South East Asian Conference on Mathematics and Its Applications Proceedings
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
ISBN 978 – 979 – 96152 – 5 – 1
69
APLIKASI BEDA HINGGA PADA PROSES STERILISASI
MAKANAN KALENG
1
Lukman Hanafi,
2Mardlijah dan
3Dedik Ardian
3, 2 , 1
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Kampus ITS Keputih Sukolilo Surabaya, Indonesia
email : lukman@matematika.iits.ac.id
Abstrak. Proses sterilisasi makanan kaleng dengan pemanasan dilakukan untuk penentuan jaminan keselamatan bahan makanan. Jaminan ini meliputi tepat atau tidaknya tanggal kadaluwarsa yang tercantum pada label, rusak tidaknya kualitas makanan dan jumlah kandungan nutrisi yang ada. Namun demikian, proses sterilisasi makanan yang diberikan tidak semata-mata membunuh mikroba, tetapi juga harus mempertimbangkan mutu akhir dari produk, dimana kerusakan mutu oleh pemanasan harus diminimalkan. Dengan demikian, optimasi proses sterilisasi makanan kaleng diperlukan untuk dapat menentukan kombinasi suhu dan waktu selama pemanasan yang dapat memenuhi kriteria keamanan pangan dan mutu. Penyelesaian dan simulasi model dari permasalahan menggunakan metode beda hingga untuk mendapatkan solusi numeriknya. Metode beda hingga merupakan salah satu bentuk penyelesaian numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Kata kunci : sterilisasi, makanan kaleng, beda hingga
1. Pendahuluan
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang ada saat ini memerlukan suatu solusi yang tepat dari permasalahan yang ada, terutama dalam bidang industri.. Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai hal-hal yang berkaitan dengan perpindahan panas, terutama dalam bidang industri. Perpindahan panas atau heat transfer adalah ilmu yang meramalkan perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan temperatur diantara benda atau material. Ilmu perpindahan panas tidak hanya mencoba menjelaskan bagaimana energi panas itu berpindah dari suatu benda ke benda lainya, tetapi juga dapat meramalkan laju perpindahan yang terjadi pada kondisi-kondisi tertentu. salah satu dari beragam masalah yang dapat diselesaikan dengan ilmu perpindahan panas adalah persamaan panas pada proses sterilisasi makanan kaleng.
2. Proses sterilisasi makanan kaleng
Proses sterilisasi merupakan proses utama pada proses produksi pangan steril komersial, khususnya untuk menjamin tercapainya keamanan pangan steril komersial. sterilisasi (processing) pada pengalengan adalah proses pemanasan wadah serta isinya pada suhu dan jangka waktu tertentu untuk menghilangkan atau mengurangi faktor-faktor penyebab kerusakan makanan, tanpa menimbulkan gejala lewat pemasakan (over cooking) pada makanannya. Waktu dan suhu yang diperlukan untuk proses sterilisasi biasanya tergantung pada konsistensi atau ukuran partikel bahan, derajat keasaman isi kaleng, ukuran headspace, besar dan ukuran kaleng, kemurnian uap air (steam) yang digunakan, dan kecepatan perambatan panas.
Mikroba mempunyai ketahanan panas yang berbeda - beda,. Tabel 1 memperlihatkan kombinasi suhu dan waktu yang diperlukan untuk membunuh mikroba. Sel vegetatif khamir dan kapang dapat diinaktifkan pada suhu yang lebih rendah
(
60
88
0C
)
, sedangkan bakteri termofilik dan mesofilik perlu suhu yang lebih tinggi untuk membunuhnya (umumnya pada suhu standar121
0C
).70 Aplikasi Beda Hingga Pada Proses Sterilisasi Makanan Kaleng
Tabel 1. Kombinasi suhu dan waktu yang diperlukan untuk menurunkan jumlah mikroba pada level yang sama.
Organisme Waktu (menit) Suhu
(
)
0C
Sel Vegetatif 10 80 Khamir 5 60 Kapang 30 - 60 88 Bakteri Termofilik : Clostridium Thermosacahharilyticum Bacilus 3 – 4 121 4 121 Bakteri Mesofilik Clostridium Botulinum Toksin Botulinum A & B
Clostridinum Sporogenes Bacillus Subtillis 3 121 0,1 – 1 121 1,5 121 0,6 menit 121
Apabila suspensi mikroba dipanaskan pada suhu konstan, maka penurunan jumlah mikroba mengikuti pola logaritmik sebagai fungsi dari waktu. Pada suhu tertentu,laju inaktifasi mikroba selama waktu pemanasan pada suhu tertentu dapat dinyatakan sebagai berikut :
kN
dt
dN
(1) dimana :N : Jumlah mikroba sisa yang masih hidup setelah pemanasan t : Waktu pemanasan
k : laju reaksi
Jka persamaan (1) diintegralkan, maka diperoleh persamaan berikut :
kt
N
N
0ln
(2)Persamaan (2) menunjukkan plot kurva semilogaritma N terhadap t persamaan tersebut dapat dirubah menjadi lebih sederhana
2.303 log
kt
N
N
0 atau log303
.
2
0kt
N
N
Nilai slope 2.303/k sering dinyatakan dengan nilai D, sehingga :
D
t
N
N
0log
Nilai D = 2.303/k, yaitu waktu penurunan desimal (decimal reduction time). Nilai D dipengaruhi oleh suhu, semakin tinggi suhu pemanasan, maka waktu yang diperlukan untuk menginaktivasi mikroba akan semakin pendek. Gambar 1 memperlihatkan pengaruh suhu terhadap nilai D. Pada suhu pemanasan yang lebih tinggi kurva akan semakin curam yang memberikan slope kurva -1/D semakin besar atau nilai D semakin kecil.
Lukman Hanafi, Mardlijah, Dedik Ardian
71
Gambar 1 Pengaruh suhu terhadap nilai D
Nilai D dari setiap mikroba memiliki sensitivitas yang berbeda terhadap perubahan suhu.. Sensitifitas nilai D terhadap suhu sering dinyatakan dengan nilai Z, yaitu perubahan suhu yang diperlukan untuk merubah nilai D sebesar 90% atau 1 siklus logaritma. Misalnya, Clostridium botulinum memiliki nilai Z sebesar
10
0C
, artinya untuk merubah nilai D mikroba tersebut dari 0.25 menit pada suhu121
0C
menjadi 0.025 menit (menurun sebesar 90% atau satu siklus logaritma), suhu pemanasan harus dinaikkan sebesar
10
0C
, yaitu menjadi131
0C
.Gambar 2 Kurva semi-logaritmik hubungan antar nilai D dengan suhu.
Kurva semi logaritmik ini berbentuk linear dengan slope-nya adalah -1/Z secara matematis, nilai
D
Tpada suhu tertentu dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :
Z
T
T
D
D
ref T
log
Dimana :D : waktu yang dibutuhkan untuk mengurangi bakteri sebanyak 90 persen (menit) T
D
: nilai D pada suhu tertentu (menit) T : suhu pemanasan tertentu (0C
/0F
)ref
T
: suhu standar yang digunakan untuk nilai D (0C
/0F
) Z : sensitifitas nilai D terhadap suhu (0C
/0F
)72 Aplikasi Beda Hingga Pada Proses Sterilisasi Makanan Kaleng
3. Model Matematika dan Metode Beda Hingga
Proses sterilisasi makanan kaleng memiliki serangkaian kendala yang harus diperhatikan. Kendala yang ada diantaranya adalah proses perambatan panas yang dimodelkan dengan persamaan difrensial parsial orde dua dan kendala yang lain berupa nilai sterilisasi dengan memperhatikan derajat pertumbuhan mikroorganisme dalam makanan kaleng.
Proses pemodelan persamaan panas dimensi tiga disini dimulai dari sistem koordinat Cartesius kemudian ditransformasikan kedalam sistem koordinat tabung. Pemakaian sistem koordianat tabung karena lebih sesuai dengan masalah yang akan diselesaikan, yaitu kaleng berbentuk tabung.
Selanjutnya akan dicari model matematis perambatan panas yang terjadi. Namun untuk selanjutnya pemanasan tergantung dari jenis bahannya yang diamati, seperti makanan kaleng tergantung jenis makanannya yang terlihat dari kalor jenis bahan c, konduktifitas suhu bahan k dan masa jenis bahan ρ. Model persamaan panas adalah :
T
z
T
y
T
x
T
t
T
2 2 2 2 2 2 21
dimanak
c
1
adalah konstanta penghamburan panas d
X Y Z L 2 1 L 2 1 R
Gambar 3 Kaleng berbentuk tabung
Selanjutnya jika T=T(x,y,z,t) ditransformasikan dalam koordinat tabung T =T(r,
,z,t) seperti terlihat pada gambar 3 dengan transformasi sebagai berikut x = r cos
, y = r sin
dan Z = z, akan diperoleh :2 2 2 2 2 2 2
1
1
1
z
T
T
r
r
T
r
T
r
t
T
Karena kaleng yang diperlihatkan berbentuk tabung yang bersifat simetri sehingga perambatan panas tidak bergantung pada besar sudut
.Lukman Hanafi, Mardlijah, Dedik Ardian
73
Y X R R R RGambar 4 Perambatan panas pada sisi kaleng
Persamaan panas pada kaleng yang berbentuk tabung, dengan T(r,z,t) adalah suhu bahan makanan di lokasi kaleng (r,z) dengan r(
0
r
R
) dan z(
L
/
2
z
L
/
2
) saat waktut
.Untuk melengkapi pemodelan kendala yang diberikan pada perambatan panas, ditambahkan syarat awal pada waktu initial time
t
isuhu awalnya adalahT
00
)
,
,
(
r
z
t
T
T
i
]
2
,
2
[
)
,
0
[
R
z
L
L
r
Sedangkan syarat batas suhu di sekeliling, dasar dan atas kaleng diberikan olehT [r,z,t] = u(t)
]
2
,
2
[
L
L
z
T [r
L
,
t
2
,
] = u(t)
r
[
0
,
R
]
T [r
L
,
t
2
,
] = u(t)
r
[
0
,
R
]
sedangkan suhu di sepanjang sumbu z, yaitu r = 0 tidak berubah terhadap rPenyelesaian dan simulasi model dari permasalahan di atas menggunakan metode beda hingga untuk menentukan solusi numeriknya. Konsep yang digunakan pada metode beda hingga adalah mengubah sistem persamaan difrensial parsial ke sistem persamaan diferensial biasa dengan mendiskritkan ruang domainnya. Ruang (r,z,t) didiskritisasi dengan N titik (i=1,2,3,...,N) untuk dimensi r, M titik (j=1,2,3,...,M) untuk dimensi z dan P titik (k=1,2,3,..,P) untuk dimensi t dengan
r
i
R
r
i
(
1
)
z
j
L
z
j
(
1
)
2
t
k
t
k
(
1
)
dengan1
N
R
r
1
M
L
z
1
P
T
t
74 Aplikasi Beda Hingga Pada Proses Sterilisasi Makanan Kaleng
Persamaan beda hingga digunakan untuk pendekatan turunan parsial dari u(r,z,t) dengan
r k j r i k j r i k j
t
z
r
u
t
z
r
T
t
z
r
r
T
2
)
,
(
)
,
,
(
,
,
,r
t
z
r
T
t
z
r
T
t
z
r
u
t
z
r
r
T
i r j k i j k i r j k k j i 2 2 2(
,
,
)
2
(
,
,
)
(
,
,
)
,
,
z
t
z
r
T
t
z
r
T
t
z
z
r
T
t
z
r
z
T
i j k i j k i j z k k j i 2 2 2(
,
,
)
2
(
,
,
)
(
,
,
)
,
,
t
t
z
r
u
t
t
z
r
u
t
z
r
t
T
i j k i j k k j i
(
,
,
)
(
,
,
)
,
,
sehingga didapatz
T
T
T
r
T
T
T
r
r
T
T
t
T
T
i jk i jk i jk i jk i jk ijk i jk ij k ijk ij k 2 , 1 , , , , 1 , 2 , , 1 , , , , 1 , , 1 , , 1 , , 1 , ,2
2
2
1
untuk i = 2,3,4,...,N-1, j = 2,3,4,...,M-1, k = 1,2,3,...,P Sedangkan untuk syarat batasnya, diberikan oleh)
(
, ,T
t
T
i jk
j = 1,2,3,...,M, k = 2,3,...,)
(
, ,T
t
T
i jk
i = 1,2,3,...,N k = 2,3,...,P)
(
, ,T
t
T
iMk
i = 1,2,3,...,N k = 2,3,...,PPada pusat kaleng dan sepanjang tinggi kaleng gradien
0
r
T
sehingga untuk r = 0, (i = N),)
,
,
(
R
r
z
jt
kT
=T
(
R
r
,
z
j,
t
k)
atauT
N1,j,k
T
N1,j,k dan kemudian disubstitusikan didapat
N jk N jk
N j k N jk N j k
k j N k j NT
T
T
z
t
T
T
r
t
T
T
, , 1 , ,2
2 1, , , , 2 , 1,
2
, ,
, 1,
Misalkan diberikan persamaan panas dengan syarat awalnya
T
0
0
(dapat pula dengan nilai besaran yang lain, misal = 100), konstanta
1
,
2
10
7m /
2s
, jari-jari kaleng R = 0,025 m dan tinggi kalengL= 0,06 m, maka solusi numerik pada pusat kaleng diberikan oleh gambar 5 berikut
Lukman Hanafi, Mardlijah, Dedik Ardian
75
4. Pemodelan nilai sterilisasi
Fenomena lain dari sterilisasi makanan kaleng yang sangat penting adalah penentuan nilai sterilisasi pada akhir waktu. Nilai sterilisasi ini menentukan derajat kehancuran mikroorganisme didalam bahan makanan dan relatif terhadap konsentrasi mikroorganismenya, nilai sterilisasi disini diberikan dengan besaran
F
0 jika c(r,z,t) adalah konsentrasi dari mikroorganisme pada lokasi (r,z) saat waktu t, maka c(0,0,t) adalah konsentrasi mikroorganisme pada pusat kaleng saat waktu t. Seperti yang disebutkan di atas, nilai sterilisasi ini lebih dilihat pada pusat kaleng karena tempat ini lebih lambat menerima panas sehingga kemungkinan besar mempunyai konsentrasi mikroorganisme terbesar.Kehancuran mikroorganisme akibat pemanasan diberikan oleh persamaan difrensial berikut :
t
kc
dt
t
dc
,
0
,
0
,
0
,
0
(3)
0
,
0
,
t
c
0c
i
Denganc
0adalah konsentrasi awal, parameterk
merupakan sebuah fungsi dari suhu. Ketergantunganfungsi ini dapat dilihat pada parameter jumlah waktu
yang dibutuhkan untuk mereduksi konsentrasi mikroorganisme.k
In
(
10
)
dan suhu yang dihasilkan
ref dibutuhkan untuk mereduksi besar dari
yang berhubungan dengan sebuah suhu acuanT
ref oleh sebuah faktor dari 10
ref ref refT
t
T
exp
ln
10
(
0
,
0
,
)
dengan T(0, 0, t) adalah suhu pada pusat kaleng. sshingga didapat nilaik
ref ref refT
t
T
k
)
,
0
,
0
(
10
ln
exp
)
10
ln(
jika persamaan (3) diselesaikan maka didapat
1 0 0ln
ln
t t tc
k
dt
c
1 0)
10
ln(
ln
0 t t tdt
c
c
1 0,
0
,
0
)
10
ln(
exp
10
ln
exp
,
0
,
0
0 t t ref ref refdt
T
t
T
c
t
c
Pada persamaan diatas, nilai sterilisasi pada waktu t didefinisikan dengan
t
T
t
T
dt
F
t t ref ref
1 0,
0
,
0
)
10
ln(
exp
0
Jika diberikan derajat sterilisasi F yang diinginkan pada akhir waktu, maka harus dipastikan
t
F
F
0 f
begitu pula untuk suhu akhir harus
t
f
T
fT
0
,
0
,
76 Aplikasi Beda Hingga Pada Proses Sterilisasi Makanan Kaleng
c
c
F
t
ref f
)
10
ln(
exp
,
0
,
0
0Misalkan diberikan persamaan panas sebagai titik pusat kaleng dengan syarat awalnya
T
0
0
(dapat pula dengan nilai besaran yang lain, misal = 100), konstanta
1
,
2
10
7m /
2s
, jari-jari kaleng R = 0,025 m dan tinggi kaleng L= 0,06 m, dengan grid tinggi = 3, grid jari-jari = 2 dan grid waktu = 10 maka kondisi pada titik pusat kaleng ketika dipanaskan selama 10 menit ditunjukkan oleh gambar 6Gambar 6 Kondisi titik pusat kaleng setelah dipanaskan selama 10 menit
5. Kesimpulan
1. Proses perambatan panas pada proses sterilisasi makanan kaleng yang berbentuk tabung dapat dituliskan dalam bentuk PDP orde dua sebagai berikut. Jika T(r,z,t) adalah suhu bahan makanan di lokasi kaleng (r,z) dengan
r
(
0
r
R
)
dan)
2
2
(
L
Z
L
Z
saat waktu t, maka persamaan panasnya adalah 2 2 2 21
1
z
T
r
T
r
T
r
t
T
dengan syarat awal dan syarat batas :T(r,z,
t
i) =T
0
r
0
,
R
,
2
,
2
Z
L
L
T(r,2
L
,t) = T(t),
2
,
2
r
L
L
T(r,2
L
,t) = T(t)
r
0 R
,
,
0
r
T
r = 0,
2
,
2
Z
L
L
2. Dari simulasi model yang dilakukan untuk beberapa parameter
1
.
2
x
10
7m
2/
s
R = 0,025m dan L = 0,06m dapat disimpulkan bahwa suhu pada pusat kaleng dengan kondisi syarat awalnya bernilai nol dan syarat batasnya bernilai satu tak melewati suhu syarat batasnya sepanjang pergerakan waktunya.
Lukman Hanafi, Mardlijah, Dedik Ardian
77
Daftar Pustaka
1. Basarudin T, 1994, Metode Beda hingga untuk persamaan difrensial, Elex Media Komputindo, Jakarta
2. Holman J.P., Jasjfi E.1994, Perpindahan kalor. Erlangga, Jakarta
3. Kannan A, Gourisankar P.Ch., Sandaka 2008 . Heat Transfer Analysis of canned food Sterilization in
a Still Retort. Journal of Food Engineering 88 213-228.
4. Kreith F, Prijono A 1997, Prinsip-prinsip Perpindahan Panas, Edisi ketiga. Erlangga, Jakarta 5. Kusnandar F ,dkk . 2008. Aspek Mikrobiologi Makanan Kaleng
http://www.unhas.ac.id/gdln/dirpan/pengalengan/Topik6/modul/ diakses tanggal 28 Februari 2009. 6. Soehardjo, 1996, Matematika 4, ITS, Surabaya.
