Laporan praktikum Metode Komputasi Matematika 17 Desember 2015

(1)

Laporan praktikum Metode Komputasi

Matematika 17 Desember 2015

Lili Hernawati —G551150321

December 21, 2015

(Latihan Bab 2 Matlab J. Leon, no.soal sesuai dengan NRP modulo jumlah soal) Modifikasi dengan Scilab dan laporan dituliskan dalam LaTex. No.soal: 6 Gunakan Matlab untuk membuat matriks A dengan mendefinisikan:

A=vander(1:6) A=A-diag(sum(A’))

1. Dengan konstruksi di atas entri-entri dalam setiap baris dari A semuanya harus memiliki jumlah nol, definisikan x=ones(6,1) dan gunakan MAT-LAB untuk menghitung hasil kali Ax. Matriks A pasti singular. Mengapa? Terangkan. Gunakan fungsi-fungsi MATLAB det dan inv untuk menghi-tung nilai-nilai dari det(A) danA−1. Fungsi MATLAB yang mana yang merupakan petunjuk yang dapat lebih diandalkan untuk singularitas. 2. Gunakan MATLAB untuk menghitung det (AT). Apakah nilai-nili yang

dihitung untuk det(A) dan det(A’) sama? Satu cara lain untuk memeriksa apakah suatu matriks adalah singular ialah menghitung bentuk eselon baris tereduksinya. Gunakan MATLAB untuk menghitung bentuk-bentuk eselon baris tereduksi dari A dan A’.

3. Definisikan B=A*A’. Nilai eksak dari det(B) harus sama dengan 0. Men-gapa? Terangkan. Gunakan MATLAB untuk menghitung det(B). Apakah nilai yang dihitung untuk determinan sama atau hampir sama dengan nilai eksak? Hitunglah bentuk eselon baris tereduksi dari B untuk memeriksa bahwa matriks B adalah memang betul singular.

Berikut adalah perintah pada MATLAB untuk matriks A:

>> A=vander(1 : 6) A = 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 243 81 27 9 3 1 1024 256 64 16 4 1 3125 625 125 25 5 1 7776 1296 216 36 6 1 >> A=A−diag(sum(A0₎₎ A =

(2)

−5 1 1 1 1 1 32 −47 8 4 2 1 243 81 −337 9 3 1 1024 256 64 −1349 4 1 3125 625 125 25 −3901 1 7776 1296 216 36 6 −9330

Sedangkan hasil modifikasi pada Scilab untuk matriks A sebagai berikut: Startup execution: loading initial environment

−−> v= [1 : 6]0 v = 1. 2. 3. 4. 5. 6. −−> A= [v.5v.4v.3v.2v.1v.0] A = 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 243 81 27 9 3 1 1024 256 64 16 4 1 3125 625 125 25 5 1 7776 1296 216 36 6 1 −−> A=A−diag(sum(A0,”r”)) A = −5. 1. 1. 1. 1. 1. 32. −47. 8. 4. 2. 1. 243. 81. −337. 9. 3. 1. 1024. 256. 64. −1349. 4. 1. 3125. 625. 125. 25. −3901. 1. 7776. 1296. 216. 36. 6. −9330.

Catatan: pada Scilab tidak ada perintah untuk vandermode langsung,

jadi harus dimodifikasi terlebih dahulu. Begitupun untuk menentukan A=A-diag(sum(A’)) menjadi A=A-diag(sum(A’,”r”)) dikarenakan perintah sum pada matriks antara MATLAB dan Scilab berbeda.

Bagian a.

Berikut hasil menggunakan MATLAB untuk menentukan determinan ma-triks A, invers mama-triks A, dan menentukan jenis mama-triks A singular atau tidak.

>> A=A−diag(sum(A0)) A = −5 1 1 1 1 1 32 −47 8 4 2 1 243 81 −337 9 3 1 1024 256 64 −1349 4 1 3125 625 125 25 −3901 1 7776 1296 216 36 6 −9330

(3)

>> x=ones(6,1) x = 1 1 1 1 1 1 >> A∗x ans = 0 0 0 0 0 0 >> d=det(A) d = 10.2645 >> inv(A)

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.940578e-019.

ans = 1.0e+013 * −7.0369 −0.2840 −0.0301 −0.0063 −0.0020 −0.0008 −7.0369 −0.2840 −0.0301 −0.0063 −0.0020 −0.0008 −7.0369 −0.2840 −0.0301 −0.0063 −0.0020 −0.0008 −7.0369 −0.2840 −0.0301 −0.0063 −0.0020 −0.0008 −7.0369 −0.2840 −0.0301 −0.0063 −0.0020 −0.0008 −7.0369 −0.2840 −0.0301 −0.0063 −0.0020 −0.0008

Berikut hasil modifikasi menggunakan Scilab untuk menentukan determi-nan matriks A, invers matriks A, dan menentukan jenis matriks A singular atau tidak. −−> A=A−diag(sum(A0,”r”)) A = −5. 1. 1. 1. 1. 1. 32. −47. 8. 4. 2. 1. 243. 81. −337. 9. 3. 1. 1024. 256. 64. −1349. 4. 1. 3125. 625. 125. 25. −3901. 1. 7776. 1296. 216. 36. 6. −9330. −−> x=ones(6,1)

(4)

1. 1. 1. 1. 1. 1. –¿A*x ans = 0. 0. 0. 0. 0. 0. −−> det(A) ans = 10.264473 −−> inv(A) Warning :

matrix is close to singular or badly scaled. rcond = 1.9406D-19 ans = 101_1∗ −703.68744 −28.402179 −3.0063022 −0.6316851 −0.1980289 −0.0788773 −703.68744 −28.402179 −3.0063022 −0.6316851 −0.1980289 −0.0788773 −703.68744 −28.402179 −3.0063022 −0.6316851 −0.1980289 −0.0788773 −703.68744 −28.402179 −3.0063022 −0.6316851 −0.1980289 −0.0788773 −703.68744 −28.402179 −3.0063022 −0.6316851 −0.1980289 −0.0788773 −703.68744 −28.402179 −3.0063022 −0.6316851 −0.1980289 −0.0788773 Untuk memeriksa A matriks singular atau tidak dapat dilihat dari nilai de-terminan dan nilai inversnya dengan ketentuan jika matriks A nilai dede-terminan sama dengan 0 atau tidak mempunyai invers, maka A adalah matriks singular . Sebaliknya, jika matriks A determinannya tidak sama dengan 0 sehingga mem-punyai invers, maka A matriks nonsingular.

Jika kita tinjau kembali hasil invers dan determinan matriks A di atas, ni-lai determinannya tidak sama dengan 0, sehingga nini-lai determinan dalam hal ini kurang tepat untuk menunjukkan matriks A singular yang seharusnya nilai determinannya sama dengan 0. Sedangkan berdasarkan nilai invers matriks A memiliki invers yang seharusnya menunjukkan bahwa matriks A non singular, akan tetapi pada uraian hasil invers matriks A terdapat peringatan mengenai hasil invers (Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.940578e-019. ) yang menjelaskan bahwa matriks A lebih mendekati sebagai matriks yang singular, kemungkinan hasil tidak akurat. Jadi petunjuk yang paling tepat untuk menunjukkan bahwa matriks A adalah singular dengan menggunakan invers matriksnya.

(5)

Bagian b: Berikut perintah pada matlab: >> A=vander(1 : 6) A = 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 243 81 27 9 3 1 1024 256 64 16 4 1 3125 625 125 25 5 1 7776 1296 216 36 6 1 >> A=A−diag(sum(A0)) A = −5 1 1 1 1 1 32 −47 8 4 2 1 243 81 −337 9 3 1 1024 256 64 −1349 4 1 3125 625 125 25 −3901 1 7776 1296 216 36 6 −9330 >> t=transpose(A) t = −5 32 243 1024 3125 7776 1 −47 81 256 625 1296 1 8 −337 64 125 216 1 4 9 −1349 25 36 1 2 3 4 −3901 6 1 1 1 1 1 −9330 >> esA=rref(A) esA = 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 >> est=rref(t) est = 1.0e+003 * 0.0010 0 0 0 0 −8.921 0 0.0010 0 0 0 −0.3601 0 0 0.0010 0 0 −0.0381 0 0 0 0.0010 0 −0.0080 0 0 0 0 0.0010 −0.0025 0 0 0 0 0 0

Berikut hasil modifikasi dengan scilab: −−> v= [1 : 6]0

(6)

1. 2. 3. 4. 5. 6. A= [v.5_v.4_v.3_v.2_v.1_v.0_] A = 1. 1. 1. 1. 1. 1. 32. 16. 8. 4. 2. 1. 243. 81. 27. 9. 3. 1. 1024. 256. 64. 16. 4. 1. 3125. 625. 125. 25. 5. 1. 7776. 1296. 216. 36. 6. 1. −−> A=A−diag(sum(A0,”r”)) A = −5. 1. 1. 1. 1. 1. 32. −47. 8. 4. 2. 1. 243. 81. −337. 9. 3. 1. 1024. 256. 64. −1349. 4. 1. 3125. 625. 125. 25. −3901. 1. 7776. 1296. 216. 36. 6. −9330. t=mtlbt(A) t = −5. 32. 243. 1024. 3125. 7776. 1. −47. 81. 256. 625. 1296. 1. 8. −337. 64. 125. 216. 1. 4. 9. −1349. 25. 36. 1. 2. 3. 4. −3901. 6. 1. 1. 1. 1. 1. −9330. −−> esA=rref(A) esA = 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 −−> est=rref(t) est = 1 0 0 0 0 −8921.287 0 1 0 0 0 −360.0803 0 0 1 0 0 −38.113633 0 0 0 1 0 −8.0084476 0 0 0 0 1 −2.5105928 0 0 0 0 0 0

Perintah untuk menentukan transpose matriks A memiliki perbedaan antara penggunaan di MATLAB dan Scilab, pada MATLAB langsung menggunakan

(7)

transpose(A) sedangkan pada Scilab harus menggunakanmtlbt(A). Akan tetapi

untuk perintah eselon baris tereduksi masih sama yaknirref(A).

Hasil dari eselon baris tereduksi matriks A dan matriks A’ dapat dilihat dari hasil MATLAB dan Scilab di atas. Terlihat bahwa ranknya berjumlah 5 dengan ukuran matriks 6x6 yang berarti n=6. Ingat kembali bahwa jika rank kurang dari n, maka matriks tersebut singular.

Bagian c

Berikut merupakan hasil matriks B=A*A’ dan hasil eselon baris tereduksinya pada MATLAB. >> A A = −5. 1. 1. 1. 1. 1. 32. −47. 8. 4. 2. 1. 243. 81. −337. 9. 3. 1. 1024. 256. 64. −1349. 4. 1. 3125. 625. 125. 25. −3901. 1. 7776. 1296. 216. 36. 6. −9330. >> B=A∗A0 B = 30 −192 −1458 −6144 −18750 −46656 −192 3318 1316 15861 63924 180474 −1458 1316 179270 235872 756398 1912764 −6144 15861 235872 2938026 3318672 8250354 −18750 63924 756398 3318672 25390302 25105164 −46656 180474 1912764 8250354 25105164 149242680 >> esB=rref(B) esB = 1.0e+003 * 0.0010 0 0 0 0 −8.9213 0 0.0010 0 0 0 −0.3601 0 0 0.0010 0 0 −0.0381 0 0 0 0.0010 0 −0.0080 0 0 0 0 0.0010 −0.0025 0 0 0 0 0 0 >> rank(B) ans = 5

Berikut merupakan hasil matriks B=A*A’ dan hasil eselon baris tereduksinya pada Scilab.

−−> A

(8)

−5. 1. 1. 1. 1. 1. 32. −47. 8. 4. 2. 1. 243. 81. −337. 9. 3. 1. 1024. 256. 64. −1349. 4. 1. 3125. 625. 125. 25. −3901. 1. 7776. 1296. 216. 36. 6. −9330. −−> B=A∗A0 B = 30. −192. −1458. −6144. −18750. −46656. −192. 3318. 1316. 15861. 63924. 180474. −1458. 1316. 179270. 235872. 756398. 1912764. −6144. 15861. 235872. 2938026. 3318672. 8250354. −18750. 63924. 756398. 3318672. 25390302. 25105164. −46656. 180474. 1912764. 8250354. 25105164. 1.492D+ 08 −−> esB=rref(B) esB = 1 0 0 0 0 −8921.287 0 1 0 0 0 −360.0803 0 0 1 0 0 −38.113633 0 0 0 1 0 −8.0084476 0 0 0 0 1 −2.5105928 0 0 0 0 0 0 −−> rank(B) ans = 5.

Terlihat bahwa hasil eselon baris tereduksi dari matriks B=A*A’ memiliki rank sama dengan 5 yang berarti rank lebih kecil dari n=6 sehingga matriks B merupakan matriks singular pula.