Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 2 (2), (2016)

Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika2(2), 14 - 25 (2016)

Analisis Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang Persamaan Schr¨

odinger

Potensial Non-Sentral

Shape Invariance

q-Deformasi Menggunakan

Metode Nikiforov-Uvarov

Hadma Yuliani

1,∗

_{, A. Suparmi}

2

_{, C. Cari}

2

1

Program Studi Tadris Fisika, Institut Agama Islam Negeri Palangka Raya Jl. G. Obos, Palangka Raya 74874

2

Program Studi Ilmu Fisika, Program Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret Jl. Ir. Sutami, Surakarta 57126

Abstrak

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi gelombang beberapa potensial non-sentral

shape invarianceq-deformasi, yaitu potensial P¨oschl-Teller termodifikasi plus Scarf dan potensial Rosen-Morse plus Rosen-Morse q-deformasi menggunakan metode Nikiforov-Uvarov (NU). Penelitian ini merupakan studi li-teratur untuk menyelesaikan persamaan Schr¨odinger potensial terdeformasi P¨oschl-Teller termodifikasi plus Scarf dan potensial Rosen-Morse plus Rosen-Morse dengan q-deformasi secara analitik. Spektrum energi dan fungsi gelombang suatu sistem partikel dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan Schr¨odinger. Spektrum energi dan fungsi gelombang potensial non-sentral diperoleh dengan menggunakan metode Nikiforov-Uvarov. Persamaan Schr¨odinger untuk potensial non-sentral q-deformasi secara umum dapat diselesaikan secara eksak bila variabel potensialnya terpisahkan ke bagian radial dan sudut. Spektrum energi untuk potensial ini telah diturunkan secara analitis. Spektrum energi dan fungsi gelombang radial yang diperoleh hanya bersifat pendekatan karena adanya faktor sentrifugal, sedangkan fungsi gelombang bagian sudut dan bilangan kuantum orbital diperoleh dari per-samaan Schr¨odinger bagian sudut.

c

2016 Penulis. Diterbitkan oleh Pendidikan Fisika UHAMKA

Kata kunci: Spektrum energi, fungsi gelombang, persamaan Schr¨odinger, non-sentral q-deformasi, metode Nikiforov-Uvarov

∗_{Penulis koresponden. Alamat email: hadmayuliani@gmail.com}

Pendahuluan

Persamaan Schr¨odinger digunakan untuk mendeskripsikan gerak elektron relatif terhadap proton sehingga energi potensial sistem adalah e-nergi potensial elektron yang terikat terhadap inti. Elektron mengorbit inti pada kulit yang berbentuk bola maka fungsi gelombang dan tingkat-tingkat energi elektron ditentukan berdasarkan penyelesa-ian Schr¨odinger untuk atom dapat digunakan untuk menjelaskan teori atom menurut Bohr dan sebagian dasar teori atom secara umum [1].

Berbagai metode penyelesaian persamaan Schr¨odinger untuk gerak partikel bermuatan pada potensial-potensial sentral dan non-sentral

de-ngan suatu potensial vektor atau suatu potensial skalar terpisahkan telah dikembangkan [2]. Berba-gai metode yang telah dikembangkan tersebut di-antaranya adalah metode Supersymmetry [3-4], metode Nikiforov-Uvarov (NU) [5-6], dan Polino-mial Romanovski [7-8].

Penyelesaian persamaan Schr¨odinger untuk atom hidrogen dan potensial shape invariance

mengunakan metode Nikiforov-Uvarov. Metode Nikiforof-Uvarov (NU) adalah metode yang bangkan oleh Nikiforof-Uvarov. Metode NU dikem-bangkan berdasarkan penyelesaian persamaan diferensial orde dua dengan menggunakan per-samaan hipergeometri. Metode NU dapat

digu-nakan untuk menyelesaikan persamaan Schr¨odinger untuk potensial non-sentral [9].

Persamaan Schr¨odinger untuk potensial sentral telah banyak didiskusikan dalam buku MK seperti potensial Coulomb, Morse, potensial harmonik osi-lator tiga dimensi, Hulthen, P¨osch-Teller, dan lain-lain [8,10,11]. Potensial sentral adalah potensial yeng mempunyai energi potensial yang hanya meru-pakan fungsi jarak antara partikel yang dikaji de-ngan titik yang merupakan sumber potensial (gaya) yang mempengaruhi partikel tersebut. Untuk potensial non-sentral, energi potensialnya meru-pakan fungsi jarak dan sudut sekaligus. Potensial non-sentral P¨osch-Teller termodifikasi plus Scarf adalah salah satu potensial non-sentral yang mem-pengaruhi vibrasi molekul di dalam inti atom [11]. Sedangkan potensial non-sentral Rosen-Morse plus Rosen-Morse adalah salah satu potensial yang memungkinkan terjadinya interaksi quark dalam pembahasan dinamika quark-gluon QCD. Potensial ini mereproduksi daerah perantara potensial pe-ngungkungan linier (berhubungan dengan interaksi multi gluon) sebagai ketentuan kalkulasi-kalkulasi pola geometris molekul-molekul QCD pada sifat hadron [12].

Potensial non-sentral adalah kombinasi dari potensial shape invariance atau non shape in-variance, baik fungsi hiperbolik, eksponensial dan trigonometrik, yang merupakan fungsi radial saja dengan potensial shape invariance trigonometrik yang merupakan fungsi radial dan sudut [11].

Quantum deformasi (q-deformasi) mendapat banyak perhatian dari para ilmuwan teori sekarang ini, karena berhubungan dengan aplikasi dalam inti, teori String, dan teori statistik kuantum [13]. q-deformasi merupakan bentuk potensi yang memainkan peranan penting terutama ketika struk-tur inti rusak atau interaksi akibat gangguan [14].

Metodologi Penelitian

Potensial non-sentral shape invariance q-deformasi, yaitu potensial P¨oschl-Teller termodi-fikasi plus Scarf dan potensial Rosen-Morse plus Rosen-Morse menggunakan metode Nikiforov-Uvarov (NU). Penelitian ini merupakan studi lite-ratur untuk menyelesaikan persamaan Schr¨odinger potensial terdeformasi P¨oschl-Teller termodifikasi plus Scarf dan potensial Morse plus Rosen-Morse dengan q-deformasi secara analitik.

Hasil dan Pembahasan

Review Metode Nikiforov-Uvarov

Persamaan Schr¨odinger satu dimensi untuk su-atu sistem kuantum yang dipengaruhi oleh medan dengan energi potensial V(x) dapat dituliskan se-bagai −¯h 2 2m d2ψ(x) dx2 +V(x)ψ(x) =Eψ(x) (1)

Persamaan Schr¨odinger satu dimensi untuk potensialshape invariancedapat diubah (direduksi) menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri atau confluent hypergeometry de-ngan substitusi variabel yang sesuai. Persamaan tipe hipergeometri yang diperoleh dari persamaan Schr¨odinger pada pers. (1) dengan substitusi vari-abel yang sesuai yang dapat diselesaikan dengan metode NU disajikan sebagai

∂2ψ(s) ∂s2 + ( τ(s) σ(s) ∂ψ(s) ∂s + ( σ(s) σ2 ψ(s) = 0 (2)

dengan σ(s) dan (σ(s) merupakan polynomial yang pada umumnya berderajat dua, sedangkan

(

τ(s) merupakan polynomial berderajat satu, yang masing-masing dinyatakan sebagai

σ(s) =as2+bs+c,(τ(s) =ds+e (3) Dalam penggunaan selanjutnya pers. (2) akan kita sebut sebagai persamaan perantara persamaan hipergeometri (PPPH). Pers. (2) diperoleh dari pers. (1) dengan substitusi variabel yang sesuai.

Persamaan (2) dapat diselesaikan dengan meng-gunakan metode pemisahan variabel yaitu

ψ=φ(s)y(s) (4)

Dengan memasukkan pers. (4) ke dalam pers. (2) diperoleh persamaan diferensial orde dua yang dise-but dengan persamaan tipe hipergeometri karena mempunyai komponen-komponen yang sama de-ngan persamaan hipergeometri, yaitu

σ∂

2_y

∂s2 +τ

∂y

∂s+λy= 0 (5)

Dengan mengaplikasikan pers. (3) pada per-samaan hipergeometri pada perper-samaan berikut

z(1−z)d

2_φ

dz2 + (c−(a+b+ 1)z)

dφ

dz −abφ= 0 (6)

diperoleh σ = z−z2 _{maka a = −1, b = 1, dan}

c= 0;τ=c0−(a0+b0+ 1)zmakad=−(a0+b0+ 1),

e=c0 danλ=a0b0. Sedangkan fungsiφ(s) adalah derivatif logaritmik yang penyelesaiannya diperoleh dari kondisi

φ0

φ =

π

σ (7)

dimana fungsi π(s) dan parameter λ didefinisikan sebagai π= σ 0₋(_τ 2 ! ± v u u t σ 0₋(_τ 2 !2 −(σ+kσ (8)

λ=k+π0 (9) Nilai k di dalam akar pada pers. (8) dapat di-tentukan dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah akar harus merupakan kuadrat sempurna dari polynomial berderajat satu sehingga diskrimi-nan dari pernyataan kuadrat di bawah akar harus sama dengan nol. Lebih lanjut energi eigen nilai yang baru pada pers. (5) dinyatakan sebagai

λ=λn =−nτ0− n(n−1) 2 σ 00 =−nd−n(n−1)a (10) dengann= 0, 1, 2, dan τ=(τ + 2π (11)

Energi eigen nilai dapat diperoleh dari per-samaan (9) dan (10).

Untuk memperoleh energi eigen nilai dan eigen fungsi dari sistembound-statemaka dipersyaratkan bahwa τ0 < 0. Penyelesaian bagian kedua fungsi

gelombang,yn(s), yang dalam persamaan relasi

Ro-drigues disajikan sebagai

yn(s) = cn ρ(z) dn dzn(σ n_{(z)ρ(z)) (12)}

dimanacnadalah konstanta normalisasi, dan fungsi

bobot ρ(s) memenuhi kondisi yang dinyatakan se-bagai

∂(σρ)

∂s =τ(s)ρ(s) (13)

Dengan menggunakan persamaan (4), (7), (12), dan (13) dapat diperoleh fungsi gelombang secara lengkap dari sistem partikel yang dikaji.

Persamaan (5) adalah bentuk persamaan dife-rensial orde dua fungsi hipergeometri. Sedangkan persamaan (2) dan (4) serta parameter-parameter yang terkandung dalam persamaan (2) dan (3) untuk mengaplikasikan metode NU dalam penyele-saian persamaan Schr¨odinger untuk potensial yang cukup kompleks [9].

Potensial Non Sentral P¨oschl-Teller Termodifikasi Plus Scarf Trigonometri q-Deformasi Fungsi Hyperbolik terdeformasi yang diperkenalkan [13,15-18] diperoleh yaitu

sinhqx= ex_−qe−x 2 ; coshqx= ex_+qe−x 2 ; tanhqx= sinhqx coshqx (14) dan cothqx= coshqx sinhqx ; sechqx= 1 coshqx ; cschqx= 1 sinhqx (15) Dari persamaan (14) dan (15) diperoleh sebagai

cosh2_qx−sinh2_qx=q; 1−tanh2_qx=qsech2_qx (16) Dengan translasi yang sesuai dari variabel spatial [16] yang didapatkan sebagai berikut

r=y+ln √

q

α (17)

Kemudian, mengganti fungsi hyperbolikq-deformed ke dalam salah satu non-deformedatau sebaliknya sebagai berikut sinhqαr= eαr_−qe−αr 2 = eα(y+ln √ q α )−qe−α(y+ ln√q α ) 2 = √ qeαy−qe√−αy q 2 = √ qsinhαy (18) sinhαy= e αy_−e−αy 2 = eα(x−ln √ q α )−e−α(x− ln√q α ) 2 = eαr √ q − √ qe−αr 2 = eαr_−qe−αr 2√q = sinhqαr √ q (19)

Pada umumnya, serupa ke persamaan (14) diperoleh sinhqαr=

√

qsinhαy; coshqαr=

√

qcoshαy; tanhqαr= tanhαy; (20)

sinhαy= sinh√qαr

q ; coshαy=

coshqαr

√

Berdasarkan persamaan (14), (15), (16) dan (17) dan transformasi potensial terdeformasi ke trans-formasi non-detrans-formasi maka dapat diperoleh hubungan antara detrans-formasi dan non-detrans-formasi seperti pada persamaan (20) dan (21) sehingga dapat diambil hubungan antara potensial deformasi dan potensial trigonometri yaitu sinqx= −i(eix_−qe−ix₎ 2 ; cosqx= eix_+qe−ix₎ 2 ; tanqx= sinqx cosqx (22) cotqx= cosqx sinqx ; secqx= 1 cosqx ; cscqx= 1 sinqx (23) sin2qx+ cos 2 qx=q; 1 + tan 2 qx=qsec 2 qx (24)

Potensial efektif P¨osch-Teller termodifikasi untuk trogonometri [4,19] yaitu

Vef = ¯ h2 2M _κ(κ−1) sinh2r − λ(λ+ 1) cosh2r (25) Dengan menggunakan persamaan (22) dan (25) diperoleh potensial P¨oschl-Teller termodifikasi q-deformasi adalah Vefq = ¯ h2 2M κ(κ−1) sinh2qr −λ(λ+ 1) cosh2qr ! (26) Potensial efektif Scarf II untuk trigonometri untuk bagian sudut [4,19]

Vef = ¯ h2 2M r2 _b2_+a(a−1) sin2θ − 2b(a−1 2) cosθ sin2θ (27) Dengan menggunakan persamaan (22) dan (27) diperoleh potensial Scarf bagian sudut q-deformasi

Vefq = ¯ h2 2M r2 b2_+a(a−1) sin2_qθ − 2b(a−1 2) cosqθ sin2_qθ ! (28)

Potensial Non Sentral Rosen-Morse Plus Rosen-Morse q-Deformasi

Potensial non sentral Rosen-Morse untuk trigonometri untuk bagian radial memiliki bentuk persamaan

Vef = ¯ h2 2M _{υ(υ+ 1)} sin2r −2µcotr (29) Dengan menggunakan persamaan (22) dan (29) diperoleh potensial Rosen-Morse q-deformasi untuk bagian radial [20] Vefq= ¯ h2 2M υ(υ+ 1) sin2_qr −2µcotqr ! (30) Potensial non sentral Rosen-Morse dengan faktor sentrifugal untuk bagian sudut memiliki bentuk persamaan Vef = ¯ h2 2M r2 υ(υ+ 1) sin2θ −2µcotθ (31) Dengan menggunakan persamaan (22) dan (31) diperoleh potensial Rosen-Morse q-deformasi untuk bagian sudut [20] Vefq= ¯ h2 2M r2 υ(υ+ 1) sin2qθ −2µcotqθ ! (32)

Penyelesaian Persamaan Schr¨odinger Potensial Non Sentral P¨oschl-Teller Termodifikasi Plus Scarf Trigonometri q-Deformasi dan Potensial Non Sentral Rosen-Morse Plus Rosen Morse Menggunakan Metode NU

Persamaan Schr¨odinger Tiga Dimensi Potensial Non Sentral P¨oschl-Teller Termodifikasi (PTT) Plus Scarf Trigonometri (ST) q-Deformasi

Persamaan Schr¨odinger tiga dimensi potensial non-sentral PTT plus ST q-deformasi dinyatakan se-bagai −¯h 2 2M ( 1 r2 ∂ ∂r r2 ∂ ∂r + 1 r2_sin qθ ∂ ∂θ sinqθ ∂ ∂θ + 1 r2_sin2 qθ ∂2 ∂ϕ2 ) ψ + ( ¯ h2 2M κ(κ−1) sinh2_qr − λ(λ+ 1) cosh2_qr ! + ¯h 2 2M r2 b2_+a(a−1) sin2qθ −2b(a− 1 2) cosqθ sin2qθ !) ψ=Eψ (33)

Pers. (33) diselesaikan dengan metode pemisahan variabel sehingga diperoleh tiga persamaan diferensial satu dimensi fungsi radial, fungsi sudut polar dan azimuthal yang dinyatakan sebagai

( 1 R d dr r2dR dr ) − ( r2 κ(κ−1) sinh2_qr − λ(λ+ 1) cosh2_qr !) +2M r 2 ¯ h2 E=λ=`(`+ 1) (34a) − ( 1 Θ sinqθ d dθ sinqθ dΘ dθ − b 2_+a(a−1) sin2_qθ − 2b(a−1 2) cosqθ sin2_qθ ! + 1 Φ sin2_qθ d2_Φ dϕ2 ) =λ=`(`+ 1) (34b) 1 φ ∂2 ∂ϕ2 =−m 2 _(34c)

Bentuk penyelesaian persamaan (34c) adalah

φ=Ameimϕ (35)

Penyelesaian Persamaan Schr¨odinger Bagian Radial Potensial Non Sentral P¨oschl-Teller Termodifikasi (PTT) Plus Scarf Trigonometri (ST) q-Deformasi

Untuk menyelesaikan pers. (34a) diselesaikan dengan menggunakan faktor sentrifugal_r12 ∼=

d0+_sinh12

qr)

,

d0= ₁₂1 dengan mengaturR(r) = χ(_rr) danε2=−2_¯hm2E [21] serta dengan melakukan substitusi variabel cosh2_qr=spers. (34a) berubah menjadi

2(2s−q)∂ ∂s+ 4s(s−q) ∂2 ∂s2 χ− _{κ(κ−1) +`(`+ 1)} s−q − λ(λ+ 1 s +s 2_{+`(`+ 1)d} 0 χ(r) = 0 (36)

Persamaan (36) dianalogikan dengan persamaan (2) diperoleh nilai ¯τ(s) = (s−q₂); σ(s) =s2−qs; dan ¯σ=−h(κ(κ−1)+`(`+1)₄ −λ(λ+1))s+λ(λ+1)₄ q +(ε2+`(`+1)d0)(s2−qs)

4

i

sehingga fungsiπ(s) dan parameter

λdiperoleh sebagai berikut

π= s −q₂ 2 ! ±1 2 v u u t κ(κ−1) +`(`+ 1)−λ(λ+ 1)−(ε2 +`(`+ 1)d0 + 4k+ 1)q s+ λ(λ+ 1)q+q 4 4 ! + (ε2 +`(`+ 1)d0 + 4k+ 1)s2 (37) Dengan menggunakan kuadrat sempurnaax2_{+bx+c= 0, makaa(x+} b

2a) 2_{= 0;D= 0; maka persamaan} (36) menjadi π= _s−q 2 2 ±1 2 p s2_{+`(`+ 1)d} 0+ 4k+ 1 × s+κ(κ−1) +`(`+ 1)−λ(λ+ 1)−(s 2_{+`(`+ 1)d} 0+ 4k+ 1)q 2(s2_{+`(`+ 1)d} 0+ 4k+ 1) (38) Dimana deskriminan dari kuadrat sempurna bernilai 0, yaituD=b2_{−4ac= 0. Dengan menggunakan}

κ(κ−1) +`(`+ 1) + q 4−λ(λ+ 1)− q 4 −(ε 2_{+`(`+ 1)d} 0+ 4k+ 1)q 2 −4(ε2+`(`+ 1)d0+ 4k+ 1) λ(λ+ 1)q+q 2 4 = 0 (39)

Nilai k dari persamaan (39) di atas dapat dihitung dengan memisalkan κ(κ−1) +`(`+ 1) + q₄ = v;

λ(λ+ 1)−q₄ =t;ε2+`(`+ 1)d0+ 1 =u;ε2+`(`+ 1)d0=u−1; sehingga diperoleh dua nilaikyaitu

k1=

(√v+√t)2−uq

4q ;k2=

(√v−√t)2−uq

4q (40)

Dengan memisalkano=pv/qdanw=pt/qmaka persamaan (40) menjadi

k1=

(w+o)2−u

4 ;k2=

(w−o)2−u

4 (41)

Sehingga diperoleh nilai

π1=− 1 2s(w+o−1) + wq 2 − q 4;π2=− 1 2s(w−o−1) + wq 2 − q 4 (42)

Untuk nilaiτ diperoleh dengan menggunakan persamaan (11) sehingga

τ1=−s(w+o−2) +wq−q;τ2=−s(w−o−2) +wq−q (43)

Sedangkan nilaiλdiperoleh dengan menggunakan persamaan (10) didapatkan

λ1=λn =wn+on−n−n2u−1 = (w+o−2n−1)2 (44)

dan

λ2=λn =wn−on−n−n2u−1 = (w−o−2n−1)2 (45)

Berdasarkan persamaan diperoleh padak,λ,πterdapat dua nilai maka yang digunakan adalah untukk2,

λ2, π2 dibandingkank1, λ1, π1 karena energi yang sesuai dengan yang sudah ditemukan jadi energinya

digunakan parameter E2 yang memenuhi energi nilai eigen untuk potensial P¨oschl-Teller termodifikasi

yang sesuai dengan penelitian terdahulu [6,10] untukq= 1. Energi yang diperoleh [13] yaitu

E=−¯h 2 2µ s 1 4 + λ(λ+ 1) q − s 1 4+ κ(κ−1) q −2n−1 !2 −`(`+ 1)d0 (46)

Sedangkan fungsiφ(s) adalah derivatif logaritmik menggunakan persamaan (7) diperoleh

φ=s(−w2+ 1 4)(s−q)( o 2+ 1 4) (47)

Fungsi bobot dengan kriteria diperoleh

ρ=s−w(s−q)o (48)

Penyelesaian bagian kedua fungsi gelombang,yn(s), yang dalam persamaan relasi Rodrigues pada

per-samaan (12) diperoleh yn(z) = Cnqn(−1)n(2−1)n (1 +z)−w_(1−z)o dn d(1 +z)n (1 +z) −w+n₍₁ −z)o+n (49) Dengan menggunakan Polynomial Jacobian maka persamaan (49) menjadi

yn(z) =Cnqnn!Pn(α,β)(z) =BnPn(α,β)(z) (50)

Normalisasi fungsi gelombang apabila dalam bentuk satu dimensi (dalam bentuk R(r) = χ(_rr)) maka berlaku

Z ∞

0

Sedangkan, apabila belum dalam bentuk satu dimensi/tiga dimensi (dalam bentukR(r)) maka berlaku Z ∞

0

ψn(r)ψn∗(r)r

2_{dr= 1}

Karena sudah diubah ke dalam bentuk satu dimensi maka berlaku (2)−1BnBm

Z ∞

1

s−w(s−q)oP_n(α,β)P_m(α,β)ds= 1 (51) Karena orthogonal polinomial Jacoby maka untukn=msehingga persamaan (51) menjadi

Bn2 = (2)

2n+α+β+ 1 2α+β+1

Γ(n+α+β+ 1)n!

Γ(n+α+ 1)Γ(n+β+ 1) (52) Fungsi gelombang lengkap bagian radial untuk potensial P¨oschl-Teller termodifikasi plus Scarf q-deformasi dengan menggunakan persamaan (47) dan (50) maka diperoleh [20]:

R(r) =  cosh 2 qr− s λ(λ+1)−q₄ q 2 + 1 4(cosh2_qr−q) s κ(κ−1)+`(`+1)+q₄ q 2 + 1 4B_nP_n(α,β)   r (53)

Penyelesaian Persamaan Schr¨odinger Bagian Sudut Potensial Non Sentral P¨oschl-Teller Termodifikasi (PTT) Plus Scarf Trigonometri (ST) q-Deformasi

Untuk menyelesaikan pers. (34b) diselesaikan dengan mengalikan _sinΘ2

qθ

dan melakukan substitusi variabel cosqθ=s, pers. (34b) berubah menjadi

∂2Θ ∂s2 − 2s (q−s2₎ ∂Θ ∂s − _[b2_{+a(a−1) +m}2_]−2b(a−1 2)s−`(`+ 1)(q−s 2₎ (q−s2₎2 Θ = 0 (54) Persamaan (54) dianalogikan dengan persamaan (2) diperoleh nilai ¯τ(s) =−2s;σ(s) =q−s2_{; dan}

¯

σ=−[b2_{+a(a−1) +m}2_]−2b(a−1

2)s−`(`+ 1)(q−s

2_{) sehingga fungsiπ(s) dan parameterλdiperoleh}

sebagai berikut π=± s (`(`+ 1)−k)s2₋ 2b(a−1 2) s+ (b2_{+a(a−1) +m}2_{)−`(`+ 1)q+kq (55)}

Dengan menggunakan kuadrat sempurnaax2_{+bx+c= 0, makaa(x+} b

2a) 2_{= 0;D= 0, maka persamaan} (55) menjadi π=±p`(`+ 1)−k s+ −2b(a− 1 2) 2(`(`+ 1)−k) (56) Dimana deskriminan dari kuadrat sempurna bernilai 0, yaituD=b2−4ac= 0. Dengan menggunakan persamaan (56) maka deskriminannya adalah

b2(a−1 2)

2_{− {`(`+ 1)−k}}

b2+a(a−1) +m2−(`(`+ 1)−k)q = 0 (57)

Nilaikdari persamaan (45) di atas dapat dihitung dengan memisalkan`(`+1)−k=p2, maka`(`+1)−p2=

ksehingga diperoleh dua nilaipyaitu

p1,2= v u u tb 2_{+a(a−1) +m}2_±q_[b2_{+a(a−1) +m}2_]2_−4q b2_(a−1 2)2 2q (58)

Sehingga diperoleh nilai

π=± ps+−b(a− 1 2) p (59) Persamaan (59) dipilih nilai yang negatif. Untuk nilaiτ diperoleh dengan menggunakan persamaan (11) sehingga

τ =−2s−2ps+2b(a−

1 2)

p (60)

Sedangkan nilaiλdiperoleh dengan menggunakan persamaan (10) didapatkan

λ=λn= 2n+ 2pn+n(n−1) (61)

Nilai bilangan kuantum orbital dapat dengan menggunakan persamaaan (58) dan persamaan (61) se-hingga diperoleh `+1 2 = n+p+1 2 (62) Dengan persamaan (49) digunakan untuk mencari nilai bilangan kuantum orbital untuk potensial P¨ osch-Teller termodifikasi plus Scarf q-deformasi yang memenuhi seperti yang sudah ditemukan sebelumnya [20] yang terdapat dalam nilaipmaka energi yang diperoleh yaitu

`+1 2 =  n+ s b2_{+a(a−1) +m}2 4q + 2b √ q a− 1 2 4 + s b2_{+a(a−1) +m}2 4q − 2b √ q a− 1 2 4 + 1 2   (63) Persamaan (63) sesuai dengan energi yang sudah digunakan untuk q= 1, maka persamaan (63) meru-pakan persamaan energi potensial P¨osch-Teller termodifikasi plus Scarf untuk terdeformasi.

Fungsiφ(s) adalah derivatif logaritmik menggunakan persamaan (7) diperoleh

φ= (√q−s)− b(a−1₂) 2p√q + p 2₍√_q+s) b(a−1₂) 2p√q + p 2 ₍₆₄₎

Fungsi bobot dengan kriteria diperoleh

ρ= (√q−s)−

b(a−1₂)

p√q +p₍√_q+s) b(a−1₂)

p√q +p ₍₆₅₎

Penyelesaian bagian kedua fungsi gelombang,yn(s), yang dalam persamaan relasi Rodrigues pada

per-samaan (12) diperoleh yn(s) = Cn (√q−s)− b(a−1₂) 2p√q +p₍√_q+s) b(a−1₂) 2p√q +p dn dsn( √ q−s)− b(a−1₂) 2p√q +p+n₍√_q+s) b(a−1₂) 2p√q +p+n ₍₆₆₎

Dengan menggunakan Polynomial Jacobian maka persamaan (66) menjadi

yn(s) = (−1)n2nn!CnqnPn(α,β)=BnPn(α,β) (67)

Normalisasi fungsi gelombang berlaku Z ∞

0

ψn(θ)ψn∗(θ)dθ= 1 (68)

Sedangkan apabila belum maka diperoleh fungsi gelombang lengkap bagian sudut untuk potensial P¨ oschl-Teller termodifikasi plus Scarf q-deformasi dengan menggunakan persamaan (64) dan (67)

Θ = (√q−cosqθ)− b(a−1 2) 2p√q + p 2₍√_{q+ cos} qθ) b(a−1 2) 2p√q + p 2_B nPn(α,β) (69)

Persamaan fungsi gelombang bagian sudut secara lengkap pada persamaan (69) untuk potensial P¨oschl-Teller termodifikasi plus Scarf II dapat divisualisasikan secara 3 dimensi dan 2 dimensi dengan menggunakansoftwareMatlab 6.1 dengan menggunakan variasi parameterquntukm= 1,n`= 0,a= 0,

Tabel 1 Visualisasi secara 3 dimensi dan 2 dimensi untuk potensial P¨oschl-Teller termodifikasi plus Scarf II bagian sudut dengan menggunakansoftwareMatlab 6.1 dengan menggunakan variasi parameterquntukm= 1,

n`= 0,a= 0, danb= 0.

Θqn`mab 3 Dimensi 2 Dimensi (sumbu XY)

Θ2;0;0,707;1;0;0

Θ1,5;0;0,8165;1;0;0

Θ1;0;1;1;0;0

Persamaan Schr¨odinger Tiga Dimensi Potensial Non Sentral Morse Plus Rosen-Morse q-Deformasi

Persamaan Schr¨odinger tiga dimensi potensial non sentral Rosen-Morse plus Rosen-Morse q-deformasi yaitu persamaan (30) dan (32) diselesaikan sama seperti persamaan Schr¨odinger tiga dimensi potensial non sentral P¨oschl-Teller termodifikasi (PTT) plus Scarf trigonometri (ST) q-deformasi sehingga diperoleh persamaan orde dua fungsi bagian radial, polar dan azimut menjadi

1 R d dr r2dR dr −r2 υ(υ+ 1) sin2_qr −2µcotqr ! +2M r 2 ¯ h2 E=λ=`(`+ 1) (70a) sinqθ Θ d dθ sinqθ dΘ dθ − υ(υ+ 1) sin2qθ −2µcotqθ ! +λsin2θ=m2 (70b) −1 Φ d2Φ dϕ2 =m 2_; 1 Φ ∂2Φ ∂ϕ2 =−m 2 _(70c)

Bentuk penyelesaian persamaan (70c) adalah

φ=Ameımϕ+Bme−ımϕ (71)

Penyelesaian Persamaan Schr¨odinger Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen-Morse Plus Rosen-Morse q-Deformasi

Persamaan (70a) di atas dengan menggunakan faktor sentrifugal _r12 ∼=

d0+_sinh12

qαr

dengand0=₁₂1

dengan mengaturR(r) = χ(_rr) danε2₌₋2m

¯

h2E maka persamaan (70a) menjadi 1 r d2_χ dr2 − υ(υ+ 1) +`(`+ 1) sin2_qr −2µcotqr ! χ(r) r + 2M ¯ h2 E χ(r) r −`(`+ 1)d0 χ(r) r = 0 (72)

Dengan menggunakan cara yang hampir sama seperti penyelesaian persamaan Schr¨odinger bagian radial potensial non sentral P¨oschl-Teller termodifikasi (PTT) plus Scarf trigonometri (ST) q-deformasi diper-oleh persamaan spektrum energi dan fungsi gelombang bagian radial untuk potensial Rosen-Morse plus Rosen-Morse q-deformasi [20] yaitu

E=−¯h 2 2m    µ2 q `(`+ 1) +υ(υ+ 1) +1₄−n−1 2 2−q r `(`+ 1) +υ(υ+ 1) +1 4 −n− 1 2 !2 −`(`+ 1)d0    (73) dan R(r) = Cn(q+s2) p 2exp −µ_p√1 qarctan s √ q dn dsn (q+s2₎−p+n_exp2µ p 1 √ qarctan s √ q r (74)

dengan nilaippada persamaan (74) yaitu

p1,2= s −(ε2_{+`(`+ 1)d} 0)± p (ε2_{+`(`+ 1)d} 0)2+ 4qµ2 2q (75)

Penyelesaian Persamaan Schr¨odinger Bagian Sudut Potensial Non Sentral Rosen-Morse Plus Rosen-Morse q-Deformasi

Penyelesaian persamaan Schr¨odinger bagian sudut potensial non sentral Morse plus Rosen-Morse q-deformasi yaitu persamaan (70b) dengan menggunakan cara yang hampir sama seperti penyele-saian persamaan Schr¨odinger bagian sudut potensial non sentral P¨oschl-Teller termodifikasi (PTT) plus Scarf trigonometri (ST) q-deformasi diperoleh persamaan bilangan orbital dan fungsi gelombang bagian sudut untuk potensial Rosen-Morse plus Rosen-Morse q-deformasi yaitu

`= v u u u tq r υ(υ+ 1) +m2₋q 4 + 1 4+n+ 1 2 !2 − µ 2 q υ(υ+ 1) +m2₋q 4+ 1 4+n+ 1 2 2 − 1 2 (76) dan Θ(θ) = Cn(q+ cot2qθ) p 2 exp −µ_p√1 qarctan cot_√qθ q dn dsn (q+ cot2_qθ)−p+n_exp2µ p 1 √ q arctan cot_√qθ q p sinqθ (77)

Dengan nilaipyang digunakan pada persamaan (77) yaitu

p1,2= v u u t `(`+ 1) + 1 4 + q `(`+ 1) +1₄2 + 4qµ2 2q (78)

Persamaan fungsi gelombang bagian sudut secara lengkap pada persamaan (78) untuk potensial Rosen-Morse plus Rosen-Rosen-Morse dapat divisualisasikan secara 3 dimensi dan 2 dimensi dengan menggunakan

software Matlab 6.1 dengan menggunakan variasi parameter q untuk n` = 0, a= 0, dan b = 0 seperti

Tabel 2 Visualisasi gambar fungsi gelombang sudut untuk potensial Rosen-Morse plus Rosen-Morse q-deformasi dengan variasi parameterquntukn`= 0,a= 0, danb= 0.

Θqn`mab 3 Dimensi 2 Dimensi (sumbu XY)

Θ1;0;0;0;0;0

Θ1;0;1;1;0;0

Θ1,5;0;1,258;1;0;0

Kesimpulan

Spektrum energi dan fungsi gelombang be-berapa potensial non-sentral shape invariance q-deformasi, yaitu potensial P¨oschl-Teller termodi-fikasi plus Scarf dan potensial Rosen-Morse plus Rosen-Morse q-deformasi dapat dianalisis menggu-nakan metode Nikiforov-Uvarov (NU). Persamaan gelombang persamaan Schr¨odinger untuk beberapa potensial non-sentralshape invarianceq-deformasi, yaitu potensial P¨oschl-Teller termodifikasi plus Scarf dan potensial Rosen-Morse plus Rosen-Morse q-deformasi dapat divisualisasikan dengan menggu-nakan program Matlab 6.1.

Hasil penelitian ini dapat disimpulkan spek-trum energi dan fungsi gelombang persamaan Schr¨odinger untuk potensial non-sentral terdefor-masi dianalisa dengan menggunakan Nikiforov-Uvarov. Spektrum dan fungsi gelombang bagian radial diperoleh dari persamaan Schr¨odinger bagian radial dan hasilnya hanya bersifat pendekatan karena hadirnya faktor sentrifugal. Fungsi gelom-bang bagian sudut polar dan bilangan kuantum or-bital diperoleh dari persamaan Schr¨odinger bagian sudut polar.

Implikasi praktis yang dapat dikemukakan berdasarkan kesimpulan penelitian ini antara lain metode Nikiforov-Uvarov dapat digunakan seba-gai alternatif penyelesaian persamaan Schr¨odinger untuk menyelesaikan potensial non-sentral terde-formasi yang lainnya.

Ucapan Terima Kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Prof. Suparmi, Ph.D. dan Prof. Cari, Ph.D. yang telah membimbing dan membantu dalam penelitian ini.

Referensi

[1] Suparmi, Mekanika Kuantum I, (Jurusan Fisika MIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2011).

[2] Ikot, D. Antia, E. Akpabio dan A. Obu, JVR 6(2), 65 (2011).

[3] F. Cooper, Khare A dan Sukhatme, Phys. Rep. 256(267), 271(1995).

[4] Suparmi, Semiclassical Quantization Rules in Supersymetric Quantum Mechanics, (Dis-ertasi, SUNNY The University at Albany Physics Departement, 1992).

[5] A.F. Nikiforov dan U.B. Uvarov,Special Func-tion in Mathematical Physics, (Birkhausa, Basel, 1998).

[6] C. Cari dan Suparmi, IOSR-JAP 2 (3), 13 (2012).

[7] F.D.E.A. Castillo, Exactly Solvable Poten-tials and Romanovski Polynomials in Quan-tum Mechanics, (Instituto de F´ısica, Universi-dad Aut´onoma de San Luis Potos, 2007). [8] A. Suparmi, C. Cari, J. Handika, C.Yanuarief

dan H. Marini, IOSR-JAP2(2), 43 (2012). [9] Cari, Mekanika Kuantum Penyelesaian

Potensial Non-Sentral dengan Supersimetri, Hypergeometry, Nikifarov Uvarov, dan Poly-nomial Romanovski, (UNS Press, Surakarta, 2013).

[10] Suparmi, Mekanika Kuantum II, (Jurusan Fisika MIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2011).

[11] Suparmi, Cari, H. Yuliani dan D. Yuniati, Jur-nal Fisika IndonesiaXVII (51), 41 (2013).

[12] C.B. Compean dan M. Kirchbach, The Trigonometric Rosen-Morse Potential as a Prime Candidate for an Effective QCD Po-tential, (Instituto de F´ısica, Universidad Aut´onoma de San Luis Potos´ı. Av. Manuel Nava 6, S.L.P. 78290, M´exico (Abstr.) 2006). [13] A. Arda, R. Sever dan C. Tezcan,

arXiv:0911.4558v1.

[14] M. Chabab, R. Jourdani dan M. Oulne, Int. J. Phys. Sci. 7(8), 1150 (2012).

[15] A. Arai, J. Math. Anal. Appl. 158, 63 (1991). [16] A. de Souza Dutra, Mapping Deformed Hy-perbolic Potentials into Nondeformed Ones, (UNESP-Campus de Guaratinguerta-DFQ, Brasil, 2008).

[17] C.S. Jia, Y. Sun dan Y. Li, Phys. Lett. A 305, 231 (2002).

[18] R. Akbarich dan H. Motavali, Exact Solu-tions of the Klein-Gordon Equation for the Rosen-Morse Type Potentials via Nikiforov-Uvarov Method, (Faculty of Physics, Univer-sity of Tabriz, Iran).

[19] A. Suparmi, S. Cari dan H. Yuliani, Ad. Phys. Theor. Appl. IISTE16, 64 (2013).

[20] H. Yuliani, Analisis Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang Persamaan Schr¨odinger Potensial Non- Sentral Shape Invariance Ter-deformasi Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov, (Tesis, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2013).

[21] R.L. Greene dan C. Aldrich, Phys. Rev. A. 14, 2363 (1976).