harga mobil pada tahun 2020!

Penyelesaian:

Tahun 2015 = tahun mulai = U0 = 100.000.000

Tahun 2020 = tahun ke 5 = U5 Un = U0

(1 

_



)



U5 = 100.000.000

1 

_





5

U5 = 100.000.000(1 –  0,02)5 = 100.000.000(0,98)5 = 100.000.000(0,9039207) = 90.392.079

3. BUNGA TUNGGAL DAN BUNGA MAJEMUK Pengertian Bunga Tunggal

Bunga adalah jasa dari simpanan atau pinjaman yang dibayarkan pada akhir suatu jangka waktu yang ditentukan atas persetujuan bersama. Bunga tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal (besarnya modal tetap). Besarnya bunga berbanding senilai dengan persentase dan lama waktunya dan umumnya  berbanding senilai pula dengan besarnya modal.

Jika modal sebesar M dibungakan dengan bunga p % setahun maka: a. Setelah t tahun, besarnya bunga:

t   p  M 

 I    100

 b. Setelah t bulan, besarnya bunga:

12 100 t   p  M   I   

c. Setelah t hari, besarnya bunga: - Jika satu tahun 360 hari, maka:

360 100 t   p  M   I   

- Jika satu tahun 365 hari, maka:

365 100 t   p  M   I   

- Jika satu tahun 366 hari (tahun kabisat), maka:

366 100 t   p  M   I    Contoh 1

Budi meminjam uang sebesar Rp 1.000.000,00 kepada Edi dengan tingkat bunga 18% pertahun. Hitung besarnya bunga selama:

a) 2 tahun  b) 6 bulan c) 50 hari

d) 2 tahun 6 bulan dan 50 hari! Penyelesaian:

M = 1.000.000 dan p = 18

a) Besarnya bunga selama 2 tahun i =





x  x 

i =

8



x 1000000 x 2

 = 360000

 b) Besarnya bunga selama 6 bulan: i =





 x Mx





i =

8



 x 1000000 x



6

 = 90000

Jadi besarnya bunga adalah Rp 90.000,00 c) Besarnya bunga selama 50 hari:

i =





 x Mx

36



i =

8



 x 1000000 x

36

5

 = 25000

Jadi besarnya bunga dalam 50 hari adalah sebesar Rp 25.000,00 d) Besarnya bunga dalam 2 tahun 6 bulan dan 50 hari

Dapat dicari dengan jalan menjumlahkan bunga 2 tahun + bunga 6 bulan + bunga 50 hari atau dapat dicari dengan jalan menghitung waktu seluruhnya dalam hari, sehingga 2 tahun 6 bulan 50 hari = 950 hari, sehingga:

i =





 x Mx

36



i =

8



 x 1000000x

95

36

 = 475000

Jadi besarnya bunga selama 2 tahun 6 bulan dan 50 hari adalah Rp 475.000,00

Pengertian dan Konsep Bunga Majemuk

Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita  bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda  jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar  bunga majemuk.

Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga.

Perhitungan Nilai Akhir Modal

Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar p % setahun selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah:

 Setelah satu tahun 0 0 1 100 M   P   M   M   



 

 



 

 

_



100 1 0  P   M 

 Setelah dua tahun



 

 



 

 







 

 



 

 





100 1 100 100 1 ₀ 0 2  P   M   P   P   M   M  2 0 0 100 1 100 1 100 1



 

 



 

 

_





 

 



 

 





 

 



 

 





 P   M   P   P   M   Setelah n tahun n n  P   M   M 



 

 



 

 

_



100 1 0

Ilustrasi

Budi memiliki uang sebesar Rp 70.000.000,00 dan ia berniat untuk menginvestasikan dalan  bentuk tabungan di bank selama 5 tahun. Dia pergi ke dua bank yang memiliki sistem bungan

yang berbeda. Bank ABC menggunakan bunga tunggal sebesar 10% per tahun dan Bank XYZ menggunakan bunga majemuk sebesar 9% per tahun. Dari hasil perhitungan pihak bank, ia memperoleh ilustrasi investasi sebagai berikut.

Tahun Bank ABC Bank XYZ

Bunga Saldo uang Bunga Saldo

0 0 70.000.000,00 0 70.000.000,00 1 7.000.000,00 77.000.000,00 6.300.000,00 76.300.000,00 2 7.000.000,00 84.000.000,00 6.867.000,00 83.167.000,00 3 7.000.000,00 91.000.000,00 7.485.030,00 90.652.030,00 4 7.000.000,00 98.000.000,00 8.158.682,70 98.810.712,70 5 7.000.000,00 105.000.000,00 8.892.964,14 107.703.676,84 Total Investasi 105.000.000,00 107.703.676,84

Dari ilustrasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa walaupun Bank XYZ menawarkan bunga majemuk yang lebih kecil daripada bunga tunggal bank ABC, namun hasil investasi yang dihasilkan adalah lebih besar.

Dari masalah tersebut dapat dirumuskan pola barisan bunga majemuk, yaitu:

Misal diberikan modal awal/pokok M yang diinvestasikan dengan bunga i per periode. Besar modal pada periode ke-n (Mn) dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.

M1 = M0 + M0.i = M0(1 + i)

M2 = M1(1 + i) = [M0(1 + i)] (1 + i) = M0(1 + i)2

M3 = M2(1 + i) = [M0(1 + i)2] (1 +i) = M0(1 + i)3 …

Mn = Mn-1(1 + i) = [M0(1 + i)n-1] (1 + i) = M0(1 + i)n

Maka besar modal pada waktu n yang diinvestasikan menjadi: Mn = M0(1 + i)n

Contoh 1

Gogon menabung uang sejumlah Rp 1.000.000,00 di sebuah bank dengan bunga 10% per tahun. Berapa lama Gogon menyimpan uang tersebut agar menjadi Rp 1.464.100,00?

Penyelesaian:

Diketahui : Modal awal (M0) = 1.000.000,

Mn = 1.464.100, i = 10% = 0,1

Ditanya : Berapa tahun (n) Gogon menabung agar uangnya menjadi 1.464.100? Jawab : Mn = M0(1 + i)n 1.464.100 = 1.000.000 (1 + 0,1)n

.464.

..

= (1,1)n 1,4641 = (1,1)4 Jadi n = 4

Sehingga dapat disimpulkan bahwa Gogon menabung selama 4 tahun agar mempunyai uang sebesar Rp 1.464.100,00.

Contoh 2

Modal sebesar Rp 1.000.000,00 diperbungakan dengan dasar bunga majemuk 3% setahun. Hitunglah nilai akhir modal setelah 3 tahun.

Jawab : Misalkan M = 1.000.000,00, n = 3 tahun, p = 3%. M3 = M (1+i)3

= 1.000.000 (1+0,03)3 = 1.000.000 (1,03)3 = 1.000.000 x 1,092727 = 1.092.727

Jadi nilai akhir setelah 3 tahun = Rp 1.092.727,00 4. ANUITAS

Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang sama besarnya, yang dibayarkan setiap akhir jangka waktu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran.

Anuitas = Bunga + Angsuran

Jika besarnya bunga adalah A, angsuran periode ke-n  dinyatakan dengan an, dan bunga periode ke-n adalahbn, maka diperoleh hubungan :

n n b a

 A_{  , dengan n = 1, 2, 3, ...}

Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan anuitas selama n tahun,atas dasar bunga

i = P% setahun, maka:  Pada akhir tahun ke-k  :

k  k 

k  a b

 A _{ }

 Pada akhir tahun ke-(k+1) :

1 1 1     k   k  k  a b  A

Karena  A_k   A_k 1, maka: k  k  k  k  b a b a _{  }  1 1 1 1      a_k  a_k  b_k  b_k  k  k  k  a ia a . 1    



i



a a k  k     1 1 Sehingga:



i



a a _{ 1} 1 2

      

2 1 1 2 3 a 1 i a 1 i 1 i a 1 i a _{      }

Secara umum dapat ditulis sebagai:





1 1 1    n n a i a Keterangan: an= angsuran ke-n a1= angsuran pertama i = suku bunga

Anuitas sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya sistem pembayaran sewa rumah atau angsuran kredit (motor, rumah, bank, dll). Uang tabungan kita di bank yang setaip bulan mendapatkan bunga juga merupakan contoh anuitas.

Ada dua macam anuitas, yaitu:

1) Anuitas pasti yaitu anuitas yang tanggal pembayaran mulai dan terakhirnya pasti. Contoh: KPR, kredit bank, kredit mobil, dll.

2) Anuitas tidak pasti, yaitu anuitas yang jangka pembayarannya tidak pasti. Contoh: pembayaran santunan asuransi kecelakaan.

Besarnya anuitas selalu tetap. Contoh 1

Misalkan modal sebesar M dipinjamkan tunai (cash), dengan suku bunga i per periode waktu dan harus dilunasi dalam n anuitas setiap periode waktu. Bagaimana cara menentukan besar anuitas? Penyelesaian:

Misalkan M = modal yang dipinjamkan secara tunai

i = suku bunga

 A= anuitas

Maka dapat digambarkan sebagai berikut

Dari ilustrasi di atas, dapat dibentuk pembayaran anuitas untuk waktu: Anuitas pertama : M1 =



(+)

Anuitas kedua : M2 =



(+)



(+)



 Anuitas ketiga : M3 =



(+)



(+)





 

_(+)



 … Anuitas ke-n : Mn =



(+)



(+)





 

_(+)





  … 

_(+)



 Mn =

  



(+)



(+)





 

_(+)





  … 

_(+)







Misalkan v =



(+)

 = (1+i)-1 v + v2 + v3 + … + vn Diperoleh: v + v2 + v3+ … + vn _{dimanav < 1↔ Sn =}

(−



)

−

 dengan a = v dan r  = v maka

v + v2 + v3+ … + vn ₌

(−



)

−

 bagi denganv =

−

_  

−

substitusikan nilaiv =

−

 ()





(+)−

=

−(+)





Sehingga Anuitas ke-n menjadi Mn = A (v + v2 + v3+ … + vn) Mn =

  

−(+)







 A ₌

.

−(+)



dengan  A = besar anuitas

M = modal/total pinjaman i = tingkat suku bunga n = banyaknya anuitas  ATAU 

Suatu pinjaman sebesar M akan dilunasi dengan n anuitas sebesar A dan besarnya suku bunga adalah i, maka  A_b_{1 }a_{1, karena} b _ Mi

1 , maka  A Mia1. Jika jumlah angsuran sama

dengan pokok pinjaman, maka :  M  a a a a _{  }..._{ n } 3 2 1

   

i a i a

 

i M  a a        n    1 1 2 1 1 1 1 1 ... 1

Ruas kiri adalah deret geometri dengan suku pertama a₁, ratio _



1_i



, dan banyaknya suku n, maka :







i



M  i a n      1 1 1 1 1



1



1 1    _n i  Mi a  Mi = a₁₍₁₊i ₎n

 – 

 1 …………(1) 1 a  Mi  A_{  , maka :}



1



1    n i  Mi  Mi  A











1



1 1 1        n n i  Mi i  Mi  A







1



1 1      n n i i  Mi  A _{……….(2)}

















n n n n i i i i  Mi  A         1 1 1 1 1 1 1





n i  Mi  A     1 1 1 n i  Mi  A      ) 1 ( 1

Dari (1) dan (2) didapat :

   



1



1 1 1 1 1       _n n n i i i a

 A  _atau  A _a



_1i



n

Contoh 1

Suatu pinjaman sebesar Rp 100.000,00 akan dilunasi dengan 6 anuitas atas dasar bunga 8 % sebulan. Tentukan :

a. Besar anuitasnya  b. Angsuran ke-4

c. Bunga pada anuitas ke-4 Penyelesaian: M = 100.000; n = 6; I = 0,08 a.





n i  Mi  A    1 1 1





54 , 631 . 21 36983037 , 0 000 . 8 63016963 , 0 1 000 . 8 08 , 1 1 1 000 . 100 6      

Jadi, besar anuitasnya adalah RP 21.631,54  b. a _ A_ Mi 1





54 , 631 . 13 000 . 8 54 , 631 . 21 08 , 0 000 . 100 54 , 631 . 21     









81 , 171 . 17 08 , 1 54 , 631 . 13 1 3 3 1 4     a i a

Jadi, besarnya angsuran ke-4 adalah Rp 17.171,81 c. b4



 A



a4 73 , 459 . 4 81 , 171 . 17 54 , 631 . 21   

Jadi, bunga pada anuitas ke-4 adalah Rp 4.459,73 Contoh 2

Ibu membeli sebuah sepeda motor menggunakan sistem anuitas pada pembayaran kreditnya. Harga notor tersebut Rp 10.000.000,00 dengan menggunakan tingkat suku bunga 4% er tahun. Ibu  berencana melunaskan kreditnya dengan 6 kali anuitas. Hitunglah besar anuitas yang dibayarkan

Ibu?

Penyelesaian:

Dari masalah tersebut dapat diketahui: M = 10.000.000

i = 4% = 0,04

n = 6

A =

1.000.000

  ,4

−(+,4)





A = 10.000.000



  ,4

,9685474



A = 10.000.000.(0,190761903) A = 1.907.619