Teknik Menguadratkan Suatu Bilangan dengan Mudah Oleh: Pujiati
Operasi hitung perkalian sudah diajarkan sejak di sekolah dasar (SD) kelas II
semester 2, namun kadang siswa masih mengalami kesulitan apabila melakukan
operasi hitung perkalian secara cepat. Terutama, ketika mereka harus menguadratkan
suatu bilangan secara mudah dan cepat. Oleh karena itu pada kesempatan kali ini
penulis akan mengulas tentang bagaimana cara/teknik menghitung kuadrat suatu
bilangan. Beberapa cara yang dapat dilakukan antara lain dengan menggunakan
teknik sebagai berikut.
1. Kuadrat jumlah suatu bilangan a. Jika terdiri dari dua angka
Contoh 1: 922 = ....
Untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan, maka dapat
diilustrasikan sebagai berikut.
1) Pisahkan antara puluhan dan satuan: (90 + 2)2
2) Gambarkan secara geometris dengan luasan seperti berikut.
3) Ternyata ada 4 bagian. Hitunglah luas masing-masing bagian Luas I = 902 = 810
Luas II = 2 × 90 = 180
Luas III = 90 × 2 = 2 × 90 = 180
Luas IV = 2 × 2 = 4
90 2
90
2
90 + 2
I II
4) Jumlahkan hasilnya: 810 + (2 × 180) + 4 = 8464
5) Berdasarkan ilustrasi tersebut di atas, ternyata kuadrat dua bilangan
dapat dilakukan dengan cara sederhana, yaitu:
922 = (90 + 2)2
= (90 + 2)(90 +2)
= (90 × 90) + (90 × 2) + (90 × 2) + 22
= 902 + 2(90 × 2) + 22
= 8464
Contoh 2: 782 = ....
Penyelesaian:
782 = (70 + 8)2
= (70 + 8)(70 + 8)
= 702 + 2(70 × 8) + 82
= 4900 + 1120 + 64
= 6084
b. Jika terdiri dari tiga angka
Contoh 1: 1242 = ....
Untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan dan mengacu pada cara
di atas, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut.
1) Pisahkan antara ratusan, puluhan, dan satuan: 1242 = (100 + 20 + 4)2
= (100 + 20 + 4)(100 + 20 + 4)
= 1002 + 2(100 × 20) + 2(100 × 4) + 2(20 × 4) + 202 + 42
= 10.000 + 4000 + 800 + 160 + 400 + 16
= 15.376
Contoh 2: 2122 = ....
Penyelesaian:
= (200 + 10 + 2) (200 + 10 + 2)
= 2002 + 2(200 × 10) + 2(200 × 2) + 2(10 × 2) + 102 + 22
= 40.000 + 4.000 + 800 + 40 + 100 + 4
= 44.944
2. Dengan selisih kuadrat bilangan Misalkan: 982 = ....
Caranya adalah sebagai berikut.
a. Dari bilangan dasarnya (98), ditambahkan
suatu bilangan agar menjadi mudah untuk
dikalikan. Misalkan ditambah 2
menjadi100
b. Agar seimbang, maka kurangkan
bilangan dasar dengan bilangan yang
sama: 98 – 2 = 96
c. Kalikan kedua bilangan: 100 × 96 = 9600
d. Tambahkan hasilnya dengan 2 kuadrat: 9600 + 22 = 9604
Cara-cara di atas dapat dituliskan seperti berikut.
982 = (98 + 2) × (98 – 2) + 22 = 100 × 96 + 22
= 9600 + 4
= 9604
Untuk menunjukkan kebenarannya adalah sebagai berikut.
982 = (98 + 2) × (98 – 2) + 22
= (98 × 98) + (98 × (-2)) + (2 × 98) + (2 × -2) + 22
= (98 × 98) – (98 × 2) + (98 × 2) – 4 + 4 = 982
98
+ 2
96
100
3. Memangkatkan suatu bilangan yang bilangan akhirnya 5 Contoh 1: 352 = ....
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
a. Pisahkan satuannya
b. Kuadratkan puluhannya dan tambahkan dengan bilangan puluhan: 32 + 3 = 12
c. Kuadratkan satuannya52 = 25, dan tuliskan jawabannya dibelakang jawaban sebelumnya (12), sehingga menjadi 1225
Jadi 352 = 1225
Contoh 2: 752 = ....
a. (7 × 7) + 7 = 49 + 7 = 56
b. Tambakan belakang jawaban dengan 25, menjadi: 5625
c. Jadi 752 = 5625
Contoh 3: 1252 = ....
a. (12 × 12) + 12 = 144 + 12 = 156
b. Tambakan belakang jawaban dengan 25, menjadi: 15625
c. Jadi 1252 = 15625
Mengapa hal itu dapat dilakukan? Coba perhatikan bukti berikut ini.
Untuk setiap bilangan yang angka terakhirnya 5 dapat dituliskan sebagai A + 5, A
adalah kelipatan 10. Karena A merupakan kelipatan 10, maka dapat dituliskan
menjadi 10b + 5.
(10b + 5)2 = (100b2 + 2(10b × 5) + 52
= 100b2 + 100b + 25
= 100b(b + 1) + 25
Karena b merupakan kelipatan 10, maka dapat kita tuliskan b(b +1), dan b dapat
digantikan dengan puluhan, ratusan, maupun ribuan. Coba diskusikan lebih lanjut
4. Menguadratkan suatu bilangan besar secara cepat Contoh 1: 122= ….
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
a.Tuliskan 12 dan beri garis di bawahnya seperti berikut.
1 2
b. Tuliskan kuadrat dari bilangan 1 dan 2 dan tuliskan di bawah angka 12 dan
tuliskan angka 0 di depan hasil kuadrat bilangan-bilangan tersebut jika
hasilnya bilangan 1 angka. Oleh karena 1 × 1 = 1 dan 2 × 2 = 4, maka
dituliskan
1 2
0 1 0 4
c. Kalikan angka pertama dan kedua bilangan yang dikuadratkan, kemudian
kalikan dengan dua, sehingga diperoleh hasil 1 × 2 × 2 = 4. Tuliskan bilangan
4 di bawah nol (angka kedua dari kanan) pada bilangan 0104. Kenapa
dituliskan demikian?
1 2 0 1 0 4
4
d. Tambahkan dua baris terakhir dan hilangkan bilangan nol yang pertama,
sehingga diperoleh hasil seperti berikut.
1 2
0 1 0 4
4
1 4 4
Contoh 2: 522= ….
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
a.Tuliskan 52 dan beri garis di bawahnya seperti berikut.
5 2
b. Tuliskan kuadrat dari bilangan 5 dan 2 dan tuliskan di bawah angka 52. Oleh
karena 5 × 5 = 25 terdiri dari 2 angka, maka kita tidak perlu menambahkan
depan angka 4 karena hasil kuadrat bilangan 2 terdiri dari 1 angka. Hasil
tersebut dapat dituliskan seperti berikut.
5 2
2 5 0 4
c.Kalikan angka terakhir dan pertama, kemudian kalikan dengan dua, sehingga
diperoleh hasil 2 × 2 × 5 = 20. Tuliskan bilangan 20, maju satu bilangan dari
kanan pada bilangan 2504 seperti berikut. 5 2
2 5 0 4
2 0
d. Tambahkan dua baris terakhir sehingga diperoleh hasil seperti berikut.
5 2
2 5 0 4
2 0
2 7 0 4
Bagaimana jika bilangannya lebih dari 2 angka, apakah cara di atas dapat berlaku?
Marilah kita coba menguadratkan bilangan 3 angka dan 4 angka seperti contoh
berikut.
Contoh 1: 2142= ….
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
a. Kuadratkan masing-masing bilangan, apabila hasilnya kurang dari 10, maka
tambahkan 0 di depan hasil. (2 × 2 = 4, 1 × 1 = 1, 4 × 4 = 16). Hasilnya yang
dituliskan adalah 040116.
b. Kalikan bilangan pertama dan kedua (2 × 1) serta bilangan kedua dan ketiga (1 ×
4). Masing-masing kalikan dengan 2 (2 × 1 × 2 = 4 dan 1 × 4 × 2 = 8). Karena
semua hasilnya kurang dari 10, maka hasil dapat dituliskan sebagai 0408.
c. Kalikan bilangan pertama dan terakhir, kemudian kalikan dengan 2 (2 × 4 × 2 =
16).
d. Tuliskan semua hasilnya dengan ketentuan, hasil pada baris kedua diletakkan satu
0 4 0 1 1 6
0 4 0 8
1 6
4 5 7 9 6
Jadi 2142 = 45796.
Contoh 2: 47382 = ....
Langkah-langkanya adalah sebagai berikut.
a. Kuadratkan masing-masing bilangan, apabila hasilnya kurang dari 10, maka
tambahkan 0 di depannya. (4 × 4 = 16, 7 × 7 = 49, 3 × 3 = 9, 8 × 8 = 64).
Hasilnya dapat dituliskan 1 6 4 9 0 9 6 4
b. Selanjutnya, kalikan dengan dua bilangan-bilangan pada angka berikut.
1) Pertama (4) dan kedua (7) : 4 × 7 × 2 = 56
2) Kedua (7) dan ketiga (3) : 7 × 3 × 2 = 42
3) Ketiga (3) dan keempat (8) : 3 × 8 × 2 = 48 Tuliskan hasilnya, berurut mulai dari atas 5 6 4 2 4 8
c. Kemudian, kalikan dengan dua bilangan-bilangan pada angka berikut.
1) Pertama (4) dengan ketiga (3) : 4 × 3 × 2 = 24
2) Kedua (7) dengan keempat (8) : 7 × 8 × 2 = 112
Bilangan pertama (1) pada 112 tambahkan dengan bilangan terakhir (4) pada 24,
sehingga hasilnya adalah 2512, mengapa demikian?
Tuliskan hasilnya seperti berikut.
d. Kalikan bilangan pertama dan terakhir, kemudian kalikan dengan 2. Hasilnya
adalah 4 × 8 × 2 = 64.
e. Keseluruhan hasilnya dapat dituliskan seperti berikut.
1 6 4 9 0 9 6 4
5 6 4 2 4 8
2 5 1 2
6 4
2 2 4 2 8 6 4 4
Jadi 47382 = 22448644.
Dengan langkah yang sama, maka akan diperoleh hasil seperti berikut.
0 9 2 5 1 6 0 1 0 4 0 9 2 5
3 0 4 0 0 8 0 4 1 2 3 0
2 4 1 0 1 6 0 6 2 0
0 6 2 0 2 4 1 0
1 2 3 0 4 0
1 8 5 0
30
1 2 4 4 0 3 4 5 3 2 5 2 2 5
Cara-cara di atas adalah sebagai suatu alternatif dalam menghitung kuadrat suatu
bilangan. Tentu saja yang utama adalah semakin banyak Anda berlatih menguadratkan
suatu bilangan, maka Anda akan dapat melakukannya dengan cepat. Selamat berlatih dan
semoga Anda dapat menemukan cara menguadratkan suatu bilangan lainnya.
Referensi
Pujiati. 2010. Pembelajaran Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Suatu Bilangan di Sekolah Dasar (Modul Matematika SD Program BERMUTU). Yogyakarta: PPPPTK Matematika.
---. How to square large numbers quickly (part 1). http://wildaboutmath.com/2007/11/04/ how -to-square-large-numbers-quickly-part-1/November 4th, 2007|by Sol|
