STRUKTUR ALJABAR II
STRUKTUR ALJABAR II
RING POLINOMIAL REDUKSI DAN TAK
RING POLINOMIAL REDUKSI DAN TAK TEREDUKSI
TEREDUKSI
Disusun oleh Disusun oleh
14011015000
140110150002 2 Ahmad Ahmad Nurul Nurul HadiHadi 14011015005
140110150052 2 Mochamad Mochamad Rochmat Rochmat HH 14011015006
140110150064 4 Ignatius Ignatius Abraham Abraham Enga Enga TT 14011015007
140110150076 6 Ali Ali QolbuddinQolbuddin 14011015007
140110150078 8 Muhammad Muhammad Najib Najib ArifArif
UNIVERSITAS PADJADJARAN UNIVERSITAS PADJADJARAN
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI S-1
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKAMATEMATIKA JATINANGOR
JATINANGOR 2018
1.
1. Polinomial Tereduksi dan Tak Polinomial Tereduksi dan Tak TereduksiTereduksi
1.1
1.1 Definisi (Joseph A. Gallian)Definisi (Joseph A. Gallian)
Misal
Misal
daerah integral. Suatu polinomial daerah integral. Suatu polinomial ∈
∈ []
[]
dengan dengan
≠
≠ 00
atau atau
bukan unit di bukan unit di[]
[]
dikatakan polinomial tak tereduksi dikatakan polinomial tak tereduksi (irreducible)(irreducible) atas atas
jika jika
dinyatakan sebagai hasil kali dinyatakan sebagai hasil kali = =
ℎ
ℎ
dengan dengan,ℎ ∈ []
,ℎ ∈ []
, maka, maka
atau atauℎ
ℎ
adalah unit di adalah unit di[]
[]
. Elemen tak nol atau elemen bukan unit dari. Elemen tak nol atau elemen bukan unit dari[]
[]
yang tidak yang tidak irreducible atasirreducible atas
disebut polinomial tereduksi disebut polinomial tereduksi (reducible)(reducible) atas atas
.. Definisi (Thomas W. Judson)Definisi (Thomas W. Judson)
Polinomial tak konstan
Polinomial tak konstan
∈
∈ []
[]
dikatakan irreducible atas dikatakan irreducible atas lapanganlapangan
jika jika
tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial
dan danℎ
ℎ
di di[]
[]
, dimana derajat dari, dimana derajat dari
dan danℎ
ℎ
lebih kecil dari lebih kecil dari derajatderajat
..Definisi (Vijay K. Khanna) Definisi (Vijay K. Khanna)
Misalkan
Misalkan
daerah integral dengan satuan. Polinomial daerah integral dengan satuan. Polinomial
∈
∈ [
[]]
berderajat positif (derajatberderajat positif (derajat
≥ ≥ 11
) dikatakan irreducible atas) dikatakan irreducible atas
jika tidak dapat jika tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial berderajat positif. Dengan kata dinyatakan dalam perkalian dua polinomial berderajat positif. Dengan kata lain, jikalain, jika
=
= ℎ
ℎ
maka makadeg(
deg() =
) = 00
atau ataudeg(ℎ
deg(ℎ) =
) = 00
.. Polinomial berderajat positif yang tidak irreducible dikatakan reducible atas Polinomial berderajat positif yang tidak irreducible dikatakan reducible atasContoh :
a. Polinomial
=
+ 1 ∈ ℤ[]
irreducible atasℤ
, karena
+ 1
tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial diℤ[]
.Polinomial
=
+ 1 ∈ ℂ[]
reducible atasℂ
karena
+ 1 = +
dimana +
dan ∈ ℂ[]
dan derajat dari = +
danℎ =
lebih kecil dari derajat
.b. Polinomial
=
2 ∈ ℤ[]
irreducible atasℤ,
karena
2
tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial diℤ[]
.Polinomial
=
2 ∈ ℝ[]
reducible atasℝ
karena
2 = + √ 2 √ 2
dimana( + √ 2)
dan( √ 2) ∈ []
dan derajat dari = + √ 2
danℎ = √ 2
lebih kecil dari derajat
.c. Polinomial
=
reducible atasℚ
, karena
dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinom diℚ[]
. Dan derajat dari = 5
danℎ = +
lebih kecil dari derajat
1.2 Teorema (Uji ketereduksian untuk derajat 2 dan 3) (Joseph A. Gallian) Misalkan
lapangan dan
menyatakan derajat dari
. Jika ∈ []
dan() = 2
atau() = 3
, maka
reducible atas
jika dan hanya jika
mempunyai pembuat nol di
.Bukti :
[⇒]
Dik :
reducible atas FAdt :
mempunyai pembuat nol di F Bukti :
reducible di
maka = ℎ
, dimana,ℎ ∈ []
dan(),(ℎ) ()
.Karena
() = () + (ℎ)
dan() = 2 atau
() = 3
maka pastilah() = 1
atau(ℎ) = 1
Misal() = 1
maka = + ; , ∈
pilih
=
−
pembuat nol di
= ℎ
−
=
−
ℎ
−
−
=
−
+ ℎ
−
−
=
−
+ ℎ
−
−
= ( + )ℎ
−
−
= 0 ∙ ℎ
−
−
= 0
∴
−
pembuat nol di
∴
mempunyai pembuat nol di
[⟸]
Dik:
mempunyai pembuat nol di
Adt :
reducible atas
Ambil
∈
pembuat nol di
Maka = 0
Berdasarkan teorema faktor maka
merupakan faktor dari.
Sehingga dapat ditulis = ℎ
untukℎ ∈ []
Karena
() = 2 atau () = 3
maka
reducible atas.
Jadi,
reducible atas
.Contoh :
a. Buktikan
p =
+
+ 2
irreducible atasℤ
[]
dan reducible atasℤ
[]
! Jawab : Dik: =
+
+ 2
Adb :
irreducible diℤ
[]
Bukti :
= 0,1,2
maka didapat :0 = 0
+ 0
+ 2 = 2 ≠ 0
1 = 1
+ 1
+ 2 = 1 ≠ 0
2 = 2
+ 2
+ 2 = 1 ≠ 0
Karena
tidak memiliki pembuat nol maka
irreducible diℤ
[].
Dik
: =
+
+ 2
Adb:
reducible diℤ
[]
Bukti :
= 0,1,2,3
Maka didapat0 = 0
+ 0
+ 2 = 2 ≠ 0
1 = 1
+ 1
+ 2 = 0
2 = 2
+ 2
+ 2 = 2 ≠ 0
3 = 3
+ 3
+ 2 = 3 ≠ 0
Karena
memiliki pembuat nol maka
reducible diℤ
[].
∴ =
+
+ 2
reducible atasℤ
[]
2. Polinomial Primitif
2.1 Definisi Konten (Herstein, 1996:159)
Konten dari polinomial
=
+
+ ⋯+
,
dimana ∈
Z
adalah gcd dari bilangan bulat
,
,
,…
.2.2 Definisi Polinomial Primitif (Herstein, 1996:159)
Polinomial
=
+
+ ⋯+
,
dimana
,
,
,…,
∈ ℤ
dikatakan primitif jika gcd dari
,
,
,…
adalah 1.Konten dari suatu polinomial
+
−
−
+ ⋯+
dengan
∈ , = 0,1,2,…,
adalah gcd dari
,
−
,…,
.
Suatu polinomial primitif adalah polinomial padaℤ[]
dengan konten 1.Jadi dapat disimpulkan bahwa suatu polinomial primitif adalah polinomial pada
ℤ[]
dengan konten 12.4 Lemma Gauss
Hasil kali dua polinomial primitif adalah polinomial primitif. (Herstein, 1996:159).
Bukti :
(Dengan menggunakan bukti kontradiksi)
Misalkan
dan
masing-masing adalah polinomial primitif. Andaikan
bukan polinomial primitif.Misalkan p adalah konten prima dari
,
dan misalkan ̅, ̅
dan
adalah polinomial yang diperoleh dari,
dengan mereduksi koefisien-koefisiennya ke modulo p. Maka
dan̅
adalah elemen-elemen dari
[]
dan ̅ =
= 0
elemen nol pada
[ ].
Akibatnya ̅ = 0
atau̅ = 0
. Hal ini berarti bahwa p membagi semua koefisien dari
atau p membagi setiap koefisien dari
. Dengan demikian, baik
maupun
bukan polinomial primitif. Hal ini kontradiksi dengan
dan
masing-masing adalah polinomial primitif. Kontradiksi ini disebabkan karena kesalahan pengandaian, jadi haruslah
adalah polinomial primitif . Contoh : = 11
+ 21
+ 5x
+ 2x + 13
ℎ = 5
+ 7
+ 2 + 1
.Konten dari
= 11, 21, 5, 2, 13 = 1
maka
polinomial primitif.Konten dari
ℎ = 5,7,2,1 = 1
makaℎ
polinomial primitif. g = 3
+ 12
+ 15
+ 6x + 9
.Konten dari
= 3, 12, 15, 6, 9 = 3
maka g
bukan polinomial primitif..ℎ = 11
+ 21
+ 5x
+ 2x + 135
+ 7
+ 2 + 1.
Jawab.ℎ = 55
+ 77
+ 22
+ 11
+ 105
+ 147
+ 42
+ 21
+ 25
+ 35
+ 10
+ 5
+ 10
+ 14
+ 4
+ 2 + 65
+ 91
+ 26 + 13.
.ℎ = 55
+ 182
+ 169
+ 78
+ 66
+ 10
+ 74
+ 95
+ 28 + 13.
Konten dariℎ = gcd55,182,169,78,66,10,74,95,28,13 = 1.
makaℎ
adalah polinomial primitif.3. Ketereduksian Q Atas Z
3.1 Teorema (Ketereduksian Q atas Z)
Misal
∈ ℤ[].
Jika
tereduksi terhadapℚ
maka
tereduksi terhadapℤ
. (Gallian, 2010).Bukti :
Misalkan
= .ℎ,
dimana
danℎ ∈ ℚ[].
Asumsikan
adalah primitif. Karena
dan
keduanya dapat dibagi oleh konten pada.
Misalkan
adalah faktor persekutaan terkecil (lcm) dari koefisiendenominator
. Dan
adalah faktor persekutuan terkecil (lcm) dari koefisiendenominatorℎ
.Maka
= ∙ ℎ
dimana
danℎ ∈ ℤ[].
misalkan
konten dari
dan
konten dariℎ
.maka
=
danℎ = ℎ
.keduanya
danℎ
adalah primitif dan = ℎ
. karena
primitif maka konten dari
adalah
.Dan karena hasil kali dua primitif adalah primitif, maka konten dari
ℎ
adalah
. maka =
dan =
ℎ
, dimana
danℎ ∈ []
dan =
,ℎ = ℎ
. Contoh :Diketahui :
= 12
+ 5 2
reducible atasℚ
Adt :
reducible atasℤ.
Karena
reducible atasℚ
maka = 12
+ 5 2 = 3 344 +
8
3 = ℎ
= 1,4 = 4
= 1,3 = 3
= 43 34 = 12 3 →
= gcd12,3 = 3
ℎ = 34 83 = 12 +8 →
= gcd12,8 = 4
Maka
=
= 12 3
3 = 4 1
ℎ
= ℎ
= 12 + 8
4 = 3 + 2
Sehingga = 4312
+ 5 2 = 434 13 + 2 =
ℎ
Atau dapat ditulis
= 12
+ 5 2 = 4 13 + 2 =
.ℎ
11 4. Mod P Irreducible Test
4.1 Teorema (Joseph A. Gallian)
Misalkan p bilangan prima dan
∈ ℤ[]
dengan derajat polinom ≥ 1
. Misal ̅
adalah polynomial padaℤ[]
yang diperoleh dari
dengan mereduksi semua koefisien dari fungsi
yang di-modulo-kan dengan p. Jika ̅
tidak tereduksi padaℤ
dan derajat polinom ̅
= derajat polinom
, maka
tidak dapat tereduksi padaℚ
.Bukti :
Berdasarkan dari pembuktian dari Teorema sebelumnya dimana
dapat direduksi olehℚ
, maka = ℎ
dimana, ℎ ∈
Z[x], dengan dan ℎ
mempunyai derajat polinom yang lebih kecil daripada derajat polinom
.Misal
̅,̅, ℎ
adalah polynomial yang didapatkan dengan mereduksi semua koefisien modulo dari,,ℎ
. Karena deg
= deg ̅
, maka didapat deg̅ ≤ deg deg ̅
dan degℎ ≤ degℎ deg ̅
. Berdasarkan dari yang sebelumnya, ̅ = ̅ℎ
, hal tersebut kontradiksi dengan asumsi bahwa ̅
tidak tereduksi dariℤ
Contoh :
a.
= 21
3
+ 2 + 9
Setelah direduksi terhadap
maka didapat ̅ =
+
+ 1.
Berdasarkan teorema derajat 2,t ̅
dapat dikatakan tereduksi jika mempunyai pembuat nol. Karena ̅0 = 1
dan ̅1 = 1
, maka t ̅
tidak mempunyai pembuat nol akibatnya t ̅
tidak tereduksi diℤ
. Dan karena derajat =
derajat ̅
maka
tidak tereduksi diℚ
5. EISENSTEINS Criterion
5.1 Teorema Eisenstein’s Criterion (Josseph A. Gallian)
Misal
=
+
−
−
+ ⋯+
+
∈ ℤ[]
Jika terdapat bilangan prima
sedemikian sehingga ∤
, |
−
, … , |
dan
∤
maka
irreducible atasℚ
12 Bukti :
Diketahui :
=
+
−
−
+ ⋯+
+
∈ ℤ[]
∃
prima∋ ∤
, |
−
, … , |
dan
∤
Adt :
irreducible atasℚ
.(Dengan menggunakan bukti kontradiksi) Andaikan
reducible atasℚ
.Menurut teorema 2 maka
reducible atasℤ
.Sehingga
∃ , ℎ ∈ ℤ[] ∋ = ℎ
dan() ≥ 1 ,
1 ≤ (ℎ)
dengan =
+
−
−
+ ⋯+
danℎ =
+
−
−
+ ⋯+
karena
|
dan
∤
dengan
=
maka
membagi salah satu dari
dan
, tetapi tidak membagi keduanya.Misalkan
|
tetapi ∤
Selanjutnya, karena
∤
dimana
=
maka ∤
dan ∤
Akibatnya terdapat suatu bilangan bulat positif
sehingga ∤
Perhatikan bahwa
=
+
−
+ ⋯+
Karena
maka|
dan ∤
∀
Akibatnya
|
, kontradiksi dengan ∤
dan ∤
Sehingga haruslah
irreducible atasℚ
Contoh :
Periksa apakah
= 3
+ 15
20
+ 10 + 20
irreducible atasℚ
? Jawab :Karena
∃ = 5 ∋ 5 ∤ 3 ,5|15 ,5|20 ,5|10 ,5|20
tetapi5
∤ 20
Berdasarkan Kriteria Eisenstein maka
irreducible atasℚ
6. Lapangan Hingga Definisi (Lange, 2011)
13
Suatu lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga disebut lapangan berhingga.
Lapangan hingga yang memuat sebanyak q elemen dilambangkan
ContohHimpunan
ℤ = [0],[1]
adalah suatu lapangan hingga karenaℤ
adalah suatu lapangan dengan banyak elemen yang berhingga.7. Lapangan Galois
7.1 Definisi (Vanstone dan Oorschot)
Jika F suatu lapangan hingga dengan q elemen, dan
=
dengan p bilangan prima dan n bilangan asli, maka F dilambangkan
Untuk mengkontruksi suatu lapangan hingga yang memuat
elemen digunakan suatu polinomial tak tereduksi dengan derajat n dalam[]
. Untuk kasus = 2
, akan dibuktikan bahwa selalu ada polinomial kuadrat tidak tereduksi dalam[]
. Ada
polinomial monik (polinomial dengan derajat ≥ 1
dengan koefisien
adalah 1) berderajat dua dalam[].
Jika suatu dari
polinomial tersebut yang dapat direduksi, maka polinomial tersebut adalah suatu hasil perkalian dari 2 polinomial monik berderajat 1.ada tepat p polinomial monik berderajat 1. Menggunakanpolinomial- polinomial monik berderajat 1 tersebut didapatkan
2+
polinomial monik yang dapat direduksi, dengan2
adalah kombinasi 2 dari p, sehinggan banyaknya polinomial kuadratmonik yang tidak tereduksi adalah =
2 = 2 > 0, ≥ 2
Yang membuktikan keberadaan polinomial kuadrat tidak tereduksi.
Contoh
Untuk
= 2
dan = 3
,ada dua polinomial monik pangkat tiga yang tidak tereduksi ataselemen-14 elemen
2
adalah[0],[1],[],[1 + ],[ +
],[
],[1 +
],[1 + +
]
. Jika
+
+
dilambangkan dengan
maka elemen elemen dari2
adalah0 = 000
1 = 100
= 010
1 + = 110
+
= 011
= 001
1 +
= 101
1 + +
= 111
7.2 Teorema ((p(x)) ideal maksimal di F[x] jika dan hanya jika p[x] irreducible)
Misal
lapangan dan ∈ []
.〈〉
merupakan ideal maksimal di[]
Jika dan hanya jika
irreducible atas
(Gallian, 2010).Bukti :
[⇒]
Diketahui :
lapangan dan ∈ []
〈〉
ideal maksimal di[]
Adt :
irreducible atas
〈〉
merupakan ideal maksimal dari[]
, maka〈〉 ≠ []
Karena
〈〉
ideal maksimal maka〈〉
ideal primaSehingga
= ℎ
akibatnya ∈ []
atauℎ ∈ []
Maka,
konstan atauℎ
konstanSehingga
irreducible atas
15
Adt :
〈〉
ideal maksimalMisal
= 〈〉
adalah ideal dan
ideal lain dari[]
Karena ,
ideal dari[]
maka ⊆
⊆
artinya =
atau = []
Karena
lapangan maka
ideal utama, sehingga= 〈〉
; untuk suatu ∈ []
Karena
∈ ⊆
maka = ℎ
,ℎ ∈ []
Karena
irreducible maka
konstan atauℎ
konstan Jikaℎ
konstan makaℎ =
untuk suatu ∈
Sehingga
= .
atau = .
−
berarti ∈
berakibat ⊆
Karena
⊆
dan ⊆
maka =
Jika
konstan maka =
, untuk suatu ∈
sehingga.
−
= 1 ∈
Oleh karena itu, untuk setiap
∈
(karena
ideal dari[]
maka = []
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
= 〈〉
adalah ideal maksimal dari[]
.Contoh :
Diketahui :
=
+ 5 + 5
diℤ[]
Adt :
〈
+ 5 +5〉
ideal maksimal dariℤ[]
Artinya hdt bahwa
irreducible diℤ
16
= 1 → 1 = 1
+ 5.1+ 5 = 2
= 2 → 2 = 2
+ 5.2+ 5 = 2
Karena
tidak mempunyai pembuat nol diℤ
, maka
irreducible atasℤ
[]
. Menurutteorema 4 maka〈
+ 5 + 5〉
ideal maksimal dariℤ
[]
7.3 Corollary ((F[x]/p(x)) adalah lapangan)
Misal
lapangan dan
polinomial irreducible atas,
maka[]/〈〉
adalah lapangan.Bukti :
Diketahui : F lapangan
polinomial irreducible atas F Adt :[]/〈〉
lapanganKarena
polinomial irreducible atas F menurut teorema maka〈〉
ideal maksimalkarena
〈〉
ideal maksimal, menurut teorema maka[]/〈〉
lapangan7.4 Corollary
|
, maka|
atau|
Misal
lapangan dan,, ∈ []
. Jika
irreducible atas
dan|
, maka
|a(x) atau p(x)|.
Bukti :
Diketahui :
lapangan,, ∈ []
.
irreducible atas
17
Adt :
| atau |
Karena
irreducible, maka[]/〈〉
lapangan.Karena
[]/〈〉
lapangan maka[]/〈〉
daerah integral. Berdasarkan teorema maka〈〉
ideal prima.Karena
|
, didapat ∈ 〈〉
. Jadi, ∈ 〈〉
ataub ∈ 〈〉
.Artinya
|
atau|
.7.5 Kontruksi Lapangan Hingga
Jika
adalah bilangan prima, suatu lapangan hingga dengan
elemen adalahℤ
,
Langkah-langkah kontruksi lapangan hingga dengan
elemen dengan
bilangan prima dan > 1
sebagai berikut.1. Ambil lapangan hingga
ℤ
2. Cari polinomial irreducibel
diℤ
[]
dengan deg =
3. Bentuk lapangan hinggaℤ
[]
<
>= { + > ∈ ℤ
[]}.
Lapangan hingga
ℤ
[]
⟨⟩
mempunyai
elemen.Contoh :
Akan dikonstruksikan lapangan dengan 8 elemen. Jawab:
8 = 2
maka = 2
dan = 3.
1. Ambil lapangan hingga
ℤ
= [0],[1].
2. Cari semua polinomial di
ℤ
[]
dengandeg() = 3
1)
0
9)
18 3)
11)
+
4) + 1
12)
+ + 1
5)
13)
+
6)
+ 1
14)
+
+ 1
7)
+
15)
+
+
8)
+ + 1
16)
+
+ + 1
Cari polinomial irreducible
diℤ[]
dengandeg() = 3
.Ambil
=
+ + 1
irreducible diℤ
[]
dan tidak mempunyai akar diℤ
.3. Bentuk lapangan hingga
ℤ[] / 〈
+ + 1〉 = + 〈〉| ∈ ℤ
0 + 〈〉
=
+ + 1 + 〈〉
1 + 〈〉
=
+ + 〈〉
+ 〈〉
=
+ 1 + 〈〉
+ 1 + 〈〉
=
+ 〈〉
+ 〈〉
=
+
+ + 1 + 〈〉
+ 1 + 〈〉
=
+
+ + 〈〉
+ + 〈〉
=
+
+ 1 + 〈〉
+ + 1 + 〈〉 =
+
+ 〈〉
Sehingga:ℤ[] / 〈
+ + 1〉 = 0 + 〈〉,1 + 〈〉, + 〈〉, + 1 +〈〉,
+ 〈〉,
+ 1 + 〈〉,
+ + 〈〉,
+ + 1 + 〈〉
.Selanjutnya akan dibuktikan
ℤ[]/〈
+ +1〉
adalah lapangan pada Contoh berikutnya.Contoh :
Dik :
ℤ[] 〈
⁄
+ + 1〉
=
+ + + 〈
+ + 1〉|, ∈ ℤ
+ + 1
polinom irrducible diℤ
19
Adt :
ℤ
[]/〈
+ + 1 〉
lapangan Cari semua polinom diℤ
[]
1.
+ + 1
, 2.
+
3.
+ 1
4.
5. + 1
6.
7.1
8.0
Jumlahkan masing-masing polinom di atas dengan〈
+ + 1〉
+ + 1 +〈
+ + 1 〉
+ + 〈
+ + 1 〉
+ 1 + 〈
+ + 1〉
+ 〈
+ + 1〉
( + 1
+ 〈
+ + 1 〉
+ 〈
+ + 1 〉
1
+ 〈
+ + 1〉
0
+ 〈
+ + 1 〉
Sehinggaℤ
[]/〈
+ + 1〉 = 0 + 〈
+ + 1 〉, 1 + 〈
+ + 1 〉, + 〈
+ + 1〉, +
1 + 〈
+ + 1〉,
+ 〈
+ + 1〉,
+ + 〈
+ + 1 〉,
+ 1 +
〈
+ + 1 〉,
+ + 1+ 〈
+ +1〉.
Tabel Cayley 120
Dari tabel di atas terlihat bahwa :
1.
ℤ[]/〈
+ + 1 〉
tertutup terhadap penjumlahan. 2.ℤ[]/〈
+ + 1 〉
asosiatif terhadap penjumlahan.3.
ℤ[]/〈
+ + 1 〉
memiliki unsur satuan terhadap penjumlahan yaitu0 + 〈
+ +
1 〉
.4. Setiap unsur di
ℤ[]/〈
+ + 1 〉
memiliki invers terhadap penjumlahan. 5.ℤ[]/〈
+ + 1 〉
komutatif terhadap penjumlahan.Perhitungan Hint :
+ + 1 + 〈
+ + 1〉 = 0 + 〈
+ + 1 〉
Sehingga
+ 〈
+ + 1〉 =
+ 0 + 〈
+ + 1 〉
=
+
+ +1 +〈
+ + 1 〉
= 2
+ + 1 + 〈
+ + 1〉
+
+
+
+
+ +
0
1
+ 1
+
+ 1
+ +1
1
0
+ 1
+ 1
+ + 1
+
+ 1
0
1
+
+ + 1
+ 1
+
+ 1
1
0
+ + 1
+ 1
+
+ 1
+
+ + 1
0
1
+ 1
+
+
+ + 1
+ 1
0
+ 1
1
+
+ 1
+ + 1
+
1
+ 1
0
+ +
+ + 1
+
+ 1
+ 1
1
0
21
= + 1 + 〈
+ + 1 〉
dengan cara yang sama maka diperoleh tabel cayley berikut. Tabel Cayley 2
Dari tabel tersebut, terlihat bahwa :
1.
ℤ[]/〈
+ + 1 〉
tertutup terhadap perkalian. 2.ℤ[]/〈
+ + 1 〉
asosiatif terhadap perkalian.3.
ℤ[]/〈
+ + 1 〉
memiliki unsur satuan terhadap perkalian yaitu1 + 〈
+ + 1〉
.4. Setiap unsur di
ℤ[]/〈
+ + 1 〉
memiliki invers terhadap perkalian. 5.ℤ[]/〈
+ + 1 〉
komutatif terhadap perkalian.6.
ℤ[]/〈
+ + 1 〉
distributif kiri dan kanan.Dari 1-6, maka dapat disimpulkan bahwa
ℤ[]/〈
+ + 1 〉
adalah lapangan.×
0
1
+ 1
+
+ 1
+ +1
0
1
1
+ 1
+
+ 1
+ +1
+
+ 1
+ +1
1
+ 1
+ 1
+ 1
+
+ 1
+ +1
1
+ 1
+ +1
+
+ 1
1
+
+
+ +1
1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
1
+ 1
+ +1
+
+ +1
+ +1
+ 1
1
+
+ 1
22
DAFTAR PUSTAKA
D. S. Malik, John N. Mordeson, M.K. Sen. Introduction to Abstract Algebra. Creighton University, Calcutta University. 2007.
Gallian, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra. University of Minnesota Duluth. 2 010.
Herstein, I.N . Abstract Algebra. University of Chicago.1995.
Herstein, I.N. Topics in Algebra 2nd Edition. University of Chicago. 1996. Khanna, Vijay K. A course in Abstract Algebra. University of Delfi. 1993.
