TKE 2403
SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT
Kuliah 4 – Transformasi Fourier
(Bagian I)
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer
Universitas Mercu Buana Yogyakarta
KULIAH 4
SIS
T
EM
PENGOLAHAN ISYARAT
TRANSFORMASI FOURIER
Jika dikehendaki untuk melihat komponen spektral dari sinyal-sinyal non-periodik, maka harus dipastikan bahwa τ → ∞ karena dalam interval t ∈ [−∞, ∞] mengandung informasi yang penting. Dengan mengingat kembali bentuk eksponensial dari deret Fourier
t jn n n
e
c
t
x
∑
ω ∞ −∞ ==
)
(
(70) dengandt
e
t
x
c
n jnωt τ ττ
− −∫
=
2 2)
(
1
(71)Maka kombinasi kedua persamaan di atas akan menghasilkan pernyataan,
t jn n t jn
e
dt
e
t
x
t
x
ω τ τ ωτ
∑ ∫
∞ −∞ = − −⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
2 2 ''
)
'
(
1
)
(
(72)dan untuk hal tersebut τ→∞. Oleh karena jarak antar spektrum frekuensi adalah
ω π ω
ω=Δ = 2 (73)
maka spektrum ke – k terletak pada ωk = k Δω. Dari persamaan (73) terlihat
π ω τ 2
1 Δ
=
Dan persamaan (72) menjadi
ω
π
ω τ τ ωΔ
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∑ ∫
∞ −∞ = − − jn t n t jne
dt
e
t
x
t
x
2 2 ''
)
'
(
2
1
)
(
(74)Dengan demikian jika τ → ∞, maka ωn menjadi semakin mendekati suatu nilai
yang sama dan saat τ = ∞ maka ωn = Δω, sehingga penjumlahan (Σ) berubah
menjadi integral terhadap dω. Dalam limit,
ω
π
ω ωd
e
dt
e
t
x
t
x
∫ ∫
j t j t ∞ ∞ − ∞ ∞ − −⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
(
'
)
'
2
1
)
(
' (75) Jika didefinisikan∫
∞ ∞ − −=
=
X
x
t
e
dt
t
x
F
[
(
)]
(
ω
)
(
)
jωt (76)dengan F adalah notasi transformasi Fourier, maka persamaan (75) mengisyaratkan bahwa
∫
∞ ∞ − −=
=
ω
ω
π
ω
ωd
e
X
t
x
X
F
(
)
j t2
1
)
(
)]
(
[
1 (77) dimana F−1 adalah notasi untuk inverse transformasi Fourier.{x(t), X(ω)} disebut pasangan transformasi Fourier. Oleh karena keduanya terhubung secara unik, maka keduanya juga membawa informasi yang sama (identik), yang berbeda hanya domainnya saja. X(ω) menyajikan konten atau komponen frekuensi dari x(t) dan dapat dikatakan sebagai bentuk lain dari
spektrum. X(ω) mempunyai domain frekuensi sedangkan x(t) mempunyai domain waktu.
Suatu Fungsi yang Bukan Sebuah Fungsi
Sebagai akibat dari definisi delta Kronecker δij, adalah sifat proyeksi
bahwa
∑
∞ −∞ ==
i j ij ia
a
δ
(78)Hal ini menjadi sangat berguna dalam analoginya untuk integral, yaitu bahwa
∫
∞ ∞ − = ( ) ) , ( ) (x x y dx f y fδ
(79)Bagaimana bisa menemukan fungsi sejenis ini? Perhatikan penjelasan berikut ini. Misalkan persamaan (75) dapat dinyatakan kembali sebagai persamaan (80) berikut ini.
'
)
'
(
2
1
)
(
t
e
( ')d
x
t
dt
x
∫
∫
j t t ∞ ∞ − ∞ ∞ − −⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
ω
π
ω (80)Jika dibandingkan dengan persamaan (78), maka suku
∫
∞ ∞ − −ω
π
ωd
e
j (t t')2
1
memenuhi syarat untuk apa yang disebut fungsi delta. Faktanya adalah bahwa integral tersebut hanya bergantung pada t – t’, sehingga dapat didefinisikan pernyataan berikut,
∫
∞ ∞ − −=
−
=
ω
π
δ
δ
ωd
e
t
t
t
t
j (t t')2
1
)
'
(
)
'
,
(
(81)Bagaimana bentuk δ (t – t’)?
Misalkan t ≠ t’, maka dalam hal ini e iω(t – t’) akan berosilasi dengan jangkauan tak berhingga saat t’ bervariasi dari − ∞ hingga ∞. Akibatnya hasil integralnya adalah nol.
Misalkan t = t’ maka
∞
=
=
=
∞ ∞ − ∞ ∞ −∫
ω
π
ω
π
δ
2
1
2
1
)
0
(
d
Sehingga diperoleh sebuah fungsi yang bernilai nol kecuali pada saat argumennya nol. Pada saat argumennya nol maka nilai fungsi ini adalah tak berhingga. Fungsi ini digambarkan sebagai berikut.
Gambar 26. Fungsi delta
Perilaku ini sangat istimewa atau mungkin aneh karena sepertinya δ(x) tidak seperti fungsi yang lain. Namun dalam pembahasan di mata kuliah ini akan disebut bahwa δ(t) adalah sebuah fungsi seperti fungsi-fungsi lainnya.
Fungsi δ(t) juga muncul dalam konteks lain, misalnya
dx
x
y
I
y∫
∞ −=
(
)
)
(
δ
Jika y < 0 maka hasil integralnya sama dengan nol karena δ (x) = 0 untuk x ∈ [−∞, ∞].
Jika y > 0 maka integralnya dapat dinyatakan menjadi,
1
)
(
)
(
=
∫
=
∞ ∞ −dx
x
y
I
δ
karena δ (x) = 0 untuk y < x < ∞. Sehingga integral tak tentu dari δ (x) adalah sebuah fungsi yang bernilai nol untuk y < 0 dan bernilai 1 untuk y ≥ 0. Ini merupakan definisi dari sebuah fungsi yang disebut fungsi undak (step
function) atau juga disebut fungsi Heaviside H(y). Perhatikan gambar berikut.
Gambar 27. Fungsi undak (step function) atau fungsi Heaviside Atau secara matematis dapat dinyatakan bahwa
) ( ) (x x H dx d =δ (82) Atau dengan cara lain (dengan argumen yang berbeda),
) ( ) (x a x a H dx d − = − δ (83)
Transformasi Fourier Untuk Fungsi Periodik
Setelah mempelajari transformasi Fourier untuk sinyal non-periodik, maka berikut akan dibahas mengenai transformasi Fourier untuk sinyal periodik. Misalkan sebuah sinyal sederhana x(t) berikut.
x(t) = sin (Ω t)
Maka transformasi Fourier-nya dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
(
)
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
)
(
sin
)]
(
[sin
)
(
) ( ) (Ω
+
−
Ω
−
=
−
=
−
=
Ω
=
Ω
=
∫
∫
∫
∫
∞ ∞ − − Ω − ∞ ∞ − − Ω ∞ ∞ − − Ω − Ω ∞ ∞ − −ω
δ
π
ω
δ
π
ω
ω ω ω ωj
j
dt
e
j
dt
e
j
dt
e
e
e
j
dt
e
t
t
F
X
t j t j t j t j t j t jSehingga secara singkat dapat dinyatakan,
)
(
)
(
)]
(
[sin
Ω
=
π
δ
ω
−
Ω
−
π
δ
ω
+
Ω
j
j
t
F
(84)Maka spektrum dari sebuah gelombang sinus hanya mempunyai komponen tak – nol (non – zero components) pada ω = ±Ω dan dapat digambarkan seperti Gambar 28 berikut. Perhatikan bahwa amplitude komponen-komponennya adalah j π dan j π
− sehingga sebenarnya dibutuhkan untuk membuat plot amplitude dan fasenya.
π π = ± = Ω ± = j X amplitude ( )
o o 33 , 72 ) ( tan 33 , 72 ) ( tan = = − = − = π π arc fase dan arc fase
Gambar 28. Spektrum fungsi sinus
Dan untuk fungsi cosinus, dengan cara yang sama dapat pula diperoleh spektrumnya.
(
)
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
)
(
cos
)]
(
[cos
)
(
) ( ) (Ω
+
+
Ω
−
=
+
=
+
=
Ω
=
Ω
=
∫
∫
∫
∫
∞ ∞ − − Ω − ∞ ∞ − − Ω ∞ ∞ − − Ω − Ω ∞ ∞ − −ω
δ
π
ω
δ
π
ω
ω ω ω ωj
j
dt
e
j
dt
e
j
dt
e
e
e
j
dt
e
t
t
F
X
t j t j t j t j t j t j)
(
)
(
)]
(
[cos
Ω
=
π
δ
ω
−
Ω
+
π
δ
ω
+
Ω
j
j
t
F
(85)Dan spektrumnya diperlihatkan pada Gambar 29.
x 0
/j /j
Gambar 29. Spektrum fungsi cosinus
Untuk selanjutnya, perhatikan sebuah fungsi periodik dengan periode
τ = 2π / Ω, yang secara umum dinyatakan dengan
)
(
sin
)
(
cos
)
(
1 1 0a
n
t
b
n
t
a
t
x
n n n n∑
∑
∞ = ∞ =Ω
+
Ω
+
=
Maka transformasi Fouriernya adalah
[
]
[
]
∑
∑
∑
∑
∞ = ∞ = ∞ = ∞ =Ω
+
+
+
Ω
−
−
+
=
Ω
+
+
Ω
−
+
Ω
+
+
Ω
−
+
=
1 1 0 1 1 0)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
0
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
0
(
2
)
(
n n n n n n n n n nn
jb
a
n
jb
a
a
n
n
j
b
n
n
a
a
X
ω
δ
ω
δ
δ
π
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
δ
π
ω
Sehingga transformasi Fourier yang dihasilkan dari fungsi periodik, secara umum merupakan rentetan fungsi delta yang tak berhingga (infinite train of deltas). Spektrumnya diperlihatkan pada Gambar 30 berikut.
Gambar 30. Spektrum fungsi periodik secara umum Transformasi Fourier Sebuah Pulsa (Impulse)
Salah satu bentuk fungsi yang banyak digunakan dalam praktitek adalah pulsa kotak dengan durasi τ seperti digambarkan berikut.
Gambar 31. Sebuah pulsa kotak Atau secara matematis dinyatakan dengan persamaan,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<
=
2
0
2
1
)
(
τ
τ
τ
t
jika
t
jika
t
P
Dan transformasi Fourier-nya adalah
dt
e
X
jωt τ ττ
ω
− −∫
=
2 21
)
(
Dengan substitusi e j ω t = cos (ω t) – j sin (ω t), maka integral untuk suku yang kedua sama dengan nol (karena sinus adalah fungsi ganjil).
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
− − − −∫
∫
∫
2
2
sin
2
sin
2
sin
)
sin(
)
cos(
1
)
sin(
1
)
cos(
1
)
(
2 2 2 2 2 2 2 2τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
ω
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ τ τ τ τ τ τ τt
dt
t
dt
t
j
dt
t
X
dan spektrum dari X(ω) dapat digambarkan sebagai berikut.
Fungsi X(ω) tersebut mempunyai nilai nol pada saat
τ ω ω=2n
Misalkan bahwa dayanya terkonsentrasi pada rentang −2π / τ hingga 2π / τ, maka hal ini berarti jika τ Æ 0 (pulsa makin sempit), daya atau energi akan didistribusikan pada rentang frekuensi yang lebih lebar.
Dalam limit, pulsa fungsi delta adalah energi yang terbatas dengan durasi yang infinitesimal dan
1
)
(
)
(
=
∫
=
∞ ∞ −dt
t
X
ω
δ
Pulsa yang lebih realistis dapat dinyatakan dengan half-cosine sebagai berikut.
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
0
2
cos
)
(
τ
τ
τ
π
t
jika
t
jika
t
t
P
Fungsi ini secara grafis diperlihatkan pada Gambar 33. Dan transformasi Fourier-nya diFourier-nyatakan
dt
t
t
X
(
)
cos(
)
cos(
)
2 2ω
α
ω
τ τ∫
−=
dengan α = π / τ. Maka dapat diperoleh,
dt
t
t
X
{cos([
]
)
cos([
]
)}
2
1
)
(
2 2ω
α
ω
α
ω
τ τ−
+
+
=
∫
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
)
(
2
)
(
sin
2
1
2
)
(
2
)
(
sin
2
1
τ
ω
α
τ
ω
α
τ
ω
α
τ
ω
α
Dalam limit saat τ Æ 0 maka α Æ 0 dan spektrum pulsa kotak dengan semua frekuensinya dapat dinyatakan kembali.
